PARTIE

1ISIÈSE CAS . Section carrée dont une diagonale est horizontale .

On a Y = — j/2 <r —

'~rm

• „ ni ns Detite crue celle du carré, et qui nous apprend que la résis-

tancî^d’une pièce carrée posé. » ta dp ta

moindre que celle d'une pièce carrée po.ée sur l'un de eee cotes, dan. le „p.

port de-—- à 1.

Section circulaire. — On a V — r, I ^ ;

QUATRIÈME cas.

P = RXf L -

TVanrès cela on voit qu’il est avantageux d’augmenter la hauteur d’une piece par rapport à sa largeur, puisque la résistance augmente comme le carre de fa première. Si cependant cette pièce était rendue trop mince elle pourrait se déverser dans le sens horizontal. Ordinairement le rapport de £ hauteur et de la largeur d’une section transversale est comme 7 est 8 (fig ; Ml) , le débitage des pièces se fait avec économie en suivant ces dimensions. Si la largeur est rendue plus mince, on garnit la piece d’epaulements , de nervures ou côtes (fig. 402). Les épaulements ajoutés vers son nu heu ajoutent, il e «t vrai, peu de résistance à la pièce, mais ceux qui occupent les extrémités de la base transversale augmentent beaucoup les résistances à la rupture. Nous verrons plus loin , au n° 88 , comment il est possible de tenir compte de cette addition des épaulements dans l’évaluation de la résistance a la

^Exemple. Trouver l’équarrissage d’une pièce carrée en bois de chêne de deux mètres de longueur encastrée par un boulet qui doit supporter al autre

extrémité un poids P de 1000 kilog. On a R. o 3 ... , 6LP

p =-5i- ; <lou TT

et R (tableau du n“ 72) = 880.100 ou 8150000. D’où

et, par suite,

a ==. \y~ 0,014 = 0 m ,2b environ.

linsi, pour qu’une pièce de bois de 2“, encastrée horizontalement, supP^ '

DES MACHINES ET DES MOTEURS, sans perdre son élasticité, une charge de 1000*. à l'autre extrémité il de lui donner un équarrissage de 23 centimètres de côté.

convient

V8. Solide d’égale résistance. - On a vu que quand une pièce prismatioue est encastrée par une extrémité et qu’elle est fléchie perpendiculairement par une force appliquée à l’autre, le point dans lequel elle est plus exposée à se rompre, est évidemment celui de l’encastrement. Si la résistance est suffisante en ce point, la pièce sera partout ailleurs plus forte ou’il n’est né cessaire. Cherchons la figure de la pièce de manière à ce que sa résistance so*t partout suffisante et jamais excédante, en supposant d’ailleurs que toutes ses sections transversales soient rectangulaires. Une pièce ainsi déterminée est ce qu’on nomme solide d’égale résistance. Il suffira évidemment que la relation P = R. — soit satisfaite pour toutes les sections. Dans cette formule

a représente la largeur horizontale constante de la section transversale de la pièce AB = L (fig. 403) ; h est la hauteur LI de la section d’encastrement ; et on aura la valeur de IJ au moyen de 1 équation

Si nous voulons avoir maintenant la hauteur y de la section MM', située à une distance OA = x du point A d’application de la force P, on remplacera 5 et L par y et x dans l’équation précédente; ce qui donne

Donc, la courbe LMAM'I est telle que ses ordonnées Mîl', ou y, croissent proportionnellement à ses abscisses OA, ou x . comptées du point A : celte propriété appartient à une parabole qui a pour sommet le point d’application delà force fléchissante. Voici, au reste, un procédé pratique pour tracer cette courbe quand la longueur AB (fig. 404) de la pièce est donnée , et quand on a calculé sa hauteur LI de la section d’encastrement d’après la formule précédente. Partagez l’axe BA et la demi-corde BI en un même

^nombre de parties; en quatre parties, par exemple. Joignez l’extrémité L (le la demi-corde non divisée à chacun des points de division de l’axe BA par des droites ; leurs intersections avec les parallèles à l’axe menées par les divisions de même numéro de la demi-corde BI, seront des points de la courbe AI. L’autre partie AL est symétrique par rapport à la première. C est de cette manière qu’on détermine la forme d’un balancier dans les machines à vapeur. La résistance qu’il oppose au mouvement a lieu vers ses points de rotation ; ceux ci peuvent être regardés comme des points fixes sur lesquels la section milieu du balancier est encastrée, et l’extrémité de la moitié de sa longueur comme sollicitée par une pression égale à la ten- 1011 ' ie ‘ a vapeur. On a coutume de garnir la ligne milieu longitudinale, et

les rebords du balancier, de nervures qui , comme nous Tarons dit, ajoutent à sa résistance.

79. Déformation d’une pièce encastrée soumise à une force de torsion appliquée sur son autre extrémité.— Imaginons un cylindre encastré par son extrémité D (fïg. 405), et soumis par l’autre extrémité libre à une force P , qui tend à le tordre autour de Taxe DC avec le bras de levier CB. Cette déformation sera telle que , pour chaque fibre longitudinale ou parallèle à Taxe DC l’extrémité située dans la base encastrée AA se maintiendra constamment à la même position, tandis que l’extrémité h du côté libre se déplacera le plus possible de manière à décrire l’arc hh' . On suppose en outre que toutes les extrémités analogues à cette dernière , décrivent dans le plan delà section passant par la force P, des angles égaux autour du centre C. Cela posé, en admettant que la résistance à la torsion de chaque fibre longitudinale est proportionnelle à l’arc que son extrémité libre décrit , ainsi qu à sa grosseur, et réciproque à sa longueur ou à celle du cylindre, on trouve le résultat suivant. Nommons ê l’arc décrit à l’unité de distance dans le plan de la section extrême du côté de la force P, L la longueur du cylindre, K la longueur du bras de levier CB, I' le moment d’inertie de la section transversale du cylindre par rapport à Taxe central DC perpendiculaire à cette section, t le coefficient de torsion , on a

6— ~fxr '

Quant au travail absorbé par la torsion ou par la déformation de la pièce,

il est égal à ■ f y

Si le cylindre a pour base un carré, on a P — -

, 6LPK

L’arc de torsion 0 décrit à l’unité de distance est égal a ■ et le travai,