OBSERVATIONS

Fer sur cuiyre. . .

Fer sur bois

jChêne vert sur gay.

i Id id. sur orme, Fois sur gayac. . .

pois sur orme . . .

o;oao

Le nombre relatif au frottement du fer sur bois, se rapporte à une poulie d'épreuve dont Tendait et la nature des coussinets ne sont point indiqués par Coulomb.!

Observations diverses concernant les enduits. Nous croyons devoir

° . . rpimraues particulières qui sont la conséquence

SSSœÆSW Mort» *• *•

n a d'Tafiuence sur l'intensité du frottement, qu en ce que les plus petite d’entre eux° surtout ceux qui offrent beaucoup de jeu, ont plus de facilite ^expulser les enduits frais ou tout-à-fait fluides , et de rapprocher ainsi t surfaces (loi) de l’état qui correspond a la simple onctuosité ; 2- ia

îfrésea ce" de l’eau sur les tourillons parvenus a ce dernier état , ou eupresence ae i ea . cam ’ C0l! j s a pour unique avantage d empe-

Sï l a ”son renouvellement continuel , que les surfaces frottantes ne Chauffent ne se rodent, et que les enduits gras ne soient liquéfiés; S le «SSSSèa-mou. purifié, par la fusion, des poussières qui! renferme, S i sam-doux et de plombagine, dans la proportion de, pour t’t de&e ont l’inconvénient de s’épaissir vite, et de ne laisser, apres Âi «Se onctuosité inférieure à celle des graisses pures ; i usage nen sur des motifs d’économie, auxquels viennent se peut etie iono q diminution d’usé des surfaces frottantes,

joindre, sans doute ^jduneamrnm et de D l 0 mbagine, pour lubrifier

?e“ a Ss° a 4” l enSur le bitume d’asphalte ou goudron minéral, soumis egaie-

i es 00 , ^ . ’ ts.| xiAi-ji se raDDroche beaucoup , par ses propriétés,

ment a « essai p ^ dégraissé et de plombagine dont il vient d’être

du cambouis e„ ^ - n-onrmté d’adhérer fortement aux surfaces, et, sous parlé; de plus, il a . ^ ^^^^qcnilers. dans le cas des

ce rapport, n pai ait of graiS sage desquels il est souvent employé,

essieux en bois, üéS vo.ture. o s poudron végétal. Mais on par économie , généralement Composés de résines , corps

remarquera que jes ^oumo S ou - mo ins volatiles, sont suscep-

t eî £d<L1r lieu ainsi à un grand «oçroUiienf de frottement, quand ils ne sont pas fréquemment enlere, et

renouvelés. solides ou mous, tels que le suif et le vieux-oing,

soM prindpaiement ^pioyé^pour le bois et ifô outds^ranchmff^

“Stalle trop Srandécianltat et .le

*> ii ^srs. î 5S

eue huüe fgg* « ’sâ'neuseU

&X S'SSta d|?£ Se sta.

effÏT^es huilS'u’cV pas ri £ con j“ Æ

on s attac “® sDhériquement les platines métalliques elles pierre ZTÜ* de “o S»a de crapaudînes aux «xes ; ce quj^a , d faianta»ede présenter, à l'huile , des espèces de res ervoiy elle est retenue en vertu de sa simple adhérence, et a ou elle t ^ ^ n «« attirée dans le petd ride «u espa» jjJjj g lns nuisible*

DES RÉSISTANCES

les surfaces en contact assez neu étenrhipe gliger l’influence qui peut être due à l’adhérence des enduifs™™ ^ ^

Questicm diverses concernant la résistance des corps au glissement.

561. Exemple relatif an frottement des traîneaux. Supposons en nrem.Vr heu, un traîneau, en bois , chargé d’un poids total de Sî “ e ' le sien propre et glissant sur «nlhemÆonïï pare^ement H™ on demande : 1° l’effort nécessaire pour faire partir ce ÏÏnSu * le nombre de chevaux nécessaire pour le faire cheminer sous différentes vitesses et d une maniéré continue. eBtes

„ En recherchant dans la première colonne de gauche de la fahlp m. 5N ° oob ’ lartieIe relatif au frottement des bois sur bois, à l’instant du départ , on trouve, sur les trois lignes horizontales qui lui correspondent differents nombres en regard de chacune des têtes de colonnes, Su! vers la d. o.te , indiquent 1 état des surfaces ou de l’enduit ; cela annonce (ibid ) que la résistance est susceptible d’éprouver, dans chaque cas , des variations d intensité dépendantes de la nature des bois , du degré de leur poh et de la direction des fibres ou du mouvement. Mais . en supposant qu il s agisse ici de surfaces assez mai dressées et soignées on devra prenure le maximum des rapports ou coefficients de chaque espèce • et comme on aperçoit , par les nombres de la troisième colonne que la résistance augmente, en général, quand les surfaces sont ou simplement humides ou complètement imprégnées d’eau , on devra, afin de ne nas rester au-dessous de la réalité , adopter le chiffre 0.71 , qu’on rencontre parmi ceux de cette colonne; nous aurons donc, pour le frottement au départ du traîneau : 0,71 .'ISGOtR = iOGokü.

ün bon cheval ne peut guère exercer, d’après Regnier (S- cahier du Journal de l b cote polytechnique) , un effort de plus de 400HI contre un obstacle immobile , il ne pourrait donc vaincre directement la résistance dont il s’agit. Mais , en attelant au traîneau deux chevaux de cette force et les faisant agir par secousses, en vertu de leur quantité de mouvement antérieurement acquise (131 , 155 et suiv.) , il y a lieu de croire qu’ils eu viendraient à bout . encore bien que l’inertie leur oppose , dans ce cas une très-grande résistance (146 et suiv.) ; car nous savons (533) qu’un ébranlement , assez léger, imprimé aux corps en contact , suffit pour produire leur départ sous un effort bien moindre , et à peu Drès égal à celui qui correspond aux instants où le mouvement est déjà acquis. Or on voit par la table du N° 557, relative à ce cas , que la résistance serait tout au plus . égale aux 0,48 de la charge, c’est-à-dire 0,48 . 1500 = 72o’kH; mais il est clair que les deux chevaux ne pourraient pas traîner fort" loin cette charge , sous un pareil effort ; et comme , d’après la table du N° 205 , le tirage moyen ou le plus avantageux d’un cheval , dans un travail soutenu est de 70-tii environ, on voit qu’il faudrait en atteler au moins dix au traîneau, pour qu'ils pussent le faire cheminer convenablement en "exerçant

moyennement un effort de-^- = 72tü environ , sous une vitesse qui ,

d’après les données de cette même table , doit être . au plus (206) , de f|km = 0 m ,87 par seconde ; cette vitesse n’ayant d’ailleurs (349) aucune influence sur l’intensité absolue de la résistance à vaincre , celle-ci restera toujours égale à 72^ pour chaque cheval allant , soit au pas . soit au trot. Enfin , puisqu’à cette dernière allure , qui correspond à une vitesse d’environ 2 m ,2 par seconde , l’effort de tirage des chevaux doit être réduit moyennement à 44tu , toujours d’après la table du N» 205 , on voit que ,

I r, “ risTïE 41

dans ce cas , il en faudrait , au moins , — == 16,36 , pour traîner convenablement la charge.

Supposons , maintenant, les surfaces frottantes parfaitement dressées et graissées dans toute leur étendue : d’après les chiffres moyens des colonnes 4 et o de la table du W° 557, la résistance sera réduite aux 0,08 , au moins , de 4500kü , ou à 420kü : ce qui n’exigerait plus que l’emploi de deux médiocres chevaux, s’ils devaient cheminer au pas, pendant dix heures chaque jour, ou celui de trois chevaux pareils , cheminant au trot, pendant seulement quatre heures et demie , puisque la dépense de travail, par mètre de chemin, demeure indépendante de la vitesse, ou égale à 420k . 4 m = 420 k»», pour les deux cas. Les chiffres des mêmes colonnes, 4~et 5 , de la table dont il s’agit , montrent , au surplus , qu’il n’y aurait de l’avantage à substituer des ornières ou des languettes saillantes, en fer ou en fonte , à celles en bois , qu’autant qu’on voudrait éviter la dépense de l’enduit , ainsi que la trop prompte altération des surfaces.

362. Exemple relatif à la stabilité des constructions. Supposons, en second lieu . qu’il s’agisse de reconnaître quel est l’effort horizontal que peut supporter un mur de soutènement, en maçonnerie ordinaire, de 10 n ‘ de hauteur, 2 m ,3 d’épaisseur au sommet , et o'°,5 à la base , afin d’être assuré qu’il ne glissera pas sur ses assises horizontales; l’effort, dont il s’agit, devant être , tout au plus , égal à celui de la poussée des terres ou de l’eau qui s’appuient derrière ce mur ; poussée dont le calcul repose d’ailleurs sur des principes de mécanique , dont l’exposition ne rentre pas dans le plan de cet ouvrage (4).

Remarquons d’abord que l’assise des fondations étant la plus chargée de toutes , et celle qui présente , à la cohésion des mortiers , la plus grande étendue de surface , ce n’est pas elle qui court le plus de chance d’être désunie par glissement; mais, comme la poussée croît elle-même rapidement avec la hauteur des terres à soutenir, nous admettrons ici que la base du mur soit réellement l’assise de plus faible résistance relative. D’un autre côté , la poussée et la résistance étant les mêmes pour chaque unité de longueur du mur, ou leur rapport étant indépendant de celte longueur, il suffira de considérer ce qui a lieu pour une portion comprise entre deux tranches verticales, ou profils distants de i mètre, par exemple. Celajpose, on trouvera, sans difficulté , pour le poids du mur, en admettant (35) que le mètre cube de maçonnerie pèse 2000kii, le chiffre

1 o m . b-, - i u * 0 -■ >U J . 1“ . 2000 k = 60000 kil -

La table du N° 336 (l re partie) donne ici /'=0,66, pour la plus faible des valeurs du coefficient du frottement , relatives aux briques et aux pierres non polies, avec ou sans interposition de mortier frais, qui, dans quelques cas, favorise le glissement -, donc la résistance est, au moins, de § 60 000 1 =40Ü00 kil ,par mètre courant de longueur, et, par conséquent, la poussée ne devrait pas surpasser cet effort. Mais , à cause des ébranlements auxquels le revêtement peut être soumis , immédiatement après sa construction , il convient de consulter la table du N° 338 , relative aux cas où le

,'i) En attendant que nous paissions mettre au jour les recherches spéciales que nous avons entreprises sw cet important sujet, nous renverrons au* Mémoires et ouvrages, connus , ce Coulomb et -de MM, de Prony , Français , Navier et Audoy. On consultera aussi les Aide-Mémoires de MM. Laisné et Morin, où se trouve consigné un extrait des reg.e auxquelles nous sommes parvenu pour les cas usuels.

DES RÉSISTANCES. g23

mouvement est déjà acquis, sous l’influence de cet ébranlemenhor ici l'on voit que , sauf pour le cas des pierres dures , bien dressées , le frottement ne descend point au-dessous des 0,6 de la pressiomdonc on pourra adopter le chiffreO.6 . 60000*1, =56000-, cbmme valeur minimum de ïàSsïtance que le frottement des assises inférieures du mur opposeàson glissementhorizontal. Reste a voir maintenant, si cette résistance peut, au bout d’un certain temps , être surpassée par l’adhérence ou cohésion produite oar la solidification des mortiers, auquel cas (006) il conviendrait, non d'ajouter mais de substituer celle-ci à la première, dans les calculs relatifs à la stabilité si toutefois il était permis d’admettre que les causes d’ébranlement . dont on vient de parler , soient insuffisantes pour détacher les surfaces et réduire de nouveau la résistance à celle qui est due au simple frottement.

" aire delà portion d’assise ou de base , que nous considérons est de o m ,o . — o,o mètres carrés , par mètre courant de revêtement -’et d’a-

près la dernière des colonnes de la 2 me partie du tableau ( sse’) C j\e en premier lieu , on ne peut guère compter, même pour les bons mortiers sur une résistance moyenne qui surpasse 9 à 10000k par mètre carré ce qu^donne une résistance totale de o, 5 . 9000k = 51o00kii à 5,S. 10000k =35000kii, un peu inférieure à celle qui a été trouvée, dans l’hypothèse du frottement. On voit donc que, dans cette question, il serait inutile d’avoir égard a la cohésion des mortiers , et cela avec d’autant plus de raison : î° qu’il ne serait pas prudent de compter sur la moyenne , ni même sur la plus petite des données fournies par l’expérience; 2° que les surfaces en contact étant ici très-grandes , il peut arriver que des mortiers, en chaux ordinaire, soient loin d’avoir acquis, même auboutd’uneou de deux années le maximum de leur dureté relative ; o» qu’enfin le mur peut être soumis’ avant cet instant, àtous les accidents qui naissent du chargement desterres , de l’application de la poussée, etc.

Les calculs qui précèdent ne présentent, commeon voit, que des approximations grossières , des à-peu-près bien éloignés de la rigueur mathématique qui plaît tant à l’esprit dans les sciences rationnelles ; mais cette incertitude tient à la nature physique même des choses, et ne doit pas nous porter à dédaigner les données du calcul et de l’expérience , qui nous mettent au moins à même d’obtenir des limites, et d’éviter des mécomptes d’autant plus fâcheux , qu’ils n’intéressent pas seulement l’amour-propre et la fortune des individus. " F 1

Passons maintenant à d’autres exemples, qui nous offriront desrésultats plus satisfaisants sous le rapport de la précision des chiffres.

«68. Calcul du travail absorbé par le frottement des tourillons des roues hydrauliques et des volants. On se sert aujourd’hui, dans plusieurs machines de grandes roues en fonte, très-pesantes, destinées, les unes, à donner le mouvement , les autres à le conserver et à le régulariser, de manière à remplir ainsi les fonctions de réservoirs de force vive (124 et 144} - il n’est peut-être pas inutile d’appeler l’attention de quelques-uns de nos lecteurs , sur l’énorme consommation de travail qui peut résulterdu seul frottement des tourillons de ces gigantesques appareils, dont nous devons l’introduction récente, enFrance, à l’esprit hardi et entreprenant des mécaniciens anglais. Î1 existe, en effet, des usines à fabriquer le fer, dont les roues à eau ne pèsent guère moins deSOOOOtii, et qui font de 6 à 8 tours, moyennement, par minute, tandis que leurs volants, dont le poids excèdesouvent20000kii, font jusqu’à 50 et 60 révolutions pendant le même temps ; d’ailleurs , les tournions , en fonte, de ces masses, tournent sur des coussinets en bronze , men graissés avec du suif . et qui ont environ O m ,HO de diamètre dans le premier cas, et 0 m ,20 dans le second.

D’après ces données, il ne sera pas difficile de calculer le travail absorbé parle frottement de pareils tourillons, au moyen du tableau du N° 5S9 , et

des règles ou formules établies au N° 330 ; car on peut admettre , et l’on démontre d’ailleurs directement par les principes qui se rapportent à la composition ou combinaison des forces, que, dans tous les cas semblables, la pression normale, N, supportée parles tourillons, diffère généralement très-peu d:: poids mêmede la roue ouduvolant ; ce qui n’aurait plus lieu si ce poids était très-petit ou si seulement il était comparable à l’intensité de la force motrice qui entretient le mouvement.

Pour les tourillons de la roue hydraulique , en particulier , on trouvera que le frottement fN = 0,054.80000k = 4520kn, dans le cas d’une alimentation de graisse continue, et qu’il est de 0,073. 80000k = ©OOOkii , dans celui où ils seraient alimentés à la manière ordinaire; la roue faisant, je suppose , 6 tours à la minute . et le diamètre 2 r , des tourillons, étant de ü m ,30, ii en résulte, à la circonférence, une vitesse ^=0, 1047. 6.0”, 13 = 0 m ,0942, par seconde ; ce qui donne, pour la dépense correspondante de travail : R.V = 0”, 0942.4520k = 406km, 94 = 3,4 chevaux-dynamiques environ, dans le cas d’un parfait entretien , et 0 ra , 0942. 6000k = 565km, 2 = 7,5 chevaux , dans celui d’un entretien ordinaire. De semblables consommations de travail, seraient suffisantes pour faire mouvoir un ou deux tournants de moulins à farine, et elles deviendraient intolérables dans des machines qui n’auraient pas , au moins , la puissance de 40 à 50 chevaux.

Pour le volant , le frottement, sur les tourillons, sera seulement de 0,054 . 200Q0 k — 1080kii, dans le cas d’un entretien parfait, et de 0.073. 20000k = loOOkü, dans celui d’un entretien ordinaire; mais, comme la vitesse est ici de 30 tours , au moins, à la minute, ce qui donne un chemin de 0 m ,5258, décrit, dans chaque seconde , à la surface des tourillons, il en résulte une consommation de travail, équivalente à 0 m , 5256. 1080k = 563 km = 7. 5 chevaux environ peur le premier cas, et de 0 m 3256. 1500k = 785km = 10,3 chevaux pour le second.

Ilfaut, comme on voit, que l’emploi des volants présente de bien grands avantages , sous le rapport de la régularisation du travail des machines employées à la fabrication du fer, pour qu’on se décide à faire, en quelque sorte en pure perte, un aussi énorme sacrifice en frottement d’axes seulement; car il est évident que le frottement des rouages qui servent à transmettre ou à entretenir le mouvement de pareilles masses, et la résistance de l’air qui l’accompagne inévitablement, doivent, à leur tour et par suite de l’excessive vitesse qu’on fait prendre à ces masses, être d’autres causes de déperdition du travail moteur, dont i’influenee mérite d’être prise en considération.

564. Autre application relative au frottement des roues de voitures. La charge réglementaire maximum, des diligences , est de 5620 k , répartie sur quatre roues, dont celles du devant ont 0 ,n ,485 de rayon, et celles de derrière 0 m ,76; le rayon moyen des essieux est de 0 m ,0oo ; ces essieux en fer, glissent, avec un très-petit jeu , sur la surface intérieure de boîtes de roues , en cuivre, bien graissées à la manière ordinaire, et qui viennent successivement présenter tous leurs points ou génératrices à un même point ou à une même génératrice des essieux ; on prendra donc ici , d’après la première partie de la table du N° 558 , f = 0,073 ; ce qui donnera pour la résistance tangentielie et totale éprouvée par les quatre roues, 0,075.5620k = 27ik,50. Ces diligences cheminant avec une vitesse de deux lieues à l’heure, ou d’environ 2 m ,22, par seconde, quand les chevaux vont au trot, et chacun des points des roues venant successivement, s’appliquer le long de ce même chemin, il est aisé de calculer que les P 1Us

grandes d’entre elles font

0,463 tours

DES RÉSISTANCES

seulement par seconde, et les plus petites : n 7^0 . Ao

. ' 5,141 6.0“ 97 ’ 8 ’ de

sorte que , si on les suppose également chargées , le travail consommé dans le meme temps, par les premières, sera d’environ j2/l k ,o.23-.0 m .08oi

.0,465 = 15 tm. 9 3 e t ; par j es secondes, de 15 km 9 . ~2^L 2 i km 7 ... . 465 “ ’

fixais on peut arriver plus simplement à ce résultat, en observant que la vitesse , ou le cnemin décrit , en une seconde, par le point d’application du froidement , ou par la circonférence des boîtes en contact avec les

roues , sera seulement de 9^.f) m n~g ~ «

2ît0,76

9tn G)S>

pour les grandes roues, et de 0 m ,055^g = 0“, 1602 pour les petites;

Ü-i^ d 0 e” ne f™o-?, ia - e î? ent les quantités de travail : 1 271k, g. C“, 1022 lo-i», 8 o etj 2/lk.5.0 m ,1602 = 21 km^ 74 i q U i s’accordent respectivement avec les precedentes, et donnent, au totai : 15 , 85 -{- 21 . 74 =o 5 kn> 59 pour le travail absorbé par les frottements réunis de quatre roues : travail qui paraîtra bien faible en comparaison de celui qui serait consommé an e cas iobO) d un simple traîneau. En effet., supposons seulement , d apres les tableaux des N“ 856 et sulv., /*= 0 , 88 , 011 trouverait pour ce dernier travail : 0oo.o620k.2-», 22 = 2652 km, toujours par seconde bous le point de vue théorique, cette remarque suffit pour montrer 1 avantage de la substitution des voitures avec roues aux simples traîneaux; cai les calculs qui viennent d’être établis, font très-bien apercevoir que cet avantage ne réside pas uniquement dans un affaiblissement . plus ou moins grand, de 1 intensité du frottement direct mais bien dans l’affaibassement même de la vitesse , ou dans la diminution du chemin relatif, décrit par le point d application de la résistance, et qui est mesurée par ie rapport du rayon des essieux au rayon des roues. Ainsi, par exemple, tandis que, dans le cas ci-dessus, la vitesse ou le chemin effectif de la charge, qui est aussi celui de la circonférence des roues, est de 2 m ,22 par seconde, celle de la boîte de ces roues est seulement, comme on l’a vu , égalé a 0 m , 102 pour les grandes, et à O-, 160 pour les petites , c’est-à-dire environ 22 fois et 14 fois moindre que la première.

Quant au point de vue pratique , il conviendrait encore de considérer : 4° la résistance que l’air oppose au mouvement de la voiture; 2 » le frottement circulaire ou latéral (347) qui a lieu contre les épaulements^ intérieur et extérieur du moyen des roues, aux instants où la voiture éprouve des chocs ou oscillations transversales résultant des inégalités du sol ; 5 » enfin, le frottement de seconde espèce ou de roulement (ibid) qui naît du contact même de ces roues avec le sol , ou , plutôt, de la résistance que les matériaux de la route opposent à leur déplacement, à leur compression et a leur écrasement, au moment où ils sont atteints par les bandes des roues. Faisant ici abstraction de la résistance de l’air, qui , en effet, est très-faible . même pour des diligences lancées au trot; observant d’ailleurs que la résistance des épauiements de roues ne peut exercer qu’une influence peu sensible, dans tous les cas où le sol est convenablement nivelé ; défalquant enfin , dans chaque cas , de la quantité de travail qu’aurait fourme ia mesure directe de l’effort du tirage, etc., la perte de travail occasionnée par le frottement des essieux , perte toujours calculable , à priori , par ia méthode indiquée ci-dessus; en opérant, disons-nous, cette oéfalcaîion, on voit comment il devient possible d’arriver, dans de telles hypothèses, à la mesure du travail consommé par la résistance au roulement dont il s’agit, et , par suite , à la valeur même de l’intensité relative,

de cette résistance, dans les différents cas. Mais, ainsi que nous en avons, déjà averti , notre intention ne saurait être de nous étendre ici sur les considérations expérimentales et physiques qui se rapportent à ce genre de frottement (I).

(i) Dans les leçons que nous avons données, en 1829, aux ouvriers de la ville de Metz et dans celles que nous avons professées l’année suivante, à l’école d’application de l’artillerie et du génie, nous avions exposé quelques données d’expériences et de calculs, relatives au frottement dont il s’agit, et que, d’après Coulomb, nous supposions proportionnel à la charge N des rouleaux , et inverse de leur diamètre 2 r, la puissance étant elle-même censée immédiatement appliquée à leur centre ou axe , ce qui donne lieu à la formule

pour mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération aux données fournies par la table du N° 2i3 , et par les expériences mêmes de Coulomb, nous en avions déduit une nouvelle table des valeurs du coefficient /*, que nous croyons utile de rapporter ici j en attendant que des résultats d’expériences plus directes et plus précises, aient levé « entièrement les incertitudes qui existent maintenant eucore sur la véritable loi de la résistance au roulement. Car , si M. Dupuit , dans un récent ouvrage intitulé : Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, i 83 ^) , a été conduit à modifier j en partie, la loi avancée par Coulomb j d’un autre côté , les expériences encore inédites de M. Morin, sont venues la confirmer pleinement j de sorte que ce n’est pas trop se hasarder que de reproduire aujourd’hui même, des résultats déjà publiés en i 83 i , dans les lithographies de l’école d’application de Metz. Nous avons d’autant plus de motifs de le faire, que ces mêmes résultats ont été postérieurement insérés, sans notre aveu, dans un petit ouvrage ayant pour titre : Mécanique des écoles primaires , où ils sont présentés comme de simples données de l’expérience.

TABLE des rapports du frottement à la pression , dans le cas du roulement de surfaces cylindriques sur des surfaces de niveau.

VALEURS

DÉSIGNATION DE L’ESPÈCE DE ROVÉS , de f, ou rapport

et de Tétât des sui faces en contact, du frottement

à la pression.

Roues de voitures garnies de bandes de fer , cheminant :

Sur une chaussée, en sable et caiiloutis nouveaux o,o 634

Id. en empierrement, à l’état ordinaire . °?° 4 1 4

Id . , id. en parfait état 0,0100

Id . en pavé, bien entretenu : au pas 0,0 1 80

Id. id. au trot .......... * 0,0208

Id. eu planches de chêne, brutes 0,0102

Roues en fonte sur rails en bois saillants et rectilignes (Gerstuer) 0,002 3

Id. sur ornières plates en fer

Id. id . saillantes , avec alimentation de graisse, ordinaire . 0,0012

Id. id. id. continue. . 0,001 o

Rouleau d’orme sur pavé uni (Régnier) - . . 0.0074

ld. sur chêne parfaitement dressé (Coulomb) 0,001 fi

Id. sur gayac (Id.) 0,00 io

Rouleau de fokte sur granit uni .

DES RÉSISTANCES. g27

365 . du mouvement horizontal des corps sous T influence du frottement Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois mie là pression ne change pas , il est évident , à priori (107 et suiv ) aue si corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau , dans une direction rectiligne donnée, et qui demeure invariable à tous les instants comme il arriverait , par exemple, pour un traîneau glissant dans des rainures ou sur des anguettes saillantes , parallèles et rectilignes , il est évident dis je, que le mouvement que ce corps prendra naturellement, en vertu de sa vitesse initiale , sera uniformément retradé ; c’est-à-dire que cette vitesse ira continuellement en diminuant de quantités qui seront exactement proportionnelles aux temps écoulés depuis un instant quelconque. Nommant P

le poids de ce corps, M = | sa masse , Y, sa vitesse initiale , Y la vitesse

qu’il conserve au bout d’un nombre quelconque , T, de secondes écoulées enfin , désignant par E l’espace qu’il a décrit à la fin du temps T on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont il s agit , les formules

V = V - — Æ T > = Vf - 2/ÿE , E = V,T — | f g T-,

dans lesquelles f est le coefficient du frottement des corps en contact et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première partie de cet ouvrage (1-12, 150 et suiv. ît)6 et lo7j.

Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer : 1“ qu’on doit avoir ici à chaque instant , ’

— f—f^i ce qui donne v=fgt,

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants t dans le corps mobile ou traîneau , et, par conséquent. fgT pour j a vitesse totale détruite au bout du temps T , et Y, —fgT pour la vitesse Y conservée au bout de ce temps; 2° que le produit /P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement dans toute l’étendue de la course E , et que la force vive. MY; , diminuée de celle, MY-, doit être précisément égale (137) au double de‘ cette quantité , etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit entièrement indépendantes du poids absolu, P, du traîneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, maïs il n’en serait plus ainsi du cas où ce traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d’intensité également constante, comme celle qui résulterait de l’action d’un poids O, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal par un moyen quelconque, par exemple à l’aide d’une corde passant sur une poulie de renvoi; dans ce cas , pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d’ajouter au frottement, /P, du traîneau ou d’en retrancher, l’effort constant O ; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer , dans les équations ci-dessus , le coefficient f du

frottement de la quantité selon que l’effort O agit pour favoriser ou

pour empêcher le frottement, c’est-à-dire pour retarder ou accélérer le mouvement du traîneau ; le seul changement à opérer dans les formules

ci-dessus, consistant ainsi à remplacer /par f± 2, pour passer du pre-

miercasau second. Toutefois, s’il arrivait, dans cette dernière hypothèse que l’effort O surpassât le frottement /“P, il pourrait aussi arriver que le

traîneau , après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction primitive, retournât bientôt en arrière, pour continuer ainsi indéfiniment dans le sens de O; ce qui suppose qu’à l’instant de cette rétrogradation la vitesse Y s’évanouisse , et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d’uniformément retardé qu’il était, devenant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti , par la discussion même des formules , de cette circonstance tout-à-fait analogue à celle que nous a offerte (120) l’ascension verticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d’insister.

Ouant au cas où la puissance constante , O , toujours supérieure à /P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Y t , il va sans dire que le mouvement serait à tous les instants, uniformément accéléré , comme cela a lieu pour la chute des corps graves , l’intensité et le sens du mouvement étant seuis changés; ou, si l’on veut, l’action, P = Mq, delà gravité , se trouvant remplacée par celle d’une force horizontale égale à Q — /P , la vitesse initiale , Y, , serait augmentée d’une quantité mesurée

par — / J gT , au lieu de gT , après un temps quelconque , T ,

écoulé.

566. Vérification de ces lois par V expérience directe , procédé pour obtenir l’intensité du frottement des corps en mouvement . Ce qui vient d’être dit, en dernier lieu , peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l’instant, du premier ébranlement des corps , et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement ; car elle a précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis , et, à peu près comme l’avait fait, avant eux, Galilée (116), dans des circonstances analogues quant au but , quoique très-distinctes , pour le fond , qu’elle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés , puis à s’assurer que cette relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé ; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd’hui , que la loi est connue , et peut être admise à peu près sans restriction, il ne serait nullement nécessaire de recourir à remploi d’appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant , l’intensité relative du frottement , dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d’une manière directe: il suffirait de lancer le traîneau , sur son chemin horizontal , disposé de manière à l’empêcher de tourner, avec une vitesse quelconque , V r , et d’observer seulement le nombre de secondes T', qu'il a mis à décrire l’espace , E\ au bout duquel il s’est arrêté.

En effet , si l’on exprime , dans les équations ci-dessus (564) , que la vitesse finale, Y, est nulle, elles conduisent, sur-le-champ , aux nouvelles formules :

V I = /?T', Y 2 t — 2/ÿE', E' = Y t T' — \ fgY~, dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux premières , qui serviront immédiatement à calculer les valeurs de Y, et de/, ainsi que toutes les autres circonstances du mouvement. Par exemple en divisant,

membre à membre , la deuxième par la première , elles donneront , pour

calculer N, , la relation Y,

que nous eussions pu décrire de suite

(109 et suiv.), d’après les lois bien connues du mouvement uniformément accéléré ou retardé , et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement.

DES RÉSISTANCES

/ = Ii= 2E '

IffT gT l

relative au cas du mouvement.

Pour offrir aneapplication numérique, nous supposerons qu’un traîneau arme a sa surface inferieure de patins en acier poli . soit iLé tou Sur’ de maniéré a l’empecher de tourner, sur la surface glacée d’un 2 ° S d unenviere, avec une vitesse de;4” par seconde, et non! nous demanderons , 1 e temps au bout duquel le mouvement de ce traîneau abandonné'; m-meme s s arrêtera, en raison du frottement qu’il éprouve de la nart de la glace; 2 U 1 espace total qu’il aura parcouru. Nos tableaux ne contiennent aucune donnée relative a ce genre de frottement, mais notm admettrons d apres les expériences de M. Rennie ( 1 ), que son coeffiSent S -î

T-f- “ ,ir0 "/ f ’ rressmn - de X a“rfta"î“o1f

U attendu "“ e ™ le ” r *» les 1

fi

E ' ~yy =T •'2 L= ^0,194 . 2 m = 20 m ,588,

c’est-à-dire que la durée du mouvement serait de 10",2, et l’esDace mr couru de 20”, 4 à très-peu près. ” ’ espace pa!

Supposant qu’à l’inverse, on ait obtenu cette durée et cetespace d’après 1 obseï vation directe on en eût déduit immédiatement les valeurs de^et de Y ainsi que cela a été indiqué ei-dessus. On voit d’ailleurs par les

lable d “ "• >« résultats, anxquefs ôn“ent d P e paï

e nr, offrent comme une sorte de limite par rapport à ceux qu’on obtien-

TV r la gIa “' * ™ de“ “Se

étpï e I que e 6 fr , ottement doit, dans les circonstances ordinaires, fa suit m,T UVem t n 3 a i urface de la terre 5 mais nous verrons, par causé mii q mntrif S1S an - Ce delai, \ et des fllddes ’ en général, est une autre les nrpml c t b t p ” issammenta «a production de cet effet, surtout dans les premiers instants du mouvement et lorsque la vitesse est très-rapide.

Questions et formules concernant les pertes de force vive dues au frottement

pendant le choc.

■ J >remier exemple relatif au choc vertical d’un traîneau. Le cas le plus

simple de la question est celui d’un traîneau, de poids P, ou de masse M=

qui, étant animé, à un certain instant , de la vitesse horizontale, Y ,

vient à être choqué normalement , par un autre poids , P' , ou une autre

(i) Suivant ces mêmes expériences, faites à la tempe'rature de 2°,2Ô centigrades au-dessous de zéro, le coefficient de ce frottement diminuerait , avec la pression , ainsi qu'il suit: pour des pressions de oi,5, 2k, o et 18 k par centimètre carré, ii serait respectivement o.oq, °,o3, 0,014. four la glace glissant sur de la glace, M. Rennie a trouvé, dans les mêmes circonstances, le coefficient du frottement égal à o,o3 et 0,02 pour des pressions respectives Q>e °-V;t5 et ok,6o par centimètre carré. Le résultat des recherches de cet ingénieur, se trouve consigné dans les Transactions phylosophiques de la Société royale de Londres , pour l’année 1S29.

PAKTlii.

masse, M'=-, tombant librement de la hauteur H', au bas de laquelle M'

„ nrisla vitesse V' = l/SÔH 7 . Or il est évident que, dès l’instant où cette dernière masse atteindra le traîneau . elle sera , si rien ne s oppose a son afissème ih horizontal sollicitée, tout au moins, par le frottement qui naît de S réaction réciproque, dont nous représenterons le coefficient par f. rintensité de ce frottement étant, dans chacun des éléments infiniment

petits, f, de la durée du choc, mesurée (330) par l’expression fW °- , elle „ J. la masse M' et détruira, dans la masse M du traîneau, "une qimntité 1 de mouvement mesurée par f'WY, à la fin de là plus grande imnression Ainsi sous ce point de vue , et à cause que l’action est égalé eT?Saffie à la réaction, la quantité de mouvement des deux masses ou celle de la masse entière, M + M\ ne sera point altérée dans Je sens horizontal; mais, comme l’effort de réaction vertical , F=M' T , éprouvé

nar le traîneau se transmet, pour ainsi dire instantanément, jusquàsasur-

» «** fr0,teme “ t mes ” e p,r

m'—, dont le coefficient/ - , sera, en général , distinct du premier, et qui

donnera lieu aune perte de quantité de mouvement , mesurée également \ rjarfM'V' à la fin de la plus grande impression; supposant d abord, qiTen vertu du frottement/" ou d’une cause de résistance ^ les masses M et M' aient acquis , dans le sens horizontal, a la fin du choc la

vitesse commune W, la quantité de mouvement c ® r , re ^ ada i W du système de ces masses, devra être égalé a MV /M V , ce qui

donne

MV— f M'Y'

nonr calculer la vitesse finale et commune dont il s agit , dans 1 hypothèse Kn choc aiS vif ou d’une durée assez courte, pour, qu'il devienne permis (168 et 169) de négliger le poids des corps vis-a-vis des e

réaction , M' - , développés pendant la durée même de ce choc.

I a masse M possédait seule, avant le choc , la force vive horizontale MV* maintenant les deux masses possèdent en commun par hypothèse fa force vive S + M') W-; donc on aura pour calculer la perte de foi ce vive, dans le sens horizontal, l’expression : ^ s