MV 2 — (M + M') W’ = MV

dont la moitié fera connaître le travail détruit par le frottement du Irai near! dans ïe sens dont il s’agit, travail auquel il conviendra cl ajouter encore (162) celui , 1 M'V' 3 , qui s’opère dans le sens vertical , si ^

il arrive presque toujours, il est permis de negligei

llS Nous n venons de supposer que cette dernmre masse, en rejievant^^ dant le choc, la quantité de mouvement horizontal/- V • , t est

horizontale /V, avait acquis finalement le mouvement meme don^^

traîneau ; ce qui revient à admettre que / A h, > en s era < î niI ? ae ; , vitesse W de ce mouvement. Mais généralement , - lire

nas ainsi dans le cas d’un simple frottement exercé à la sui ace s p du t. àffièau et alors la quantité de mouvement possédée par le sysi

DES RÉSISTANCES

à la fin du choc, prendra simplement la valeur MW -L AM V' an îipn relation^- W ’ “ qUi donnera ’ P ° Ur déterminer W, cette autre

M W + f'M'Y = M V - fWY' ou W = Y ( f 4. f) H*/

d’où il sera facile de déduire la nouvelle expression de la perte de force vive occasionnée par le choc. *

D’ailleurs, si la condition

f V' < W— V — {f+f')~T ou, ce qui revient au même,

TM+ (/+/") M' Tiq I/F+/P' >

se trouvait satisfaite, la masse M' ne pourrait acquérir, à la fin du choc, îa vitesse yv du traîneau : elle resterait donc en arrière par rapport à celui-ci , cest-à-dire quelle continuerait à glisser , à sa surface supérieure, jusqu a ce que le frottement /T', occasionné par son poids, sur cette surface, ait complètement anéanti la différence de vitesse, W

J^ mm0ÛS , ^ temps nécessaire pour Taccomplissement de cet effets /PT sera évidemment (364) la quantité de mouvement imprimée , pen-

dant ce temps, à la masse M', par le frottement f'V , et^p- sera l’accroissement correspondant de vitesse de cette masse , si elle n’est sollicitée, ainsi que le traîneau, par aucune force étrangère et qu’elle ne fasse simplement que glisser sans tourner. D’une autre part , la masse M, de ce traîneau , étant sollicitée , à sa surface inférieure , par le frottement /(P + P'), et, à sa surface supérieure, par le frottement f'V’, ou, en totalité, par la force retardatrice f(P + P') + /'P', il perdra, pendant le temps T' et en raison de cette force , une quantité de mouvement f

(P-]- P') T’-f /TT, ou une vitesse mesurée par ^- P T ' •

donc on obtiendra ce temps par la condition

/P' T ' , v /(P + P’)r+fPT

si, je le répète, le frottement et l’inertie sont les seules forces qui sollicitent le traîneau.

Mettant dans cette équation, pour W, la valeur trouvée en dernier lieu^ et observant que P = 1 %, P' = Wg, on en déduira immédiatement

pour calculer le temps T' dont il s’agit ; ce qui donnera facilement aussi l'espace décrit, par le traîneau, pendant cette dernière période du mouvement, qui sera uniformément retardé (864).

568. Autre question sur ce sujet. Supposons maintenant que le poids P’, au lieu d’être entièrement libre dans sa chute, soit contraint de prendre, à chaque instant, la vitesse horizontale, V, dont le traîneau est successivement animé ; circonstance qui se réaliserait , par exemple, si la masse M'. on tombant de la hauteur H', était dirigée par une tige verticale formant

système avec le traîneau , et dont Fextrémité supérieure aurait été le point de départ de la chute : dans ce cas , il n’y aurait plus lieu évidemment à s’occuper des réactions horizontales produites par le frottement sur la surface supérieure du traîneau. D’ailleurs , le poids P', perdant ici encore, à l’instant du choc , toute la vitesse verticale , Y', qu’il avait acquise dans sa chute, il en résultera, sur la surface d’appui du traîneau, un frottement , /M' ; qui , d’après le principe établi à la fin du N° o5(L détruira,

dans la masse M -f- M' de ce traîneau et de ce poids censé faire corps avec lui, une quantité de mouvement toujours mesurée par l’expression /MT; et, comme celle que le système possédait avant le choc, dans le sens horizontal , était (M + M'). V, la quantité de mouvement qui subsistera ensuite , aura pour valeur (M -j- M') V — /MT'. Nommant donc W la vitesse commune aux deux corps , à ce dernier instant , on aura , pour la calculer, la formule

W(M+M')=(M+M')V— fWT ou W =Y— g ç ^? V'*

très-différente de celles auxquelles on est arrivé dans le numéro qui précède.

Les corps possédaient . avant le choc , la force vive horizontale et commune (M -f- M') Y 2 , celles qu’ils possèdent maintenant est (M+ M') W; donc la perte de force vive , dans le sens horizontal dont il s agit , est mesurée par l’expression

(M + M') Y- — (M -h M'j W' 2 = (M -f M'} (Y 2 — W 2 ), où il ne s’agira plus que de substituer, à W, la valeur obtenue ci-dessus, et dont la moitié exprimera toujours le travail consommé , par le frottement, pendant le choc ; la moitié de la force vive MY' 2 , exprimant, dun autre côté (162) , celle qui est absorbée dans le sens de la réaction normale

des masses M et M'. .

Ces calculs , comme on voit , supposent encore que le choc finisse a l’instant même de la plus grande compression des deux corps, et que leurs poids et la force horizontale Q. qui les sollicite, soient négligeables vis -avis des efforts de réaction , F, développés pendant le choc ; mais évidemment cela ne serait plus permis , si le choc était très-doux , ou les corps très- compressibles , car alors il deviendrait nécessaire, comme on la plusieurs fois remarqué, d’avoir égard à la loi même de cette compiessibiiilé , pour arriver au résultat final. Quant au cas d une élasticité plus * au moins parfaite , il suffira de connaître la vitesse ou la hauteur du rejail issement du poids P', pour être en état de calculer le surcroît de peite force vive qui en résulte : «Y', par exemple , étant la vitesse ne ce re .! al lissement, /MT' -j- fnWY' sera évidemment (157) , toujours d apres ie principe du N° 550 , la somme des quantités de mouvement horizontales , détruites pendant la réaction mutuelle des deux masses M et M ; de s qu’on aurait ici la nouvelle relation :

W(M + M')=(M+M')V-/’(1+«)M'T, ou W = Y—

pour calculer la valeur de la vitesse . après le choc , qu’il conviendra de substituer à l’ancienne . dans l’expression de la perte de force vive T ■ . <Y- — W-). Cette vitesse étant moindre que celle trouvée en P remie ^ , £ on voit que la perte de force vive sera aussi plus grande , confoime ce quia déjà été remarqué à la fin du N° 550. . i

Pour le second choc , on procéderait comme pour le premier ^ de mite. Mais l’expérience démontre que, dans les cas ordinaires ,

DES RESISTANCES

BBS

corps ne peuvent éprouver de flexions transversales sensibles la hautpnr et, par conséquent la vitesse, n\\ du rejaillissement, sont toujours . eë effet, des fractions tres-petites de celles qui ont produit le choc - de sorte que le mouvement vertical du corps P' est promptement éteint.

.hnH H arforn Innf S>o J — .1 * ? *

fluence de la force horizontale O . et à la diminution du poids P', sans éprouver, de la part de la tige directrice, un certain effort de réaction horizontale , q, et, par suite, un frottement vertical , qui a dû ralentir la vitesse de chute de la hauteur H'. Nommant/-' le coefficient de ce frottement c 1 accélération de mouvement reçue par le système du traîneau et de la tige , pendant le temps infiniment petit t, l’effort horizontal q. dont

il s’agit , sera évidemment (150) mesuré par M' — = — — , tandis nue

l’effort vertical, dû au glissement , le sera par /Yf — = le

premier s’ajoutera à la force d’inertie ~ du traîneau et de

son contrepoids O ; le second s ajoutera à la pression P, occasionnée par son poids propre , et fera naître un excès de frottement mesuré par la

fraction / de f — — ou //' — — ; enfin, le premier de ces efforts dé- 9 1 9 *

ti’uira . dans le traîneau, pendant une fraction quelconque, T, de la durée de la chute du poids P . une quantité de mouvement précisément égale à celle que ce poids a reçue de la tige ou du traîneau tandis que le second détruira , toujours dans le sens horizontal . une autre quantité de mouvement qui sera à la précédente , dans le rapport de 9 \ ff q , etc. Quelle que soit d’ailleurs la complication apparente de ces effets , il sera toujours possible et même facile , de calculer les circonstances des mouvements simultanés, de descente du poids P' et de progression horizontale du traîneau, qui n’en^ continueront pas moins d’être uniformément accélérés.

En effet. Y, étant la vitesse horizontale de tout le système à l’instant où le poids P' vient à être lâché de la hauteur entière H'; E l’espace horizontal décrit par le traîneau, pendant que P' descend de la hauteur quelconque,

H, relative au temps T ; q =— - l’effort de réaction horizontal, et f’ — -

le frottement, ou l’effort de réaction vertical, éprouvés par la tige directrice de la part du poids P', dont, je le suppose, la vitesse Y' prend raccélération de mouvement v , pendant l’élément de temps infiniment petit <, les équations du mouvement instantané , ou pendant la durée de t , seront , d’après ce qui vient d’être indiqué : l°pour le traîneau,

1 ~-=0-rP-ff q =Q-fP-ffyj,

2° pour le poids P',

ce qui donne immédiatement * 5^(0 -

= const* A .

= const e A',

MECANIQUE industrielle. v

et. par conséquent (107 et suiv,),

' V = AT + y t , V' = A'T, V 3 = ME — V\ , Y' 3 = 2AH, pour calculer toutes les circonstances des deux mouvements uniformément accélérés dont il, s’agit, pendant la durée entière de la descente du poidsP' de la hauteur H ou H', d’où l’on déduira aisément ensuite, celles qui se rapportent au choc subséquent de ce poids et du traîneau (568).

D’ailleurs, ces équations ne tiennent point compte des résistances qui peuvent être inhérentes au mouvement du contrepoids moteur Q ; nous avons voulu seulement ici donner une idée de la manière dont on doit avoir égard , en général , au frottement qui se développe pendant la réaction lente ou brusque des corps en mouvement (I).

370. Principe concernant les effets du frottement pendant le choc. Revenant maintenant à nos premières considérations , nous ferons remarquer que, dans les instants qui précèdent celui où le poids P' vient à être lâché du sommet de sa tige directrice, il pèse sur le traîneau, et y produit un excès de frottement mesuré par fY ; qu’il pèse également, sur ce traîneau , à partir de l’instant où il le choque ; qu’enfin il cesse entièrement de peser sur lui pendant sa descente de la hauteur H' de la tige dont le frottement fq peut ici , être négligé , circonstance d’où il résulte qu’en supposant ce traîneau sollicité par l’effort horizontal et constant Q. qui lui donne (565) un mouvement uniformément accéléré, ce mouvement s’accélérera bien plus rapidement encore pendant la descente dont il s’agit; qu’en un mot, te système aura gagné, par cette seule cause, une quantité de mouvement relative à l’énergie de la pression qu’aurait produite le poids P' , et qui sera évidemment mesurée par la quantité fP'T = fM'gT , T représentant ici la durée entière de la chute H'. Mais jrT est précisément égal ( 117 ) à la vitesse Y , acquise librement, par M', au bas de cette chute; donc la quantité de mouvement f P'T, est aussi égale à celle /M'Y', qui est ensuite détruite pendant le choc (567), et. par conséquent, à la fin de ce choc, la vitesse du traîneau se retrouvera être précisément la même que si le poids P' n’eût pas quitté le sommet de la tige, où il était primitivement soutenu.

(i) Dans un mémoire intitulé : Formules relatives aux effets du tir sur les différentes parties de l’affût, mémoire imprimé , en 1823, par les ordres de M. le ministre de la guerre , et dont une nouvelle édition vient de paraître, M. Poisson a, le premier je crois, offert uu exemple , un peu étendu, de la manière dont on doit appliquer le calcul à ces sortes de questions. La méthode de cet illustre géomètre consiste à exprimer, d après le principe de d’Aalembert, les conditions de l’équilibre entre les quantitésfinies de mouvement, perdues ou gagnées par les différents corps du système, et considérées comme autant de forces de percussion comprenant celles que les frottements détruisent au point où s opère la réaction mutuelle de ces mêmes corps J’ai fait voir ensuite , dans la lithographie du Cours de Méca nique de l’École d’application de Metz (édition de 1826), qu’on pouvait arriver aux équ’ tions fournies par ce principe, ainsi qu’à l’expression des pertes de force vive, qui ne so données que d’une manière fort indirecte par le principe de Carnot , au moyen de la consi ration des pressions ou forces motrices variables , développées pendant la durée mêm choc des corps, et j’en avais immédiatement offert nue série d’applications aux chocs

marteaux, des pilons et des systèmes de rouages qui entrent dans la composition des mac

Depuis lors, MM. Cauchy, Navier, Coriolis et Duhamel, dans des ouvrages ou méni bien connus et justement appréciés, sont revenus, à leur tour, sur ces questions, pa ^ marche analytique qui leur est propre, mais qui n’ajoute rien, ce me semble, du 1 * ^

quant au fond, aux résultats que j’avais moi-même obtenus par des considérations

autre espèce.

DES RÉSISTANCES. 8â3

Au surplus, quelles que soient la vitesse horizontale et la vitesse verticale acquises par le traîneau et par le poids P', à la fin de la chute de celui-ci la quantité de mouvement qui, en vertu du frottement, sera détruite, dans le sens horizontal , pendant Pacte du choc , n’en sera pas moins toujours égale à celle qui aura été reçue par le système, en raison de la diminution de pression survenue pendant la descente de P' ; car les raisonnements , établis ( 568 ) pour le cas où il n’y a pas de frottement exercé le long de la tige directrice , demeurent exactement applicables, par exemple, à celui ( 509 ) où il en existe; de sorte que, malgré ce frottement . la vitesse du traîneau, après les instants qui succèdent au choc , n’en sera pas moins précisément telle qu’elle eût été si le poids P' fût demeuré au sommet de la tige.

57 1. V érification de ce principe par V expérience, et réflexions générales à ce sujet. Une expérience dans laquelle se trouveraient vérifiées , à posteriori , les conséquences auxquelles on vient de parvenir en dernier lieu, serait très-propre à prouver que le frottement suit, pendant le choc des corps , les mêmes lois de proportionnalité à la pression et d’indépendance de là vitesse, que dans le cas des pressions et des mouvements ordinaires. Or tel est , en effet, à très-peu près , la manière dont M Morin a procédé et raisonné dans les expériences déjà citées au N° 548;seulement le poids P', au lieu d’être contraint de suivre , dans sa descente de la hauteur H', la tige verticale dont il a été parlé, tombait librement de cette hauteur, à laquelle il était primitivement soutenu. Mais, comme la vitesse horizontale dont il était animé aux instants qui précédaient sa chute, lui était commune avec le traîneau; comme nulle autre cause , si ce n’est la résistance insensible de l’air, ne venait modifier cette vitesse horizontale; comme, enfin, l’accélération de mouvement, que l’effort moteur ou le contrepoids O, pouvait communiquer au traîneau pendant la durée fort courte de la descente du poids P', se trouvait être, à cause de la petitesse même de ce poids vis-àvis du sien propre et de celui de O, une fraction négligeable de la vitesse commune dont il s’agit, il en résulte que ies choses se sont, à très-peu près, passées, pendant le choc, comme si ie poids P’ fût, dans sa chute, demeuré constamment uni au traîneau, ainsi que nous l’avons supposé dans les derniers articles, afin d’éviter l’emploi de principes étrangers à cette première partie de la Mécanique , et relatifs à la conservation du mouvement horizontal du poidsP' , pendant sa descente en ligne courbe, de la hauteur H'.

Ce qui se passerait dans le cas d’un traîneau , dont l’intérieur serait occupé par des hommes qui agiraient en vertu de secousses verticales impri mées à leur corps, ou à des corps étrangers qu’ils laisseraient retomber après les avoir élevés ou lancés à une certaine hauteur , de telles circonstances, disons-nous, offriraient un autre exemple, très-familier, des effets de compensation qui viennent de nous occuper ; car , sans qu’il soit nécessaire de se livrer à un nouvel examen de la question , on peut , à l’avance, affirmer qu’après chacune des alternatives d’actions ou secousses dont il s’agit, le mouvement du système du traîneau et de ce qu’il porte, se retrouvera précisément être le même que si ces secousses n’eussent pas eu lieu, ou que les corps fussent restés dans un état de repos relatif, pourvu néanmoins que l’on fasse abstraction de la légère influence occasionnée par l’accélération ou le retard que pourrait recevoir le mouvement du système , pendant ces mêmes secousses ou alternatives d’action.

La vitesse horizontale du traîneau ne faisant ainsi qu’osciller entre ses limites extrêmes, et ce qui précède pouvant tout aussi bien s’appliquer au frottement sur les essieux des voitures ordinaires, qu’à celui du glissement rectiligne des traîneaux, sur le sol, on est conduit à admettre éga-

lement que les pertes de travail ou de force vive, occasionnées, par les frottements , dans de pareilles circonstances , seront telles , à très-peu près , qu’elles eussent été dans l'absence de tous chocs ; de sorte que, sous ce point de vue , les ressorts de suspension , qui permettent à la charge des oscillations verticales ou alternatives d’action, semblables à celles dont il vient d’être parlé , ne sembleraient offrir aucun avantage particulier sous le rapport de la diminution du tirage. Mais on doit considérer , 1° qu’ici les secousses proviennent de causes étrangères à cette charge’ et notamment des obstacles solides dont les routes sont presque toujours parsemées, 2° que nos raisonnements, dans les précédents articles, supposent que les pressions, développées pendant le choc, ne soient ni assez vives ni assez intenses , pour que la loi de proportionnalité du frottement à ces pressions , cesse d’être observée , ou pour que la constitution des surfaces en contact, soit altéiée d’une manière notale. Les avantages bien constatés de la suspension des voitures sur ressorts, dans le cas de cahots sur des routes mal pavées, l’accroissement progressif delà résistance moyenne avec la vitesse du mouvement qui s’observe alors (2 15), prouvent assez que les effets de ces chocs et les circonstances de ce mouvement, sont complètement modifiés, comme le sont elles-mêmes les lois du frottement. sous de grandes vitesses et pressions.