Ri
Nota. Les nombres soulignés concernent des vitesses très-voisines de celles queM. Ru sse ‘ attribue , dans chaque cas (3g4) , à la grande onde.
420. Observations particulières relatives aux données de ce tableau. n’avons point inscrit, dans le précédent tableau, les nombres fourni P, celles des expériences de M. Russell, qui ont et
ucdu, les iiutiifji " t concerné de très-faibles ou
de
DES RESISTANCES
périences qui, ayant trait à des profondeurs moyennes d’immersion no»vaient offrir des suites régulières et suffisamment étendues pour accuser une loi dans la résistance. Les expériences relatives aux bateaux se Houston et le Raith, n’ayant pas d’ailleurs ce caractère, du moins au même de.«ré que celles qui ont concerné Y Esquif, le Bateau-Onde, et ie Dirfeton, nom les avons passées sous silence . afin de ne pas trop allonger le tableau et multiplier inutilement les calculs.
Quant aux données fournies par les expériences de M. Maeneiîi. elles sont, ici rapportées d’une manière à peu près complète, d’après l’extrait des tables que M. Minard a traduites en mesures françaises et publiées à la page 129 (2 e semestre 1834) des Annales des ponts et chaussées. Seulement il nous a paru utile de substituer, dans quelques cas. des moyennes aux
malles assez fortes pour masquer la loi delà résistance, et pour qu’il devînt permis d’en rejeter la cause sur les erreurs mêmes de i’ôbservaffon. En général, dans les expériences de M. Maeneiîi, comme dans celles de M. Russell, ces anomalies, dans les résultats partiels relatifs à une même vitesse, sont telles que leurs différences avec la valeur moyenne de la résistance, surpassent souvent le \ et même le f de cette moyenne; ce qui peut être attribué non moins au mode particulier d'expérimentation’ qu’aux circonstances physiques déjà signalées aux N os 394 et suivants.
Dans les expériences sur le bateau modèle, entreprises par M. Maeneiîi, dans la galerie nationale des sciences pratiques à Londres , le tirage horizontal s’est effectué au moyen de cordes mises eu mouvement par une machine à contre -poids; il en esta peu près ainsi des expériences en grand, de M. Russell, sur ie Bateau-Onde et le Dirleton; mais peut-être, le dispositif, en lui-même fort ingénieux, employé dans ce dernier cas, et qui a quelque analogie avec celui de la machine à contre-poids et à disques tournants de l’italien Mathei, pour mesurer la vitesse initiale des projectiles, n’offrait-il pas toutes les chances de précision désirables, sous le rapport de 1 uniformité du mouvement et de l’appréciation de la résistance. Enfin, dans les autres expériences de ces ingénieurs, ie haiage des bateaux s’est opéré directement, au moyen de chevaux dont l’irrégularité d’action présente ici des inconvénients” d’autant plus graves, que la résistance change très-rapidement avec la vitesse.
421 . Principales conséquences et réflexions critiques sur V emploi dee bateaux rapides et la loi de leur résistance. Les incertitudes et les contradictions qui viennent d'être signalées dans le résultat des expériences, ne permettent pasde tirer des conclusions positives reiativementà la ku mathématique de la résistance des bateaux rapides et aux avantages qui doivent être atlribués, je ne dis passons le rapport industriel et commercial, niais sous cesisi de ia diminution même de la résistance , à l’usage exclusif d une grande vitesse. Que , dans la vue d’augmenter le tirant d’eau , ia charge «trie , on réduise à comme on le fait généralement , on même a iS
rapport de Sa largeur à ia longueur du bateau ; on ne voit la rien que de très -avantageux surtout pour les canaux étroits (418) ; car 1 accroissement de frottement dû à un pareil allongement oe la caréné ne saurai, compenser, du moins entre certaines limites 1 avantage inaeren. a diminution de sa section. Que, dans la vue de diminuer Ses frais du hala Par les chevaux, on fasse remorquer les bateaux par fes locomo^. établies sur chemin de fer, comme on fa récemment tente pour l i des biefs du canal deFortb et Ciyde, en Angleterre, un J -^encore, .ma de très naturel
la
es
un
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ireLCteantà ta*» des grandes vites^es ^nsidéré en iui- . nnut nous sommes ait mues aux vi
-fortes charges et tirants d’eau ; nous
même , il est certain qu’il entraîne un accroissement énorme de la rési tance et de la fatigue des chevaux, ainsi que l’avait appris le résultat de' plus anciennes expériences.
L’ensemble des nombres consignés au tableau ci-dessus, montre en effet, que, pour des vitesses qui n’excèdent pas 2 m par seconde , dans les expériences en grand de M. Macneill, et 2“, 50 à 2 m , 80 dans celles *de M. Russell, la résistance est, à peu près, telle qu’on la conclurait de la loi ordinaire, mais qu’à partir de ces vitesses respectives, qui répondent à celle du trot ordinaire des chevaux, jusqu’à la vitesse de 5 m à 5 m ,4Q, qui est à très-peu près celle du grand trot, la résistance croît d’une manière fort irrégulière, et comparativement très-rapide, surtout dans les expériences de M. Russell, où elle surpasse, pour quelques cas, le double de celle que fournirait la loi du quarré de la vitesse ; qu’enfin si, à partir de ce point dont, suivant ce dernier ingénieur, la vitesse différait peu de celle de fonde solitaire, la résistance suit comparativement une marche décroissante, il s’en faut de beaucoup qu’elle descende au-dessous de la résistance assignée par la loi dont il s’agit, de quantités aussi notables qu’on semblait l’espérer et l’annoncer d’abord. Car, si les résultats obtenus par M. Macneill et quelques-uns de ceux qui l’ont été par M. Russell, indiquent qu’à la vitesse de 4 m ,5 à 5 m par seconde , qui est à peu près la limite de celle qu’on puisse ici espérer des chevaux, la résistance se trouve réduite aux 0,66 moyennement, de celle qui aurait lieu d’après la loi du quarré des vitesses, tous les autres résultats des expériences du dernier de ces ingénieurs, montrent que cette réduction, quand elle existe, est tout à fait insignifiante, sans compter que le chiffre des premières est fort contestable, et serait remplacé, avec plus de chance d’exactitude , par la fraction 0,72 ou 0,73, attendu (419) qu’il répond, dans le tableau, à des séries de valeurs de N, dont celles qui concernent les plus faibles vitesses, sont moyennement de 0,1 au moins, au-dessous de l’unité.
Concluons de cette discussion , que si les phénomènes présentés par les bateaux-poste sont, en eux-mêmes* et sous le point de vue scientifique, di gnes de l’attention la plus sérieuse, il s’en faut qu’ils offrent, sous le rapport des réductions comparatives de la résistance à de grandes vitesses, et abstraction faite des avantages inhérents à la forme, aux dimensions mêmes des bateaux , le degré d’intérêt et d’importance industrielle qu’on a voulu leur accorder dans ces dernières années ; et , pour tout dire en un mot , la seule conséquence positive qu’il soit permis de tirer, quant a présent, du résultat des expériences anglaises, c’est que . s’il devient avantageux , pécuniairement parlant, de marcher rapidement dans certaines circonstances, il convient de faire prendre aux bateaux une allure assez vive pour ne pas tomber dans des vitesses trop voisines , en dessous , ne celles pour lesquelles Fonde solitaire tend à se former et à se maintenir avec régularité.
422. Expériences de M. Morin sur les bateaux prismatiques , avec proue et poupe pyramidales raccordées cylindriquement (fig. 69 et 70). L US à& C®5 bateaux , dont la forme était généralement celle des bateaux d'équipages de ponts militaires, a reçu diverses rallonges qui ont permis d’étudier i influence particulière de la longueur sur la résistance. Us ont tous été mis en mouvement dans un fossé de la fortification de Metz , ayant l m de P r0 ' fondeur d’eau moyenne et 50 m de largeur, tandis que la largeur des j- ateaU a seulement varié entre G m ,7 et 4”, 7. Les phénomènes observés dans circonstances particulières , ont été analogues à ceux que nous avons oej décrits d’après M. J. Russell , si ce n’est que le pan coupé en dessous, i’avant des bateaux , donnait ici lieu à deux gerbes latérales qui ten j > es “ à augmenter l’évidement , la dépression sur les côtés de la proue e
DES RÉSISTANCES
longues faces qui s'y raccordent. La vitesse a été imprimée à ces mêmes bateaux , tantôt au moyen d’une machine à contre-poids , tantôt à Se de chevaux dont l'allure irrégulière , jointe aux inconvénients inhérents à 1 obliquue dv la proue (o9o) , était très-défavorable au succès des expériences. Aussi ne doit-on pas être surpris des incertitudes offertes par les résultats , et de la bizarrerie des lois qu’ils suivent.
En prenant pour abscisses les vitesses et pour ordonnées les résistances correspondantes , mesurées directement dans chaque cas , M. Morin ,
caves , sans cependant donner lieu à un sommet ou maximum d’ordonnées. Les ordonnées continuent , en effet, à croître , comme dans toute la partie des courbes voisines du point d’inflexion , avec une rapidité variable d’une sérié d expériences à l’autre et sans relation nécessaire ou apparente avec
geur, et que son. augmentation ait donné lieu à une diminution sensible de 1 inclinaison et de l’étendue de surface exposée à l’action de l’eau.
i.l. Morin ayant relevé , avec beaucoup de soin et par des moyens suffîsamment précis , 1 inclinaison dont il s’agit, la profondeur d’immersion effective sons chaque vitesse et l’aire de la section transversale correspondante, a pu, dans les nombreux tableaux qui accompagnent son Mémoire, calculer le rapport de la résistance effective au produit de cette aire par le quarré de la vitesse; mais les résultats n’en ont pas offert, pour cela , une loi plus régulière , plus facile à représenter par une formule , que si l’on se fût borné à prendre, pour Faire transversale immergée , celle que l’on considère ordinairement, et qui , étant relative à l’état de repos, est beaucoup plus facile à mesurer. Cette dernière aire se trouvant soigneusement indiquée dans les tableaux , sa connaissance permettrait de calculer une
yî
nouvelle table des valeurs du coefficient k, de la formule R. = kpA y— ;
mais , a cause des incertitudes attachées aux résultats , nous nous contenterons de remarquer: 4° que, pour les différentes formes de bateaux soumis à l’expérience , avec ou sans rallonges , les valeurs de k ont généralement peu différé de 0.20 pour les plus petites vitesses , comprises entre l m ,20 et l m ,50 par seconde ; chiffre notablement moindre que celui auquel on serait conduit (416) par le résultat des expériences de Bossu! : 2° que les plus grandes valeurs de k ont eu lieu pour des vitesses comprises entre 2 m ,6 et 5 m ,0 , et se sont élevées jusqu’à 1,15 pour les bateaux d’équipages de ponts , et à 0,93 moyennement pour les autres , avec ou sans rallonges, ces mêmes valeurs paraissant généralement croître d’ailleurs , avec la profondeur d’immersion; 5° enfin que, pour les vitesses de 4 à 8“ par seconde, le coefficient dont il s’agit peut descendre jusqu’à la valeur 0,3 ou 0,6 dans les cas les plus favorables , et demeure ainsi toujours supérieur, de beaucoup , à celui qui convient aux plus faibles vitesses.
425. Expériences du même , sur le bateau-poste de Pans a Meaux. Ce bateau, en forte tôle , et qui offre une forme et des proportions analogues à celles (Fig. 57 et 58) des bateaux qui naviguent sur le canal de Paisley en Ecosse , à 1™,86 de largeur, 0 œ ,74 de profondeur et 22”, 7 de longueur; il peut porter jusqu’à 80 ou 85 personnes , y compris l’équipage, et marche ordinairement à la vitesse de trois lieues à l’heure, traîné par trois chevaux dont le reiai est d’environ 3.800 mètres. Les expériences ont eu lieu aller-
nativement sur le canal de l’Ourcq et !e canal de Saint-Denis , dont le premier offrait une section beaucoup plus faible que le second, réunie à une pente qui donnait aux eaux une vitesse de 0 :n .'25 à ü m ,3 par seconde : ce qui n’a pas empêché que la résistance, à vitesse relative égale , n’ait été plus grande dans le dernier canal et pour les circonstances où le placement du bateau , au sommet de l’onde , rendait sa marche fa plus convenable. Celte vitesse s’écartait elle-même assez peu de 4 m ,3 par seconde à la descente , et de 5 m .8 à la remonte : au-dessous de ces limites respectives, le bateau était soulevé à l’avant; il s’inclinait par suite de sa tendance à marcher derrière Fonde , et la résistance passait souvent du simple au double . comme dans les expériences de M. J. Russell mais , à l'inverse de ce qui a été avancé par cet ingénieur, avec de l’adresse et de la persévérance , on a pu souvent faire remonter le bateau sur le sommet de Fonde, et l’obstacle n’est point infranchissable comme il le prétend.
D’ailleurs les vitesses les plus convenables dont il vient d’être parlé , sont sensiblement moindres que celles qui , d’après la règle de M. Russell (594), correspondent à la raoilié de la profondeur du canal aux divers points (ici 1“,3 et 2 m ) , et M. Morin, en remarquant, d’après le résultat de ses propres expériences , que Fonde peut être formée à des vitesses beaucoup moindres, dépendantes uniquement de celles du bateau, explique la difficulté de ia marche , à ces dernières vitesses , par l’allure indécise deà chevaux qui sont alors contraints de cheminer au petit trot. Quant à nous, qui n’admettons pas non plus la règle de M. Russell, il nous semble à peu près évident (397) , que la disparition des ondes accessoires , la formation de Fonde calme , solitaire , ont lieu à une vitesse constante et sensiblement indépendante de ia forme et des dimensions du canal. La remorque régulière à S’aide de machines à vapeur, mettra , sans doute , bientôt à même de décider ia question d’une manière plus positive.
En attendant, voici les moyennes des résultats obtenus , par M. Morin, pour ia marche ia plus avantageuse du bateau au sommet de l’onde ;
Canal de l’Ourcq. . R = 10,34 A (Y ± ®) 2kii °g, k = 0,207.
Canal de S‘-Denis. R = 13,89 AV^iiog, k = 0,271.
y v représentant ici (582) , pour le canal de i’Oureq , ia vitesse à la remonte , et Y — v à la descente , A , en général , Faire de la plus grande section immergée au repos , enfin k le coefficient de la formule R = kpAh (page 578). , t
‘ Le rapprochement de ces résultats avec ceux du précédent numéro et du N° 417, qui concernaient les faibles vitesses de bateaux offrant une forme à peu près aussi avantageuse que celles des bateaux-poste , semble permettre de conclure que , même sous de très-grandes vitesses , et précisément pour celtes qui rendent la marche la plus facile . ia résistance n est ni plus ni moins forte que ne [indiquent les anciennes formules et 1 ancienne théorie. Ainsi , les conséquences offertes par le résultat des expériences de M. Morin, restent à peu près les mêmes que pour les j expériences anglaises (421). Quant aux développements dans lesquels nous sommes entrés . iis trouvent leur excuse dans l'importance et la nouveauté du sujet-
Résistance des corps anguleux ou arrondis . de diverses formes , mus dans un
fluide indéfini.
424. Résultat des anciennes expériences sur la résistance comparée de ces
corps. Borda , Htillon et Yince ont entrepris des expériences dans .a j“ de découvrir spécialement l’influence de la forme de différents corps p ie oa sortes de proues et poupes isolées , tels que prismes ou coins triMS ' lames à faces planes et courbes, cônes droits ou circulaires, deim-cyunm ?
- ( 9"° (Borda) füo° (Ici.)
rapport de la résistance :
faces p !a -- » «*. de.. b ase :
ian,u.aire, 1 aog.e au sommet étant de
Du coin triangulaire à faces courbes, à cet!., de sa h»
Du demi-cylindre à base elliptique à celle de. ba e (B ° rda >* ' W
t» 1 • ^ 1 uue Le sa ka&e rectangulaire (g )rf j
U demi-cylindre circulaire à celle de sa base rectangulaire (Borda) ‘ ' * °f ‘
». I. * =„,e J. i, , pMre (Bord , ' • ÎS
ii-sphère à celle de son plan diamétral : ffXT. ^ °jf
( Vinee ’ “’l'j
42a. Observations diverses
Oe la
- , , ses sur ces résultats. Oïl doit vewrettor ,
SS^mT es P èce f n ’ aieBt P° iDt été co m pÆdÆ? n TàSiS
? e P‘ auS ‘ n ‘Bces, de meme forme et surface, que les hases des
Sïrt.v‘f eaU ’ car - el! f? eussent mis à même d’apprécier l’influence hon l fl o des p0upes IS0lees ‘ Ï0llt ce qu’il est permis de conclure de madie'i-'e? U6S ré ! ultats 0fltenos P ar Hutton, dans des circonstances qui id“Dt i -^' ieuSe - ta * n t " p e P euvent P as être considérées comme absolument ± n j f e ?’ c e f <I ue la première de ces résistances , celle des plans m!?ces al,; généralement trouvée un peu moindre que la seconde . celle des dV v/ ? S aceo “P a 8 Qés , de iears Poupes , et cela dans une proportion nl „ r P US sens,ble q« e 13 saillie d « cette poupe eût , elle-même, été p.Jb ^.ande par rapport aux dimensions transversales de sa base. C’est 7 ’ P ar exemple, que, pour les bases de l’hémisphère et du cône soumis t expenence par Hutton , la résistance , dans Pair, et sous des vitesse* muf/. 3 4 ' n ’ asur P assé de °i OÎ el; °: 02 environ , de sa valeur, celle du plan
w. t, A jv “ ^ F vi.vbwo v.. uv 1 u wi m UK îdppunees au
a ; ( après M. 1 e colonel Bueherain, pour le cas des prismes, lorsque, aans la vue de découvrir spécialement la part d’influence due à la saillie & une poupe adaptée à un pian mu perpendiculairement dans un Suide ! n repos , on a le soin^le prendre cette saillie pour la valeur de L dans la formule.
Cm peut aussi remarquer , avec cet officier supérieur , que les nombres operts par les résultats des expériences de Borda et de Hutton, sur la distance des prismes triangulaires et des cônes , suivent , à très-peu Près, la loi du sinus des demi-angles aux sommets ou des angles d’incieiîce , à cela près encore de i’infiuence particulière et ici très-faible , due
og 2 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
à rallongement même de chacun des corps. Ces différentes circonstances, jointes à ce que le rapport des résistances doit, d après les observations du N° 401 . rester à peu près le même dans ie mouvement rectiligne et le mouvement circulaire , permettraient de déterminer, parle calcul, l a résistance absolue des corps indiqués au tableau ci-dessus, si celle des p} aas minces était exactement connue. Prenant , par exemple , avec M Duchemin (414) , k = 1,254 pour les coefficients des plans minces, miis directement dans l’air ou dans l’eau, celui de la sphère entière serait moyennement (424). 0,407.1,01.1,234= 0,41 1.1,234 = 0,316; ce qui s’écarte peu de la valeur la plus probable de ce coefficient, comme on le verra bientôt. La résistance du cylindre circonscrit à la sphère, serait, dans ces mêmes hypothèses , f- 0,316 = 4,29 à très-peu près.
426. Résultats des anciennes expériences relatives aux spneres. 11 convient
toujours de distinguer entre eux les résultats des expériences qui ont concerné le mouvement circulaire elle mouvement rectiligne.
Expériences de Borda et de Hutton , relatives au 'mouvement circulaire. Pour des sohères de 4 à 6p« de diam’ètre , mues circulairement dans l’air ou dans l’eau , à l’extrémité d’un volant dont le rayon différait peu de l m 50 Borda et Hutton ont trouvé , sous des vitesses médiocres ,
’ ’ R = k P AH et k = 0,56 , k = 0,394 ,
respectivement. Hutton prend exactement k = 0,60, pour les vitesses de 2 mètres par seconde , dans l’air , et il fait remarquer que la résistance doit être augmentée de \ environ. Quand on pas^e u une spnère cie 0 i-l de diamètre à une autre de 0 m ,l62; circonstance qu’il faut toujours attribuer (391) à la nature particulière du mouvement (1) ; car, dans d’autres expériences relatives au mouvement rectiligne de sphères ou projectiles dont les diamètres ont varié entre 2,00 et 3,53 pouces anglais , les valeurs de k n’ont elles-mêmes , varié que de à T V sous des vitesses ue obü a
3iû m par seconde. .
Anciennes expériences de Désaguilhers et de Newton sur la cku.e verticale
de globes dans fair et dam l’eau (2). Le résultat de ces expériences, où le mouvement était varié, a été soumis au calcul, par Duboat, en ayant égard (580 et 582) à l’influence de la proue et de la poupe fluides (Principes d’hydrauliaue , 5» partie , art. 528 , 550 et 562). Pour les expériences entreprises par Newton seul, sur la chute verticale, dans l’eau, cie ornei-ents globes de 6 à 13Ug de diamètre, la valeur de* a varie depuis 0 157 jusqu’à 0,60 . même en rejetant les expériences anomales, et ton avait moyennement k — 0,525 pour des vitesses inférieures à 0 m 8, par seconde: néanmoins Dubuat admet, d’après le résultat de ses vues tne riques et expérimentales, la valeur k = 0,50, qui se rapproche beaucoiq de la moyenne des résultats fournis par d’autres expériences de Desagu. tiers , aidé de Newton , sur la chute , dans l’air , de globes de 5p° envu
(i) Pour le cas des sphères, la formule de la note du N° 399, devient, d après Duchemin ,
le
dans laquelle r désigne le rayon de la sphère, l la distance de son centre à nombre 3,i4i6, k le coefficient de la résistance dans le mouvement rectiligne , q ae a suppose ici égal à 2/5 1,28 ou aux 0,4 de celui dn cylindre circonscrit à la sphere d’après les données d’une théorie particulière de la résistance des corps ronds.
(2) Livre II des Principes mathématiques de la philosophie naturelle.
DES RESISTANCES
de diamètre, expériences pour lesquelles k n’a varié miVntr<- n /«-r 0.816, sous des vitesses finales d’environ 4 m par second? * 0,497 et
Mais ces dernières expériences , exécutées à l’aide de vessie* i peu près sphériques, lors de l’insufflation, présentent beaucon» “~ nes * « ? a«s, et elles sont contredites par le UmitTZ ce i E anleneurement par Newton, snr I, chute verticale, dans l'air dSh2 en verre de meme diamètre expériences qui ont donné , toujours d? près les calculs de Dobuat , *= 0,537 moyennement, sous des vitesses dê 0 a 9 m par seconde. Si une pareille différence , dans les résultats ne de vait pas etre purement rejetée sur ia différence même de forme et Te nature des globes d faudrait nécessairement attribuer l’accroissement du coefficient k dans les dernières expériences, à l’augmentation de la vitesse et aux mcertuuües mnerentesa la détermination de la véritable densité de i air.
Ex -périences de 31. Beaufoy relatives au mouvement rectiliqne uniforme Dans ces expériences, où une sphère de I?* environ de diamètre a été mue horizontalement sous la surface de niveau d’un bassin d’eau on a en d’après les calculs de M. Morin , £ = 0,570 ; mais nous avons déjà fait remarquer (o9o j combien ces expériences offrent d’incertitudes.
AU .Résultats des récentes expériences de MM . Piobert. Morin et Didion Une première série d’expériences, exécutées à Metz, en 1836 . par ces officiers sur des globes de diverses dimensions , mus verticalement dans l’eau avec des vitesses uniformes de 0 m à 3” par seconde, les ont. conduits à représenter la résistance de ces globes par la formule
analogue à celle du 405, et dans laquelle frf désigne la surface frottante ou antérieure de la sphère, et \ud~ l’aire de la section transversale de son grand cercie.
Pour des vitesses au-dessus de 3 m , on pourrait ainsi prendre , à moins de Vo» près . en négligeant le terme relatif au frottement. ,
R = 22 . 0SÏ^V 2 =22,03 AV 2 :
ce qui donne au coefficient de la formule R = £pAH, la valeur 0,452, qui paraîtra bien faible en comparaison des précédentes.
les expériences dont il s’agit ont été étendues d’ailleurs, à des corps de formes très-variées , notamment à des cylindres armés ou non de cônes et d 'hémisphères à leurs parties postérieure et antérieure : les résultats qu’elles offrent s’écartent généralement beaucoup de ceux jusques là obtenus pour des corps de forme analogue. Ainsi , par exemple , la résistance des cylindres circonscriptibles à une sphère et mus suivant leur axe, y a été trouvée plus du quadruple de celle de la sphère inscrite, à vitesse égale ; ee qui conduirait à la valeur k= 1,825 , qu il est impossible d admettre. Ces motifs et ceux qui ont déjà été déduits au A° 405 , pour le cas des surfaces planes, nous déterminent à passer sous silence les résultats dont il s’agit , en attendant les vérifications ultérieures auxquelles MM. Piohert, Morin et Didion ne manqueront pas de les soumettre.
Dans d’autres expériences sur la pénétration de projectiles en fonte, de divers diamètres et densités , au travers d un bassin deau a peu près ‘“défini et parallèlement à sa surface de niveau , ces memes observa eurs ont trouvé que. sous des vitesses initiales de /O a aoO par seconde, et des diamètres d. qui ont varié entre 5 et on parvenait a représenter ,
I e PA1ITIE.
3 g4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
d’une manière suffisamment exacte , les portées ou amplitudes des pénétrations , en prenant pour formule de la résistance
R = 23,06 ~ V 2 =0,432 pAY\
et négligeant d’ailleurs , tant la considération du choc vif qui s’opère à l’entrée des projectiles dans le bassin, aux instants où le régime, la permanence des filets ( 579 ) , ne sont point encore établis, que l’influence des masses liquides (£80 et 582), qui accompagnent le corps dans le surplus de son mouvement (1). D’après cette formule, on aurait donc moyennement, k— 0,432, nombre qui surpasse de très-peu le résultat ci-dessus, relatif aux faibles vitesses.
Ces dernières expériences ont, de plus, donne beu a diverses remarques fort curieuses sur la nature des mouvements excités, soit à la surface, soit à l’intérieur du milieu , dont l’incompressibilité presque parfaite , a, ici, occasionné des effets de réaction très-puissants, sur les parois solides et libres du bassin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis par les projectiles , les auteurs ont trouvé qu’à la vitesse de oOOà 400 m, par seconde, pour les obus creux de 12, et à celle de 230” environ pour les obus de 6po , ils étaient presque tous brisés dans leur cnoc contre le liquide. Enfin ces expériences ont montré clairement l’influence de la masse liquide qui accompagne les projectiles dans leur mouvement, ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la position qu’ils eussent naturellement
(i) M étant la masse et V, îa vitesse initiale du projectile, H' la masse de la proue et de poupe fluides qui l’accompagnent après les premiers instants du choc, calculée comme on l’a dit au No 38 o, TJ enfin la vitesse commune à ces masses à la fin de ce choc, il semble qu’en faisant d’ailleurs abstraction des effets de réaction occasionnés par 1 inertie et 1 élasticité de volume (17 et 18) des masses environnantes, qui, à ces premiers instants , jouent un très-grand rôle, il soit ici permis de supposer que le partage des quantités de moine meut entre M et M', s’opère comme dans le cas de deux corps libres (i 55 et 108), prire» d’élasticité, et qui acquièrent ainsi, vers la fin du choc, une vitesse commune
en vertu de laquelle le mouvement retardé de la masse totale M -j- M , a lieu suivant les 1 ordinaires ( 38 a) , et d’où résulte, d’ailleurs, une perte de force vive initiale mesurée (i6‘ par l’expression
Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant ( 38 o) les o,6 environ
de celui du
projeetile, et la densité de ce dernier étant supposée ( 35 ) 7,2 fois environ celle de 1 >
on aura M ; M' " * 7,2 ; 0,6. 1 et partant
IVTV 3 = — MV 2 i 5
MV 4 i3
de sorte que la perte de force vive serait le 1/13 de la force vive initiale du projectile? vitesse qu’il conserve avec la proue fluide les 12/13 de celle qu’il possédait avant le Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause
1 1 • î f I iêU '
réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui a ' ^
en sens contraire du mouvement , dans le cas où le projectile serait introduit dans le m siormalement à sa surface libre ou de niveau.
DES RÉSISTANCES. s93
atteinte, et, parfois il les faisait dévier latéralement et dans une direc tion presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale , v ers la fin dè leur course. ’ ° 1JU
Lots de la résistance de l’air à de grandes vitesses.
428. Recherches de Robins et de Hutton. Les résultats jusqu’ici exposés pour I air , ne concernent que de médiocres vitesses , comprises depuis 1 jusqu a / ou 8 “, par seconde; mais nous avons averti (389) que la loi de la résistance changeait* d une manière sensible , pour des vitesses beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphériques de l’artillerie. -Robins et, surtout, son continuateur Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de découvrir cette loi. D’après ce dernier auteur, les valeurs du coefficient k de la formule
R = IpAB =
seraient données approximativement , par cette table .-
2Ô m , OOrr
200 m , OOO 13 ,
6oon
I m , 3 m , 5 m , 10™, 20”, Ûo m , ioom,
Hutton a aussi essayé de représenter le résultat de ses expériences par une formule empirique, mais cette formule, de même que les nombres ci-dessus, a été obtenue à l’aide de méthodes d’interpoiafion qui laissent beaucoup à désirer , et dont les résultats ne s’accordent pas exactement avec les effets naturels, surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci. comme l’a remarqué M. Piobert, le coefficient h a principalement été déterminé par les plus faibles des résultats de l’expérience et non jiar leur moyenne, de sorte que l’existence du maximum de k. n’est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (426), que les valeurs de k , indiquées au tableau cidessus, par cela même qu’elles ont été obtenues au moyen d’une machine de rotation , sont sensiblement trop fortes quand il s’agit du mouvement rectiligne. Enfin ces données ne mettent point en mesure de tenir compte de i’influence qui , d’après les expériences assez peu certaines de Hutton (426) , pourrait être due à l’agrandissement du diamètre des projectiles.
Sous ces différents points de vue , et pour l’avantage des personnes qui s’occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MM. Piobert et Duchemin sur cette matière . résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu’ils ont présentés au concours de 1806 , pour le grand prix de mathématiques de l’Académie des sciences.
429. Recherches de M. Piobert. — La discussion approfondie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d’un petit calibre, lancés dans l’air à de grandes vitesses, et par celles de Newton, Désaguilliers , Borda , sur les sphères d’un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, pai la formule
R = 0k,005 A -j- A (1 + 0.0017V) Y' y 0,012 A + 0,00121 , sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité P de l’air, est supposée de ^ 1000 k, ou H, 176 environ V représentant toujours la vitesse par seconde, et- A
la surface d'un grand cercle du projectile, évaluées en mètres linéaires ou carrés.
Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans cette formule, proviendrait essentiellement du frottement ou de l’adhérence du mobile et de l’air; il varierait essentiellement avec la nature de ia subs-
tance et le degré de poli de ce mobile; le facteur {/ 0,912 A -j- 0,00 lâT également indépendant de la vitesse, serait relatif à l’accroissement de ia résistance, par rapport à l'étendue des surfaces frottantes (426) ; enfin le facteur 1 -f- 0,0017 Y devrait, conformément à ce qui a été exposé au K 0 589 , provenir spécialement de l’accroissement de densité subi par le fluide, en avant du boulet.
Nous ne nous permettrons qu’une seule remarque sur cette formule; c’est qu’en y faisant entrer ia considération des résultats de Borda et de Hultoti, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu’elle n’attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible , aux dimensions transversales des projectiles. L’auteur, au surplus, a reconnu, par lui-même, que cette formule donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l’artillerie et les petites vitesses; il pense qu’en attendant la fin des nouveiles expériences entreprises , à Metz, par la commission du tir des bouches à feu , on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage , toutes les fois qu’il s’agira de grandes vitesses initiales.
430. Recherches de M. Duchemin. Cet officier supérieur, qui n’admet nullement, comme on l’a vu (591), l’influence des dimensions absolues des projectiles, est arrivé, à l’aide de considérations fondées en partie sur le raisonnement , en partie sur les données de l’expérience, à ia formulé
applicable également aux projectiles sphériques de l’artillerie, et dans laquelle A-, A, p. Y ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et Y — 413 m ,54 représente la vitesse de rentrée de l’air dans le vide absolu , pour les circonstances atmosphériques ordinaires (note du
589). Mais ce résultat , dans lequel le facteur ^ -1 + porte principalement sur la densité/) de l’air, n’aurait lieu que pour les vitesses Y inférieures à Y'; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre conslant 2. aîîendu que M. Duchemin suppose. avec Robins, Euler. Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître à l’instant dont il s’agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent indiquer, en efiel, qu’aux environs de cette même vitesse Y' = 4!6 m , 54, les valeurs du coefficient A atteignent leur limite supérieure ; mais, en admettant l’existence de cette limite, qui n’est nullement démontrée comme on l’a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de A demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l’hypothèse ae M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifications ultérieures, aussibien que ia formule ci-dessus de M. Piobert,oùlefacteur(l-r-0,001/ V; est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin , expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion ; au ‘
DES RESISTANCES
principalement de MM. Perronnier, Boileau et Virîet , ces expériences
à e fvé O ritable n ioiVleT d0U 1’ diS T r t0Utes les inee! ' îitH des relatives rapides d 3 resistance des P™Jectiles dans les mouvements
Questions concernant lu résistance et le mouvement uniformes des corps dans
Veau et dans l’air.
. Préparation de la formule , calcul de la densité des gaz. Les applications les plus ordinaires des règles du N° 582 concernent l’air et l’eau; il est donc necessaire de déterminer d’abord la valeur de la densité p qui leiu correspond. Nous avons vu (54) que, pour l’eau, on a sensiblement 3BS ^ es cas 9 rdinaires ; quant au poids du mètre cube d’air, il vane (40) avec la température et la pression barométrique, et il devient necessaire de le calculer dans chaque cas particulier , comme il suit.
supposons que la température actuelle de l’air soit de 12° centigrades , et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre mesure la tension de cet air, soit de 75°, ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l’automne et au printemps dans notre climat. Suivant la table du N° 40, la densité ou le poids du mètre cube dair a 0° de température et 76 e de pression est de lk,2991 ; cherchant donc , d après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26) , quel volume occuperait cette même quantité d’air à la pression et à la température ci-dessus , nous en conclurons aisément sa densité , son poids sous l'unité de volume. Supposons d’abord que la pression 0 m ,76 restant la même, la température s’élève à 12°, le volume, à 0°, deviendra (26) , puisqu’ici le gaz est libre de se détendre sous cette pression,
1 me j ,j g x 0 mo , 00573 = T mo -f 0 mc ,043 = i mc ,04o.
Cherchant, de même, ce que ce dernier volume devient à la pression de 0 m ,75 , on aura , d’après la première des lois citées , la proportion
75 e ; 76 e ; ; l me ,Q45 : X = l me ,045 X = l“ c ,059.
Mais ce volume d’air pèse l k ,299i ; donc l m ° d’air pareil pèsera ^ — ■■
==1^,2267 et par conséquent, c’est là aussi la densité de l'air à la température de -12° et sous une pression barométrique de 75 e ; ceile de l’eau étant 3000k, on voit que la première est environ les = 0,001227, ou jts de la seconde, tandis qu’à 0° et sous 76 e de pression elle en est les = tVj à très-peu près, d’après le résultat des pesées rigoureuses de MM. Biot et Àrago.
Ea plupart des auteurs qui se sont occupés de balistique, ont pris la densité moyenne de l’air égale à ^ de celle de l’eau . comme on peut le voir par l’exemple du N° 429; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12 e et 75 e .
En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent , à un certain instant, la température de l’air, et h la hauteur barométrique, en centimètres , qui répond à sa tension, on trouvera, en raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, 90e la densité p. ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité
ou p
formule qui donnera de suite cette densité sans passer par ia série des r ' sonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de calculer la densitéViT autre gaz quelconque, en y remplaçant le poids 1^2991 de l’air à 0° et 76 e de pression , par celui qui , dans la table du N° 40 , répond au gaz dont il s’agit. Il est d’ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5) <i Ue leur quantité est supposée rester la même (18); c’est-à-dire, que cette quantité n’est ni augmentée par la vaporisation d’une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d’une portion même de la vapeur.
D’après ces données, la formule générale du N° 582, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, deviendra pour l’eau ordinaire, V êtant toujours la vitesse relative et H ia hauteur qui lui correspond,
R = -10004 AH = 4 AV 2 — 31 4AV 2 ldlogr. ,
à très peu près. Pour l’air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c’est-à-dire à 12° centigrades de température et 73 e de pression barométrique, on aura
R = 1,2267 4AH = — I £ AV 2 =0,062354AV 2 kilogr.;
ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.
452. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières à grande section. Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l’indique la figure 74 , en plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l’eau ou de la flottaison, soit de 5” 1 ; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d’eau , soit de 0 m ,70; l’aire À. de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 5 m X0 m -7 = 2 mc q10 ; soit 1 m>| ,80 la valeur exacte de cette aire, qu’il sera toujours facile de calculer, dans chaque cas (-180) rigoureusement. Les bateaux dont il s’agit ont une longueur qui surpasse notablement six fois leur plus grande largeur; s’ils étaient saus proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe , la valeur du multiplicateur 4 serait (413) au plus 1,-10, attendu qu’ici le bateau est censé se mouvoir dans un fluide en repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d’abord (416) diminuer ce nombre de de sa valeur, c’est-à-dire de 0,1 ! , ce qui donne 4 = 0,99. Eu outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées, par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d’environ | d’angle droit, raccordé pareillement avec le fond; on peut donc croire que la résistance ou ia valeurdeA-se trouve réduite (ibid), au moins à | de 0,99 ou à 0,53. nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (422) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d’une forme analogue. Prenant néanmoins 4= 0,53, pour les bateaux dont il s’agit, la résistance aura ici pour valeur particulière,
R = i000.0,3o.l m< i6 H = 528 H, ou R = 26,93V 2 kilog. ; le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu’il devienne inutile (41 8) de s’occuper de l’influence de la proximité de ses parois par rapport à celle du bateau. .
Supposant donc que celui-ci se meuve dans une eau tranquille, avec vitesse uniforme de !•», par seconde, on aura, par le calcul direct, m très-facile, V 2 = l m .lm=l»' t i etR = 26k. 95 ; par la table des haute» dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait H = 0 - ’
DES RÉSISTANCES
et par conséquent, R = 528.0,051 = 26Y 93 • valeur mû , ment avec la précédente, mais qui aurait pu en différer diim t 'l^n' fraction, attendu que les coefficients des formules ei-dessu« ües ~peDte de la table n’offrent que des valeurs purement apprôximaüvej . n ° mbreS
La quantité de travail que devaient dépenser directement des hommes employés a haler le bateau avee la vitesse uniforme de i m serait «MM- = qui, d’après le tableau deTa page 153 ûe rMam?
rait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être conünué
UD u J S e a 6 r u Pe a Cet J 6 GSS Î : à la vitesse de °“ 6 seulement qu est celle (20a) de lai lire ordinaire des hommes tirant horizontalement la
résistance se réduirait a 0,36.26k, 93 = 9k, 695, et le travail à 0-, 6.9,695 — pkm, 82, quantités dont la dernière n’est que le \ de sa correspondance ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme
Ces circonstances auraient lieu, à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz, ou la Moselle n’a qu’une vitesse insensible ■ mais s’il s’agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l’eau atteint im, 2 par exemple , en faisant toujours avancer régulièrement 1“ bateau, de Imàchaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étant alors choqué (382) avec une vitesse relative Y, de 1 m,2 -j- im = 9 m 90 ] a r ésis tance deviendrait 26,93 X (2,2) 2 = 180k, 84, et la dépense de travail pendant le même temps, i 30km, en nombre rond, ce qui réclamerait (Yovez la table du N° 205 déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de 8 à 10h par jour.
Supposant , au contraire, que le bateau descende le même courant avec la vitesse de i m ,2 propre à ce dernier , il n’v aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative Y serait nulle aussi bien que R; mais s’il devait descendre avec une vitesse de 2m, 2 par seconde , la vitesse relative étant de 2 m ,2 — I m ,2 = i-, la résistance absolue serait, comme dans le premier cas, égale à 26k, 93, tandis que le travail aurait pour valeur 26k,95.2 m ,2 == 5Ckm,25 , en le supposant directement effectué des rives où le moteur devrait prendre la vitesse absolue de 2 m ,2.
, La différence de ce résultat avec les précédents, montre bien toute l’influence exercée par la vitesse relative du corps , du fluide et des rives, sur la dépense de travail moteur , qui , dans les hypothèses du N° 582 , est généralement exprimée par le produit p A (V±V'f . Y ; Y étant la vitesse absolue du bateau ou du moteur et V' celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou Y'= 0, le travail dont il s’agit , représenté par jo A Y 3 , croit on décroît comme le cube de la vitesse, c’est-à-dire d’une manière bien plus rapide encore que la résistance simple.
453. Remarques concernant l’effet utile du transport par bateaux. Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d’eau , que nous avons supposé ici de 0m,7 et de celle des dimensions du bateau d’où dépend le voliîme de l’eau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d’après le principe d’Archimède , doit être égale au poids de ce volume, etc. Supposant, par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme sensiblement prismatique ou cylindrique , la longueur réduite de la carène . prise du milieu de la partie plongée , soit de 25 m , sa section d’eau A, étant d’ailleurs de t m s6 environ, le volume du fluide déplacé sera de 25 m ,l mî 6 = 40 mo . et son poids 40,Ô0ük ou 40 tonnes (51). Supposant , d’un autre côté, que, par un calcul analogue effectué pour le cas où le bateau est déchargé, on ait trouvé, d’après le tirant d’eau que le Poids du volume de liquide déplacé soit de 16000k, il en résultera que la charge utile, le tonnage . sera de 40 — 18 = 24 tonnes ou 24 ^o 0 k-, poids qu’il faudrait d’ailleurs (212) multiplier par la distance parcourue pour
obtenir l’effet utile ou pratique. Cet effet ne dépend nullement , comme on -voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail nio teur , qui peut être indéfiniment amoindrie, ainsi qu'on l’a dit au N° 93' pourvu qu’on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et du fluide, et cela, quels que soient d’ailleurs la charge , le tirant d’eau et les dimensions du bateau. Ces données n’exercent , en réalité , d’influence que sur le facteur A , de l’expression de la résistance , et le moteur n’ayant par hypothèse, à vaincre que l’inertie du fluide et du bateau, il peut toujours produire son effet dans un temps suffisamment long , quelque faible que soit d’ailleurs l’énergie de son action; mais cela n’aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances , à des frottements , indépendants de la vitesse du mouvement , comme sembleraient l’indiquer quelques-uns des résultats d’expériences rapportés dans ce chapitre.
Au surplus, nous avons admis jusqu’à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu près indéfini , en largeur et en profondeur, par rapporta ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l’excellent Traité d’ Hydraulique de M. d’Âubuissoa comment on peut tenir compte, dans les calculs, de l’influence respective de ces dimensions.
454. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. MM. d’Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse , des expériences qui tendent à rectifier . en quelques points, l’application des formules de Dubuat exposées dans le N° 418.
La position du canal dont ü s’agit offrait moyennement une section de 26 m i,oo : une barque marchande, traînée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transversale d’immersion, au repos, avait 6 mq ,84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de 0 m ,817 par seconde, un espace de 3676“ ; on avait donc (418) :
Y = 0 m ,8l7 , A — 6 mq ,84, A' = 28^,55, 4^ = 5, 88.
Cette dernière valeur moindre que 6,46 , montre qu’il serait ici nécessaire d’avoir égard à l’influence de la proximité des parois du canal sur l’intensité de la résistance.
Conformément au résultat des expériences de Bossut (415), M. d’Aubuisson prend k — i ,00 pour le coefficient de la résistance d’un bateau sans proue , mu dans un fluide indéfini ; ce qui donne (428) , R = 51&AY 3 = 5!.6 mq .84 (0,8i7) 2 = 233k pour la valeur de celte résistance, et, par la première des formules du N° 418 ,
K -2TÏS ,=l ' 4 “ ! ‘ =Sis '
pour la résistance qu’éprouverait le même bateau , sans proue, s’il était mu dans le canal ci-dessus avec les circonstances indiquées. Lnfin, M. d’Aubuisson prend, pour l’introduire dans la dernière des formules du N° 418, q = 0,4, à cause de la forme obtuse et peu favorable de w proue et de la poupe des bateaux soumis à l’expérience; ce qui h' 1 donne
L’effort moyen exercé par les deux chevaux et mesuré directement a l’aide d’un dynamomètre (60) soumis à d’assez faibles oscillations, c effort, ramené à la direction du chemin parcouru par le bateau ayant de 120k ou les 0,52 seulement de celui que fournit la formule de Dubu . • M. T Aubuisson en conclut que cette formule n’est point applicable
DES RÉSISTANCES
grosses barques marchandes qui naviguent sur le canal A a T ' et ce fait lui paraît confirmé par l’observation journalière de Sff 0C .’ ces mêmes üateaux : il pense que l’exagératiin dTrtulS
£7 entrent J^tS^SÎS7lff ^
qUi rCTient à rempiacer le coefficlenfnuEqïe
Quant à i explication dune siissi énorme dilférpnpp pîïp
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ment, dans la différence dn mode de Mage, dans la d ffienlté nue les hî teaux, soumis a iexnenencfi mr Tînccf „ v. X ue ie!5 La
soulever, eie. Le même motif donne lieu de croire^ q„e tes Taîéur assi gnees , par la formule de Dnbuat, à la résistance R' (418), sont également exagerees , et peut-etre même, si l’on en juge par le résultat expériences de H. Morin, snr des bâte,,,* tfnSe forme p!t„“tn^ ogne, devrait-on rejeter une partie de la différence sur l’exagérXn de la valeur 0,4, attribuée, par fa. a’Aubuisson, au rapport a. Quelle nue sou, au surplus, i opinion qu’on adopte , on voit combien il sera utile que de pareilles expériences fussent répétées sur des bateaux de la forme gi' U pon re ’ mUS a * ternativement dans un canal à très-petite ou à très-grande
453. Exemples concernant les volants à miettes. Les tourne-broches et les horloges qui reçoivent Se mouvement par la descente de contre-poids sont armés comme on sait de volants à ailettes planes et minces, fixées à’i’exîremite oe tiges ou de „ras montés sur des axes de rotation .- ces ailettes en se mouvant circulaireœent dans l’air, éprouvent, de sa part une résistance qui croit rapidement avec la vitesse que leur imprime le po>’ds moteur, par l’intermédiaire des rouages, et elles servent ainsi à régulariser le mouvement ou a empêcher qu’il ne s’accélère indéfiniment comme cela aurait lieu (i etsuiv.) , si aucune résistance ne s’opposait a la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les roua- §6S , etc. i étcîii constamment au-dessous de Faction (jiFil éprouve de la part de la gravité.
Soit À = 0 m ,05.0 m .06 = 0 ”î, 003, l’aire de l’une des palettes censée perpendiculaires à la direction du chemin qu’elles décrivent circulairement autour de l’axe: on prendra moyennement, d’après les expériences de Borda, de Hutton et de M. Thibault (400), k = 1,4 pour des vitesses comprises depuis 0 jusqu’à 5“ par seconde; mais i! faudra augmenter ce nombre (428) clans le rapport de 0,60 à 0,64 environ, pour des vjtesses comprises depuis 8 m jusqu’à 10 m ; de 0,60 à 0,68 pour des vitesses de 25 à 50°% etc. Supposons , pas- exemple , le rayon moyen du volant de Ir d ou 0°%523, ce qui donne 0 m ,6o.o. 1416 = 2 m , 04 pour la circonférence décrite par le centre de la palette à chacune des révolutions, dont le nombre, observé directement, sera, en outre, supposé régulièrement de 114 à la minute, ou de 1,9 par seconde; on aura ainsi , à très-peu près : Y = 1,9 X 2 m , 04 = 5m, 88, k = 1,40 et (451).
R = 0,06255 X 1,4 X 0mq,003 X (3,S8) 2 = 0k, 00395 ,
pour les circonstances atmosphériques ordinaires, résistance en elle-
même assez faible, mais qui deviendrait q~^)- ^ • 0t, 00593 = 0^,0716,
48 fois plus grande si la vitesse était quadruple ou de 15 m ,52 par seconde, et qu’il faudrait doubler s’il y avait deux ailettes de même surface , octupler au moins (400) si, en outre, les dimensions , les côtés de ces ailettes
l r * PARTIE Ol
étaient eux-mêmes doublés, etc. Multipliant ensuite ces résultats parle? vitesses correspondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaque seconde.
Ainsi , par exemple , à la vitesse de o m .88, 2 tours environ par seconde et oo u r deux ailettes de On, 005 de surface chacune, la résistance étant de *0k, 00595.2 = 0,0079, le travail détruit par la résistance serait de (A. 0079. 5 m , 88 == Ok>». 05065 dans le même temps. Admettant que le contre-poids qui met en mouvement la machine , décrive uniformément un chemin de 0 : ",06 par minute ou 0 m ,0ül par seconde, et divisant les Okm. 05065 , obtenus ci-dessus, par cette dernière vitesse, il viendra 50k ,65 pour !a portion du contre-poids (71) qui serait employée à vaincre cette seule résistance, dont la valeur devrait d’ailleurs être augmentée d’une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermédiaires, etc.
Ces résultats suggèrent d’ailleurs plusieurs réflexions qui n’échapperont pas aux esprits attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d’insister. D’un autre côté , il est bon de faire observer que, dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nous occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur , on se réserve , par un dispositif très-simple, la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes, par rapport à la direction du mouvement, diverses inclinaisons dont la table du N° 402 permettrait de déterminer assez exactement l’influence; mais nous nous dispenserons également d'offrir un exemple d’un pareil calcul qui n’a rien de difficile.
436. Calcul du travail absorbé par la résistance de T air sur les roues hydrauliques. Dans le N» 563, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues oa des volants qui servent à régulariser le mouvement ; afin de la comparer à celle qui provient de la résistance de l’air, nous considérerons une roue verticale armée de 50 ailettes planes et rectangulaires ayant 5 m de longueur dans le sens parallèle à l’axe, 0,4 de largeur dans le sens des rayons , et dont le centre est situé à 5»> de distance de l’axe; ce qui donne 6“.â,1416 = 18°*, 85 de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu’on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolutions ait été ici trouvé de 19 en S minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s’agit, sera, à très-peu près, de 2“ par seconde, et l’on calculera la résistance correspondante de l’air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules'du N 0 404, dans laquelle on devra prendre ainsi Y = 2 m , a = 3 m .Û ,n .4 = lmq.2, ce qui donnera , abstraction faite de la résistance des bras, etc. , R = (Xi OO -f (0,0068 -f- 0,118.50.1,2)4 = 28k,4», pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et 2Sk,4o.2 m =57k in ,y pour le travail correspondant par seconde, quantité assez faible si on a compare (565) à celle qui pourrait être détruite par le frottement des tourillons d’une roue d’aussi grande dimension, supposée exécutée eu fer ou en fonte, mais qui acquerrait une influence prépondérante si vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. effet, la formule dont il s’agit donnerait alors pour la résistance, ! jours rapportée à la circonférence moyenne ou du centre des an ^ R= ilok,5 environ ce qui entraîne une perte de travail de . ,m u î- = 434km =6 chevaux-vapeurs de 75km par seconde, perte qui se i' e rait à un peu moins de la moitié, comme le montre la formule, si la ^ geur horizontale des ailes était elle-même réduite à celte proportio > ^ au £ , à peu de choses près, si le nombre des révolutions restant le m 7
DES RÉSISTANCES
celU /-f e rJii eS 6t ,î e , d . lamêtre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette appheation démontré suffisamment l’inconvénient attaché a 1 agrandissement de la vitesse et des dimensions des roues à Ses n ânes inconvénient qui , probablement, n’a pas lieu, à beaucoup près, an même’ degre poui ies roues a aubes cylindriques , emboîtées latéralement dans des couronnes parallèles , et raccordées à peu près tangentieilement avec ‘ a circonfei ence extérieure de ces roues, de manière à éviter le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.
4o/. Divers exemples relatifs aux moteurs animés , etc. La surface qu’un homme de taule ordinaire présente à l’action du vent, ou l’aire A de sa projection verticale sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, soit qu il chemine ou qu’il reste en repos, cette surface peut être evaiuee moyennement à 0,55 . i m ,7 = 0 m i,60; mais, à cause de l’inclinaison que prend naturellement tout son corps, il conviendrait, sans doute de la supposer un peu moindre lors des courses ou des vents très-rapides; de plus , cette surface et la résistance seraient sensiblement accrues si ses vêtements se trouvaient ma! ajustés au corps. Le coefficient k , de cette résistance , pour un prisme droit d’une faible épaisseur, étant d’au moins l,o dans ie cas^de l’immobilité (415) et de 1,2 dans celui du mouvement (414), on conclura des expériences de Borda, citées au A» 424, et qui concernent les surfaces cylindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à l’action du vent, que la valeur de k doit différer assez peu de 0,5 . 1,5 = 0,75 pour î’bommê en repos, choqué en face par l’air en mouvement , ou de 0,5 . 1,2 = 0,6 pour l’homme en mouvement dans l’air en repos. La pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc :
dans !e 1 er cas , R = 0,06255 . 0,75 . 0 m <b6V 2 = 0,028V 2 kiî.
et , dans le 2% R = — 0„028Y 2 = 0,0224V 2 kil.
A la vitesse de l m ,5 par seconde , qui est celle d’un bon mareheur (214), on voit que cette résistance s’élèverait à 0,0224 (S .5 Y = ()k. 0504 , et la dépense de travail moteur, par seconde, à 0-^,0504 . \ m ,5 = Oknî.0756, quantité qui n’est pas le de celle qu’un homme de force ordinaire pourrait développer, d’une manière soutenue, en tirant ou poussant horizontalement ( !>05 ), et dont la petitesse justifie ainsi l'observation du N°90. Mais, si la vitesse était de 6“ par seconde, ce qui est à peu près la plus grande de celles que puisse s’imprimer un coureur, d’une manière un peu soutenue, la résistance de Pair s’élèverait à 0,0224 . 6 2 = O k ,8064 , et le travail par seconde . à 4km, 84 environ ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l’exemple des courses les plus célèbres démontre-l-ü qu’une pareille vitesse pourrait difficilement se prolonger au delà de 20 ou 50’.
La vitesse des plus forts ouragans dans notre climat, ne peut guère être évaluée au-dessous de 40” par seconde, et il résulte de la première (les formules ci-dessus, que la pression supportée par un homme debout ft t immobile qui serait frappé directement par un pareil vent, peut être évaluée à 0,028 (40) 2 = 44 k ,8, effort considérable et auquel cet homme ne résisterait qu’en inclinant fortement son corps en avant, de manière a se dérober en partie à l’action de l’air . tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus , on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragans soient capables de renverser des arbres et des maisons, ‘lui offrent une si grande surface à l’action du vent: car, pour un mur ne ia de hauteur sur V de longueur, choqué directement par ram avec la vitesse de 40” dont il s’agit, la pression ne serait pas au-dessous (4eb et
451) de 1,86 . 0,06255 . 48“*. (40) 2
89S2 k ; ce mur pouvant être ici con
‘ =--ié.
*. — „„ (451) si
l’air se trouvait remplacé par l’eau, on voit queue euOi me pi ession doivent supporter, dans quelques cas, les corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de l m de côté, posé sur un sol de niveau où il n’est retenu que par son seul frotte-
1 UI1C U.C 3C3 ldLUo . ia H' l r v -^1/
par la formule R = 51 . 1 ,48 . Y* = 74,46Y% tandis que celle du frottement peut être représentée (550) , par /N = 0,75 N, ]N étant le poids du bloc diminué de la perte qu’il éprouve dans l’eau (41) , f— 0,75 le coefficient maximum de son frottement , il arrivera que le btoc sera entraîné par le courant, toutes les fois qu’on aura 74,46 V 2 > Q,75N, ou Y > 0,1 004 j/N. Supposant , par ex. (55) , N = 2800k - 1 000k = 1 600k ou i/y = 40 ; on voit que cela aura lieu pour toute vitesse V , supérieure à 0, 1004 . 40 == 4 tn ,02 par seconde , limite qui , certainement, est souvent atteinte ou surpassée par celie de certains torrents produits par les écluses
ou les lames de la mer. . . „ t .
Les chevaux employés à la course , ne présentent pas, a^ 1 action directe de l’air, une surface beaucoup plus grande que celle de 1 homme, et, comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance qu’ils éprouvent est , au plus , égale à 0,02 Y kdog. ; mais , à cause de l’écuyer qui les monte, on peut la supposer de 0,03 V " kilogramme tout compris:, ce qui, à la vitesse de 16“ par seconde environ , limite ue celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket , en Angleterre , fit du Champ de Aîars à Paris . donne lieu à une résistance de 7 k ,68, et suppose. de la part de l’animal , en chaque seconde, l’énorme dépense de travail de 422 km ,S8, presque double de celle ( 205 ) que fournissent les chevaux de roulier ordinaires , lesquels , à la vérité, cheminent penuan, 8 à 10k p ar jour, tandis que c’est à peine si les coursiers les plus fins, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant 4 ou 5 , et îenouveler une seconde fois leur carrière après un certain temps de repos.
Kous avons donc eu raison de dire (90 et 148) que le travail exteneur dont les animaux sont susceptibles , quand ils s’impriment la plus gran * vitesse possible , doit être négligé vis-à-vis de celui qu’ils développeraien si la vitesse était moindre. Quand ou réfléchit , en outre, a i énorme m fluence que peuvent ici exercer , sur ces vitesses excessives , la deiicatess , je dirais presque la débilité des formes de l’animal, son ajustemen celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte, enfin tauresse celui-ci à se dérober à l’action de l’air , on demeurera convaincu qu
(juiivamou ijuç ue pareilles joutes, de pareil — nnver-
propres à perfectionner la race chevaline dans nos contrées, ou le g < g nement devrait, avant tout, tenirà se procurer des animaux assez ro^->“. pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre, sous une cnai a
dépasse quelquefois 120t. dernier
438. Calcul de la résistance de l’air contre lesboulets de canon- rOU exemple et afin de donner une idée précise de la progression que - jgg résistance opposée par l’air aux mouvements plus ou moins iap ^ ont corps, nous considérerons un boulet sphérique de 24, en ter ton ’ . c , le diamètre d est très approximativement de 0 m ,148, la surface a r ■> j e lion A ou d’un grand cercle, 1^ = 1 5,14159 ( 0“,48 )- = ? volume | A . d = f 0“*, 0.172.0“ 143 = 0“ C , 001697 , et le poids» ue
DES RÉSISTANCES. 4Q -
O mc , 00-1697=1 2k environ ; la densité de la fonte étant fcU’a-.rès le rés-imoyen a un grand nombre de pesées directes , de 7068“ seulemeiU?? f D apres ces données ia résistance du boulet, dans l’air, à T^detemJ’ rature et 7o° de pression (431), a pour valeur générale 1
R=0, 06255. 0^,0172 . kV = 0,0010755*V* kilog. , où l’on doit attribuera k les différentes valeurs indiquées par l’exnérience et que nous supposerons fournies par la table du N» 428, quoiqu’il soit bien démontré que ces valeurs sont un peu trop fortes pour les vitesses
f4 e nt° L!S üe 20 ? ar seconde, et trop faibles pour celles au-dessus de oMd .
A Supposant , pan exemple , la vitesse de 1- par seconde, on aura h = ii — O;,C0iu/o5 . 0.59 . 4 2 =0k, 000655 seulement. Pour Y =5 m on aurait fc==0,61,R=0, 0010755 . 0 , 61 . 9=0k,0039, soit 0k,006 approximativement. Continuant ainsi , en évaluant, s’il le faut , par les parties proportionnelles , les valeurs de k qui répondent à des vitesses intermédiaires entre ceiies de la table du K° 428 , ou pourra former cette nouvelle table -• -
Vitesses i“, 3 m , 5 m, io^, 25 m ,
k k k k k Résist. 0,00064, 0,006, 0,017, °)°7°
'O m , 125 m, 2O0m, 3 oO m , 4 °° m > 5 oO ra , k k k k k k , 855 , 7,64, 12,18, 33,1,80,2,170,279, On voit . par ces résultats , qu’à 12 5” de vitesse, l’effort de l’air contre le boulet de 24 , est à peu près égal au poids de eelui-ci ; qu’à 2Q0 m , il en est près du triple , qu’à 500 m , de vitesse , la résistance surpasse 25 fois ce même poids; et, comme ces résultats devraient être multipliés par 815 environ (431) , quand il s’agit ds l’eau, on peut juger de l’énorme résistance qu’ont dû éprouver les boulets , dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Di dion , citées au A° 427, indépendamment du choc qui s’est opéré à l’instant de leur entrée dans le bassin d’eau où iis étaient lancés.
Si le diamètre du boulet n’était que le j de 0 m ,148 ou 4 e , 9 environ , la surface A qu’il présente à Faction de l’air, serait réduite au neuvième de la valeur qu’on lui attribue ci-dessus , et par conséquent , à égalité de vitesse , ia résistance serait elle-même réduite , au neuvième de. la valeur indiquée par la table. Pour un diamètre de { 0 m , f48 ou 2 e , 96 , la résistance n’en serait plus que le ,6. Mais le poids des boulets supposés toujours en fonte , diminuerait dans une progression bien plus rapide encore : il serait seulement de jV 12k = 0k, 445 pour le diamètre de 4 e . 9 et de 12 = 0k,096 pour celui de 2 e , 96 ; circonstances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes (où) , croissent comme les cubes des diamètres , et les surfaces de leurs grands cercles, représentées par A, simplement comme les quarrés de ces mêmes diamètres. Enfin si , au lieu de projectiles en fonte , il s’agissait de boules de bois ou d autres substances moins denses encore , leurs poids et par conséquent leurs masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résistance ae l’air resterait la même pour un même diamètre , parce qu elle ne dépend que de ia forme et de l’étendue de la surface du corps, ce qui permet ues à présent, de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les constances du mouvement dont nous nous occuperons plus spéciale e *
^Toutefois*, est" nécessaire de le rappeler avant de passer à un autre
, , .... mr M Pijbert. la densité des boulets
(ï) D’après une note oui nous a e.e transi . ;
, . . . , 1e mètre cukr: ce qui doit tenir, en partie,
anglais serait .supérieure, ou «e 7 220 • ■ 1 •-
au mode de coulage et de fabrication.
sujet , les différents exemples de calculs qui viennent d’être présentés sur la résistance des milieux , supposent essentiellement que les corps ne tournent pas , ou présentent toujours la même face à l’action de ce milieu et que leur mouvement soit sensiblement parvenu à l’uniformité ; car s’il variait sans cesse, comme dans la chute des corps, il conviendrait d’avoir égard à l’influence de la proue et de la poupe fluides qui les accompagnent conformément aux observations des N os 580 et 582.
EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT HORIZONTAL ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLUS SPÉCIALEMENT DANS L’AIR.
459. Considérations préliminaires. Nous n’avons jusqu’ici donné que de simples aperçus (llo et suiv.) sur la manière dont l’air agit contre les corps, pour modifier, ralentir leur mouvement ; les données précédentes jointes aux principes fondamentaux exposés au commencement de cet ouvrage, nous permettent de mieux étudier, de calculer même, les lois do ce mouvement, pour deux circonstances importantes : i° celle où le corps serait lancé , avec une certaine vitesse et sans tourner, dans la direction d’nn plan horizontal solide , où il serait soutenu sans frottement, ce qui est aussi , à peu près, le cas des projectiles de l’artillerie, animé d’une grande vitesse horizontale , et qui , dans une portion assez considérable de leur course rapide , n’ont pas éprouvé , de la part de la gravité , une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de cette vitesse ; 2° celle où le corps ayant été lancé dans une direction verticale , de bas en haut ou de haut en bas , serait ensuite abandonné librement à l’action de la gravité et de la résistance de l’air , toujours dans l’hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d’un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons , d’ailleurs , pour l’air en particulier, s’appliquera aisément à toute espèce de fluide , à l’eau, par exemple , en introduisant dans les données de ia question les modifications relatives à la densité de ce fluide et au coefficient k de sa résistance.
440 Expression de la force dynamique totale des corps soumis à Faction des fluides. Pour étudier Ses lois du mouvement dans les cas très-simples dont il s’agit ici - il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur trèsdifférente de la force F (150), qui accélère ou retarde ce mouvement, et
doit être perpétuellement égale et contraire à la force d’inertie — = M - >
P étant toujours le poids, M la masse , et v l’accélération ou la diminution de vitesse pendant le temps infiniment petit z. Mais, comme en réalité, le corps est toujours accompagné (580) d’un certain volume de fluide ambiant, que nous avons appris, pour quelques cas, à calculer, il sera necessaire d’avoir égard aux considérations exposées à la fin du N" 582 , c’està-dire qu’il faudra ajouter la masse M,, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d’inertie totale. En représentant toujours , comme aux endroits cités, par O ie volume apparent ou extérieur de ce corps , par «O celui du fluide entraîné à la densité p , et désignant, de plus , par n la densité moyenne ou réduite que l’on obtiendrait en divisant ie poids P r du corps, par son volume extérieur O , on aura
n = 5, M=— O , M, — » — O et F = (M-f M.) -= Q 9 9 ' É
n + np r V — fT't 1
CES RÉSISTANCES
F = M 7 , d’où l’on tire V = — t
peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement et elle en contient implicitement la loi; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au j\ T ° io4, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps la vitesse , la force dynamique F , et l’espace décrit à chaque instant parle mobile, cesse de l’être dans le cas présent où l’on n’est plus censé connaître les valeurs de cette force à la fin des différents temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement, de la résistance du fluide et de l’action de la gravité, s’il s’agit du mouvement vertical , seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les différents points de sa course , en s’appuyant , à cet effet, du résultat des expériences et des formules exposées dans le chapitre précédent.
On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissements infiniment petits t, du temps, correspondant à une diminution ou un accroissement donnés », de la vitesse, pour l’instant où celle-ci a une valeur assignée Y, à l’aide de ia formule générale
dans laquelle M et P représentent toujours, si cela est nécessaire, la masse et ie poids total du corps et du fluide entraîné.
Or, en raisonnant ici comme on l’a fait aux N os 72, 481 , etc. , à l’égard de la détente des gaz et des vapeurs c’est-à-dire si l’on construit une courbe O ’a'b'c' ...fg'b! (Fig. 79), dont les abscisses 0 a , 0 b... 0/, 0 g, OA, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s accélère, ou les abscisses AO, ha , hb.... Af , hg prises par rapport au point A, si le mouvement se ralentit , représentent, à une certaine échelle, les valeuis équidistantes successivement attribuées à la vitesse Y , tandis que les ordonnées on' nn! bb' .... iï'. oY représentent les valeurs correspondantes
Et appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson. (180), il s ^va uossible de calculer le temps T , dont il s’agit, à un degré d'approximation aussi grand qu’on le voudra, en subdivisant l’intervalle bf , compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand
de parties égales. , . ,
Comme on a, d’ailleurs (48 et do), en représentant par e l élément de
chemin correspondant à t ou à v
