MV PY

on voit que la même méthode pourra servira trouver la longueur du chemin parcouru dans l’intervalle dont il s'agit, par la considération d’une nouvelle courbe O a r 'b"c"... g", construite sur les mêmes abscisses, mesurées , suivant les cas , à partir du point O, ou du point A, mais ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de P\ par «F.

‘ Quant à la question où il s’agirait de trouver immédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés , il est évident qu’elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c’est-à-dire par une marche directe, miisque F ne peut se calculer que si l’on connaît V ; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d’offrir un exemple dans ce qui suit.

Cas du mouvement horizontal.

442. Valeur de la force dynamique ou retardatrice ; équations fondamentales du mouvement. Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance R du milieu , qui peut être calculée pour chacune des vitesses Y, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (-440)

E ou

-=sx:

et, par conséquent , le corps ayant été lancé horizontalement avec une certaine vitesse initiale , cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à t. suivant une loi donnée par la formule

t (n -J- np ) O 1

qui exprime véritablement la force dynamique relative à l’unité de masse supposée entièrement libre (152) , ou qui serait capable de lui imprimer , dans le vide absolu, le mouvement effectif du corps. Mais, attendu que la résistance R décroit très-rapidement avec la vitesse Y du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément retardé (107 et 117), comme cela arrive (565) dans le cas où la résistance se réduit à un simple frotteœen exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal: il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps t, égaux et infiniment petits, comme le démontre la formule ci-dessus, qui donne la diminution ü vitesse v pour chacun de ces instants.

D’un autre côté , cette même formule, dans laquelle Faire A de la P* o jection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction rectilign e mouvement , entre comme facteur de R (381), d’après les résultats plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance o * fluides, cette formule, disons-nous, montre que la diminution ms

DES RESISTANCES- 40 o

tanéer, de la vitesse, est d’autant moindre, toutes choses égales d’.iî leurs , que la densite moyenne n du corps (440) est nlus -ranù™, • » '

q ,,e le rapport de son volume O , à dir'e A , ’qSr” v*"dû fe rnem poui les spheres , a la hauteur de l'axe pour les cylindres et les prismes droits mus parai élément a cet axe. etc.; de sorte que, i'-ÏÏ

corps sphériques en particulier , par exemple pour les projectiles de l’artillerie le ralentissement de la vitesse initiale est d’autant plus rapide que leur densité moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : fait confirmé Dar Fex périeiice , et que démontre plus spécialement encore la formule P

relative aumouvement de ces projectiles dans l’air, pour lequel on a pris (401, , R — 0,06-0 y/cA Y , en négligeant d ailleurs, le terme np relatif au fluide entraîne ; prenant g = 9 m ,808S (117) pour le lieu où nous sommes • puis remplaçant O et A par leur valeur f * d», a *■ d\ dans lesquelles d est le diamètre et *■ = 5,1416 son rapport inverse à la circonférence.

Considérant pour exemple, le boulet de 24, dont on a recherché à l’avance, la résistance dans l’air au N° 438, on aura immédiatement, pour calculer toutes les circonstances de son mouvement horizontal .

Pc

P ou - - = g *

0,00107oo£V 2 , ^ =

ce qui montre tout à la fois, d’une part, l’énorme influence exercée par cette résistance aux premiers instants du mouvement où la vitesse V atteint quelquefois 500 m , et oùpar conséquent sa diminution instantanée », devient (428), 0, 00088. l,Ôi.(500) 2 =222 fois au moins , la durée correspondantes, du temps; d’une autre part, l’extrême faiblesse de cette même influence, dans les derniers instants du mouvement, où la vitesse étant supposée réduite à G m ,001, par exemple, en une seconde, celle de v devient, au plus, les 0.00888.0. 59.(0, 001)- =00000000052 de s, ou t près de deux milliards de fois plus grand que v; ce qui montre Fexcessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s’éteindre dans les hypothèses actuelles sur la loi de la résistance.

443. Le mouvement ne s'éteindrait jamais si la résistance décroissait plus rapidement que la vitesse. Pour démontrer ce principe d’une manière positive, et qui s’applique généralement à tous les cas où la force retardatrice tend à s’affaiblir rapidement et indéfiniment avec la vitesse, sans jamais changer le sens de son action, nous remarquerons tout d’abord, que la formule générale (442)

MP

t —-£ V — gK V ’

dans laquelle M et P peuvent comprendre la masse et le poids du fluide entraîné, montre que la valeur du quotient de M par F, ou de P par <?R , croissant indéfiniment à mesure que la vitesse \ du corps diminue, d au bien aussi que le temps t, nécessaire pour détruire, dans ce corps, un degre donné de vitesse ». devienne de plus en plus grand et finisse par acquérir une valeur comparativement infinie dans ies dermeres périodes s du mouvement; de sorte qu’il peut bien arriver que la somme des valeur » de I accroissement *, du temps, devienne elle-meme excessivemen : grande ou infinie, quoique celle des valeurs correspondantes de » ne pu^e Mepasseï la valeur attribuée à la vitesse initiale quelle quen oit la ^petuesse Mais on peut établir cette proposition d une manière plus r io oure sensible encore, par ia considération delà cornue M Vf . - rs 2

dont on s’est occupé au N° 441 ci-dessus, et qui a h pour origine de. abs

cisses ou vitesses. ..

l re PARTIE.

En effet, la valeur de la fraction P sur gR, se trouvant représentée par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de Y, on voit que ces ordonnées doivent croître indéfiniment à mesure qu’elles se rapprochent de l’axe parallèle qui répond à l’origine h ; de sorte que l’espace cornons entre cet axe et la courbe, est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour l’hyperbole équilatère de la figure 41 considérée aux jp» 181 et 198, ou celle que l’on construirait en prenant simplement

t — par exemple. Mais comme on suppose ici que F ou R diminue

plus rapidement que Y , il en résulte que la courbe 0'a’h’....f g \ se rapproche bien moins rapidement encore de l’axe des ordonnées et beaucoup plus, au contraire, de celui des abscisses que dans celte dernière hvnerboîe.

F D’un autre côté , on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198) , que les aires hyperboliques comprises entre une ordonné'e fixe quelconque et une autre ordonnée qui s’approche sans cesse de l’axe correspondant relatif à l’origine 4, des abscisses , croissent indéfiniment de manière à devenir plus grandes que toute quantité assignée; donc il en sera de même , à fortiori, des aires analogues de la courbe O r a'b'....fg\ qui donnent les valeurs du temps dans le mouvement retardé dont on s’occupent, par conséquent, quelque paradoxal que cela paraisse au premier aperçu . U peut exister de tels mouvements qui ne s’éteindraient pour ainsi dire jamais , quoiqu’à la fin ils fussent extrêmement ralentis : c’est ce qui aurait précisément lieu dans l’hypothèse d’une résistance proportionnelle au quarré de la vitesse.

Par contre, il doit exister aussi des mouvements qui s’accélèrent indéfiniment sans jamais atteindre la limite de leur vitesse, quand la force dynamique F , tend à décroître très-rapidement à mesure que cette vitesse s’approche, elle-même, de sa limite; mais, comme la chute des graves dans l’air, nous offrira bientôt un exemple de ce phénomène de mouvement, nous n’insisterons pas quanta présent.

Enfin il ne sera pas inutile de faire observer que , puisqu’on a également (441 et 442) MY PV

F gR

des considérations analogues pourront s’appliquer aux espaces parcourus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé précédemment : ces espace s tendront à devenir infinis si le quotient de MV par F , croissait, lui-même , plus rapidement que la vitesse Y ne diminue. C’est , au surplus, ce que nous tâcherons de rendre plus manifeste encore , par la discussion du cas particulier qui suit. .

444. Exemple numérique relatif au mouvement horizontal des projectile dans l’air. Soit le boulet du N° 458, lancé horizontalement, dans lau, avec une vitesse initiale , hO ou V' (Fig. 79), de 500 m par seconde, je suppose, et demandons-nous d’abord au bout de quel temps sa vitesse hd ou Y sera réduite à 400 m , en admettant toujours que la loi de la résistance soit celle adoptée dans cet endroit. .. .

En supposant seulement l’intervalle de Qd ou ~V' — Y = 100“ , d* v ‘ en quatre parties égales aux points a, b et c, on pourra former la tau suivante des diverses grandeurs relatives à la question (438 et 442), ua * laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l’écriture d’un ti P grand nombre de chiffres décimaux :

Points de subdivision Numéros d’ordre ....

Vitesses correspondantes .

i oo F ii 3 j ,36

5 oo m

valeurs tle -

°rP

Æoomj

-iSo-

kYi

DES RÉSISTANCES

Par conséquent on aura, en se servant de la méthode du n» 180,

Somme des valeurs extrêmes ,

ÿR °i 4°74 + o,j]8o = i,i554

2 fois celle des valeurs d’ordre impair 4 fois celle des valeurs d’ordre pair.

Total

Cette somme divisée par 100 et multipliée par le f de l’intervalle , 25™ enüe les vitesses successives, donne ‘ 25. 0,06744 = 0" 5620 pour la îr , S. t T pSpendan i leqUel la vitesse du boulet est réduite de 500 à q -fi 9m ’ 809 ré P° nd (117; à une seconde sexagésimale, qui est ainsi 1 unité de temps.

Les différences consécutives de chacune des valeurs, fournies par la tabie ci-dessus, du quotient de P par $rR, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, à priori, que la courbe est convexe vers i axe des abscisses comme l’indique la figure 79, et le résultat qui vient detre obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu un peu faible , doit néanmoins s’approcher beaucoup du véritable; etcestcedont on peut s’assurer directement en supposant seulement 1 intervalle CW, de 500 à 400™, divisé en deux parties égales, au point h : on trouve v en effet, par la méthode déjà employée, f 50 (0,011554 -f- 4 . 0,005561) = 0",o65o, résultat qui ne surpasse le précédent que de ttî de sa valeur.

D’après ce grand degré d’approximation de la méthode pour l’intervalle de|500 à 400™, on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales, l’intervalle de 400™ à 500™, pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par j'R , relatives aux vitesses de 350 et 300™, sont respectivement de 0,01000 et 0,01456, on en conclut , pour la valeur de cette durée, { 50 (0,00718 -f- 0,01456 -f- 4 . 0.01000)= 1".0266 : mais il serait, sans doute, peu exact d’étendre cette règle aux intervalles égaux suivants , de 300 à 200™ et de 200 à 400™, parce qu’on pourrait tomber alors, dans les régions où la courbure par trop prononcée de la courbe, donnerait lieu à des différences d’ordonnées consécutives très-variables, et, à plus forte raison, ne conviendrait-il pas d’étendre cette méthode à de très-grands intervalles de vitesses.

Ainsi , par exemple, si l’on se contentait de partager en quatre parties égales, l’intervalle compris depuis 500 jusqu’à 100 mètres , ou de 100 en îÔO mètres, on trouverait, pour le temps nécessaire à un pareil ralentissement de vitesse, 12", 33. qui, inévitablement, surpasserait a une quantité notable la véritable valeur de ce temps. Cependant telle estl excellence de la méthode pour le cas actuel, que si I on divise ce même intervalle, en 8 parties égales, on trouve le nombre 4", 77 , dont la différence avec le precedent n’est pas le vj-de sa valeur, et qui, par cela meme, ne doit surpasser

que de très-peu la véritable durée du temps. .

445. Extrême lenteur avec laquelle le mouvement s eternt dans cet exemple. Afin de mettre la chose dans tout son jour nous perche, ons J® *“*5® nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite R 10 ne soit plu. q e 2“ par seconde ; mais, au lien des valeurs du c °f ® A’/ movenne I

table du N» 428, nous adopterons, pour dans le cas

==052 (425), qui doit s’écarter assezpeu (420) J* 1 * T® ,1 ‘?J >le ’ i 7 0n divise du mouvement rectiligne des globes dans 1 a • jn ^ on* formera le seulement en quatre parties égaies, 1 intervalle de 10 ai, on

tableau qui suit :

Numéros d’ordre. ... 1,

Vitesses correspondantes. lO m ,

VI A P 2187,15 Valeurs de— =■ — = 77 — 21,8/,

ÿR V 3

ce qui donne pour la durée du temps écoulé,

Si l’on se fût borné à diviser l’intervalle de iO 1 ” a 2 m , en deux parties égales, on eût trouvé 1082". 28, nombre qui diffère beaucoup duprécédent, et prouve que la subdivision en quatre parties peut ne pas suffire ; en la portant à 8. on obtient finalement 880",2, pour le temps que la vitesse du mobile met à passer de 10 à 2“ : la différence 35’, 6, entre ce nombre et le premier des précédents étant assez forte , on voit qu il y aurait heu à multiplier davantage encore les subdivisions, si Ion tenait à une très-grande exactitude, mais, pour l’objet que nous avons ici en vue, il serait inutile de pousser plus loin les calculs.

Tel est d’ailleurs l’esprit dans lequel on devra constamment appliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson. ,

Les résultats obtenus en dernier heu, montrent, conformement a ce qui a été annoncé au numéro précédent, d’après des considérations genéiales et purement géométriques, que la vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, et l’on peut juger que cette lenteur serait infiniment plus grande encore pour les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple , on voit sans qu’il soit nécessaire de recommencer sur de nouveaux riais ie> calculs, que le temps au bout duquel la vitesse serait réduite de 1 amillimètres par seconde, s’élèverait, au moins, à (1000)-=! million aetois 880", ou bien près de 28 ans, etc. ,

Pour obtenir les espaces successivement parcourus dans le meme mou veinent, il suffira (443) de recommencer les ealculsen y remplaçant chacune des valeurs de P sur oR. par son produit avec la valeur correspondante de V . C’est ainsi qu’on trouvera . pour l’intervalle de 500 à 400” cie vitess , l’espace 1 2o [2,187 + 2,872 + 2. 2,305+4(2,325 +2,6/6)] = 250+, avec un degré d’approximation encore plus grand que dans le piece exemple»

En divisant pareillement l’intervalle de 500 à 100 m , en 8 parties égales, on obtiendrait 2242 m pour l’espace correspondant décrit par le projee Enfin , pour l’intervalle pendant lequel la vitesse sejéduirait de lu a - , l’espace décrit par le boulet s’éloignerait fort peu de 5525”, et il serai viron IOOO fois plus grand dans l’intervalle de 10 à 1 millimètre, e qui suffit bien pour faire sentir que le chemin entier parcouru par e bile n’aurait , de même que le temps , aucune limite assignable (!)•

(1) On remarquera que pour cette dernière période du mouvement où 1 on supp invariable, les équations du N° 44 1 prenant la forme très simple,

où G représente une constante facile à calculer dans chaque cas, on en tire, par | es P cédés connus de l’analyse, qui ici. pourraient être facilement suppléés par les consi directes de la Géométrie,

E représentant, en outre , l’espace décrit et T le temps écoulé depuis 1 origine n ^ ^

où la -vitesse V., relative à ce temps était V'', enfin le signe abréviatif log , se ra PP ^ aux logarithmes hyperboliques ou népériens (198) qui, on se le rappellera, p eU uS c i également obtenus au moyen des tables de logarithmes ordinaires , en multiph aIlfc ^

par le nombre constant 2,8 oa 585 . Ces dernières formules montrent bien a ailleurs q

DES RÉSISTANCES. 4j g

Quant à la manière de découvrir le chemin relatif à un temps donné

HtSdïWS 6 lu avan ^eusement suppléée . dans le cas aSueî par la tab u N 4-ri , elle serait sans intérêt, et nous renverrons nos lecteurs

3 -446 m • con< ; eri ; e , la chute verticale des corps dans 1’

Idée de la manière dont le mouvement horizontal

des

air.

corps peut

s'anéantir, même en un temps fort court. Lorsqu’un projectile est lancé horizontalement a la surrace de notre globe , il est continuellement sollicité à descendre en vertu de la pesanteur, s’il n’est point soutenu sur un plan fixe; bientôt, en effet, il atteint la surface du sol, où il s’enterre si le Ca0C ? j P. 1 .‘ ,ermet l' as rebondir, ricocher , un nombre plus ou moins giand de fois , a chacune desquelles il perd des portions très-appréciables de sa iOice vive initiale, que les frottements et obstacles quelconques, dont sa route est parsemée, finissent promptement par lui enlever. Ces frottements, comme on l’a vu au N° 566, sont tels que, même pour des surraces horizontales aussi polies que la glace, quelques secondes suffisent pour éteindre complètement une vitesse initiale de 4 m dans un corps de masse quelconque , indépendamment de la résistance de l’air, a laquelle le frottement devrait être ajouté dans les équations fondamentales du N° 442.

Ainsi, par exemple, f étant la valeur particulière du coefficient de ce frottement, on aura , en général ,

® R-j-/R R+/nQ

ou

EL

t M-fM, (n+rap)Q’ t

s’il s’agit spécialement (ihid) des projectiles de l’artillerie , mus dans l’air ; ce qui montre que c’est surtout pour les faibles vitesses que le frottement exerce de l’influence , tandis que l’inverse a lieu pour la résistance du milieu qui exerce principalement la sienne à l’origine du mouvement. Or, il en résulte que ces deux seules causes réunies doivent , quelle que soit l’intensité de sa vitesse initiale , arrêter le corps en un temps généralement très-court, comme on l’observe , en effet, dans tous les cas analogues.

Il est pourtant une circonstance physique où le mouvement horizontal pourrait se perpétuer sans fin, si les lois de la résistance des fluides étaient telles qu’on vient de le supposer dans ce qui précède : c’est celle où un corps flottant à la surface de niveau d’un liquide immobile , tel que l’eau d’un bassin soustrait à l’action des courants d’air, viendrait à y être lancé horizontalement , sans tourner, avec une certaine vitesse ; car le corps étant ici soumis uniquement à la résistance de cette eau et de l’air, il n’existerait plus aucune force retardatrice constante étrangère aux deux fluides , et capable de détruire des portions de la vitesse initiale qui , étant proportionnelles aux temps écoulés , amèneraient promptement le corps au repos absolu. Une expérience de cette espèce , exécutée dans les circonstances les plus favorables et en observant, avec toute l’exactitude qu il

T deviennent infinis en même temps que V = o; maïs déjà il n en serait plus ainsi de 1 es

paceE, si !a résistance était simplement proportionnelle à la vitesse; car à cause de e Ce ,

on aurait E =C (T — Y), et par conséquent, E — CV' pour \ = o, quoique T reste infini ou que le mouvement ne s’éteigne jamais. Àinsil espace décr.t p«r le eu,,,- „ra constamment sans néanmoins pouvoir atteindre ia limite E = CV . a fortioi „ , cet espace conserverait-;] une valeur finie dans le cas où la résistaneecroîtrait moins rapidement encore que la vil esse, par exemple comme sa racine quarrée j/V ■ On aurait alors^. en effet ,

T = 2C(J/V 7 — |/v), E = fc (V'}/V'- VJ/V); de sorte que le mouvement s’éteindrait complètement au bout du temps T — aC }/\

de l’espace E = a, : CV' j/V'.

et

serait facile d’y apporter, la loi du mouvement aux derniers instants une telle expérience serait peut-être plus propre qu’aucune autre à faire découvrir l’existence d’une pareille force retardatrice, admise par les uns et repoussée par d’autres (388), sans que les motifs ou les faits d’expériences qui servent d’appui à ces opinions contradictoires , puissent être considérés comme rigoureusement établis. Mais, à cause de l’influence qui, dans ces derniers instants du mouvement du corps, pourrait être exercée parle sillage ou courant postérieur (374) , et tend à l’entraîner au delà de la position qu’il devrait naturellement atteindre , il serait peut-être encore plus exact de chercher à constater l’existence du terme constant, en observant avec soin le mouvement de descente vertical , dans l’air, d’un ballon vide ou rempli d’un gaz assez léger pour que son poids , dans cet air. constaté par une pesée directe , fût réduit à un degré de petitesse comparable au frottement dont il s’agit d’apprécier l’influence , et dont les effets ne sauraient manquer de se manifester, si le globe était abandonné , sans aucune entrave , à l’action de la pesanteur, comme le firent Newton et Désaguilliers (428) , lors de leurs premières expériences dans l’église de Saint-Pau! à Londres.

Au surplus, quelle que soit l’opinion qui triomphe définitivement, il n’en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée ia route des corps en mouvement dans les fluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements , enfin l’influence des tourbillonnements et remous qui s’y produisent , la rotation même que tendent, presque toujours, à prendre les corps non parfaitement symétriques, sont autant de causes qui parviennent à anéantir leur vitesse, dam des temps infiniment plus courts que ne l’indique le calcul. Et, comme tous les mouvements sont, ici bas, nécessairement soumis à l’influence de pareils frottements, de forces retardatrices variables ou constantes, on voit qu’ils ne peuvent s’entretenir dans les corps, même les plus subtils, sans une dépense continuelle île travail ou d’action, à laquelle les combinaisons matérielles lesplus ingénieuses ne sauraientsuppléer (10B); et voila aussi pourquoi le mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés des premières notions de la mécanique, est une véritable chimère , quand on le recherche ailleurs que dans l’action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui, à la surface de la terre , servent par leur mouvement périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

447. Résultats des calculs de M . Piobert, relatifs au mouvement horizontal des projectiles dans l’air. Dans un chapitre intéressant du Mémoire (a/a) qu’il a présenté en commun, avec MM. Morin et Didion, au concours du prix de mathématiques pour l’année 1838, cet officier supérieur a calcule, avec beaucoup de soin, une table qui permet, au simple coup d’œil, ue se rendre compte de toutes les circonstances offertes par le mouvement des divers projectiles, en usage dans l’artillerie française, lancés horizonta e ment dans l’air en repos et abstraction faite de l’action de la pesante (439). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule N° 429, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relati à la résistance de l’air sur les projectiles. Dans la formation d’une parei table, les méthodes directes indiquées aux N 01 44G et 444 , présentera 1 évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, P des opérations fort simples, les valeurs numériques des temps etdes e- s P^„ qui correspondent à une série de vitesses équidistantes données et su samment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de n0U T u ,. s courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement tonies ies ^ va . | . a | intermédiaires de ces temps et de ces espaces ; ce qui s’appelle en gent ^ interpoler, dans la langue des géomètres. Mais, en réalité, M. Pi°o el

des résistances.

mi?SHSS!m citée” dS %3t SÏaLTéS 1 «*«** (') to»-

cetle recherche eilt été impossible, tandis que la m«5ÏSSl ( £ 1 |l qu ' l '' !

SUS pt b rtL’nce ““ “ “ m| ’ irali “ 1c » «* «pénmeÆ

Malgré les reproches adressés dans le N° -429, à la formule dont il vient d etre parle, et qm portent principalement sur les faibles vitesses et les groscahbres de projectiles, la table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens d’approximat-'on dans les questions qui concernent le mouvement horizontal Se cés corns' nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d’après faSt sation qu a bien voulu nous en donner l’auteur. L’usage en Isf d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu ; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seuïe- ?„ e ?L ® s na tem P s «coules et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de bOO par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la table , et, par suite, pour les vitesses intermediaires quelconques, au moyen de l’interpolation ou du trace continu des courbes mentionnées ci-dessus ; méthode qui sous le rapport de l’exactitude, aura surtout de l’avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de ICO à 200 m , et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de i’espaee. éprouvent des variations trèssensibies.

(i) En posant, pour abréger, dans !a formule du N° 429 ,

«8=0,00!; A 0,012 A -|-o,ooi 21 ,71 =AlA 0,01 2A -f- 0,00121 , q = o,oo3À,

elle prend îa forme très-simple

K = 7 «Y® -j- ?iY 2 -j- q.

Pour les mouvemeuts rapides des projectiles de l’artillerie, c’est-à-dire pour des vitesses supérieures à 5 m par seconde, on pourra négliger le dernier terme de îa formule, et l’on calculera, d après M Piobert, en mètres et secondes sexagésimales , l’espace È décrit et le temps T écoulé pendant que îa vitesse Y' du mobile se réduit à Y, au moyen des formules

E =— logZlü— , «9 V (V/+*/

WJ \ v Y f j i

ou les logarithmes sont hyperbo liques , comme dans la note du N° 444 > et - P désigne le

poids, en kilogrammes, du projectile, i la fraction — =583,2353 qui, ici comine on voit, joue un très-grand rôle, et mériterait d’être déterminée avec le plus grand soin, d’après les

ou au-dessous de 5m par seconde, on

données de Inexpérience.

Pour les mouvements très-lents , au contraire, peut négliger le terme mY z de la résistance, par rapport aux deux autres, et alors on a

„ . -crr -*-r \

y.ng

arc iang

arc tan g —

formules dans lesquelles encore, r exprime en nombre le rapport de q a n, et l’abréviation arc tang , Parc de cercle dont !e rayon , égal à l’unité abstraite, a pour tangente trigonométrique, la valeur numérique du rapport qui la suit, et dont la connaissance entraîne celle de Parc au raoven des tables trigonométriques connues.

Telles sont d’ailleurs les formules par lesquelles M. Piobert a calculé les nombres luser its dans le tableau ci- après du texte.

repos , considéré à l’étal moyen.

as

JS

ta

DES RÉSISTANCES

Voulant, par exemple, trouver le temps que la résistance de l’air tra.t a réduire a 100- la vitesse initiale de 500- supposée au boulet du calibre ae -rt, question aont nous nous sommes déjà occupés au N° 444. on trouvera , dans *es colonnes verticales qui répondent à 500 et iOQ 1 ^ de vitesse et a la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il ^jSrespeetivement ; ce qui donne pour le temps cherche 11 ,6o 0 ,o24 — 11", 526, dont la différence aux -il", 77 obtenu»

dans le meme numéro , provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d’une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans l’intervalle dont il s’agit, est de 2521- — 173°» =2145”, au lieu des 2242- obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s’en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours eireonscrite dans des limites aussi étroites pour d’autres hypothèses.

Enfin si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100-, comme dans la table, on voulait la prendre égale à 120 m par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d’interpolation déjà mentionnées, et qu’il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200, 150, 100 et 50 mètres, voisines de 120 m ; on trouverait ainsi 9", 04, 2047 m respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d’un tableau de semblables courbes tracées , dans toute leur étendue , par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l’espace relatif à un temps donné , ou réciproquement ; c’est pourquoi il devient inutile d’insister.

Cas du mouvement vertical.

448. Valeur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice, dans le mouvement ascendant. Pour les corps très-denses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé, et par la résistance R du milieu , et par l’action cîe la pesanteur sur le corps , dont le poids P = Qn (440), devra d’ailleurs (41 , 115 et suïv.) être diminué de tout celui du volume Q de l’air qu’il déplace, poids que nous nommerons P'= Qp , et qu’il sera facile de calculer au moyen de la densité p du fluide (431). Nous aurons donc ici (440)

F=R-f P— P' ou Q^ = R-}-(n— p) Q;

ce qui donne pour le rapport de v à <, dans le mouvement ascensionnel du corps . ou pour la force dynamique relative à 1 unité de masse ,

t 9 (n-f-Mjo) Q (n-j-»p)Q

quelle que soit d’ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.

' Pour les projectiles sphériques de i’artibene lances verticalement dans Pair , de bas en haut, on pourra négliger le terme n P , relatff au fl.u de en. traîné (440), et , comme leur poids P , meme en les supposant creux est au moins 5000 fois celui P' du fluide déplacé . on pourra aussi ne ^ W tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, poui les hypothèses des h Tos 441 et 452, donnera simplement

^ p J P * " ïï^

formule qui Jet en évidence l’influence respective du diamètre d, de la

V e PASTO.

41 g MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

densité moyenne n du projectile, et de la gravité ou de g, sur le ralentissement plus ou moins rapide du mouvement ascendant.

Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de 24 , qui nous a déjà occupés aux 458, 442 et 444 , les formules

F = r + p = 0,OOlO75o£V 2 + 12k,^= 0,000884V 2 -f 9”, 809,

dans lesquelles il ne reste plus que h et Y d’indéterminés, et qui montrent que le mouvementsera déplus en plus retardé commepour les projectileslancés horizontalement mais d’une manière bien autrement rapide, et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (446), son frottement venait à se joindre à la résistance de l’air. On voit, en effet, que la force retardatrice F, conservant , à tous les instants , une valeur qui surpasse 12k, il faudra bien que le mouvement finisse par s’éteindre complètement, même en un temps fort court.

Si, au lieu de posséder une densité moyenne n, supérieure à celle p de l’air 1 le corps en avait une beaucoup moindre , il ne serait évidemment plus permis d’agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d’un ballon en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le ~ de celle de l’air à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 .Jk,227=0k,082 pour l mc le poids de l’enveloppe réuni à celui du gaz qu’elle renferme, c’est-àdire P - loin de surpasser celui de l’air entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible ; et alors aussi, non seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir , mais encore il tendrait, par lui-même , à s’élever avec une force mesurée par P'— P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré ( 108 ), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.

La même chose pouvantse dire, en général, de tous les corps qui sont spécifiquement plus légers (55) que le fluide quiles contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors

F = P'— P— R=(f— n) O— R; de sorte qu’on aurait généralement aussi ,

V P — n grR

7 y n -f- np (n -j- np) O 1

formules qui ne diffèrent des précédentes que par l’inversion des signes. Mais, au Heu de raisonner dans ces hypothèses générales , il vaudra mieux revenir à l’exemple particulier des ballons , qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l’article suivant, tout entier , a 1 examen des particularités que son mouvement peut offrir.

449. Exemple relatif à ï ascension verticale des ballons, limite de leur vitesse.

Supposons (Fig. 75) un ballon sphérique de 10 m de diamètre, son volume sera , à très-peu de chose près , de 525 mc ,6 ; par conséquent le poids a volume d’air qu’il déplace dans les circonstances atmosphériques indiquées au N° 4SI , aura pour valeur 525 mc 6 . lk,227 = 642k,5 ; celui du ga hydrogène qu’il contient, 525 mc ,8 . 0 k ,082=42k,94 seulement ; et en le* poids absolu du fluide qu’il entraîne (442) 0,6 . 642k, 5 =o85 k ,o; P 01 énormecomme on voit, et qui doit exercer une très-grande influences les lois du mouvement.

Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, su pendue à un système de cordes , une nacelle ou gondole , en osier, ti légère et dans laquelle se placent les aéronautes ; nous supposerons qu poids de ces objets et de tout le surplus de l’équipage soit de 550 k , mes dans l’air, ce qui est une charge considérable. Enfin , pour être parta i

DES RÉSISTANCES. 4rg

ment rigoureux , il conviendrait encore d’avoir égard à la résistance de l’air contre la gondo e , les cordages, etc. , ainsi qu’à la masse de fluide qu ils entraînent; ma ls , comme ces quantités seraient impossibles à évaluer dune manière précisé, et qu’elles doivent être très-petites vis à v?s de celles qui se rapportent au ballon , nous en ferons abstraction, sans perdre de vue neanmoins la faible part d’influence qu elles peuvent exercer S

^iV^r e MÎr ! iA le ballon serait enlevé avec une force constante P — P = 642k, 0 — 42k, 94 — obOk = 249k, 56 , qui sera diminuée, a chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par lair et que nous continuerons à évaluer au moyen de

S £05?. êt&tnS&ÜZ'tâlSii ! deilent ici ■ *

Quant à la masse totale mise en mouvement par la force motrice cidessus , elle se composera à la fois (440) : 1° de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé ci-dessus égal à 5S5k,5 ; 9 » <j e ce u e q u poids pareil du ballon et de son équipage , c’est-à-dire de 550k. augmenté du poids du volume d’air déplacé, puisque ces 550k ne sont pas°eensés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets dont la résistance n’a point non plus été appréciée , nous ne tiendrons pas compte d’une pareille différence ; 3° enfin de la masse de l’hydrogène enfermé dans le ballon, et qui pesant dans le vide 42k94, est pareillement soumis à la loi d’inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids o85k,5-j-550k-|- 42k, 94=778k, 44 divisé par^=:9k,809, ou 79,56 ; et, par conséquent, on aura ici , pour calculer toutes les circonstances du mouvement ,

F=249 k ,56 — 4,91U-Y% j =ÿ^=5, 1447-0,06176 kY 2 .

Le ballon partant de terre avec une vitesse Y d’abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4,91 14V 2 restera au-dessous de 249k, 56, cette vitesse augmentera de plus en plus , et de quantités qui, à la vérité , iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si cette résistance pouvait devenir égale à 249k, 56 , ce qui exigerait que la vitesse atteignit ellemême la valeur fournie par la relation

249k, 56 = 4,9114V 2 , ou 5,1447 = 0,061764V 2 , à laquelle on satisfait en prenant à la fois 4 = 0,64 , d'après la table du N° 428 , et V = 8“91 par seconde , alors la force accélératrice F deviendrait nulle , aussi bien que l’accroissement correspondant v de la vitesse, et le mouvement cessant de varier, il se continuerait uniformément en vertu de l’inertie (55) ou de la vitesse acquise par le ballon , si toutefois les circonstances restaient , dans les régions supérieures de fatmosphère, les mêmes qu’à la surface de la terre.

La discussion de cette particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons , étant fort délicate et se reproduisant dans d’autres questions qui reviendront plus loin , je n’insisterai pas en ce moment , et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spécifiquement plus léger, dont la résistance , à I ascension , pourrait être exprimée par ia formule du N° 582 , la vitesse limite , dont il s agit , serait

généralement fournie par l’équation

F=F-p r = P'P-4M^=0, ou -fyX - ;

4 et Y devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la table du N° 428, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approxima-

lions successives , nommée règle de fausse-position. Mais , il est évident que le phénomène dont il s’agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance, et, dès que cette loi sera donnée, on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogue à la précédente j que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.

Ce qui diminue d’ailleurs l’intérêt qui pourrait s’attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c’est la nécessité où l’on est, comme on l’a vu, de négliger l’influence, assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu’il n’est pas permis d’admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en effet, 2 mille à 3 mille mètres, et l’on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM. Biot et Gay-Lussac, s’élever verticalement dans les airs, à nne hauteur de près de 4000m ; puis ce dernier, dans un second voyage, atteindre seul, la hauteur énorme de soigna, au-dessus du niveau des mers, la plus grande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant des montagnes (i). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboîdt et Boussingault, qu’à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de l’air éprouvent, ainsi que l’action de la gravité, fine diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution del’atmosphère (Connaissance des temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 400 à oOG®, par exemple, il serait peu necessaire de s’en inquiéter pour les ballons, et encore moins s il s’agissait des projectiles très-denses de l’artillerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l’air, par la force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres, ,

430. Valeur de la force dynamique, accélératrice ou retardatrice , dans le mouvement vertical descendant. Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne n (440) de ceux-ci, surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple , pour les projectiles de l’artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu]? , du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l’action de la gravité sur ses différentes parties, diminue et du poids du volume de fluide qu’il déplace , et de la résistance R , fl 1 * 11 éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc, dans de telles

( i ) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aérostatiques furent découverts en 1782, par le célèbre Montgolfier d’Annonay, et que Pilastre Des Rosiers, physicien dis tingué, ué à Metz, périt en 17S5, victime de son zèle pour les progrès d’un art qui était encore dans son enfance, lorsqu’il tenta de franchir le détroit qui sépare la Fiance l’Angleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 17S3, c’est-à-dire quelques moi seulement après l’époque où les frères Montgoifier firent leur brillante expérience d Annonay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs , à l’aide des ballons. La v de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, a mémoire, un monument modeste, naguère en ruine, et que la société académique àe ce même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une seconde fois, le co rage malheureux d’un savant qui lui fut étranger. (Note de l’édition de iS- 9 )

DES RÉSISTANCES. 42I

hypothèses, F = P — P’ — R = (n — p \ Q — R ; ce qui donne (440)

t (n -j- np) Q y Tï-{-np (n -{- np) Q' et le mouvement de descente s’accélérera continuellement tant que le poids ~îl cor P. s 5 dans le fluide, surpassera la résistance R, opposée par ce derrner. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s’accélérera de moins en moins, attendu que R croît très-rapidement avec la vitesse

V du corps ; il arrivera même bientôt un instant où il ne s’accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d’être égal à P — P', ou que

V différera très-peu de la valeur fournie par l’égalité

P-P'= R= k P A ~ ou JfeV» = 2 g

% y pA

si l’on continue à admettre la loi de résistance du N° 382.

Ainsi , encore, le rapport de v à f , variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s’agit. Mais, comme le rapport inverse du temps t à l’accélération correspondante v de la vitesse, converge , dès-lors , vers l’infini, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au ÎN To 442 , circonstances dont nous renverrons ia discussion approfondie à l’un des articles ci-après.

D’ailieurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R, dès l’origine du mouvement, ou à l’instant de la descente du mobile ; s’il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R plus grande que P — P', P continuant à surpasser P', comme on vient de le supposer, la vitesse loin de s’accroître , serait évidemment diminuée ou retardée par une force

et le serait continuellement jusqu’à l’instant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n’être plus égale simplement qu’à l’excès du poids absolu P du corps , dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu’il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par l’une ou l’autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.

Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit t énergie avec laquelle un corps serait lancé verticalement , de haut en bas . dans un fluide indéfini et homogène d’une densité moindre que la sienne propre , la vitessede ce corps convergerait , tendrait sans cesse , vers une même limite , qu il est possible de* calcule/ à Vacance, mais qu’il n atteindrait pour ainsi dire jatnais.

Enfin si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus eu plus retardée, tant par 1 action de F que par celle de la résistance R; de sorte qu’on aurait a.ors pour la force retardatrice effective ,

quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse.

La somme R J- F surpassant donc constamment P , il est clair que le mouvement finira par s’éteindre complètement; et. comme on aura a cet instant V=0 R=Ô F = F— P, force toujours dirigée de bas en haut, ou voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin , ou a remonter en vertu de cette autre force . désormais acceieratrice,

il suivra donc dès lors , absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l’ascension des ballons (448 et 449) ; ce qui nous dispense de poursuivre davantage l’examen de son mouvement. Ce même cas est d’ailleurs analogue à celui que présente un corps dense lancé , de bas en haut , avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévation , redescend ensuite par l’action prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d’air déplacé.

451 Exemples particuliers et faits généraux relatifs à la plus grande vitesse de chute des corps dans les fluides. Dans le cas particulier du boulet de 24 du N° 458 , dont le poids , dans l’air, P — P' = 12k, le mouvement , s’il était suffisamment prolongé , deviendrait uniforme à l’instant où l’on aurait

Or on voit de suite , d’après la table du N° déjà cité , que cette condition est satisfaite pour une vitesse d’environ 125 m par seconde , à laquelle correspond (425) une valeur du coefficient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,71 +-| 0,06 — 0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu’un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l’air ; et c’est aussi vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d’un boulet quelle que fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, en la trouverait respectivement de 207 m ,48 tI1 et 4o m par seconde environ, pour des boules de même grosseur , en platine , en glace ou eau congelée et en bois d’orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 36 k , 7 k l et 1k36. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ou le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi - pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de + 0 m ,148 ou 5.9 millim , elle se trouverait réduite à j environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à i 46m - 9 m ,2 pour une bille de glace dont la grosseur serait à un peu près celle des grêlons ordinaires , lesquels , en réalité , doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres , à cause de l’excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.

Au surplus, l’influence du diamètre et de la densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation générale

P — P' = B. = £pA — , ou AV 2== %— ’

on remplace, comme on l’a fait au N° 442, pour une autre circonstance, P , P' et A , par leurs valeurs analytiques dans l’hypothèse où le mobile serait sphérique. Elle devient , en effet , si l’on conserve aux lettres la même dénomination et qu’on suppose toujours pour le lieu où nous sommes, g = 9 m ,809 ,

kT-=1g (~ — A gd — 15,0784 â ?

p A 5\p / VP l

ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus, où le rapport de nap n’est pas descendu au-dessous de 600 , les vitesses limites Y , sont , a re^ peu près , proportionnelles à la racine quarrée du diamètre du mobile e rapport de sa densité à celle du milieu. . t

Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement ténues tomn dans l’air , et , à plus forte raison dans l’eau, avec une si grande lente quoique leur densité surpasse notablement celle du fluide qui les rente! u ?

DES RÉSISTANCES

plus tenus , moins denses, tandis que ces mêmes par Des “ont à’iw*”* celles qm parcourent le moins d’espace quand on les lance ’ dans ^ en repos avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle Mn if II' diversité de la forme des corps n’influe pas moins, coi on va le fl

fons'abSes r V,teSSe ’ qUC leUr densité spécifi( ï ue et ] ™rs dimen^

452. Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes dans V nir On sait que les parachutes à l’aide desquels les aéronautes peuvent abau’

£•“ mosSf ’L? f r dre T dan8er ’ des **™Ziï* “tê;

deiatmosptiere, sont, a peu près disposes comme les parapluies ordina ires (Fig. 76) si ce n est qu’ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes et qu ils portent , à l’extrémité inférieure de leur tige verticale une petite gondole en osier , propre à recevoir le voyageur. Il devient intéressant de se demander quelle sera la limite de vitesse qu’un pareil système pourra atteindre sous des dimensions données , dans sa descente verticale, ou queues devraient être ces dimensions pour que la vitesse effective demeurât inférieure à une limite également assignée, et qui serait reconnue n offrir aucun péril pour le voyageur; question analogue à celle que Dubuat avaitjieja traitée dans le tome II de ses Principes d: Hydraulique (ÎN 0S oo~L et 537) , longtemps avant que Garnerin ait eu la hardiesse de tenter, pour la première fois, sa dangereuse expérience.

Considérant, à cet effet, un plan mince circulaire et horizontal pour lequel il suppose (405) k = 1 ,43, il trouve que , sous un diamètre del8P ds la limite de ia vitesse serait d’environ 19P ds ou 6 m par seconde, qui répond sensiblement à la hauteur de 6r ds ou 2 m , de laquelle un homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de danger; mais il sera plus prudent de réduire cette même vitesse à 4* , ce qui exigera simplement d’agrandir un peu la surface du parachute.

On peut juger, d’après le résultat des expériences de M. Thibault, rapportées aux N os 409 et 410 , que, pour une flèche comprise entre le \ et le i de l’envergure ou diamètre moyen du parachute, la résistance serait, tout au plus, 1,45 fois celle d’un plan mince qui aurait pour aire la projection A, de sa surface, sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D’un autre côté , nous avons vu (407) que la valeur la plus probable de &, pour ces derniers plans , était de i.o; on aurait donc dans le cas actuel, A: =1,3 X 1,15 = 1,5, en nombre rond; de sorte qu’en supposant au parachute, un diamètre moyen de 8“, ce qui donne A=5, 14 1Ô. 4m. gmq 2650, on pourrait calculer sa résistance , dans les circonstances ordinaires, par la formule

R = 0,06253 . 1 ,5AY 2 = 0 ,0958AV 2 =4,71 5 Y 2 kilog.

Si l’on s’en référait, au contraire, au résultat des expériences spéciales de M. Didion, qui se trouvent consignées au N° 411, on obtiendrait, en supposant sensiblement p = /, et négligeant, à cause de leur faible influence, le terme constant et celui qui provient delà masse d’air entraîné, puisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou à l'uniformité (448), on obtiendrait; dis-je, R = 0,163 AT 2 = 8,19V 2 , résultat presque double du précédent auquel il nous semble convenable d’accorder la préférence dans une question de cette espèce.

D’après cela, supposant que le poids P — P' du voyageur et de tout le surplus de l’équipage, mesuré dans l’air, soit de Sot, la plus grande vitesse que puisse acquérir le parachute dans sa descente, sera donnée par la

condition 4,745V 2 = 85 k , ou V = f/ 48,0297 = 4 m ,2o par seconde. Une telle vitesse en supposant même qu’elle pût être atteinte , serait assez faible pour prévenir tout accident a 1 instant ou la gondole toucherait terre : un procédé Inverse et tout aussi simple d’ailleurs , servirait à trouver la valeur de l’aire A, propre à satisfaire à toute autre condition.

1 ÿ[ 0us venons d’ajouter : en supposant qu'elle pût être atteinte; car nous Payons pas tenu compte de la résistance de *a gondole, des tiges du parachute etc. et les calculs ne se rapportent qu’à la plus grande vitesse que puisse’ acquérir le système . à celle qui répond à l’instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (449 et suiv.) Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, ies corps qui tombent ou s élèvent verticalement dans l’air . ne peuvent , comme on l’a déjà insinué au 450 , jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu’ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse cm coips et du fluide entraîné est très-petite, ils puissent en approcher de fort près, même au bout d’un intervalle de temps médiocre, comme le prouve la

relation iibid) qui donne le rapport de v à *•

435. Démonstration géométrique de V impossibilité que le mouvement continu atteiqne rigoureusement sa limite uniforme. D après les discussions des N os 442 et 443, ce fait peut être considéré comme une conséquence évidente de la rapidité avec laquelle le rapport de c à * (450), tend, dans le cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de* à v a croître 'avec la vitesse Y ■ possédée aux divers instants par le mobile; mais il ne sera pas superflu de le démontrer directement , sans calculs et par les seuies considérations de la géométrie, d’autant plus que le principe est important, et s’applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse . à se régulariser par l’action d’une force dynamique décroissante et dont l’intensité, uniquement variable avec la vitesse, suit une loi exacte-

rnftrït continue et mâtîicfifisticjue. . ~

‘ Traçons (Fig- 77 et 78) , une courbe ABC dont les abscisses O* , OT , Ot r " ‘ représentent (50) les temps successivement écoulés depuis 1 ongine" du mouvement , qui, ici, répond au point O, et dont les ordonnées

t'v t r 'v" t'"v" correspondantes , représentent, au bout de ces temps

respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée app iquée la force accélératrice ou retardatrice ; il est clair que, quand so l’influence de cette même force, la vitesse augmentera (Fig. //) , en mm nuera (Fig. 78) , constamment, par succession insensible ou suivant une loi rigoureusement, continue , la courbe s’éloignera ou s approchera continuellement de l’axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès-lor. , confondre avec une parallèle à ce même axe; mais, comme une c continue diffère essentiellement, dans sa nature, dune simple ngu droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique son - Bellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci , elle ne saurait , »

reusement parlant , jamais dégénérer en une telle ligne , bien qu e “ P , en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, pai e , P > qu’au bout d’un temps excessivement long, ou a une distance e . ment grande de l’origine O, les vitesses ou ordonnées diffèrent aussi exu g rnernent, peu de celles qui appartiennent a une droite Dü , P^ ra * l "‘ u ne OT des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu on nom asymptote dans la géométrie des courbes , et c’ est la valeur pou r TD , de ses ordonnées, que nous avons, tout ai heure, deteim - - F le cas du mouvement vertical des corps dans l’air. . us a

Telle est l’interprétation géométrique fort simple du tait q j u j{ d’abord été révélé par le calcul et le raisonnement , fait qui se l

DES RÉSISTANCES

dans une infinité de circonstances , parce qu’il existe a H «i c • lois, une infinité de courbes qui donnent lieu à des !! infimte de caractère général e S , , comme on voit de Ie

indéfiniment dune certaine branche de ces courbes sans nê„„ ellement et

jamais r atteindre , droites que l’on considère aussi quelquefoiwn^'T Véritables tangentes au point situé à l’infini sur une telle branche mT® 6 ^ les hyperboles , entre autres, dont nous avons rencontré des ébranlés dans divers numéros de cet ouvrage, possèdent deux asymptotes paSl l s quand on les trace dans toutes leurs parties, car elles ont aussi S branches infimes ; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n’ont pas pour cela des asymptotes : la parabole entre autres, est dans ce cas Fn général, on doit voir , par là, combien l’étude des courbes géométriques est utile pour la mécanique, puisque chacune de leurs propriétés rénomï essentiellement a quelqu’une des propriétés relatives aux lois du morne ment des corps ou de l’action des forces qui les sollicitent.

434. Réflexions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines. Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quelconque, il commence par la mettre en mouvement avec un effort qui d’abord est très-grand (148), il détruit à la fois au point où il opère immédiatement , et la réaction provenant de l’inertie des pièces delà machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles ; la force dynamique F , qui accélère le mouvement , est donc alors égale à l’excès de Mort total du moteur sur l’effort que luiopposent directement celles des résistances dont il s’agit, qui sont indépendantes de l’inertie. Or, comme ces résistances, ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent dé plus en plus avec la vitesse, et que l’effort du moteur décroît, au contraire (148J constamment, il en résulte que le mouvement s’accélère de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent de sorte qu’il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme ; mais ce n’est qu’au bout d’un temps , souvent fort long , que la vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur,à laquelle elle ne parvient même jamais s mathématiquement parlant, dans beaucoup de circonstances.

Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ce qu’ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l’intensité entière de leur effort primitif, malgré l’augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l’inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au point où elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n’est plus exactement applicable , et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen du mouvement qu’elle doit conserver. Or la même chose aura lieu ( 241 ) toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue, arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.

43a. Question particulière relative à la chute des corps dans l air. Les méthodes de calculs dont nous avons offert un exemple dans le N° 444, pouvant bien s’amilicruer à la recherche des lois du mouvement vertical, parns . rm’à leur mouvement horizontal.

tout aussi men s appliquer a

ascendant ou descendant des corps , qu a .leur mouvement ; y*’

puisqu’il ne s’agirait que de modifier, d apres ce qui a ete dit aux N .-*8 et 480, les valeurs delà force dynamique, il serait peu necessaire de revenir

<*) On peut ici justifier directement cette notion en se rappelant (o3) que le rapport de »

à L Uni représente en général , l’inclinaison des tangentes de la courbe sur 1 axe des abs-

on des temps , devient nul avec la force dynamique , ou pour I ordonnée qu, répond

à In • --Conf à lire parallèle à l’axe dont il s agit.

a ia 'niesse limite, caractère qui appartient a une p

l re PARTIE.

ici sur de semblables calculs -, mais, attendu que , jusqu'à présent , nous n’avons point offert d’exemple delà manière dont on doit s’y prendre pour trouver l’espace décrit par le mobile , quand le temps est donné ou réciproquement , nous terminerons ce chapitre par la question suivante , en elle-même assez digne d’intérêt.

Ayant observé expérimentalement , à l’aide d’une montre ou chronomètre, le temps qu’un corps a mis à tomber verticalement , d’une certaine hauteur, dans l’air, trouver cette hauteur.

Pour faire une telle expérience dans la vue , par exemple , d’obtenir la hauteur d’un édifice ou la profondeur d’un puits, il conviendrait , si l’on avait en sa possession un moyen très-précis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré , très-dense et d’un assez fort diamètre , afin de diminuer l’influence de la résistance de l’air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le cas où , au contraire , il deviendrait, par exemple , impossible d’apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d’une boule assez légère afin d’augmenter la durée de sa chute , et c’est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de l’air en complète évidence. Nous supposerons qu’ayant laissé tomber d’une certaine hauteur, une boule en bois d’orme de 0”,05 de diamètre , et dont le poids P, mesuré directement dans l’air, aurait été trouvé exactement de Ot, 00143 , l’observation directe du temps ait donné 2", S pour la durée effective de sa chute , et nous prendrons h = 0,32 pour la valeur moyenne ou constante , la plus probable (423 et suiv.) , du coefficient de la résistance qu’éprouve une pareille boule , sous des vitesses qui , dans le cas actuel , ne sauraient dépasser celle de 22 à 25 m par seconde, comme on va s’en assurer, à posteriori , au moyen de calculs analogues à ceux du N° 451 (1). Dans ces hypothèses et en supposant , de plus , les

(i) Dans cette hypothèse particulière de & constant, qui est toujours permise pour une faible étendue des variations de la vitesse Y du corps (4^8), c’est-à-dire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au quarré de cette vitesse , on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous généralement connues et qu’il serait facile de justifier encore à l’aide de considérations purement géométriques.

Pour le mouvement vertical retardé, qui peut être aussi bien descendant qu’ascendant (45o), même sous l’influence d’une vitesse initiale V', on a généralement

--=oY (i) 2 4-i;

relation dans laquelle a et b ont les valeurs numériques qui se déduisent des considérations des Nos 44 8 et 45o, et l’on pourra calculer directement la vitesse Y et l’espace E, relatif» à un nombre quelconque T de secondes écoulées , au moyen des formules A ’ cos rT — sin rT

= l\rt t VA eE = >°s («V'sin rT + cos rT) ;

z\ r sxn rl -j- cos rT

iV =

où les logarithmes sont toujours (445 , note) censés hvperboliques , tandis que i désigne b racine quarrée du rapport numérique de a à l , et r celle de leur produit j/oî. Si l’on veut calculer directement le temps et l’espace qui répondent à une vitesse V donnée, on se servira de ces autres formules

rT = arc tan:

2aE = W-

Quand , au contraire, il s’agira de trouver la vitesse V et le temps T qui correspon

dent

DES RÉSISTANCES

circonstenees atmosphériques semblables à celles qui ont servi de base à l’etablissement de la formule R = 0,062b3ÆÀV 2 du N» Jïi 1,,

?//t 0 ’,TSr 298V ’’ 1 f u!e âe A-0»,,00070886; ce ’î ZnZÎ

(441 et 4o0) , pour calculer les lois du mouvement , puisqu’il de X e boÙîe PemiS ^ negliser la coasidérat 'On du poids de l’air entraîné par

à une hauteur donnée E , on recherchera dans les tables hyperboliques , le nombre X dont le logarithme a pour valeur le produit aE , qui est aussi un nombre, et l’on calculera la valeur de V, au moyen de la formule