P-PQ

de laquelle on tire sans difficulté , à cause des relations de continuité

P 2g Ljc 3 ( A — A fl J f a (A -

en posant , pour abréger , le facteur numérique

p représentant, lui-même ce qu’on nomme improprement le coefficient de la contraction , dans le cas des ajutages ou tuyaux additionnels très-courts, mais coulant à gueule-Me, puisqu’il porte ici, plus spécialement, sur la ré-

duclion éprouvée par la vitesse de sortie U, en raison des tourbillonnements et des résistances intérieures.

Nota. Les résultats auxquels on arrive pour y. et U, dans le cas des tuyaux d’écoulement ordinaires , s’accordent , comme on sait, d’une manière trèssatisfaisante avec ceux de l’expérience , pourvu que la longueur de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre ; mais cela n’a plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient y suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante , indiquée dans T errata, ci-après , de la note du N° 413, ce qui paraît tenir essentiellement à ce que la vitesse moyenne U , supposée , dans le calcul , égale à mW, en diffère alors d’autant plus que l’extrémité du tuyau où elle se mesure, est elle-même plus voisine de la section contractée , à partir de laquelle, en effet , la veine va en s’épanouissant et prend des sections vives très-distinctes de celle de ce tuyau, et qu’il serait probablement plus exact de lui substituer dans l’application du principe des forces vives. Mais , au lieu d’introduire de pareilles modifications dans les formules , où il reste encore les indéterminées n et n ' qu’on pourrait supposer égales à la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer à y, dans ces formules, les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Michelotti, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs ; ce qui montrera, tout au moins, que ces mêmes formules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance des prismes.

(g) Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de l’expérience. Considérant d’abord le cas où le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite , les expériences de Dubuat (411) assignent au coefficient de la résistance , la valeur minimum 4 = 1,323, tandis que celle du coefficient y. des courts ajutages, atteint, d’après les expériences de Michelotti, le maximum de la sienne ^ = 0,82, il en résulte que l’expression analytique ci-dessus de h , ne pourrait s’accorder avec l’expérience , qu’autant qu’on aurait

-A-= i «/r+T= 0,82 / 2,8*28 = 1,23 ou A'=3A,

valeur qui se rapprocherait davantage encore de celle A'=4A qui a ete mesurée directement par M. Duchemin , dans le cas des prismes en repos, si l’on attribuait à y. une valeur un peu plus grande que 0,82 , comme il P a " raît naturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de h, don nées par la formule du précédent article , à partir du plan mince , suivront très-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat , tandis que , pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les valeurs de k iront continuellement en augmentant, comme celle de y , à cause du frottement latéral. Néanmoins , dans les calculs rela

DES RÉSISTANCES. m

tifs aux prismes très- courts , il deviendrait indispensable d’avoir é S ard à U condition qui rend A' = 6,46.4 et ^ = *, = 0,75 pour les plans minces etc et d ne .agit >«. je le répète, que de l’interprétation générale du phéno’ mena de la résrstance au moyen des formules déduites du principe des forces

A l’egard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un fluide en repos il y a tout lieu d’adopter la valeur A' = 6,46 A, telle que l’a obtenue Dubuat pour un cas analogue , et alors on trouve :

1; et par suite, 4=1,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple environ de sa largeur réduite ; de sorte qu’en adoptant la valeur A' = 84 p0U r de tels prismes en repos , et la valeur A' = 6,46 pour les mêmes prismes en mouvement , les formules très-simples

représenteraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résistance relative à ces deux cas , pourvu qu’on eût égard aux observations ci-dessus relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s’il s’agissait de prismes très-longs , le frottement latéral ferait diminuer p et augmenter k avec L , d’après les formules analytiques (f) qui donnent les valeurs de ces deux coefficients ; ce qui est conforme aux indications de l’expérience.

(h) Prismes avec proues sans poupes. Prenant , en particulier , pour les prismes de moyenne longueur, p=l,ce qui les suppose armés d’une proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule de l’art (/) donne 4 = 0,56, pour le cas où ces prismes sont immobiles, et 4 = 0.40 pour celui où ils choquent le fluide en repos. Or ces valeurs sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut (e) pour les surfaces minces et convexes , considérées dans des circonstances analogues , et la dernière s’accorde assez bien avec les données de l’expérience, relatives (424) aux prismes mobiles , armés de proue mais sans poupe. Que si l’on voulait d’ailleurs , comme on l’a déjà proposé (e) pour les plans et surfaces minces , rejeter la diminution de résistance, dans le cas des fluides en repos, sur la diminution même de la contraction plutôt que sur la grandeur relative du rapport de A' à A, il faudrait aussi attribuer à y, des valeurs proportionnellement un peu supérieures à celles que donnent les expériences de Michelotti sur les tubes additionnels. Dans toutes les hypothèses , on est conduit à admettre que les valeurs de ce rapport , et par conséquent celles de k, tendent vers légalité , pour les deux cas des fluides en repos ou en mouvement , à mesure que la longueur L des prismes augmente.

Mais nous ne pousserons pas plus loin cette discussion et ces rapprochements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis, p 0ur conduire à des conséquences exemptes de toute objection , et nous passerons à l’examen de l’influence qui peut être exercée par l’addition d’une poupe à l’arrière des prismes.

(i) Appréciation de F influence exercée par les poupes. En admettant que l’addition d’une poupe n’influe que très-peu sur la direction rectiligne des parois fictives LM, L'îl' (Fig. 82), on s’apercevra, de suite, que les phénomènes de mouvement qui s’accomplissent dans la région postérieure du canal limité à ces parois , doivent offrir la plus grande analogie avec ceux des ajutages coniques divergents , déjà anciennement soumis à l’expérience par Bernouilli et Venturi. Ainsi la pression y devient négative , c’est-à-dire inférieure à la pression statique , à peu près comme cela arrive latéralement, vers l’amont ( Fig. So ), en m et mt, sauf qu’ici le parallélisme des côtés du prisme empêche le défaut de pression de devenir nuisible ou d’augmenter la résistance. D’un autre côté , la vitesse moyenne , U, je suppose , conservée par les filets à leur sortie de l’évasement ou en quittant le corps, diminue à peu près en raison inverse de l’aire des sections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisamment adoucie et allongée, comme l’exprime la figure 82 , peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant ; or cela tend à faire disparaître, dans l’équation des forces vives, relative à ce cas , le terme qui concerne la vitesse d’affluence V, du fluide , dans la partie d’amont , et , par suite , à diminuer la résistance.

Enfin , le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du tuyau limité aux parois fictives LM , L'M', dans la partie évasée formée par la proue , donne lien à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée mn, m’n (Fig. 55), dans le cas des prismes sans proue ; perte qui pourra ici être représentée par le produit M n'- (U — U,) 2 ; si U et U ( désignent toujours les vitesses moyennes de régime , ou censées uniformes , dans les sections prismatiques en amont et à l’extrémité postérieure de l’évasement , n'~ le nombre, supérieur , à l’unité , par lequel on doit multiplier les forces vives MU 2 et MLf possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire Jes forces vives effectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d’une poupe convenablement adoucie et allongée , mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales , il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistance , il suffi 1-3 ° e considérer séparément ce qui se passe dans les régions, antérieure et poS'-C rieure , du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives L3L L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédée' ment admises, et désignant, pour la deuxième, par P, la pression corre

DES RÉSISTANCES

pondante à la section où la vitesse moyenne est U ( , pression q U1 est ai ' celle du fluide à l’arrière du corps , enfin par A,, pour plus de généralité' l’aire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à l’axe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé (Fig. 82), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc.; négligeant, au surplus , le frottement le long de cette poupe , comme on l’a fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (f ) , la suivante

Mn'-U, 2 — M»' 2 U 2 -f- ïïw' 2 (U — Ü,) ! = 2]% (

et, à cause des relations de continuité (A' — A)U=(A’ A[)U, = A'V"

elle donne

2<?^(A'-A) 2 ’ en posant de nouveau , afin d’abréger ,

facteur qui devient nul , comme cela doit être quand on suppose l’aire A, du pan coupé, égale à celle A de la section transversale le plus large de la partie prismatique du corps, tandis que si l’on y suppose A, = 0 , ce qui convient

au cas de proues effilées représentées par la fig. 82 , ce même facteur prend la valeur

très-faible et essentiellement positive, à cause que A' surpasse au moins quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d’aval Pj, qui doit différer alors très-peu de la pression statique du milieu, surpasse, conformément aux indications de l’expérience relative aux tuyaux divergents , celle qui a lieu vers la partie prismatique du corps , pour toutes les valeurs de A, comprises entre zéro et A.

Ea pression Pj qui agit contre A t , donne incontestablement lieu à une diminution de résistance mesurée par le produit A,P,; mais on n’aperçoit plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pressions exercées par le fluide contre la surface de l’évasement formé par la poupe , pressions qui décroissent de la section d’aval où elles ont pour valeur P„ jusqu’à celle de la partie prismatique du corps où elles deviennent égales à P'. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée ci-dessus , pour a P r °ue elle-même : le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever. Puisqu’il est impropre à faire découvrir les pressions partielles et variables dont il s’agit. Or il parait qu’il faut, ici encore, considérer P t comme une Pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le

MÉCANIQUE INDUSTRIELLE, produit A (P t — P') comme la diminution qu’éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

(j) Formules relatives aux prismes armés de poupes avec ou sans proues. D’après les observations précédentes , si l’on retranche de l’expression de R, déjà trouvée pour la partie d amont , la valeur du produit A(Pj- P ) dont

le facteur P t P' vient d etre obtenu en dernier lieu pour la partie évasée du

canal, il en résultera cette nouvelle expression de la résistance

Og ^{k'—kf ^(k'—kf ’

à laquelle on arrive, de suite, si, en conservant toutes les dénominations précédemment admises, on pose, d’après le principe des forces vives, l’équation

(c+c' ÂA

H *ü\—V*+{nW— »'U) 2 +2

MTP-j-tt' 2 (U — IJ,) 2 =

qui exprime la loi de l’écoulement du fluide entre les sections extrêmes

A , 4, 4 et d e laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais

où, pour plus d’exactitude , on devrait affecter U et Ü 2 , d’un coefficient numérique différent de celui n'. qui convient à W, si la poupe n’était pas assez allongée et bien disposée pour amener les filets fluides au parallélisme.

La°formu!e qui donne , pour ce cas général, la valeur de R, revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail , par la demisomme des pertes de forces vives , et son facteur k doit encore pouvoir être conclu de l’observation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d’une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, a la manière ordinaire , à l’une des parois planes d’un réservoir vertical rempli d’eau uniquement soumise à l’action de son propre poids , mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l’ajutage.

Pour rendre, en effet, l’équation des forces vives ci-dessus, applicable a ce dernier cas, et propre à donner la vitesse U t d’écoulement par 1 orifice extérieur A' — A t , en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à l’axe de la veine, il suffit d’y supprimer le terme en Y 2 , et de remplacer le deuxième membre , par le produit ; d’où il résulte que si l’on nomme ^

le coefficient de réduction de la dépense hypothétique Q=(A'— A I )V / 2# » et qui porte essentiellement sur la vitesse \/~ %H, on devra avoir, dune part ,

de l’autre ,

R = kpk

fit

DES RÉSISTANCES

" q„. permettra Je calculer immédiatement I. ealen, J e .a,,., moyen du coefficient „ fourni par ,ea e.périenee, de, tube, ££?£ n vient dêtre parlé. ^ aoûl

(*) C ° m P araÙon d " résultat des formules arec ceux de F expérience SupD0 S a„t, en part* , la proue et la poupe disposées (Fig. 82) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval le coeffic.ent m de cette contraction deviendra l'unité, et A nu ; si c.e plus , comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L , ae .a partie prismatique du corps , est très-petite , on pourra négliger le frottement latéral , et (/) l’on aura ^ = 1 , ce qui donnera simplement°pour le coefficient de la résistance ,

i renant , comme dans le cas ci-dessus des plans minces , n'-= 1,1-49 e t observant que n — w doit être ici une très-petite fraction dont il devient permis de négliger le quarré ; prenant en outre, A' = 4 A pour la limite inferieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par un fluide en mouvement, et A' = 6,46.4 pour celle des mêmes corps en mouvement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où l’on néglige l’influence du frottement latéral , en même temps qu’on suppose au corps, la forme la plus avantageuse possible, Ic = 0,l3 et k = 0.04, pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respectifs; ce qui n’offre rien de contradictoire avec les résultats connus de l’expérience ( 417 et 423).

Il y a plus même, on doit pressentir, d’après les conditions qui viennent d’être assignées au maximum de réduction de la résistance , que , pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite, pour les prismes rectangles , par exemple , armés de proues et de poupes, d’ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu’il est possible , on ne saurait éviter entièrement les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des filets , vis à vis des parties anguleuses ou tranchantes ; et de telles perturbations sont la source inévitable , soit d’une perte de force vive, soit d’une diminution de la section contractée m ( A' — A ) d’amont, équivalente à un accroissement ( 1 — wî) ( A' — A ) , de la section transversale correspondante du corps.

(I) Remarque sur la théorie précédente. L’application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables , s étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides ; mais, comme on le voit , ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des filets , résultant d’une forme déterminée du corps, il ne saurait non plus servir à résoudre l’important pro-

blême des surfaces de moindre résistance , qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut bien indiquer en bloc , qu’on me passe l’expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale , en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps ; mais c’est, comme on l’a vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets ou à l’inégalité d’intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant , de cette manière , le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux étudiés de leur écoulement dans les vases , les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport , les formules auxquelles elles conduisent, peuvent offrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernouilli et Euler (373), en considérant d’une manière fort incomplète, le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants.

(m) Examen critique de la théorie de Bernouilli et d Euler, Nommant toujours p la densité constante du fluide , et V sa vitesse d’affluence uniforme en amont du corps, d\ l’aire de la section transversale de l’un des tuyaux formés

par les filets au point où la vitesse est V , dm = L dk\ la masse qui s’écoule

uniformément par cette section dans l’unité de temps , afin « l’angle forme par le tuyau avec l’axe du corps , censé parallèle à V , en un point ou la vitesse est U , c’est-'a-dire l’angle de V et de U ; la pression élémentaire due au changement d’intensité et de direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant estimée dans le sens de V, sera, d’après Euler et Bernouilli , donnée par le produit

V 2 ( U \ dm (V — U cos x) = 2pdA — ^1 — -cos«j

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens , en chaque seconde , par la réaction de la portion du filet compris entre les deux points mentionnés; et par conséquent , pour l’ensemble des portions analogues des filets que l’on considère comme ayant subi les effets de la de viation en amont du corps , la pression totale P, est donnée par 1 expression

(^cos*) dk,

où U et « sont fonctions des variables qui fixent la position des filets leur section d’arrivée dA, l’intégration devant avoir lieu depuis 1 axe de la veine, jusqu’aux filets extérieurs qui , restant rectilignes et par ’ cessent d’être influencés par la présence du corps. Or on voit que cette ^ mule laisse , pour ainsi dire , tout arbitraire ou indéterminé , ët q u on

DES RÉSISTANCES. 443

peut lui donner une forme plus explicite , à moins d’admettre , avec Euler et Bernouilh , que TJ et « soient indépendants de la position de dA , ou d’attribuer à ces variables , une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l’expérience ; ce qui est précisément le point de la difficulté ; car on arrive à des résultats très-différents selon qu’on rapporte « et U aux points d inflexion même des filets ou à des points situés au delà , vers les extrémités du corps.

D’un autre côté , rien ne fixe , à priori , les limites de l’intégration ; et si , pour sortir de cette nouvelle indétermination , on prend , avec quelques auteurs, pour ces limites , celle de la section transversale du cylindre circonscrit à ce corps , section dont l’aire serait représentée par A , ce qui donne la formule

R== 2 pA %( 1 v C0S

on tombe dans un nouvel arbitraire , puisqu’on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une distance de son axe central, égale à b| fois, au moins , sa largeur réduite, de sorte que f dk ne serait jamais au dessous de •4A. Ce n’est donc que par une sorte de compensation d’erreurs que cette expression de la résistance , représente assez fidèlement la marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone , ainsi qu’il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur la percussion des veines d’eau , imprimé en 1 836, parmi ceux de l’Académie des sciences de Turin ( tome XL, p. 81 ), je ne pense pas , dis-je , qu’il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse , mathématiquement parlant , l’application de cette même formule aux fluides indéfinis , sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces postérieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des effets dus a l’allongement des prismes, explique suffisamment les motifs qui ont dirigé 1 Académie des sciences de Paris , lorsqu’en 1826, elle a, de nouveau, remis au concours la question de la résistance des fluides , en exigeant qu’elle fût appuyée sur l’étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les filets au pourtour du corps; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut s’expliquer par cette considération , d’une manière un peu plus claire qu’on ne l’a fait jusqu’ici , les principaux phénomènes relatifs aux changements de

pression observés dans les expériences.

(n) Examen de la marche des pressions en amont des corps exposés à V action des fluides. Occupons-nous d’abord de ce qui se passe dans l’intérieur de l’espèce de vase formé , en amont du corps (Fig. 85 et 80) , par les parois fictives LM, L'ïï', qui, on ne doit pas l’oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pression exercees du dehors au dedans, si de telles différences étaient possibles ou s’il n arrivait pas, ans

la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à la pression hydrostatique du milieu. Si l’on se rappelle bien le contenu des N os 374 et 878 de cet ouvrage , concernant la marche des filets qui, par la présence du corps supposé immobile dans les figures 53, 8o et 80, sont contraints de s’infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central aB , tandis que dans la seconde , ils lui opposent leur concavité; si l’on se rappelle en outre, que, dans l’écoulement des fluides le long de petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire ou différentielle, en chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d’inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité , et croit avec la courbure et la vitesse ; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l’angle BoC ou BaD , et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points d’ inflexion des filets , on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives Lot , L'ot', et va sans cesse en augmentant et en s’ajoutant à elle-même, à mesure que l’on s’avance vers la paroi solide CD et l’axe aB, où elles s’entredétruisent de part et d’autre, ou, plus spécialement encore , à mesure que l’on s’avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d’ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d’une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois Lot, Un', est nécessairement égale à la pression statique , elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(o) Région des pressions négatives , limitée par la surface des points d’inflexion des filets. Pour la région postérieure du vase , comprise entre cette surface elles sections contractées mn , mn la courbure des filets étant dirigée en sens contraire , la pression totale, celle qui résulte de l’accumulation des pressions partielles, s’exerce du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu’on s’éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives Lot , L'm'; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique , il faut qu’elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps , où la veine contractée vient à s’épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir (Fig- 53 et 5o ) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules , elle doit , sous l’influence de ces pressions croissantes du dedans vers le dehors, tendre à s’accélérer dans le même ordre, c’est-à-dire dans l’ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase , et ceci semble justifier l’hypothèse précédemment admise (b et d ; relative-

DES RÉSISTANCES

ment aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées ;^: llteS de VlteSSe deS fîletS ** les sections contractées^ 11,

D un autre côté , i! semblerait également permis d’admettre q„ e , pour les points de la surface des inflexions, où la courbure des filets et les forces cen

T T m,HeS eD ChaDSeant de sens et de «gne, ‘es pressions

totales et les vitesses dussent redevenir elles-mêmes sensiblement égales à

celles du fluide ambiant, par suite de l’accélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en même temps par les pressions, mais ce serait supposer implicitement le parallélisme des filets

dans tous les points d’inflexion dont il s’agit , ce que rien n’autorise à supposer. r

(/>) Analogie de ces phénomènes avec ceux que présente P écoulement par les orifices des vases ordinaires. Il ne sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien, s’appliquer aux phénomènes de l’écoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires , et que M. Lechevalier , dans des mémoires approuvés par l’Académie des sciences , a démontré 1 existence d une surface ellipsoïdale interne , voisine de 1 orifice , qui doit avoir de 1 affinité avec celle des inflexions dont il vient d être parlé , et à partir de laquelle les filets commencent à être soumis à des changements de courbure et à une accélération de vitesse sensibles. On pourait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités offertes par la veine extérieure où la force centrifuge paraît jouer un grand rôle tant que la courbure des filets n’est pas redevenue complètement nulle ; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives à l’écoulement des fluides élastiques, dans lesquellesM. Navier a eu égard à la détente , conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour le cas de très-grandes différences de pression ou de très-grands changements de vitesses.

(q) Régions latérales et postérieures du corps. Maintenant si l’on considère, par exemple dans le cas des prismes (Fig. 55), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbillonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée , il est évident que la pression doit se trouver la même en tous les points, c’est-à-dire égale à la pression statique du milieu , puisqu’il n’existe plus de courbure dans les filets et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités de ces courants latéraux, près de la face postérieure du corps , les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers l’axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu’en mn et mn, la pression totale , due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM , LAI où elle

est toujours celle du milieu ambiant , jusqu’aux filets intérieurs des tourbillons où elle redevient négative , e’est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s’agit.

(r) Influence spéciale des proues et des poupes. D’après ce qui précède, on conçoit très-bien que l’influence d’une proue continue et courbée vers le dehors ( Fig. 53 et 82 ) , ajoutée à un prisme , doit être de reporter vers le milieu a, du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare , en amont , la partie soumise à des pressions négatives de celle qui l’est à des pressions positives, tandis que l’addition d’une poupe, courbée de même , n’a d’influence , pour diminuer la pression , qu’autant qu’elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de l’arrière , et dont la vitesse est d’ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas où le corps , manquant d’une proue, a , parmi lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d’envisager le phénomème de la résistance des fluides , les considérations sur lesquelles se fonde la formule de Bernouilli et d'Euler , on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire , et peutêtre plus propres à représenter les résultats de l’expérience; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d’un plan mince, exposé obliquement à Faction d’un fluide indéfini.

(s) Des plans minces exposés à l’action oblique des fluides (Fig. 81 ). En admettant toujours, comme un fait de l’expérience, que le mouvement des filets s’opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives L n et L V, et dont le fluide s’écoulerait par l’orifice annulaire formé par l’intervalle compris entre le plan CD et ces parois , on devra remarquer : que la contraction n’est plus la même sur tout le pourtour de l’orifice ; qu’elle est plus forte sur Farète C du plan , la plus avancée vers l’amont, plus faible sur l’arête D qui l’est le moins , et à peu près égale à ce qu’elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure; que d’un autre côté, l’axe central aB de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l’arête C que de l’arête D, conformément au résultat des expériences du docteur A.vanzini ( Instituto nationale italiano t.I, part. 1), citees dans le Mémoire (403) de M. Duchemin , lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression a , sur la face antérieure du plan , doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets , parallèlement à ce plan , soit égale tout au tour ou de part et d’autre de sa direction. 11 est clair, en effet, d apres les considérations exposées en dernier lieu , que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par laxe aB , avec le plan CD , que pour ceux qui appartiennent aux angles obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filets engendrent res-

pectivement soit sur ïe plan CD où elles s’ajoutent, soit sur l’axe oB où elles tendent a se détruire en se contrebutant.

De là résulte aussi que la masse des filets qui s’écoulent vers la partie «C allant toujours en diminuant, par rapport à celle des filets qui s’écoulent vers oD, à mesure que l’angle d’incidence BaC devient plus aigu , l’influence de l’accroissement de contraction subie par les premiers, doit aussi s’affaiblir rapidement avec cet angle ; de sorte que le coefficient moyen ni , de la contraction sur le pourtour du plan CD, doit généralement augmenter , mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la diminution de la convergence des filets en D ou en m'n ' .

(f) Formules relatives à ce cas. Conservant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (c) , et observant que la différence des pressions reçues par le pian oblique CD , doit être mesurée par le produit A ( P — P' ) dans le sens perpendiculaire à ce plan , et par A sin a. ( P — P' ) dans le sens parallèle à l’axe AB du mouvement , on aura , en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou les divers modes d’écoulement ,

ra 2 ü 2 — V 2 == 2 g

m[K ' — À sin<s)U=: A'V .

ce qui donne pour le choc perpendiculaire ,

R = pA — g

et, pour le choc oblique sous l’angle aigu BaC = « ,

’ ni- (A' — A sin af

R =pk. — | -

1 j sin » , V = -

n" A' 2 sin a

- sin a.

" 2g (A' — A sin a} 2 j ’ »» 2 (A A sin

Or , en se rappelant que m augmente seulement depuis ?» — 0, /o, qui correspond (d) à » = 90% jusqu’à m = 0,88, qui paraît convenir, en effet, aux plus petites valeurs de *, lorsqu’on prend , comme pour le choc direct ! 15 A ' = 6 46 A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de «, il sera facile de voir que les valeurs ci-dessus du coefficient de résistance k, marchent effectivement dans le sens indiqué par les expenences dont les résultats sont rapportés dans la table ciu N° -*02.

On doit comprendre d'.ill.or., d'.près ton. c. qui précédé ^ résistance des plans minces obliques, est très différente d, celle des a B l dièdre, (*H) par deux tel. plan. «J P» h. faces e 6 .. en, .« P «« d'une poupe triangulaire (416 , Fig. 68), adapte. • »» P"' £

deux dernier, cas, fax. central des filets ‘,j e 1”

, 1 et la fonfraction se réduit a celle qui a lieu pour

dièdre formé par les plans, et la contraction

les arêtes postérieures de ces mêmes celte no!e

(“) Considérations relatives aux tou, 1 ^ hn]ons qu ; , e n différents cas , par quelques remarques concernan e»

i re PARTIE.

tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des pertes de forces vives qu’ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement A cet égard, il est très-essentiel de distinguer les remous, en quelque sorte stationnaires, qui se forment dans les anses et les creux d’un bassin, d’un canal traversés par un courant vif ou principal, d’avec les tourbillons proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers , comme on le voit exprimé en m et m! (Fig. 54 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et révolutif d’une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s’agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation , l’incurvation éprouvée par ce courant , toutes les fois qu’il vient à atteindre une masse fluide douée d’une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre , quoique parallèle. C’est ainsi que la rencontre de deux courants d’air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples ; et qu’on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires , ce qui n’implique pas nécessairement l’idée d’un choc direct, mais d’un choc en quelque sorte tangentiei,et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s’enrouler, pour ainsi dire , autour d’un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C’est encore ainsi que les tourbillons se forment à l’arrière des corps en mouvement dans un fluide , par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l’épanouissement graduel d’une veine après qu’elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section, ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu’ils appartiennent à une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au N° 3 /5, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

(c) Expression de la perte de force vive qu’ils occasionnent. Considérant spécialement le cas des grands tourbillons , il est aisé de voir qu’aux premiers instants de leur formation , leurs divers anneaux ou spires sont doués sensiblement de l’excès de la vitesse Y du courant qui les produit, sur la vitesse d entraînement général U du courant postérieur ; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l’unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu’elle entraîne ou dissimule et qui devient une source de perte de travail , doit réellement être mesurée par l’expression M(V — U) 2 ? admise ordinairement en se fondant, non plus, comme l’avait fait anciennement Borda , sur le choc des corps durs qui n’a rien à faire ici , mais sur la vitesse relative d’affluence d’une veine fluide dans un vase en mouvement. Or l’équation ordinaire des forces vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail , non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires, il convient de les ajouter aux diminutions, en quel- <ju e sorte patentes, éprouvées par la force vive, c’est-à-dire ici à la quantité M V 2 — MU 2 .

4ÔL

Jais en dehors du cas dont il s’agit, par exemple dans celui du choc des veines isolées contre des surfaces d’une certaine étendue , il ne paraît pas qu’on soit autorisé à le faire, à l’imitation de Borda, du moins en s’appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce qui se passe dans une telle circonstance, ou en général dans 1 épanouissement , la déformation des veines liquides, à ce qui a lieu même dans le choc des corps mous; car la cohésion joue, à l’égard de ceux-ci , un rôle qui ne parait nullement avoir lieu pour les liquides, du moins dans les hypothèses où 1 on se place ordinairement , et où Ton prétend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

M P ert e de quantités de mouvement. Quand on veut, au contraire, raisonner en s’appuyant sur la considération des quantités de mouvement perdues ou gagnées, dans le choc des fluides, il devient absolument inutile d avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements ; car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MV — MU, puisque les signes des quantités partielles de mouvement, des filets ou spires qui composent ces tourbillons , estimées dans le sens de U et de V, étant donnés par les signes mêmes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions , la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle ; ce qui n’a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu’elles conservent le signe positif sur le pourtour entier des spires. Mais, ainsi qu’on l’a expliqué au N° 37o du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu’on Ta exprimée ci-dessus , est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement rectiligne et parallèle.

(ÿ) Changements subis par la vitesse des tourbillons de la part du milieu ambiant. Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même, dans toute l’étendue des tourbillons, aux premiers instants de leur formation , il s en faut que les choses demeurent dans cet état après un certain temps ou ces tourbillons , détachés du courant producteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, à l’action d’un frottement latéral qui tend à rallentir leur mouvement de proche en proche, ou d’une spire à l’autre, dune manière d’autant moins sensible que Ton s’approche davantage de leur axe central ; ce qui explique la loi observée par Newton et Léonard de Vinci (375).

Il résulte d’ailleurs de ce mouvement giratoire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrifuge, y augmenter de Taxe à la circonférence, et qu’étant égale à la pression du milieu ambiant, en ce dernier point, elle doit être moindre ou négative sur Taxe. Mais nous n 'étendrons pas plus loin cette discussion, qui conduirait à l’explication mécanique du phénomène, si généralement connûmes trombes, sur laquelle nous pourront

revenir dans une autre occasion.

INo 1. Table des hauteurs dues à differentes vitesses, les unes et les autres étant exprimées en mètres et la seconde sexagésimale étant prise pour unité de temps.

[Extrait île la table donnée par M. Narier, dans les additions à l’architecture hydraulique V de Bé.idor, et corrigée en quelques points , d’après les indications de M. de Prony).

VITESSE

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VITESSE

HAUTEUR

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vitesse.

HAUTEUR j correspond

VITESSE

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J g a 10 , 00 , et d unité en unité depuis 10 jusqu’à 100 .

(D’après H. de Prony, Annales des mines. T. vm isam

l re PARTIE

LOGARITHMES HYPERBOLIQUES

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