PRINCIPALEMENT FONDEE SUR LA CONSIDÉRATION DES FORCES VITES

(«) Notions préliminaires et fondamentales. On a pu voir, par l’exposé des N os S7g et suivants de cet ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides, laissent encore de vague et d’obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique , par un lien plus solide, et qui, en l’absence d’une théorie mathématique rigoureuse, permît, au moins , de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de l’expérience. Or cela ne nous parait nullement impossible, si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaie de les déduire, d’une manière plus explicite qu’on n’a pu le faire dans le N° §81 du texte, de l’application du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par Bernouilli et Borda, dans leurs recherches physico- mathématiques sur l’écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effet , cette remarque importante due à l’esprit ingénieux de Dubuat, et 1 qui s’est présentée en plusieurs endroits du texte, notamment aux N m 878 et 879, 892 et -418 : Quand un corps est exposé à l’action directe d’un fluide , les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultante de l’obstacle que présente ce corps à leur libre passage , que dans une certaine région de part et d’antre de l’axe du corps , parallèle à la direction du mouvement ; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L / M' (fig.S§, So, 80, etc. , p!. III) seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit lui-même au corps , suivant la direction du mouvement absolu ou relatif; de sorte qu’en amont de ce corps, l’écoulement se ferait comme dans un vase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annuliaire déterminé par l’intervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d’être parlé, parois qu’il serait d’ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu’à la

région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques, viennent

à se propager (â7o) dans les masses latérales du fluide.

Cette manière d’envisager le phénomène de la résistance est si naturelle que Dubuat l’a formellement indiquée au N° -437 du tome II, de ses Principes d’ Hydraulique , et que les expériences subséquentes de M. Duchemin ? consignées dans ses Mémoires (STS) successivement présentés à l’Académie . des sciences, l’ont conduit à comparer , du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de l’eau en mouvement, les phénomènes d’accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier du corps, à une contraction renversée , qui, dans le cas des prismes, prendrait, jusqu’à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages cylindriques ou tuyaux additionnels , adaptés aux orifices d’écoulement des vases (413 et note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s est contente d en déduire , par une comparaison un peu forcée par une sorte d'empirisme , la formule d’interpolation rapportée dans la note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu’elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (418) vérifiées par celles de l’auteur, nous parait d autant moins admissible en elle-même, que l’analogie sur laquelle elle se fonde, n’aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu’il deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-différentes , iorsqu’en adoptant sans réserve l’idée ingénieuse de Dubuat, on lui applique, comme onia indiqué ci-dessus, les belles théories de Bernouilli et de Borda.

[b) Hypothèses admises. Dans cette application du théorème des forces vives , on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des mole? cules fluides sont égales, dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comme par exemple , en amont aux points L, L', des figures 58, 5o , 80, etc., ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points meln, m'eln qui appartiennent à la section contractée, pour laquelle la convergence des filets . au sortir du vase, devient la plus forte et l’hypothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (I) sur le choc des veines h quides , soit entre elles , soit contre l’orifice du tube manométrique de Pitot (378) , prouvent que le fait est vrai dans le cas où de telles veines sont pro duites par l’écoulement permanent d’un liquide au travers d’orifices eircu iaires, pratiqués dans les parois minces de réservoirs très- grands par rapp ort aux dimensions de ces orifices ; et cela résulte aussi de la vérification teriori , des formules obtenues dans cette hypothèse, pour la vitesse et ^ dépense de liquide. Mais, dans le cas qui nous occupe où une mas=e * indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos , il ne paraît pas q ue

(i) Annales de chimie et de physique } tome Ï/V (iS33).

DES RÉSISTANCES. g

même hypothèse soit permise ; tout porte à croire, au contraire , comme on le verra plus loin, que fa vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers l’intérieur de la veine contractée en m et m', qu’à l’extérieur en n et nr, où elfes doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D’un autre côté , en considérant ce qui se passe à une petite distance en amont de l’orifice d’écoulement, c’est-à-dire dans l’espace que l’on assimile à un véritable réservoir, on ne voit P as que l’on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets et dont l’excès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certainement l’accélération de vitesse reçue par le fluide en mn et rn’ri.

Cependant , nous admettrons , dans l’application du principe des forces vives à ce mode d écoulement , l’hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches , ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par l’aire de ces tranches respectives, non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports , des relations qui , au moyen de certains coefficients à déterminer par l’expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène, ainsi que cela a lieu , par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de cette espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l’égard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer l’expression de la somme des forces vives , d’une fraction numérique de sa valeur , qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer , cette manière d’envisager la question de la résistance des fluides ne diffère, au fond , de eelie du N° E81 . qu’en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et. si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles , c’est afin d’arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le cas d’un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour l’entretenir à un même état de mouvement, travail dont la valeur est alors, en effet, clairement indiquée par le produit dont les facteurs sont : faire de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse , l’excès de la pression moyenne d’amont sur celle d’aval , et la distance uniformément parcourue dans chaque élément du temps ou dans chaque seconde. Mais, quoiqu’on n’aperçoive plus aussi bien, dans le cas d’un corps en repos choqué par un fluide en mouvement, la relation entre les pertes de forces vives et le travail moteur qui, en réalité , se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes

l rc FAKTIE.

OO

de la niasse liquide , il n'en est pas moins évident, à priori, que l’un de ces cas peut être ramené à l’autre par la considération des mouvements relatifs; c’est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc, sans nous préoccuper, en aucune manière , dans nos raisonnements , de celle qui concerne spécialement la résistance.

(c) Plan mince soumis au choc direct d’un fluide. Ces préliminaires étant établis , considérons d’abord un plan mince CD (Fig. 80) , de surface A , et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéfini de densité p, animé de la vitesse uniforme V, perpendiculaire à sa direction. Nommons :

A' Faire de la section transversale du canal formé par les parois fictives LM , L'M' ;

m le coefficient de la contraction effective éprouvée par les filets en mn, m’n', c’est-à-dire le rapport de l’aire de leur section transversale , à celle A' — A, de l’orifice annulaire du réservoir ;

1 Y ig vitesse moyenne du fluide dans la section contractée mn, m n , dont l’aire est m (A' — A) ;

n le facteur numérique, supérieur à l’unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections ;

P et P’ les pressions moyennes , par unité de surface , qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

O enfin le volume et M = p— la masse du fluide qui, dans l’unité de

temps s’écoule uniformément par chacune des sections transversales A' et m [kl — A ) ;

on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question , comme on le fait ordinairement dans l’hydraulique , et sans s’inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et m ( A' — A ) , en amont ou en aval du corps ,

m« 2 w 2 — mv 2 = %m - «-w 2 — V ! =% (~^) ;

d’où l’on tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la dif férence des pressions absolues supportées par le plan CD , sur 1 étendue, A, de ses deux faces ,

P-P^I^W-VS), R=A n% ^

Mais , à cause de la continuité , ou parce qu’il doit s’écouler dans 1 unité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m{k r — A), q ul «n afflue uniformément par la section d’amont A’, on a aussi , dans Ihvp 0 thèse où ce fluide n’éprouverait qu’une variation de volume insensible, e passant de la pression P d’amont, à la pression P' d’aval , dont la prerm er

DES RÉSISTANCES

est supérieure et la deuxième inférieure à la pression naturelle ou statique du milieu ,

m(A'-A) W = A'V , Wg=

ce qui donne finalement

et k = -

rik n -

pour la valeur du coefficient h ( 382) de la formule R — Jtpkll.

(d) Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de V expérience. Si l’on admet le résultat des recherches expérimentales de Dubuat, qui donnent ici (-406) , k =1,86 pour le coefficient de résistance des plans minces, et A* ~ 6.46A pour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d exercer 1 influence, on déduira de 1 expression ci-dessus de k.

on satisfera a cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction ?« = 0 , 73 , comme le donne l’expérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et n— 1 , 07 14 , ri 2 — 1,149 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l’hypothèse d’une vitesse moyenne pourrait avoir ici d’inexact.

La relation k'= 6,46A, admise par Dubuat , pour le cas des prismes entièrement plongés ( Princ . rilujd., tome II, n° 581 ) , suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu’à une distance du corps , égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais , si d’après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à 0,5 (392), ce qui revient à prendre A' = 4A seulement, on trouverait m = 0 , 7884 m , et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que l’unité, et partant inadmissible. Il ne parait donc pas que l’on puisse supposer A' de beaucoup inférieur à 6,46A, pour le cas des plans minces choqués directement par un fluide.

D’un; autre côté , on voit , par l’expression générale ci-dessus de k , que si , comme le voulait Dubuat (407 et 418 ) , la déviation se fait réellement de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A’ à A’ — A venant à diminuer , il en sera de même de la résistance ; ce qui s’accorde avec, Me résultat des expériences de cet auteur , confirmées depuis par-, celle de M. Duchemin.

Par exemple, il suffira de supposer A' = 12A , pour retomber, à très-peu près , sur la valeur * = 1,483 donnée par les expériences de Dubuat (405) dans le cas dont il s’agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat , en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos , ou que le coefficient », qui entre au quarre dans 1 ex-

pression de k, y augmente d’une très-petite quantité, par exemple devienne 0,81 ou 0,82 ; mais alors , comme on va le voir , on tomberait dans d’autres difficultés concernant le cas des surfaces convexes , et l’on ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance, à moins de prendre le facteur n beaucoup plus près de l’unité ; ce qui ferait diminuer en même temps ?», pour le cas des fluides en mouvement; nous continuerons donc à raisonner dans l’hypothèse avancée par Bubuat, sans nier toutefois que le facteur numérique n 2 ne s’approche un peu plus de l’unité que nous ne l’avons supposé précédemment.

La formule ci-dessus montre d’ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître si , au lieu d’être indéfini , le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées du plan CD qu’on ne vient de le supposer pour les parois LM et L'UT : elle indique même que cette résistance deviendrait infinie pour A' = A ; ce qui s’explique en considérant qu’alors la pression continue , éprouvée par le corps , se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéfinie , comprise , en amont, entre les parois solides dont il s’agit.

(e) Surfaces minces convexes ou concaves. Supposons maintenant qu’on substitue au plan mince CD, une surface convexe (Fig. 53), continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour n’être point sensiblement en prise aux effets du frottement , la contraction latérale sera diminuée et son coefficient m augmenté , sans qu’il soit nécessaire d’apporter aucun autre changement à l’expression de k, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra Faire de la projection de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, puisque les pressions normales et élémentaires supportées par le corps , doivent être estimées dans le sens même de ce mouvement , comme le sont , de leur côté, les pressions moyennes P et P'. En particulier, si cette surface possède la forme la plus avantageuse possible , et qu’on adopte les valeurs n 2 = 1,149, A'= 646A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause de m=l , le coefficient k = 0,61 pour le cas où le fluide seul est en mouvement ; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au N° 426 ; mais on doit considérer qu il s’agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par conséquent , Faire A' a dû être augmentée , indépendamment de l’influence, assez faible d’ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères ; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves où le coefficient m , de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0,6, ou 0,66, conformément à ce qu’on sait des expériences de Borda et de Venluri sur l’écoulement par les tubes rentrants, le coefficient ft de la résistance , pourrait aussi s’élever de 1,3 à 1,6 fois celui des plans

DES RÉSISTANCES. 43 -

minces ; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec les effets Observes dans ces circonstances (408 et suiv. )

[f] Prismes droits soumis au choc direct d'un fluide. Passant au cas des corps prismatiques ( Fg. 85 ) dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM , L'M', il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes , après avoir perdu , par le choc ou les tourbillonnements, l’excès de la vitesse W, qu’ils possédaient en „m, mw, sur celle qu’ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, n ’ U étant cette même vitesse augmentée (b) de manière à reproduire la force vive effective des filets , comme nous l’avons admis précédemment (c) pour nW et la section contractée. Nommant , de plus , C et C' les contours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis , sur toutes ses faces , de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un frottement représenté approximativement parla formule

b\^\. pour le premier , et par la formule — bC r (Ü — V fl pour le deuxième 9 9

en posant, d’après la note de la page §54, h = 0,00036^= 0,0085, ou & =0,0008% = 0,0031 , et négligeant le terme relatif à la simple vitesse ; admettant d ailleurs , comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin , que l’excès de la vitesse «W sur la vitesse n'U , donne lieu à une perte de force vive mesurée par l’expression M ( nW — n' U fl relative toujours à la masse H de fluide écoulée, pendant l’unité de temps, dans chacune des sections A', À’ — A, m(A' — A), on arrivera , par l’application du principe des forces vives au cas actuel, et en conservant toutes les notations précédemment admises (c), à l’équation fondamentale

M n' s U 2 - — M V--J-M (#W — nTI) 2 -f-2M C +C'( 1 — -

l: - ma-