PI. I
tossède le liquide à l'orifice. C'est une parabole dont le sommet est ab. Dans ai» les points de cette parabole la pesanteur tend continuellement à augmenter la vitesse des molécules ; mais en ab elle dépend seulement de ce qui *e passe dans l'intérieur du réservoir.
Si l'orifice est pratiqué en a'V au fond du vase ABDC, le jet est vertical.
Si l'orifice est pratiqué en a"b" (fig. 465) contre une paroi borizontale pressée
de bas en haut par le liquide, le jet s'élève verticalement , et l'expérience dé-
: nontre qu'il s'élève à la hauteur du niveau supérieur de l'eau dans le ré-
\ terroir; ce qui suppose (l re partie, 64 ) que les molécules en a"b" ont une
vitesse due à la hauteur de la charge d'eau correspondante, ou à la hauteur
du niveau supérieur au-dessus du centre de l'orifice. Mais on peut dcmon-
: Irer la chose spécialement par le principe du travail.
103. Viteue de Veau sortant librement par un petit orifice mince. — Avant qu'on ne débouche l'orifice ab ( fig. 466 ) , la pression intérieure exercée sur loi est due à la chargea du niveau supérieur AB au-dessus du centre de cet orifice. A la rigueur elle devrait être augmentée de la pression atmosphérique qui agit sur ce niveau, mais, comme celle-ci a également lieu au dehors delà paroi sur laquelle l'ouverture ab est pratiquée , la pression n'est en réalité due qu'à la charge h du liquide. Donc , au moment où l'ouverture est 'débouchée , le fluide , en vertu de cette pression , est poussé au dehors et se ifirige de toutes parts en décrivant des courbes qui convergent vers cet orifice : ce mouvement se propage ainsi de proche en proche. Quant à la vitesse réelle de sortie , elle augmente sans cesse et rapidement jusqu'à ce que le mouvement se soit étendu dans tout le vase et soit devenu uniforme en chaque point. Cest à cet instant que nous considérons le mouvement du fluide , en supposant d'ailleurs , comme c'est le cas ordinaire des applications, qu'il arrive par la surface supérieure du réservoir , dans le vase , précisément autant d'eau qu'il en sort à chaque instant. Cela posé , le mouvement étant ainsi devenu permanent , il sera facile de voir que chaque molécule dont le poids est p, en descendant de h aura reçu , quelle que soit la courbe qu'elle décrive, de la gravité un travail p . h ( 2 e partie, 12 ). Si on appelle v la vitesse de cette molécule à son entrée sur la surface supérieure
dn réservoir et V sa vitesse à la sortie de l'orifice , — ( V 1 — t? 8 ) représentera
l'accroissement de force vive qu'aura reçu la molécule qu'on considère pendant qu'elle a parcouru la hauteur h. La même chose pouvant se dire de toutes les autres molécules qui doivent arriver en même temps dans l'orifice et qui s'écoulent dans un temps donné, pendant une seconde , par exemple, on reconnaît sans peine que , si P est le poids de l'eau qui s'écoule dans une
p seconde, — (V* — f 2 ) *era l'accroissement de force vive imprimée à ce poids
d'eau , pendant qu'il aura parcouru la hauteur h , ou qu'il aura reçu de la
gravite le travail P . h. Oa aura donc , en vertu du principe des toTCft%\Vre%,
*le poids de l'unité de volume du liquide, p-\-*h sera la pression génératrice par unité de surface. Pour évaluer cette pression totale en charge du même liquide, il faut observer que la pression unitaire p du piston peut être remplacée par une colonne de liquide agissant au-dessusde ce piston, et qui aurait l'unité de surface pour base. Soit A' la hauteur d'une telle colonne, elle devra être telle qu'on ait *h' = p ; d'où
ce qui est facile à calculer. Ainsi, l'écoulement actuel revient au cas où la charge au-dessus de l'orifice est h + h\ en sorte que la vitesse de sortie sera
l/iFFRT ou y/ 2 <,^ + £),
i pourvu que la vitesse en AB soit très-petite. Nous pouvons vérifier la chose directement. Supposons que le piston , se mouvant parallèlement à lui-même, ou avec une vitesse constante pour tous les points de sa surface , descende en BB' en un très-petit temps, et qu'il s'écoule le volume abVd pendant le même temps. 11 est évident que si le liquide est incompressible , les deux volumes ABDC et A'B'DCaoo'a seront égaux, et qu'en retranchant de chacun leur partie commune A'B'DC, on aura ABB'A'= •M'a. De ce que le mouvement du piston s'opère parallèlement, le volume ÀBB'A' sera exprimé, en nommant A la surface du piston , par le produit de Art du chemin A A.' parcouru par ses divers points. De même , si on admet que vers l'orifice ab, le mouvement s'opère parallèlement à lui-même , le volume abb'd sera un prisme et aura pour valeur le produit de a et du chemin «r*, a représentant l'aire de la section ab. Ainsi, tant que le mouvement du I liquide s'effectuera par tranches parallèles dans la section AB et dans la secif thm oA, et quel que soit d'ailleurs le mouvement opéré dans les sections intermédiaires, on aura
D'ailleurs, les chemins AA' et aa\ parcourus simultanément dans un temps très-petit par le piston et parle fluide sur la section ab, seront proportionnels . aux vitesses v et V qui ont lieu à la section AB et à la section ab : d'où l'on tire
Maintenant on doit faire attention que l'accroissement de la force vive de toute la masse du liquide, comprise entre les sections AB et ab pendant on temps très-petit , doit équivaloir au double du travail produit par le piston de celui de la pesanteur de toute la masse pendant le même petit te Nous allons chercher ces trois valeurs successivement.
L'accroissement de la force vive de tout le fluide compris enj AB et mb est facile à obtenir. En effet, quand le piston ttail t
8** PAMTIB.
Si , outre la pression atmosphérique, l'extérieur de la section ab avait été pressé en sens contraire du mouvement par une pression p pour l'unité de
surface, il fondrait diminuer A de — ou p de//. On peut s'en rendre compte
par un raisonnement simple, en observant que la pression extérieure qui agit sur la section ab, contrairement au mouvement, est p' X a 5 <l ue son travail pendant le petit temps dans lequel ab s'est rendu en a'fy est égal à
p' X a X aa '* Mais comme le poids de abb'a' est égal à q, ainsi que celui de ÀBB'A', et que ce poids est aussi égal à * X a X aa '> on trouve .... a X ad = - . Donc, le travail de cette pression contraire est — X P* H
P' faudra , dans l'égalité ci-dessus , le diviser par g, ce qui donnera — à retran-
cher de ; de sorte que , dans ce dernier cas , la vitesse de sortie devient
On doit maintenant bien concevoir comment on agirait dans tous les cas semblables, et nos raisonnements resteraient d'ailleurs les mêmes si le piston se mouvait horizontalement, h sera alors la charge verticale du fluide depuis le point supérieur jusqu'au centre de ToriCce d'écoulement. Si la vitesse v du piston était appréciable , il faudrait s'y prendre autrement pour avoir la vitesse de sortie V.
Nous avons vu ci-dessus qu'on avait Av = aV; donc
,=« r , et t>'= Ts V;
d'où
Soit posé 1 J5 = K , on aura
KV»=2g(g+»),ouV= V ^jf-.i .
C'est la valeur précédente de V, mais divi valeur sera donc plus grande. Lorsque a =
de l'unité que de -ttjt; , et on prendra ? ■ ce paragraphe en observant que P*
