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Tour les gaz, la chai u oratrice est toujours sii|> rieure A 2°>, et ou prendra le!
multiplicateur Û,U, ou 0,63 dans tous les cas,.
Pour des onflecs an-dtssui do 0™,SQ d'ouverture , on prendra la valeur de «comme poui n ,2fl- Pour h* orifim iiu-de^oufl de 0»i,u1, du l'&tiî me pour ceux; de 0^,01.1 Enfin pour le* orifices mtef-| médiitres entre ceux d Mcon |u'ciidi-A des moyennes relatives aux ouvertui charges voisines immédiat nient au-dessus et au-dessous,
Ce tableau est déduit des résultats des expériences de 31. le capitaine â fiènw Lcsbros, et îl s'accorde avec le résultat des expériences faites anté rieurement par Bossut, Michelotti et d'autres physiciens habiles; il n'y a Je douteux que les résultats qui concernent les très-petits orifices et les trèsfortes charges; mats l'incertitude n'est que de 0,001 sur les dernières dêfl maies, et ce cas n'est pas celui de la pratique.
Il arrive souvent que l'orifice est prés d'une fnccdu réservoir; la owttrlfr tion devient alors nulle sur ce coté, et îe multiplicateur est rendu un peu plus grand que ne l'Indique le tableau. S'il est près de deux faces du réservoir, La contraction est nulle sur deux eètés de l'orifice, cl le coefficM augmente encore. Yoici comme on tiendra compte de ces circonsiancc^î Si la contraction est nulle sur un coté seulement, oit prendra, au lieu d^
d-juné par la table, * hM*
Si elle est nulle sur deux cotéa \M 4
Si elle est nulïesur trois côtés 1,12*
Il n'arrive point dans la pratique que lacontraction soit nulle, surtouita pourtour de l'orifice; ces derniers résultats sont déduits de ceux de M, Bi* dune; mais lisent besoin d'être vérifiés en grand* Enfin, nous terminerons ce paragraçHc \^ T UVVVi 4tttv\fete observai î un ;
ces! que tout ce qui précède est seulement applicable toutes les fois que le fluide sort librement du réservoir sans toucber le pourtour des parois ou des bords de cet orifice; car il n'y a pas plus d'obstacles que si la paroi était mince.
110. Ce qui précède est seulement applicable au cas où l'orifice est fermé fie tontes parts (fig. 478), et il arrive dans la pratique que quelques orifices rectangulaires n'ont pas de bords supérieurs. L'orifice se nomme alors épaneWr, déversoir, réservoir; il est placé vers le niveau supérieur AB (fig. 479) de l'eau du réservoir. On peut encore ici calculer la dépense, comme dans requi précède, pourvu qu'on ebange le multiplicateur de la formule, selon ce qu'apprend l'expérience pour les cas divers. Soit {la largeur horizontale •le cet orifice, et supposons ce dernier rempli jusqu'en B, prolongement du niveau dans le réservoir; nous aurons toujours h comme représentant la hauteur de AB sur le centre ou milieu l de BC; mais H représentera la hau-
: leur totale de fi ou A au-dessus du seuil C , de sorte que h = -sr-H. La vitesse
moyenne étant Y, on aura
et, par suite, V = 0,707 . V/^2ÔhT
La dépense théorique ou hypothétique sera
/XHXV = 0,7l./.H.V/2^r Quant à \/^2gK on en trouvera à l'ordinaire les valeurs dans les tables, lais la dépense ainsi obtenue est trop forte, et il conviendra de la multiplier par un coefficient qui est environ 0,57 pour les cas ordinaires delà pratique, c'est-à-dire que la véritable dépense est donnée par la formule
0,405 . / . H . i/fyûï Vêtant la charge totale au-dessus du seuil.
Les expériences connues de Dubuat, Bidone, Eytelwein, et celles de M. Lesbrus, ont appris que la valeur du coefficient 0,405 doit être réduite à 0,S9 environ pour H plus grand ou égal à m ,20, et qu'elle s'élève à 0,415 pour H très-petit ou de 1 à 2 centimètres, mais qu'elle demeure sensiblement la même , quelle que soit la contraction totale ou la position de l'orifice par rapport aux côtés verticaux du réservoir, pourvu qu'on mesure la hauteur H du niveau dans le réservoir au-dessus de la base ou du seuil G de ''orifice, en uu point A assez éloigné de B ou G pour que le fluide y ait peu de vitesse ; cotte distance est environ une à deux fois la largeur de l'orifice, lorsque cette largeur est très-petite par rapport à celle du réservoir, et deux à trois fois si elle lui est égale.
Quand le fond G est au niveau du fond du réservoir, la vitesse est partout tontible, et la formule ci-dessus donnerait trop peu *, peuV.-èVxe <\\tt •> &&u& <s»
jf~ïÇ &
On a cherché à évaluer ces influences et à en tenir compte ; voici à quoi on est parvenu pour estimer les pertes de travail ou de force vive occasionnées par le choc et par les résistances qu'éprouve le fluide :
Soit ABDC (Gg. 486) un vase rempli de liquide jusqu'en AB. Imaginez qu'un filet fluide KL, animé d'une vitesse Y en L ou en AB, parvienne dans ce vase supposé au repos. Le fluide, ne pouvant s'échapper du vase, tourbillonne dans son intérieur, et, en vertu du frottement et du choc des molécules, il sera lui-même, comme le vase , bientôt réduit au repos. Si M= —
est la masse du fluide qui arrive dans un certain temps, dans l'unité de
temps, par exemple , MV 2 exprimera la force vive que le filet aura perdue pendant ce temps.
Supposons maintenant que le vase, au lieu d'être immobile, fuie devant (a gerbe d'eau avec une vitesse V' et dans la direction de Y, la gerbe affluente atteindra le vase avec une vitesse relative Y — V', c'est-à-dire que ses molécules y entreront avec la vitesse V — V', et perdront cet excès de leur vitesse par les tourbillonnements et les chocs; par conséquent, la force vive M (V — V')* sera perdue dans l'unité de temps et employée tout entière à vaincre les résistances *,
On suppose ici que le vase chemine dans la direction des filets ; c'est le cas pratique de presque toutes les applications. Cependant , on aurait pu le déduire immédiatement de ce qui a été dit, dans le Cours de la 1" année (461 et suivants), sur le choc de deux masses m et m' animées de vitesses dirigées dans le même sens est égale à V et V' ; on a vu que la perte de force
vive résultant du choc était égale à —(V — Y') 2 . Seulement ici la
m -f- tn
massa choquante m de fluide , qui tombe dans chaque petit temps sur la
masse totale m' du fluide contenu dans le vase, est très-petite par rapport
à m'; de sorte que l'expression précédente, qui peut se mettre sous cette
(V — V') 9 autre forme tn L 9 se réduit, en définitive, à m (V — V') 2 , et, par
suite, à M (V — Y')* pour la perte pendant l'unité de temps.
114. Perte de force vive due aux étranglements. — On concevra actuellement sans peine comment il est possible d'avoir égard à des pertes analogues dans le mouvement général des fluides. Supposons que ABCD (fig. 487) soit un vase renfermant un liquide dont AB est le niveau , ab l'orifice de sortie, et que ce vase soit en outre traversé en A'B' par une paroi solide ou diaphragme, percé aussi d'un orifice a'b' dont l'aire est a', celle de ah étant a. Le fluide, obligé de passer par a'b', se contracte; puis il vient choquer les nioléaules en avant et perd de sa force vive une portion mesurée par l'excès de sa vitesse sur celle que reprennent les molécule* un ^v&^faâ
•"• FàMTIM. *&*
loin. Si ah est tissez distant de ah r pour que les tourbillonnements soient éteints en A"IÎ'\ par exemple 1 ou pour qua les filets marchent parallèlement et avec la même vitesse en À"B", comme cela a lieu en AR et aux sections contractées de ah et de a r b\ il sera facile de calculer les vitesses en ce* différents endroits au moyen do l'une d'entre elles. Nous négligerons d'ailleurs encore la force vive du fluide en Âb\
Soit V la vitesse inconnue du fluide â la section contractée de l'orifice vb* V celle qui correspond à la section contractée do ofb\ et V" la vitesse rli* fluide a la section A" B" du vase, m la valeur du multiplicateur de la dépense en ab, m' le multiplicateur de la dépense on a'6' , multiplicateurs qui wtrf donnés par la table du n* 109 ; la dépense en ah sera égale a maV , Mais il doit passer la même quantité de fluide par la tranche A"B" et par la section contractée de a f h\ Le fluide qui passe en À"B r ' sera mesuré par
surf. À"B"X V"=:ÀV", La dépense en a'h* vaudra mW- Donc, on aura
waV = ÀV" t et, par suite, V"= — — ,
De même,
me*V= m'a'V . ou V'=~, V, m'a
La vitesse relative avec laquelle le fluide qui sort de a'h* vient choquer celu de À"B" est donc
A ma \k ma'}
La perte de force vive qui se fait au delà de a f est donc la masse ± du fluide
écoulé dans le petit instant que Ton considère multiplié par (V — V")' t ou
par wV (--- r f \ V a , Si on nomme K la quantité *»V f — J .
facile à calculer , la perte de force vive en question sera Ï.K.V", quicorres
pond à un travail perdu représenté par -.^#K.V 3 . Le travail de la gravite
qh, produit pendant la durée du petit temps , est dono diminué de celte dernière quantité de travail. Mais la force vive acquise pendant ce mén
petit temps est — V 1 . On aura, par conséquent,
Divisant par q et multipliant par $ tous les termes de cette égalité , et réunissant dans un même membre tous les termes qui contiennent V*, or trouve
T l (l+K) = Sjft, ou V
On voit que h vitesse est ici moindre qu.0 \/ îqh, ou que celle qui est è
ri.xi,
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DES MACHEES ET DES MOTEl'RS. 177
C 4cD i â~~~rD* — D*
Si maintenant, dans la valeur de V, on fait ces diverses substitutions, on trouvera ,
pour Teau , V = 28,44 . \/- Dï!
et , pour l'air, V = 27,48. %/
DH
. On pourra même adopter la première formule pour l'air et les gaz , parce ■que n est très-peu différent, pourvu toutefois qu'à l'égard do ces derniers } on remplace H comme on vient de le dire.
Enfin , si l'orifice de sortie a'b> (fig. 490) est plus petit que la section a du tuyau, Y étant la vitesse intérieure de ce tuyau, aV n'en serait pas ^ moins la dépense. Si on appelle V la vitesse de sortie , o' Taire de a'bt et [m' son coefficient de contraction , on aura
aV=mW, ou V' = -~.
force vive acquise par le fluide serait donc
[an lieu de — X V 9 . Il faudra donc , dans l'égalité précédente , remplacer
l'unité par „ m , et elle deviendrait m'V 1
