f£fi ^^ rjVâ

'Enfin , connaissant la longueur r du pendule qui bat les secondes à

Mets, sur les bords de la Moselle , on trouvera encore la valeur de la gravité à la hauteur de cette rivière , au moyen de la relation ci-

=,r V "P ou '

dessus , 1" == 9r \ / —, ou , en élevant au carré ,

g = «rV.

Supposez qu'on s'élève sur le mont Saint-Quentin avec le même pendule et qu'on y estime par l'observation le temps T' de chaque oscillation , la relation

ic'r

9 =-7jV2

donnera la valeur de la gravité sur le sommet de cette montagne.

77. Pendule composé. — Les pendules ordinaires dont on se sert dans la pratique consistent , comme nous l'avons dit , en une tige et un corps pesant dont le système oscille autour d'un axe horizontal À ; et comme ce cas est le même que celui d'un corps solide quelconque MNQ (fig. 104) qui a un mouvement oscillatoire autour d'un axe horizontal A, nous allons chercher comment la question , pour ce dernier mouvement plus général , est ramenée à celle d'un pendule simple. Appelons P et M le poids et la masse de ce corps , Y { la vitesse angulaire acquise par ce corps dans l'intervalle où son centre de gravité passe de la position initiale G où il était en repos, à la position quelconque G', D la distance AG de ce pointa Taxe A , et y la hauteur PG' dont il est descendu quand il est arrivé à la position que l'on considère. Soit enfin I le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe horizontal A : il est évident (2 e partie , 60) que I X ^ 2 sera la force vive acquise par le corps au bout de l'intervalle GG' et que P X y » ou Mg X y » mesurera la quantité de travail de la pesanteur pendant ce même intervalle. On aura donc

I XVl 2 = 2%.y.

Remarquons que , pendant que le centre de gravité G décrit l'arc G G' , il s'en décrit un autre semblable par le point situé à l'unité de distance de A sur AG , et que la hauteur y { dont ce nouveau point descend par rapport à sa position initiale est telle que l'on a

Substituons à y sa valeur dans la relation précédente de la force vive ; nous aurons

d'où V^ILlEx**,.

Désignant par s x le petit arc décrit à l'unité de distance \Mt&Mtt\fcVt«t-

petit temps t à partir de l'instant où la vitesse angulaire est devenue V, , ou reconnaît sans peine que Ton peut raisonner sur les arcs décrits à cette distance comme sur ceux qui sont décrits à une distance quelconque , et que Ton aura

Vl t '

d'où t = ÎL, e t <* — fil.

Il faut d'ailleurs faire attention que le temps t est aussi celui pendant lequel le corps passe d'une position quelconque à une position très-voisine.

M Tl

Remplaçant V,* par sa valeur trouvée plus haut ^ — X %*91/i »

on trouve r =

et , par suite , -y- X < 2 = ^-

Si , comme dans le numéro précédent , nous considérons ce qui se passe à l'unité de dislance de À, que G (fi g. 105) soit la position initiale de l'arc décrit CNB dont AM = r { est le rayon ou l'unité , et que MN soit le petit arc 8 { , on démontrera encore que, PM n'étant autre chose que y { ,

^-seraegala ¥ X(^ôj; On aura donc

ou bien , à cause de r, = I ,

Enfin, en prenant la somme de tous les petits temps t employés à parcourir tout l'arc compris depuis la position initiale jusqu'à la position verticale , on trouvera , pour cette somme ,

M XDXiT

Or , cette somme est la moitié de la durée T d'une oscillation entière ; donc , on aura enfin

Telle sera la durée d'une oscillation complète du corps autour de A , pourvu toutefois qu'elle soit très-petite.

78. Comparaison du pendule composé et du pendule simple. Centre d' oscilla •

tion. — Soit r la longueur du pendule simple dont la durée des oscillations

est la même que celle des oscillations du corps MNQ ; on aura (2 e partie, 76),

pour le pendule simple ,

•—Vt

et, par suite,

xdx <r

d'où l'on tire

r MXD'

Observons que le moment d'inertie I du corps MNQ (fig. 104), en appelant I t le moment d'inertie de ce même corps par rapporta Taxe parallèle à Taxe À et qui passe par le centre de gravité G, est, d'après ce qui a été démontré ( 2* partie , 64 ) , égal à M X D 2 + I i- Par conséquent , on aura

MXD ~ T MXD Prenant sur la ligne AG qui joint le centre de gravité G du corps à Taxe A, une partie AO égale à r ou à D -j- ' , on obtiendra le point qu'on

nomme centre d'oscillation du corps par rapport à l'axe A. Si , à son tour , le point O devenait le point de suspension , je dis que le point A deviendra au contraire le centre d'oscillation. En effet, r' (fig. 105) étant la distance du nouveau centre d'oscillation par rapport à 0, et D' la distance OG du centre de gravité à ce dernier point , on aura alors

M X^ D'ailleurs D' ou

0G = A0 AG=r D=L.

ce qui donne lieu aux deux valeurs

Si on les substitue à D' et à nr^ dans celle de r* , on trouvera

MXD

Donc le centre d'oscillation se confond avec le point A.

CENTRE DE PERCUSSION. CHOC d'un CORPS QUI TOURNE AUTOUR D*UN AXE.

79. Centre de percussion* — Lorsqu'un corps MNQ (fig. 106) reçoit un mouvement de rotation autour de Taxe A , que nous supposons ici perpendiculaire au plan du tableau, chaque petite masse m de ce corps développe des forces d'inertie partielles perpendiculaires aux distances respectives de chacune d'elles à leur axe, et dont l'intensité est mesurée par

m . r X ~» r étant la distance de cette partie quelconque à Taxe , et v l le

petit degré de vitesse angulaire imprimé au corps pendant le temps élémentaire t. Ou a vu de plus (2° partie, 63) que la somme des moments de toutes ces forces par rapport à l'axe, était égale au produit du moment d'inertie I

du corps multiplié par le quotient -j-, ou à I X 7. En admettant que la résultante F de toutes ces forces (1) est égale au produit de la masse totale « M du corps multiplié par la distance D ou A G du centre de gravité à l'axe , ^

et par le même quotient — , et que de plus la direction de cette résultantes

0) Si Ton décompose chaque force d'inertie partielle m . r — en deux , Tune horizo L— :

taie et l'autre verticale , et qu'on nomme a? et y l'abscisse et l'ordonnée de m par rappo — 3 à un plan vertical et un plan horizontal passant par Taxe A ; la première composante se- ^a évidemment

mr — . - =5

et la deuxième ,

tV x mv,x mr-±.- = — !.

En appelant œ T et y l les coordonnées du centre de gravité , la somme des composantes 11 « zontales sera

7 ("»jr + «»y + ••••). «» 7* %..

et celles des composantes verticales

D'où il suit que la résultante générale a pour valeur

^H/V + y^yMXD;

et qu'elle fait avec l'axe horizontal et l'axe vertical des angles dont les cosinus sonfc-

pectivement -= et -=~, en sorte qu'elle est perpendiculaire à la distance D du cen^Bgravité h Taxe.

M X D X —est perpendiculaire à cette dernière distance AG ; on reconnaîtra que , si est son point d'application sur AG, F X AO ou M X D X — X AO n'est autre chose que le moment de cette résultante , lequel doit

être égal à la somme des moments des forces d'inertie partielles ou à

1X4- Donc , on aura

AOXMXDX^IX^,

ou AO =

Le point , ainsi déterminé , est ce qu'on nomme le centre de percussion ; il est situé dans le plan perpendiculaire à Taxe qui passe par le centre de gravité du corps, et sur la plus courte distance de ce dernier point à l'axe. Le centre de percussion jouit de la propriété que quand une force lui est appliquée dans une direction immédiatement contraire et opposée à la force d'inertie du corps , celui-ci se mouvra en quelque sorte comme s'il était libre, et sans qu'il en résulte aucun choc, ou aucune pression sur l'axe. Ed effet, si une force quelconque F' (fîg. 107) était appliquée en un point « différent du centre de percussion , la ligne AO serait pliée, et il en résulterait un véritable contre-coup ou un choc sur Taxe de rotation A. — Une barre à laquelle j'imprime un mouvement de rotation et que je choque par l'un de ses points, exerce généralement une réaction qui se fait sentir dans la main. Mais elle possède un point tel que , quand il est choqué, cette sensation est nulle , ce point est précisément le centre de percussion de la barre. — Il importe qu'un marteau frappe par bon point de percussion , et c'est toujours ce. qui arrive , parce que la tête étant beaucoup plus dense que le manche , le centre de percussion est nécessairement très-rapproché du centre de gravité de la tète.

Le centre de percussion d'un corps peut se trouver par l'expérience : il suffit de poser le point de rotation de ce corps sur un-appui fixe A (fig. 108) , et de laisser tomber le corps sur une pointe B mobile le long d'un plan horizontal; lorsque cette pointe atteint une position telle que le corps au moment de sa chute ne bascule point autour de A , on sera assuré que le point

P^r lequel le corps est choqué contre la pointe B est précisément son centre

^^ percussion.

Puisque la distance du point de percussion à l'axe est e{

? ^tte distance est aussi celle du centre d'oscillation (2 e partie, 78), on *"^)it que ces deux points sont absolument la même chose, et qu'un pen-

2 mo PARTIE. ^

dule qu'on veut faire mouvoir sans qu'il en résulte aucune pression ou aucun choc sur son axe de suspension , doit être poussé par un effort dirigé vers son centre ou axe d'oscillation.

80. Choc d'un corps qui a un mouvement de rotation. — Soit un corps Q (fig. 109) suspendu à un axe A perpendiculaire au plan du tableau. Ce corps étant d'abord au repos , supposons qu'il soit choqué au point T par un autre corps P dans une direction TL perpendiculaire aux surfaces en contact , et comprise dans un plan perpendiculaire à Taxe A. Appelons m etp la masse et le poids du corps choquant , V sa vitesse avant le choc. Au moment où les corps se rencontreront, il se développera sur chacun d'eux et dans la direction normale TL deux forces de compression égales et contraires que nous désignerons par F. Cette pression sur chaque corps , d'abord nulle quand les corps commencent à se toucher , augmente successivement au fur et à mesure qu'ils se compriment; de sorte que F, quoique représentant des kilogrammes, n'est cependant pas une quantité fixe. Si l'on fait abstraction de l'un des deux corps , du corps Q par exemple , on pourra regarder la force F comme appliquée au corps P considéré comme libre , et cette force lui enlèvera une suite de petits degrés égaux v de vitesse dans le temps t , en sorte que sa mesure sera représentée par

Si maintenant nous observons l'action de F sur le corps Q , elle va tendre à le faire tourner autour de son axe A , et lui imprimera dans le même petit temps élémentaire t un petit degré de vitesse angulaire v { , les forces d'inertie partielles qui naîtront sur ce corps devront faire équilibre à la force F: autrement dit , la somme des moments des premières sera égale au moment de la force F , ou au produit de cette force par la longueur de la perpendiculaire AC , abaissée de l'axe A , sur sa direction TL. On aura , par conséquent ,