AC X »» X »" = I X
Ajoutant toutes ces égalités , on trouve
AC X "* ( v + v' + v" -f . . . . ) = I X ( *i + V + V + ) •
Or , les sommes v -f- v' -f- «" -f- • • • • et v x -j- v{ -j- t?" -j- . . . . sont celles des petits degrés de vitesse perdue ou gagnée, respectivement par les deu\ corps , c'est-à-dire les vitesses totales perdues ou gagnées pendant le temps plus ou moins long écoule depuis l'instant où les corps se sont trouvés en contact. Appelant u la vitesse perdue par le corps P , et V, la vitesse angulaire gagnée par le corps Q, on aura enfin
ACXwX**=IXV l .
Mais il convient de considérer les effets du choc depuis l'instant où les corps se sont mis en contact jusqu'à celui où le corps P a perdu son excès de vitesse sur Q. Car une fois que le corps P aura pris la vitesse angulaire de l'autre autour de Taxe A , les deux corps ne réagiront plus , et tourneront autour de A comme s'ils ne faisaient qu'un même corps. Cette circonstance est évidemment celle où les deux corps sont mous et non élastiques. Or, la vitesse angulaire de Q autour de A étant supposée V t après le choc, celle du corps P deviendra alors AC X V, , en sorte que la vitesse u que celui-ci
aura perdue sera égale à V — AC X Vj. Substituons à u cette valeur dans l'égalité précédente, nous aurons
ACX>»(V-ACX VJ^IX.Vj,
v — AC X "*V
ou I — «(ÀC) 3 +r
formule qui donne la vitesse angulaire du corps choqué après le choc au moyen de son moment d'inertie et de la vitesse que possédait avant le choc le corps choquant.
81. application au pendule balistique. — On a déterminé dans l'artillerie les vitesses initiales des projectiles en ayant recours à l'emploi du pendule balistique, ou d'un bloc de bois suspendu à un axe qui porte sur des couteaux ( fig. HO ). Ce bloc est garni de frettes perpendiculaires au plan de son mouvement; quant à la face contre laquelle le canon est dirigé , et qui est aussi perpendiculaire au plan du mouvement, elle est garnie de plomb afin quelle soit tout-à-fait dénuée d'élasticité. De cette mamète \e YwàtaX
lancé par la pièce contre le pendule peut s'y loger , sans que le bloc soit fendu et sans qu'il y ait rejaillissement dans le sens opposé au mouvement du bloc. Soient donc Y la vitesse initiale du boulet , m sa masse , V t la vitesse du pendule balistique après le choc , et 1 et M son moment d'inertie et sa masse. Soit d'ailleurs r la distance du centre d'oscillation du pendule à l'axe cje rotation A , il conviendra que le boulet soit dirigé vers ce centre, et perpendiculairement à AO , afin ( 2 e partie , 79 ) qu'il n'y ait aucun choc sur l'axe A. De la relation donnée ci-dessus { 2 e partie , 80 ) , on déduit
. t • tn • V
On connaîtra donc la vitesse V quand la vitesse angulaire V { du pendule sera déterminée. — Appelons H la hauteur à laquelle le centre de gravité du pendule a été élevé en vertu de la vitesse V T ; on aura , en vertu du principe des forces vives et en remarquant que le moment d'inertie du boulet
est mr 1 ,
(l+mf&)Y* = î(M + m)g.E,
Il est à remarquer que cette dernière égalité ne donnera la valeur de la vitesse angulaire V, et par suite celle de la vitesse Y initiale du boulet , qu'autant que le moment d'inertie I du pendule aura été préalablement calculé. Mais on peut éviter ce calcul en faisant entrer dans ces vitesses la considération de la durée d'une oscillation complète de ce pendule. A cet effet rappelons que si on nomme T cette durée ( 2 e partie , 77 ) , on a
MX*>X0'
relation dans laquelle on devra substituer I -f- mr 2 à I , et M -{- m à M , parce que le boulet fait corps avec le pendule. Cette relation devient donc
I + m r 2 (STf m)D~
Elevant au carré , on trouve
— (M-fw)D.y'
I + wr* DT 2
et,parsu,.e, ^___ = .
DT* Si , dans l'équation des forces vives , on met —£- à la place de
ou
on a
1 ly d-
Enfin , on a encore
