AA" = K X AT

formule qui nous apprend que la hauteur d'un angle du polygone au-dessus de son consécutif est égal au rapport K multiplié par l'intervalle compris entre la suspensoire attachée au premier angle , et l'extrémité du côté horizontal. Représentant par / la longueur d'une travée , cet intervalle sera /, 2/, S/, ... . ni pour la l re , 2 e , 3 e , .... n e suspensoire à la suite de celle qui supporte une extrémité du côté horizontal. Ainsi, la hauteur du sommet C au-dessus de D sera K/; celle de B au-dessus de C , 2K/; celle de A au-dessus de C , 8K/: donc, enfin, les hauteurs des points C, B , A , U, . . . . au-dessus de l'horizontale MDEN, seront K/ , K/ + 2K/, K/j-f 2K/ +i*K/ , K/ -{- 2K/-f- $K/-{- 4K/ , et , en général , s'il y a n travées etitte\^TA.xà\sv\V.^

du côté horizontal , et le sommet que l'on considère, la hauteur de ce sommet au-dessns de l'horizontale donnée par le côté le plus bas sera

K/.l +2 + 3+4 + \-n=lLl. n ^L±i>.

(n +1) Cette expression n . - — -J— -K/, en y faisant successivement n = 1 =s 2 =

8=4 = 5, donne K/, 3K/, 6K/, 10K/, 15K/, pour les hauteurs des

1 er , 2 e , 3°, 4°, 5 e sommets à la suite du côté le plus bas du polygone. Ces nombres sont connus sous la dénomination de nombres triangulaires, parce qu'avec un nombre déboules égal à l'un d'eux (fig. 136} on peut former un triangle équilatéral qui a pour côté le* plus élevé des nombres naturels dont la somme donne le nombre triangulaire que l'on considère. En partant des valeurs trouvées pour les ordonnées des divers sommets C , B, A , . • . . du polygone , au-dessus de l'horizontale passant par le côté le plus bas , on démontre que tous ces sommets sont sur une parabole (1) dont l'axe est vertical et passe par le milieu du côté horizontal. De là résulte un moyen très-simple de déterminer la verticale qui passe par le point milieu K du côté le plus bas du polygone. Il suffira de trouver la position (fig. 137) de celui où cette verticale rencontre la ligne qui passe par les deux points de suspension U et Y. Or , la parabole jouit de cette propriété , qu'une ligne droite coupe son axe OK en un point dont la distance OK du sommet est moyenne proportionnelle aux abscisses UItt et NV des deux points U et V où cette même droite coupe la parabole (2). Remarquons d'ailleurs que l'on

(1) Soit y la hauteur de l'un de ces sommets, x = ni sa distance horizontale au point milieu du côté le plus bas , on a

C'est l'équation d'une parabole dont l'axe vertical passe par le milieu de DE, et dont le som-

met a pour abscisse x = -^ , et pour ordonnée y = -tt ; ainsi , le sommet s'abaisse au-

f ' Kl dessous du côté DE de -^ , quantité que Ton peut négliger dans la pratique, o

(2) En effet, les abscisses KP et KQ sont proportionnelles aux carrés des ordonnées UP et VQ, et celles-ci, à cause des triangles semblables UOP etQOV, sont proportionnelles à PO et à OQ. On aura donc la proportion

ôp 2 : ôq 2 :: kp : kq ;

d'où l'on tire OP* X KQ = ÔQ 2 X KP >

ou (OK — KP) 2 X KQ = (KQ — OK) 2 X KP.

Développant les carrés, on trouve, toutes réductions faites,

Ôk* =KP X KQ, ou bienÔK 2 = UM X VN.

doit se donner la hauteur du pont au-dessus de la rivière, et celle au-dessus do pont, de l'horizontale qui tient lieu de garde-fou et qui se confond avec le côté le plus bas du polygone funiculaire. Par conséquent, la droite MN est donnée de position , et les hauteurs 3IU et NV des points de suspension U et Y sont connues. Pour trouver le point , et par suite le point K , portez UM de N en F; décrivez sur P'V comme diamètre la demi- circonférence PTV ; menez par le point N , à cette circonférence , la tangente NT qui sera la moyenne proportionnelle cherchée ; portez enfin par un arc de cercle la distance NT de S en T' ; et par le point T' menez à MN la parallèle OY qui coupe la corde UV au point 0. La verticale OK rencontrera l'horizontale MN en un point K que Ton pourra regarder comme une extrémité dn coté horizontal du polygone, à partir de laquelle on portera les intervalles égaux de chaque suspensoire. A ces intervalles correspondront les

ordonnées successives K/, 8K/, 5K/, . . . . n - — ^ — - K/. En supposant

que cette dernière appartienne au point de suspension U , il est évident qu'elle doit être la même que la hauteur connue h de ce point au-dessus de M; ce qui donne le moyen de trouver le rapport K. Car on a

d'où K =

n(n+l)r Ainsi, les longueurs successives des suspensoires K/, 3K7, 5K/, seront

elles-mêmes déterminées. — Nous avons vu que le rapport K est égal à— ,

c'est-à-dire au poids d'une travée divisé par la plus petite tension. Donc on aura

p n{n+ 1 )lp °~ K ih '

Partant on aura obtenu la tension *„• Celle du premier côté à la suite du coté horizontal sera égal à ]/ t - -{- p^ celle du deuxième à |/ <o 2 -f- ( 2 />) 2 * °\u troisième à j/ f. 2 -{- (3/>) 2 , du n e à |/ f - -4- (np)-. Si les points U et V de suspension sont à même hauteur, il est évident que la courbe devient symétrique par rapport à la verticale OK ; on n'a plus alors à chercher la hauteur du point , et il ne reste qu'à calculer le rapport K d'après la hauteur des points de suspension au-dessus du côté le plus bas du polygone.

98. Idée générale de la réaction des corps posés les uns sur les autres, — Lonquc detii corps se touchent et se compriment en un certain point, il se fur me a cet endroit une dépression dont renfoncement est perpendiculaire à leur petite surface de contact, et qui indique que la réaction des deux corps l'un contre l'autre est elle-même dirigée sur la perpendiculaire on normale qui leur est commune. Supposons maintenant que l'un A des corps soit sollicité par des forces dont la résultante se confond avec cette perpendiculaire, et que l'autre corps À' demeure fixe, la réaction de ce dernier détruira alors cette résultante, et le corps À demeurera au repos, Mais il est évident que l'équilibre subsistera encore si Ton remplace le corps A' par une force égale à la réaction qu'il exerce contre le corps A , et si l'on considère ce dernier comme libre et comme sollicité par cette nouvelle force concurremment avec les autres forces données, Cette propriété que tout corps résiste à un autre selon la perpendiculaire commune qui passe par leur point de contact f s'étend au cas général où un corps est posé sur différents corps a la lois. Les réactions de ces derniers sont autant de forces véritables qu'il est permis de substituer aux divers points par lesquels le premier corps s'appuie sur les autres , et dès lors l'équilibre de ce corps est, en vertu de cette substitution , ramené à des conditions analogues à celles qui aura tant lieu s'il était libre. Nous examinerons d'abord les simples circonstances d'un corps posé sur un plan par un point unique , ou par deux ou pur trois, ou enfin par plusieurs points.

09» Corps reposant par un point sur un plan* — Considérons une sphère soumise à la seule action de son poids P , et poussée par un point m sur un plan de niveau ÀB {fi g, 188). Puisque la réaction de ce plan a lieu selon la perpendiculaire ou ta verticale du point de contact m, et qu'elle doit faire équilibre un poids P, nécessairement le centre de gravité G du corps sera compris dans celte verticale, en sorte que l'effort P du corps sera tout-à- I Va i t détruit par la résistance du plan. De même, encore 1 quand un corps pose par un seul point sur un plan quelconque > et qu'il est sollicité aussi par des forces quelconques, il faut que leur résultante soit perpendiculaire au plan , et qu'elle passe par le point d'appui. La condition de passer par le point d'appui ne suffirait pas à elle seule. Car, si l'on décompose cette résultante eu deux torées, Tune perpendiculaire au plan, et l'autre sr dans le plan, toutes deux passant d'ailleurs par le point m, la première <l,i vérité détruite par la résistance du plan j mais l'autre composante

cheminer le corps le long de ce plan, et il n'y aura plus équilibre. Donc, enfin , 1 équilibre d'un corps qui s'appuie sur un plan par un seul point est soumis à deux conditions : 1° que la résultante des forces appliquées au corps passe par le point d'appui ; 2° que sa direction soit perpendiculaire au plan.

100. Corps reposant par deux points sûr un plan. — Mais quand le corps repose par deux points A et B (fig. 189) su/ un plan , la condition de passer par un des appuis n'est plus indispensable à la résultante des forces qui le sollicitent ; il suffît qu'elle rencontre la droite AB à l'un de ses points compris entre A et B, il faut de plus qu'elle soit perpendiculaire au plan. En effet, les réactions exercées par les points d'appui , étant l'une et l'autre perpendiculaires au plan , sont évidemment parallèles ; et , pour qu'elles fassent équilibre à la résultante des forces appliquées au corps, cette dernière devra pouvoir se décomposer en deux forces respectivement égales et immédiatement contraires aux résistances des appuis. Or, celles-ci sont dirigées dans le même sens ; ainsi , la résultante en question aura son point d'application sur la droite AB entre les points A et B d'application de ses composantes ; elle devra d'ailleurs leur être parallèle, et, par conséquent, être comme elles , perpendiculaire au plan. — S'il s'agit d'un corps de poids P posé sur un plan de niveau, il conviendra pour l'équilibre que la verticale abaissée de son centre de gravité rencontre la ligne des appuis dans an point de l'intervalle qui les sépare.

101 . Corps posés par trois ou par plusieurs points sur un plan, — Arrivons enfin au cas où le corps repose par trois points sur un plan quelconque. Les résistances des points d'appui étant toujours perpendiculaires à ce plan , ne pourront faire équilibre à l'action des forces extérieures qui sollicitent le corps qu'autant que la résultante de ces forces pourra se décomposer en trois forces respectivement égales aux trois premières. Cette résultante sera donc , comme celles-ci , perpendiculaire au plan ; et, comme elles sont dirigées dans le même sens , son point d'application devra se trouver dans l'intérieur du triangle qui réunit les trois appuis. Cela résulte immédiatement de la composition des forces parallèles. Ces conditions s'étendent au cas où le nombre des appuis sur un plan est quelconque. Il faut toujours pour l'équilibre du corps que la résultante des forces qui lui sont appliquées soit perpendiculaire au plan , et qu'elle coupe le plan dans l'intérieur du polygone convexe qui réunit deux à deux le plus grand nombre des points d'appui. Si la résultante coupe le plan en un point m extérieur au polygone (fig. 1-40) ou à la courbe (6g. 141) qui réunit les appuis, le corps tendra à tourner ou à se renverser autour de l'arête ab du polygone ou de la tan- gente à la courbe la plus voisine du point m. Quant à l'énergie qui sollicite corps à se renverser, elle sera mesurée par le produit de la résul-

DEUXIÈME PARTIE, tante de tontes les force*, et de ta plus courte distance de sa droite de direction a l'aréie on à la tangente autour de laquelle se fera le mouvement de rotation du corps,

1W. Exempte* divers. — Nous avons déjà examiné les conditions d'équilibre d'âne sphère pesante sur un plan de niveau, appliquons ces mêmes principes a d'autres exemples, et commençons par celui d'un corps posé sur une table soutenue par trois pieds* Si les trois pieds d'appui sur un plan de niveau sont en ligne droite, et que la verticale du centre de gravité du corpi piste en dehors du plan vertical de celte droite, la table s'inclinera et basculera du coté où di centra de gravité est situé, avec une en égale nu moment de stabilité du corps, c'est-à-dire au produit de son poids multiplié par la distance ag de fa projection de son centre de gravité à l'arite de rotation Aa (fi g. 14;!). Si cette distance est nulle, le centre de gravité pansera par la droite des appuis, et il y aura équilibre : mais cet équilibre sera HOU niable, para qui la centre de gravité est alors le plus haut possible et qu'il tend à descendre*

Si les f rois pieds no sera pas en ligne droite et que le centre de gravité G du corps se projette dans l'intérieur du triangle, la table est évidemment en équilibre (fig. 143). ILnRn , si ce même centre se projette en dehors, la table tournera autour du c6té ah, le plus voisin de cette projection. Dans In premier Qfrli LVquiïtbro est stable, parce que , pour déranger la table de in position, il faut élever le centre de gravité du corps, Dans le deuxième oui, l'équilibre est instable, parce que ce centre tend à descendre. Génènilciucnl, pour l'équilibre stable, il faut que le centre de gravité du corps ne projHtt? duni l'intérieur du polygone qui réunit deux a deux ses appuis RUr Un pl<iii di niveau. L'énergie avec laquelle le corps s'opposera à son renversement autour d'une arête sera égale au produit de son poids par la distance de la projection de ce centre à cette arête, et ce renversement sera d'autant plua facile que cette distance deviendra moindre. Voilà pourquoi no nomme motttvnt do stabilité d'un corps pesant le plus petit des moments rl« non poids, par rapport aux. divers côtés de sa base.

l.vn conditions sont les mêmes si le corps pose par une face plane tout entière et terminée par une courbe quelconque. L'équilibre a lieu quand la projection du eimtre de gravité du corps tombe dans l'intérieur de ta base. Tel sur», par muwiplu, un cobe posé sur un plan de niveau, parce que ta projection du centre de gravité coïncide avec le centre de la hase (fig. 144}. H «il «M. du mémo pour un prisme droit quelconque, et quelle que sort sa hauteur, seulement sa stabilité diminue à mesure que la hauteur devient

plim grande* Oo ■ oit eu effet , que le centre de gravité s'élevant de plua

on plu», l'angle- II \<1 4 que fait avec le plan vertical passant par l'arête A le plan qui pause par la même arête et par le centre de gravité G , est de plus

ÉQUILIBRE DESf FORCES ET DYNAMIQUE. 95

en plus petit. Ainsi, le centre de gravité G se rapproche de plus en plus du cas de l'instabilité. Supposez d'ailleurs une force horizontale p tendant à renverser le corps autour de l'arête A et appliquée au sommet du corps. Son moment sera p X AB. Mais le moment do stabilité en vertu duquel le corps résistera à son renversement est égal à P X a 9» D'où

et, par suite, p = P X^|,

relation qui nous apprend que p sera d'autant moindre par rapport au poids P du corps que sa hauteur AB sera plus considérable. Un cône sera difficile à renverser parce que son mouvement de stabilité est plus considérable.

Un prisme incliné conservera l'équilibre stable , tant que son centre de gravité tombera dans l'intérieur de sa face d'appui. La résistance qu'il opposera à son renversement autour de la tangente ab (fi g. 1 45) la plus voisine de la projection g du centre de gravité , ou son moment de stabilité , sera égal à P X m 9- Dans le cas où le poids g tombe au dehors, le corps tend à tourner autour de la tangente la plus voisine de la projection du centre. La tour de Pise, quoique inclinée, se maintient toujours dans sa position, parce que son centre de gravité se projette dans l'intérieur de sa base sur le terrain. — Des dominos empilés les uns sur les autres et se dépassant l'on l'autre d'une même quantité , de manière à former une espèce de prisme incliné, demeurent en équilibre tant que le centre de gravité de tout le système des dominos se projette dans l'intérieur du domino le plus bas. Mais au fur et à mesure que le nombre des dominos ou que la hauteur de la pile augmente, ce centre se rapproche de l'arête A (fig. 146), le moment de stabilité diminue, et finit même par devenir négatif, ou par favoriser le renversement du système lorsque le centre de gravité tombe au dehors de l'arête A. On voit , d'après ce qui précède, que la stabilité naturelle d'un corps augmente quand sa hauteur diminue ou quand sa base augmente, et que, toutes choses égales d'ailleurs, elle est la plus grande possible lorsque le centre de gravité tombe au centre de figure même de la base. Cela explique pourquoi les soutiens isolés doivent se composer de corps élevés à l'aplomb et être établis sur des bases plus larges qu'on nomme empâtements. Si les corps pesants sont sollicités par d'autres forces conjointement avec l'action de leur poids, il faut que la résultante de toutes ces forces réunies, ainsi que nous l'avons dit (2 e partie, 101), aille rencontrer la base de ces corps dans son intérieur. Il y a même telles forces qui, combinées avec le poids d'un corps , en augmentent la stabilité. C'est ainsi qu'un prisme incliné dont le centre de gravité tombe au dehors de sa base , serait renversé autour de B (fig. 147) si on l'abandonnait à lui-même. Mais si une force F horizontale tend à le faire tourner en sens contraire , cette force combinée

S™ PARTIE. \*l

.ri

arec le poids du corps aura une résultante GO qui rencontrera la base en un point O qui lui sera intérieur et l'équilibre sera stable» Réciproqu ment, le poîds du prisme s'oppose à son tour à ce que l'action de F ne

renverse autour de l'arête extérieure A et avec nue énergie d'autant pi grande que le produit P X A#i c'est-à-dire son moment de stabilité nat^*« relie, sera plus considérable.

Les murs de maison sont ordinairement poussés autour de leur pi -^c extérieur par les combles , ou les p un 1res qui appuient contre eux *^m\( dedans au-dehorsj mats on augmente leur stabilité naturelle en cluïgm de cette même arête leur centre de gravité (fig. 1-48J. Voilà pourquoi leur donne da fruit ou une épaisseur plus grande à la base qu'au somm Toutefois ces murs ne cessent pas d'être dressés verticalement. On cat l'effet de ce changement d'épaisseur par des cordons , des plinthes , etc

Dans les murs destinés à soutenir les terres- afin de résister a la pousssée de ces dernières ? on cherche à éloigner l'arête extérieure de ees murs Je leur centre de gravité, soit par des talus, soit encore par de larges empa. * luenls, et de manière 5 remplir la condition que la résultante du poids cl murs et de la poussée des terres passe dans l'intérieur de la hase. Le ment de stabilité naturelle de ces constructions est toujours égal à ïeu propre poids multiplié par la distance de leur centre de gravité à Taréû extérieure. On voit même que l'on pourrait supprimer les talus et conserver au mur un parement vertical, pourvu que sa nouvelle épaisseur donnât lien au même moment de stabilité , parce que la stabilité naturelle de deux murs est la môme , lorsque les moments de leurs poids sont égaux, L condition que la résultante de toutes les forces passe dans Tintéricur de 11 base est insuffisante pour des constructions qui reposent sur un terra mou ou compressible; il faut encore que le point de rencontre coïucid avec le centre de figura de la base. S'il n'en était pas ainsi , la pression serai plus forte du cote où la résultante traverse la base : celle-ci tournera autou de son centre de figure , attendu que le terrain n'est plus résistant , mais l'aide de la nouvelle condition 5 il n'y aura plus de raison pour que le cor s'enfonce plutôt d'un coté que de l'autre.

Si la charge d'une voiture à deux roues qui est traînée sur un plan d niveau , est telle que son centre de gravité soit en dehors de l'essie (fig. 1-10) ^ elle tendra à basculer dans un sens ou dans l'autre; tantôt el] exercera une pression sur le cheval limonier, tantôt elle tendra à le soulever, et ces deux circonstances sont également des causes de fatigue pou le cheval. Mais , si le centre de gravité est compris dans le plan vertical d l'essieu, l'action verticale du poids se décomposera en deux autres fore passant par les appuis des roues sur le terrain , et qui seront immédiat ment détruites par la résistance de ces derniers. Nous verrons plus loi:

$\ cette dernière condition a encore lieu quand le terrain est incliné. 103. Définition et équilibre du plan incliné. — Représentons-nous un plan quelconque coupé perpendiculairement à ses horizontales et suivant sa ligne de plus grande pente AB (fig. ISO). Quoique ce plan soit supposé indéfiniment prolongé, son inclinaison suffit pour définir sa base AG et sa hauteur BC, correspondantes à une même longueur donnée AB. Qu'on imagine un corps pesant posé sur ce plan , et dont G soit le centre de gravité. L'équilibre de ce corps sur ce plan exigerait: 1° que la résultante de son poids passât par un des points de la base d'appui de ce corps; %° que cette résultante fût perpendiculaire au plan. Cette dernière condition ne peut être généralement satisfaite à l'égard d'un plan quelconque, parce que Faction de la pesanteur est toujours verticale. Dès lors cette action se décomposera en deux autres, Tune perpendiculaire au plan qui sera détruite par sa résistance, et l'autre parallèle au plan , qui fera mouvoir ou descendre, le corps selon la longueur. On remarquera cependant que si la verticale du centre de gravité rencontre l'intérieur de la base d'appui du corps, ce dernier ne fera que glisser dans le sens du plan , au lieu qu'il y roulera si M cette verticale tombe au dehors de cette même base. C'est ce qui arrivera à M fégard d'une boule, parce que la verticale passe toujours en dehors de son point d'appui m sur le plan. Supposons qu'une force p parallèle à ce plan «oppose à ce que cette boule ne descende. Appelons P le poids de cette dernière. On sait que le corps devant rester eu équilibre sous l'action des deux forces p et P , leur résultante GM sera perpendiculaire à AB (ûg. 151), et passera par le point d'appui m. Cela posé , soit GM l'intensité de cette résultante: elle sera telle que les côtés du parallélogramme GG'MN représenteront, l'un GG' = MN la force verticale P, et l'autre GN la force p parallèle à AB. Or, le triangle GMN est semblable au triangle ABC. Car GM et MN sont perpendiculaires à AB et à AC ; déplus ils sont rectangles l'un en G et l'autre enC. Ou aura la proportion

gn : mn :: bc : ab ? ou p : p ; ; bc : ab.

Ainsi, la force parallèle au plan qui retient le corps est au poids de ce corps comme la hauteur du plan est à sa longueur ; on a

Si , au lieu de tirer dans le sens du plan , la force p qui retient le corps sur le plan était horizontale , et agissait à la manière de la puissance qui empêche un écrou de descendre le long de sa vis, GM (fig. 152) résultante du poids du corps et de cette nouvelle force n'en sera pas moins toujours perpendiculaire à AB, et le triangle GMN qui représente les deux forces qui sollicitent le corps, ainsi que leur résultante , sera encore semblable a\k itv aogle ABC. Mais comme GN est perpendiculaire à BC , et que Yan^ft AtovX.

du premier Triangle est en N , on aura la proportion

gh : ma :: bc : ac , ou p : p ; ; bc : àc$

r qui apprend que la force horizontale qui retient le corps sur le plan est

an poids du corps comme la hauteur du plan est à sa hase, ou que p est

BC égal à f X "Tït* On remarquera que, dans la valeur de p» le numérateur

est le même pour les deux cas et proportionnel a la hauteur du plan , mais que le dénominateur n'est autre chose que le côté du plan parallèle à la force appliquée»

104» Mouvement sur le pian incliné* — Nous sommes maintenant â même de troaver la loi du mouvement d'un corps pesant abandonné a lui-même sur un plan incliné. En effet, nous pouvons en décomposer son poids G M en deux autres forces, l'une MN (fig. 158) perpendiculaire au plan et détruite par la résistance de celui-ci, l'autre GN parallèle au plan et qui produira

ni Je mouvement. Au moyen de la similitude des triangles semblables GNM

BC et ABC, on reconnaîtra que la dernière composante p est égale à P X T~5?

BC P étant toujours le poids du corps. Remarquons que le rapport-^— reste le

mémo dans toute la longueur du plan t et qu'ainsi la force p qui tend à faire glisser Je corps demeure constante comme la pesanteur. Or, quand une force motrice est constante, le corps conserve un mouvement uniformément accéléré ainsi qu'on la vu dans la l rc partie. Les vitesses acquises croîtront proportionnellement au temps, et les espaces décrits comme les carrés des temps écoulés, etc, Seulement chaque degré de vitesse imprimée sera moindre que pour la pesanteur ; car les vitesses imprimées au bout de h première unité de temps seront îcï proportionnelles aux forces motrices» On aura donc

^ p BC

et , par suite ,

Telle sera la valeur de l'intensité de la gravité dans le sens du plan* C'est par la considération du plan incliné que Galilée est parvenu à découvrir le lois de lachute des corps graves* Bien que ces lois soient les mêmes dans le sens vertical que le long d'un plan incliné, on conçoit que la rapidité de mouvement et la résistance de l'air rendent extrêmement difficiles l'estimatïon des temps écoulés et des espaces décrits par les corps 0raves, lorsqu'ils tombent verticalement. 11 n'en est plus de même quand ils glissent sur un plan incliné > a pente très-douce. Gatilch a d'ailleurs diminué autant que possible l'influence de la résistance du plan , en posant les corps sur un chariot

dont Jes roues cheminaient sur des arêtes aiguës , ainsi que cela se pratique aujourd'hui dans les chemins de fer.

Considérons encore une voiture qui chemine sur un terrain incliné AB (fig. 154) et dont le brancard peut d'ailleurs être regardé comme sensiblement parallèle à ce terrain. Quoique le centre de gravité de la charge soit avec l'essieu dans un même plan perpendiculaire au terrain , cependant ici l'action verticale de cette charge passe au dehors et tend à faire tourner la voiture dans un sens opposé à celui de la montée. L'énergie de cette action, égale à PXwi, sera d'autant plus grande que la verticale qui passe par le centre de gravité de la charge s'écarte plus de l'appui m des roues sur le - terrain. Il conviendra , pour contre-balancer cet effet, que le conducteur se place sur le devant de sa voiture, quand elle monte, et sur l'arrière quand elle descend. A proprement parler , il n'y a point de remède contre an tel inconvénient. On le diminue, cependant, en rendant la charge la moins haute possible au-dessus de l'essieu, parce que le moment de stabilité PXwi augmente avec la hauteur Qm du centre de gravité au-dessus des appuis de là voiture sur le terrain.

105. Frottement des corps sur un plan. — Le .frottement est la résistance qu'un corps posé sur une surface oppose au mouvement. Cette force , qui n'est point le poids du corps, mais qui est en réalité la résistance du ter* rain, ne doit pas être confondue avec l'adhérence. Celle-ci se manifeste lorsque la surface par laquelle le corps pose sur le plan est enduite d'une espèce de colle. Si dans cette circonstance , on cherche à détacher le corps, la résistance qu'on éprouve ne dépend nullement ici du poids du corps , mais bien du nombre des parties en contact ou de la grandeur de la surface enduite. Ainsi, l'adhérence est double, triple, quadruple, si la surface est double, triple , quadruple : en un mot, elle croît proportionnellement aux surfaces en contact ; mais elle demeure la même quel que soit le poids du corps. Le frottement, au contraire, demeure le même quelle que soit la surface , et il augmente avec le poids du corps ou plutôt avec la pression qu'il exerce contre le plan sur lequel il est mis en mouvement. Les lois de la résistanoe du frottement ont été découvertes par Araontons et Coulomb. Avant de donner les principes établis à cet égard par ce dernier physicien , il convient d'expliquer les principes des méthodes qui peuvent y conduire.

106. Mesure du frottement d'une substance quelconque contre un plan* — A IVide du peson à ressort, dont il a été parlé plusieurs fois, on peut mesurer immédiatement la résistance opposée par le frottement d'une substance sur un plan de niveau (fig. 155). Tirez , en effet, avec le peson , cette substance chargée d'un poids quelconque , en la faisant marcher sur le plan d'an mouvement uniforme. La division sur laquelle l'aiguille de l'instrument s'arrêtera , indiquera en poids la résistance occasionnée par le frottement de la substance sous ?a charge donnée contre \e p\aw.

Ce même frottement peut encore s'obtenir au moyen du plan incliné

(fig. 156). En effet , si Ton décompose le poids P du corps en deux forces ,

Tune perpendiculaire et l'autre parallèle au plan de cette dernière , p est ,

BC commme Ton sait, égal à P X tï»- De P ms » tant que cette composante

AD

sera inférieure à la résistance ou au frottement , le corps demeurera au repos, et il ne prendra du mouvement qu'à l'instant où le plan aura reçu une inclinaison telle que la composante/) soit devenue égale à la résistance cherchée F. On aura donc

f-pv™

Sans entrer dans le détail des expériences de Coulomb, qui , au lieu de l'un des moyens précédents, s'est servi de traîneaux horizontaux, nous nous bornerons à dire , avec cet habile physicien , que le frottement est généralement proportionnel à la charge du corps qui glisse , ou plutôt à l'effort perpendiculaire à la surface contre laquelle il frotte. Nous verrons , en effet, que les forces autres que la pesanteur qui sollicitent un corps , peuvent avoir des composantes perpendiculaires au plan dont l'effet est d'augmenter ou de diminuer la pression du corps contre le plan ; mais c'est toujours à la pression résultante de toutes les forces que le frottement .est regardé comme proportionnel. Cela posé, lorsque parles règles delà mécanique , la pression contre la surface en contact a été calculée, on en déduit immédiatement le frottement sur le plan en multipliant la première par son rapport avec cette résistance , et ce rapport , variable selon certaine» circonstances, est indiqué sur des tableaux qui résultent des expériences^ de Coulomb. Remarquons , d'ailleurs, que la règle du frottement proportionnel à la pression n'est point générale, et que, pour des corps de substances différentes , les lois du mouvement ne sont pas toujours indépendantes de la vitesse du corps ni de l'instant où il a lieu. Lorsque du fer a. reposé , par exemple , longtemps sur du bois , le frottement augmentera ensuite avec la durée du repos, parce que la compressibilité du bois permet au fer de s'y engraîner davantage ; c'est environ au bout de cinq à six jours que le frottement arrive à sa plus grande limite ; il devient triple ou quadruple de celui qui a lieu quand les corps sont en mouvement continuel.

Les vannes qui sont restées longtemps fermées , et que l'eau a pressées contre leurs feuillures , opposent , quand on les lève , un très-grand frottement qui diminue dès que le mouvement est établi.

Il faut donc distinguer les frottements selon deux circonstances principales. Voilà pourquoi nous présenterons ici deux tableaux différents. Dana le premier , les surfaces planes sont supposées être restées en contact assez longtemps pour que le frottement ait atteint toute sa valeur. Le deuxième est relatif au frottement des surfaces dans la suçnosition où le mouvement est établi depuis un certain temps.

PREMIER TABLEAU. Frottement des surfaces planes quand elles auront été longtemps en contact.