AR'J
orts
chacun pour son compte* Il serait difficile d'évaluer le travail partiel chaque sonneur , partît que la direction de son effort varie a chaque ins — tant. Mais il y a une tensûm générale evercée sur le câble AB , et ht quantité de travail de cette tension est précisément égale h In somme des quantités de travail développée par les hommes. Remarquons que leurs effor se décomposent en efforts horizontaux ot en efforts* verticaux ; que les un doivent se faire équilibre par eux-mêmes et s'enlrc-détruire ; et que les de niera seuls travaillent, et sont égaux en somme à la tension du câble. Les efforts horizontaux sont donc exercés en pure perte et fatiguent inutile — ment les hommes. Ainsi , quoique toute la quantité de travail des homme «oit transmise au câble , la disposition des cordelles inclinées est ur cause de fatigue d'autant pins grande qu'elles sont plus inclinées, C*est pou cette raison qu'on a imaginé de Ses relier a un cercle commun horiionl dont le centre est à l'aplomb du câble , et dont la circonférence suppor d'autres cordelles on tirandes verticales auxquelles les hommes sont appliqués SA, Equilibre sur des cordes qui concourent en un mû me point* — Lorsqu plusieurs forces agissent sur des cordes qui concourent en un même point , la tension de Tune étant égale à la résultante des efforts qui ont Heu sur toutes les autres , on voit que , pour qu'il y ait équilibre , cette même len* sion devra être égale et directe ment opposée à la force qui sollicite la corde que l'on considère. Donc, si des forces sont appliquées à des cordes co courantes ^ la condition de leur équilibre exige que Peffurt de l'une d'ell «oit égal et directement contraire à la résultante des farces qui tirent tout les autres» — Oit sait qu'un réverbère est suspendu par une poulie mobile < (fig. 114), dont fa gorge peut glisser sur une corde ACB, attachée à dec points fixes A et R\ S'il y a équilibre , il est évident que le poids P du reve bêre doit être égal à la résultante des tensions t et t f qui ont lieu sur les deu branches ÀC et CÛ de la corde de suspension » ou que , sur la verticale CE \ prenne CD proportionnelle à ce poids, et que l'on construise le parallèle gramme CfDf' "; les côtés Ct et Cf' devront représenter ces tensions respec lives. Or, la longueur de la corde ÀCB étant constante, le point C appartient en outre à une ellipse dont À et B sont les foyers; et sa position su celte ellipse, comme pour tout système pesant en équilibre, doit être te que l'équilibre soit stable; ce qui n'aura lieu qu'autant que le point C ser le plus bas possible. Ce point est d'ailleurs celui où la tangente à ta court est horizontale. Or, tes angle* que la tangente à l'ellipse fait avec les rayor vecteurs AC et CB sont égaux : donc, pareillement, la verticale CD part géra en deux parties égales l 'angle ACB de ces rayons vecteurs. Par cons queut, la figure CfDf est un losange t et Ton a i = t\ Cela résulte immëc tement du principe delà réaction égale et contraire h l'action , attendu qn les cordons se tirent entre eux immédiatement au travers de la gorge de jaonlte C, comme an travers d'un anneau. — Si le point C d'application d'u
IQOIUBRE DES FORCES ET 0YNAU1QUE. 77
fardeau ne peut glisser , il n'y a plus à rechercher sa position , il est le intrjGl du triante ABC. En faisant la décomposition du parallélogramme , un trouve que les deux tensions ne sont plus égales et que la plus grande h lieu du côté où (a verticale du fardeau est la plus rapprochée un colle de chaque point fixe. Eu effet , si le fardeau était placé dans la verticale de A on que la ligne ÂC fût verticale, la tension serait la plus grande possible du côté de ce point , puisque alors elle serait égale au poids du fardeau ; de pla*, la tension exercée sur la branche BC serait ïéro. On voit encore qu'il jerait impossible que le point de suspension C laissât du même coté les verticales des points fixes A et R, Si , par exemple, le cordon a une longueur AC'B (fig. 1 115) et que le point donné de suspension soit C' , ce dernier prendra la position C" sur la verticale de A., et la branche de corde du côté B ïfira détendue,
81 Equilibre du polygone funiculaire* — Considérons un polygone font* (Autre ABCD. .., (fig. llfij, composé d'an assemblage de cordes ou de barres „ et tiré à ses sommets À, B , C , D par des forces quelconques P , Q , Rj S, Soient T en outre, N el N' deux Forces de tirage agissant aux deux sommets À et f> , suivant les directions A A' et DD' , et qui représentent les effort s exercés aux deux extrémités par lesquelles ce polygone est attacha. Les conditions d'équilibre sont analogues aux précédentes , et la figure q«e formeront entre eux les côtés en tournant autour de leurs articulations pour satisfaire à cet équilibre est dite polygone funiculaire* Elle sera telle que l'équilibre snbsislera sur chaque sommet en particulier. Ainsi , en déco m posant chaque force R en deux autres forces dirigées sur les côtés BC et CD adjacents à son sommet d'application C , ces deux forces seront égales et directement contraires aux tensions r, et £ 5 de ces côtés. Observe! que cet équilibre est indépendant de la longueur des cotés, et qu'il aura lieu lors mémo que ces côtés seront devenus nuls. Dans ce dernier cas, toutes les forces extérieures auront été transportées parallèlement à elles-mêmes auluiir d'un même point, aussi bien que les tensions des côtés; mais , comme chaque côté est tiré par deux tensions égales et contraires, celles-ci se dé^ truij-oDt entre elles , et il ne restera que les forces étrangères aux tensions.
K« forces se faisant encore équilibre autour du point sur lequel elles au- Jïil été transportées, on voit que la condition de l'équilibre d'un polygone mi cul a ire est que toutes ses forces qui luisant appliquées se fassent équilibre navettes sont transportées en un même point parallèlement à elles-mêmes.
B6, Equilibre d*un poligone supportant un poids* — Si toutes les forces P,Q, ÏÏ*S(fig 4 J17) sont parallèles, la force est dans le plan des côtés BC et CD ad* jacents à son sommet d'application C; la force Q est également dans le plan des côtés AB et BC : donc les trois côtés ÀB , BC et CD sont dans le même plan qui passe par les directions des forces parallèles Q et E. On démontre-
2 mt PARTIE. UV
rait delà même manière manière que tout le polygone est dans un seul et même plan , ainsi que les furces parallèles qui lui sont appliquées. Si le polygone est , par exemple, un assemblage de barres pesantes les forces qui sollicitent chaque coté sont précisément leurs poids respectifs. Suit p le poids de la barre À G. Ce poids devant passer par fe milieu de AU , ou par son centre de gravité , se décomposera en deux autres forces , égales à -J p. appliquées en À et B ; de incinc, le poids q de EC donnera lieu à deux composantes \ q , appliquées en B el C ; cl le poids r de CD à deux autres composantes |r 9 appliquées en C et D É Ainsi, chaque sommet B et C sera soumis à l'action des forces \ [p -]- q), * (q -j- r), qui seront égales à la demi-somme des poids des eu lés adjacents : il n'y aura que les sommets extrêmes qui supporteront le demi-poids du côté qui leur aboutit respectivement,, On n'aura plus ainsi à s'occuper que d'un polygone sans pesanteur chargea ses sommets. Dans loua les cas, puisque toutes les forces verticales P, Q, R, S doivent cire en équilibre avec les forces K el W qui supportent le polygone , ou qui sont exercées à ses deux points de supensiun A' et D', il Faudra que la résultante des premières soit égale et directement opposée à celle de ces dernières. D'ailleurs , la résultante de tous les poids P 1 Q, R, S a sa direction selon la verticale qui passe par leur centre de gravité G- Par conséquent, les directions AA' et DD' des efforts N et N' , ou tensions extrêmes, se coupent en un même point de cette verticale. Si: donc 031 représente la somme de loos les points P, Q, R, S, ou leur resul — tante , les côtés OV, OU du parallélogramme construit sur les prolongements de ces tensions extrêmes et dont OM est ta diagonale donneront Ton la tension N exercée au point A' t et l'autre la ten&ioo W exercée a"«j point D',
87. Moyen générai de trouver les tensions . — Il est utile de connaît*— <la tension de chaque côté intermédiaire du polygone funiculaire pesant afin de proportionner convenablement les grosseurs de ses côtés. S»* it ABCDE. , , . { fig, 118) un polygone pesant en équilibre , en vertu d ^s poids P, Q, R, S, T qui agissent h ses sommets T et des forces etirëm -«s N et N' dont les directions sont ÀA' et EE\ Je remarquerai que 5 puisq;^™^ l'équilibre subsiste autour de chaque sommet A ^ la force M dont Tactior^ j lieu suivant AA' est égale à la résultante des deux forces P et t }i et que s
Ton prend Ara=^N sur Je prolongement de À' A et que Ton construise 1
parallélogramme Af,np sur An comme diagonale , les côtés du trianj AjDtt représenteront , l'un Ap la force P , et l'autre pn la tension t t côté AIL Cela posé , menons une horizontale a*e sur laquelle , à par du point arbitraire a\ nous porterons des parties a'ti t ab , fle , cd * de , p portionnelles aux forces P, Q, R , S, et T. Sî , par te point a* je même perpendiculaire à la direction A'A de la force N et dont la longueur méA proportionnelle à la force N OH Aft , et que je joigne ûS » it est évident CI"*
i triangle a r $a sera semblable â Àpn m Car les côtés du premier a* a et a*S sont proportionnels aux côtés Ap et An du deuxième- Déplus, ces côtes étant perpendiculaires entre eux, les angles qu'ils comprennent sont respectivemeut égaux. Ainsi , le troisième côté aS du triangle fl'Sa sera proportionnel s pi au à la tension t i de A B. Par la même raison aà étant proportionnel à Q, Le troisième coté hS du triangle a%b sera proportionnel a la tension t % du cûtcBC, puisque les trois forces / ( Q et f, se fout équilibre autour du manuel AB. Enfin , puisque a a et aS sont perpendiculaires aux directions An et Ap des forces N et P, aS sera perpendiculaire au côté ÀB dont cette grandeur mesure la tension t ]m II en sera de même par rapport au côté liC , de iS qui mesure sa tension t q . Donc, si les poids se font équilibre sur un polygone funiculaire, et si Ton prend sur une horizontale une suite de divisions proportionnelles â ces poids ^ les perpendiculaires menées par chaque point de division à chaque côte du polygone concourront en un même point, et leurs* grandeurs , comprises entre l'horizontale et ce point de concours , seront proportionnelles aux tensions des côtés du polygone ,
I auxquels ces lignes convergentes sont perpendiculaires* 88* Chaînette , Bon utilité dans les arts, — Les eôlés du polygone peuvent êlre Irès-pelits et n'être soumis qu'à L'action de leur propre poids ; ce cas «^précisément celui d'une chaîne suspendue par ses extrémités À et B (%. 119), et le polygone devient une courbe qu'on nomme chaînette* Celte courbe est employée avec avantage pour la forme a dunner aux mules, et Ton en voit un exemple au dôme du Panthéon de Paris , dont nne des voûtes est tracée en chaînette renversée. Il faut concevoir que , peur une telle position de la chnïnette , des boules égales et juxtaposées sur «a courbure y resterunt en équilibra, parce qu'il n'y a aucun changement ni dans L'action de la pesanteur sur ces boutes, ni dans l'action réciproque en vertu de laquelle eîLes se foulent Tune contre L'autre. Ces refoulements remplacent ici les tractions qui auraient lieu sur les éléments de la chaînette si cette dernière était pendue naturellement, et qu'elle soutint toutes les boules enfilées. C'est donc pour cette raison que les voussnirs d'une voûte IpU attrait pour cintre une chaînette renversée, s'y maintiendront en équilibre. La chaînette est encore employée dans les ponts établis sur une ou plusieurs chaînes tendues parallèlement et également d'une rive à i'iiiUre, et qui sont chargées de madriers* Eais , dans leur construction, il importe de connaître les tensions extrême* de ces cordes ? afin de s'assurer que les points fixes qui leur servent d'attache sont suffisamment résistants. 89, Propriétés générales de la chaînette. — Une chaînette ÀCB {fîg, 121), mspendue à deux points fixes A et B , n'est autre chose , avons nous dit , I 1 ' un polygone pesant en équilibre et dont les côtés sont infiniment petits; ^U sorte que si , sur une ligne horizontale À'B\ on prend une longueur A'B' proportionnelle à Bon poids , et qu'on divise cette longueur fct \m dn»u«W*
en un même nombre de parties égales, il existe un point de concours jouissant de celte propriété , que toutes tes d mites menées de ce point â toutes les divisions de A'B' sont perpendiculaires aux petits côtés ou éléments de la chaînette correspondant à ces divisions , et que les grandeurs SA', SF', . ... de ces mêmes lignes sont proportionnelles aux tensions qui ont lieu dans les éléments de la courbe perpendiculaires à ces directions. De toutes ces tensions , la plus petite est donnée par la perpeniculaire SC'à l'horizontale A'B', Or, L'élément de En chainelte auquel cette tension correspond étant lui-même horizontal, ce sera le point Je plus bas C de la chaînette. Les tensions devenant plus grandes a mesure que les obliques SF'. s'éloignent plus de la perpendiculaire Si .'. on voit que les tensions des éfé mcnts d'une chaînette augmentent à mesure que ces cléments s'écartent du point le plus bas. Il suit de là que les tensions les plus grandes possibles sont aux points d'attache A et B. Deux tensions égales SI"' et SG' appartiennent à deux éléments de la courbe situés a égale distance du point le plus bas C j de plus , ces éléments forment des angles égaux avec la verlicale LC passant par ce point : donc ces éléments M et fï sont situés sur nue même horizontale NW , et celte corde JîM, ainsi que toutes ses semblables, seront partagées en parties égales par cette verticale, Ainsi, la chaînette est une courbe symétrique par rapport à la verticale passant par son point le plus bas* Il résulte encore que si les points d attache d'une chamelle sont sur une même horizontale, les deux tensions extrêmes sont égales ? et que le point de concours qui détermine toutes les tensions est sur la perpendiculaire menée pair le milieu de l'horizontale proportionnelle au poids de la chaîne. A et D étant, par exemple, les deax points de suspension, et A'D' étant une longueur proportionnelle au poids de ta chaînette ACD, SC perpendiculaire à A'D' et passant par le point de concours S , coupera A1V en deux parties égales A'C et C'D'.
00, Chaînettes semblables* ■- Deux chaînettes ACB et mb (fig. 121 J sont semblables lorsque leurs points de suspension A et B d'une part et a et h de l'autre sont situés sur des droites Ali et ab parallèles , et lorsque leurs longueurs ACB el uûh sont dans le même rapport que les distances AB et oo» Remarquons, en effet, que si l'équilibre subsiste sur la chainelte ACB, cet équilibre ne sera pas troublé ( 2 e partie , 85 ) en diminuant proportionnellement les longueurs de ses éléments ou de ses diverses dimensions. Ainsi , lorsque ACB est réduit a la forme «ci, non-seulement I équilibre aura lieu pour cette dernière, mais encore il n'y aura pas une seule de ses parties qui ne soit parallèle et proportionnelle à une des parties de la première. Maïs, puisque les éléments de la petite chaînette ach sont parallèles h ceux de la grande ACB* toutes les tensions de cette dernière pourront être coin * prises dans l'angle A'SB' qui intercepte les diverses tensions de la grande ; un pourra alors trouver dans cet angle ta position d'une droite ah* parallèle
à A'B' et qui représente le poids de la petite chaîne , comme A'B' représente le poids de la grande. Avec an peu d'attention , on reconnaît que les deux tensions Sf et SF', situées sur une même droite convergente en 8 , appartiennent anx éléments parallèles des deux courbes , et sont ce que j'appelle des tensions homologues. Or, à cause des parallèles A'B' et a'o', on a la proportion
S/": SF' ;>'&': A'B',
qui nous apprend que, pour deux chaînettes semblables, les tensions aux points semblablement placés sur chacune d'elles sont entre elles dans le rapport des poids de ces chaînettes.
9 1 . Construction de la chaînette en se donnant son poids , sa longueur et le point de concours des tensions. — Soil A'B' (fi g. 122) une droite horizontale proportionnelle au poids de la chaînette, S le point de concours des tenr sions qui ont lieu dans ses divers éléments. Partageons la droite A'B' et la longueur de la chaînette en un même grand nombre de parties ; joignons les droites SA , SI , S2 , S3 ; ces droites seront autant de perpendiculaires aux directions des divers éléments de la chaînette. D'un point A quelconque, abaissons une perpendiculaire Ai' à la première direction SA', égale à une division de la longueur de la chaînette; du même point 1' une droite W égale à la première Al' et perpendiculaire à Si , etc.; chacune de ces petites perpendiculaires se terminant où sa consécutive commence , et cette construction étant continuée un nombre de fois égal à celui des points de division , on formera un polygone dont les côtés donneront la chaînette avec d'autant plus d'exactitude que le nombre des divisions aura été plus grand.
Le même point de concours S donne encore le moyen de mener une tangente à une chaînette quand celle-ci est tracée. En effet, si E (fig. 12?) est le point par lequel on veut mener cette tangente, et que l'horizontale A'e représente le poids de la portion AE; joignez Se, et du point E abaissez a cette droite |a perpendiculaire EG ; ce sera la tangente en ce point de la chaînette.
92. Détermination du point de concours de toutes les tensions de la chaînette. — La connaissance du point de concours dépend de celle des tensions qui s'exercent aux extrémités de la chaînette. Car A'B' (fig. 124) étant le coté horizontal proportionnel au poids total, si des extrémités A', B' comme centres ou décrit des arcs dont les rayons A'S et B'S sont proportionnels aux deux tensions extrêmes , leur intersection S sera le point de concours cherché. Supposons d'abord que le tracé de la chaînette, soit donné, il est évident que , d'après les conditions de l'équilibre , les deux tangentes ÀO, BO (fig. 125) aux deux points extrêmes se couperont en un même point de la verticale OL passant par le centre de gravité de la chaînette , ou par son point le plus bas. Si donc on prend sur celte verticak , V ^xyVyc &w
point rie concours du ces tangentes , une partie OG proportionnelle au
poids total, et que Ton construise sur ces tangentes un parai lélograratne dont OG est la diagonale , les côtés A'O et OB' donneront l'un la tension extrême en A et l'autre la tension en B, Mais, si Ton a seulement les deux, pointa de suspension À et B (fig. I2Ô), ainsi que la longueur et Le poids total d'une chaînette, voici comment or» procède ra pour avoir tes deux tensions ci trémas. On p rendra une chaîne beaucoup plus courte , et on la suspendra sur un tableau vertical, a deux points a et h situés sur une droite parallèle a Ali et distants entre eux d'une quantité ah qui soit avec AB dans le même rapport que celui des longueurs des deux chaînes. Celte petite chaîne étant ainsi suspendue, on mesurera avec un dynamomètre les efforts exercés par elle aux deux points a et b ; et il est évident que les tensions qui auront lieu sur la grande chaîne aux points A et B seront respective* ment égales aux produits des efforts précédents multiplies par Je rapport non plus ici des longueurs , mais des poids des deux chaînes
Au lieu de mesurer avec Je dynamomètre les tensions aux extrémités d la petite chaînette , on pourra mener par le point a de suspension ïo pi bas , l'horizontale ad qui coupe en d la petite chaînette , et réduire ainsi le problème au cas où les deux tensions extrêmes seraient égales 3 car alors I portion de chaîne aed est en équilibre aussi bien que la chaînette totale ae, Cela posé, connaissant la longueur et le poids de aed , el portant sur un horizontale quelconque une partie u*b* jfig, 127) proportionnelle au poid total de acb , on sera sur que le point de concours des tentions sera sur I perpendiculaire C'K' qui partage également en C la grandeur a'd* propo tionnelle an poids açd (fig, 126) de la portion de chaînette située au~desso de l'horizontale ad. Prenons sur C'K f un point arbitraire, et construit*! par ce point de concours, et à partir de a, la chaînette dont Lu us les éléments soient perpendiculaires à toutes les tensions a'Q qui concourent de e/à'au point \ on porLera perpendiculairement à C'K' une ordonnée Q$ • égale h la différence de ah (fig. J28) , véritable distance des points de suspension, et de b corde ae qui termine ta chaînette obtenue. Cette ordonnée Og sera portée â droite ou à gauche de C'K/, selon que ae sera plus petit
le
ou plus grand que la truie distance crâ. Recommença ut pour un nouveau point 0" (fig, 127), on aura une nouvelle chaînette ac f et une nouvelle perpendiculaire 0'g\ La courbe passant par les extrémités </,o' de ces perpendiculaires coupera C'K/ en un point S qui sera le point cherché \ el dés lu les distances Sa' et Sb' seront les tensions aux [joints extrêmes,
S. Pins petite et plus grande tension sur urne chain» verticale* — No avons vu que dans toute chaineUe les tensions sont inégales d'un point un autre, et que la plus petite a lieu au point Je plus bas. Cette lui se mai tient , lors même que la chaîne est verticale. En effet , le maillon le pi bas C (Êg, J2Qj de relie dernière est seulement chargé du poids (J «uspen
EQUILIBRE DES FORCES ET DYXAM1QDE. 65
a la chaîne ; te mai M on D supporte à la fora le poids Q et te mail ton C ; Te maillon D' est chargé do poids Q et des deux ma il Ion s C et D, etc. 7 en sorte que le premier A supporte le poids Q et le poids total de la chaîne. Par conséquent, une telle chaîne devrait être plus forte an haut qu'au bas de sa longueur.
94, Mesure directe de la tension en un point quelconque de la chamette. — Considérons encore une chaînette dont À et 11 (fig. 130) sont les points de suspension, et dont Best un point quelconque. Il esi évident que si la chaînette entière est en équilibre , cet équilibre ne sera pas troublé eu supposant que ce point quelconque D soit fixe et que Ton supprime la partie AD. Mais alors si ta partie DCB est en équilibre , il en sera de même à Té- + [pd de la portion de chaînette comprise entre le point D et le point le plus ItosC. parce que , par nn raisonnement analogue, nous pourrons encore supprimer la partie CB. Or , il est a observer que la partie DC étant en équilibre par rapport au* points D et Ç considérés comme ses points de suspension , il faudra , pour les conditions de cet équilibre , que le point de cette oriion de chaîne fasse équilibre aux tensions en D et C ; ce qui ne peut avilir lieu qu'autant que les deux tangentes OD et OC coupent en un même point ta verticale P3I passant par te centre de gravité de la chaînette CD, Donc, alors, en désignant par P le poids de celte dernière, P est égal et opposé à la résultante des tensions en D et C. L'une, suivant la tangente en D , sera désignée par T \ et l'autre agissant suivant la tangente horizontale OC » sera désigné par T'. À partir de l'intersection des tangentes, prenons ■ur!a verticale 0M une partie OM égale au poids de la portion DC de chaînette , et construisons sur ces deux tangentes un parallélogramme dont 031 scjitla diagonale : Tun des côtés, 0i\ ou DSI , représentera la tension horizontale qui s'exerce au point le plus bas- et l'autre t DO , la tension T au puint D. Mais, par la raison que les trois forces T T T' et P, ou les lignes DO, ON et OM qui tes représentent respectivement , soit en équilibre , on pourra regarder Tune d'elles T comme égale et immédiatement opposée à la résultante des deux autres , ou ces dernières comme les composantes de la première. L*une de ces composantes T' étant, comme nous l'avons déjà dit, une 1 force horizontale égale à la tension qui a lieu au point le plus bas C, et Vautre P étant le poids de la chaînette comprise entre te point D et le point €, un en conclut que la tension en un point quelconque d'une chaînette a deux Wmpotantea , composante horizontale et composante •verticale , dont Vune est la tension au point le plus bas de la chaînette f et dont Vautre est le poids même de kpûrtion de chaîne comprise entre le point le plus bas et celui que Von considère. Cette même conséquence se déduit aussi de la considération du point de todoouri d'où partent une suite de lignes qui, aboutissant aux diverses avisions d'une droite horizontale et proportionnelles au poids de la chaî- ■Wf J représentent elles-mêmes les tensions de la chaînette, Cat (ti\W\V^t
la perpendiculaire SK h l'horizontale (fig. 131) représente la ten«0n a point le plus Lus, et que KG est proportionnel au poids de la portion d chai ne comprise entre te point te plus bas et celui qui correspond à G sur I» chaînette, et pour lequel l'élément de la courbe est perpendiculaire à SG. Ainsi, celte tension SG est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un côté est constamment pgal à la tension du point le plu* bas , et dont l'autre côté est égal au poids de la portion de ehiiiiie interceptée entre ce poinl et celui pour lequel la tension SG a lieu.
Puisque la tension à mi point quelconque de la ehainetle a pour composante horizontale la tension au point le plus bas, et pour composante verticale Je poids de chaîne comprise entre ce dernier et te premier point, il est évident que si celui-ci est un point de suspension fixé à un pilier (fig. 131), il pourra être considéré comme sollicité par ces deux composantes. Or, oelle qui provient du poids de la chaîne est détruite par la résistance du pilier » et tend elle-même à appuyer ce pilier sur sa base ; tandis que la composante ou poussée horizontale , qui tend r le renverser, est constante et égale à la tension horizontale du point le plus bas de la chaîne. l)~ou Ton conclut que, dans toute chaîne suspendue à deux points fixes également ou inégalement élevés, ces derniers sont soumis a des efforts horizontaux, constants et égaux n la moindre tension de la chaîne.
ilii . Tension* extrêmes dune chaînette dont la flèche est fori petite, — Il facile de calculer les tensions d'une chaîne à ses deux points de suspensio lorsque sa flèche est peu considérable. Soit, en effet , ACD ( fig. \À'è ) u chaîne donc C est le point le plus bas , et CD la flèche, c est-a-dire l'a bais sèment de ce dernier au-dessous de l'horizontale passant par l un des poin de suspension. D'après ce qui a été dit plus haut, l'équilibre peut cire r gardé comme ayant lieu séparément sur les parties €0 et ÀC. Or , à cause de la petitesse de la flèche CD, la branche BC a peu de courbure } et son centre de gravité G est a-peu-près placé à son milieu comme si elle était une ligne droite; les tangentes BG' et CG' couperont d'ailleurs en un même poinl G' la verticale GG'. Désignant par T la tension au poin*. B suivant la première, par T,> la tension horizontale au point le plus bas C, et par y; le poids de la portion déchaîne BC, on aura, à cause de l'équilibre des trois forces P t T et T„ , les deux proportions
p : t ;: bit : hg% dp : t
Bfl : BG\
La première donne et la dernière,
l — P * DU »
sur quoi on observera que BH est égal à la flèche CD que nous appeleror /V que H G' est la moitié de Cfl ou de Bi> que nous nommerons / f parce
*» eit le milieu de la ligne BC regardée comme droite , et que BH est verticale et parallèle à GG'. Enfin , à cause du triangle rectangle BGH , on a
BG' = ]/ BH 2 + G 7 ! 2 = . /f* + /.
Faisant rot substitutions dans les expressions de T, et de T , en trouvera t o = £~-,
La première exprime la tension au point le plus bas , qui est, comme on Ta va, la même chose que la poussée horizontale exercée sur le point d'appui ou de suspension. La deuxième donne la valeur de la tension totale exercée sur ce même point d'appui et tangentiellement à la courbe. Cette dernière tension , essentielle pour en déduire les dimensions convenables à donner à. la chaînette, peut se mettre sous une forme plus commode pour la pratique. En effet , on démontre qu'un radical de la forme \/ a? -\- <& 2 , et pour lequel on sait que a est plus grand que h , est équivalent, à -~ près , à cette autre valeur rationnelle
Qt , comme dans le radical de l'expression de T , on a
o = -|p- et ft = 1 ,
Qfi pourra donner à cette expression cette autre forme T = p f 0,96-^ + 0,04 ).
96. application aux ponts établis sur des chaînes tendues d'une rive à l'autre. — Nous avons déjà donné une idée de la manière simple d'établir un pont sur une rivière , en la traversant de deux ou plusieurs chaînes tendues également et parallèlement , et en chargeant ces dernières d'un ou de deux **€mgs de madriers. Supposons que le poids total de ces madriers soit de SC00 k , ou que le demi-poids p = 1000 k ; que la largeur de la rivière , dont * est la moitié, soit de 16 m , ou que /= 8 m ; et qu'enfin la flèche soit de l m ,
on f— i j oû aara — ; = 4m, et, par suite,
^ sera l'effort qui devra tendre l'ensemble de toutes les chaînes ; et ,
*i elles sont au nombre de cinq , l'effort sur chacune d'elles sera réduit
2 m6 partie. VV
a — H" = f & k » Portons à Î0k l'effort qu'une chaîne peut supporter par mil-
limètre carré de section : la section sera égale à — ~ millimètres carrés, 01
a 78 millimètres carrés environ; en sorte que la section sera un carré ayant pour côté de 8 a 9 millimètres. Telle serait du moins la dimension nécessaire à un barreau de fer, pour qu'il supportât le pont. Mais si, au lieu d'un barreau , on se sert d'une série de trousseaux de fils de fer réunis entre eux par d'autres fils en spirales , on déterminera le nombre de Bis de Fer convenable, pour que la section de la trousse, tant pleine que vide, soit la même que celle du barreau ; je dis tant pleine que ride i parce que le fil de fer a une force beaucoup plus grande qu'un barreau,
L'inconvénient des ponts posés sur des chaînes est que celles-ci ne peuvent être tendues en ligne droite , et que ces ponts ont ainsi peu de stabilité. Nous venons de démontrer en effet que la tension horizontale d'une
chaîne était égale à^-^— , expression qui prouve que si /"est rendu dix
fois, cent fois, etc. , plus petit, la tension horizontale devient dix fois, cent fois plus grande , et qu'ainsi, malgré ces efforts énormes , la flèche ne sera jamais nulle. La même remarque s'applique à la tension extrême f puisqu'elle est la résultante du poids de la demi-chaîne et de la tension
horizontale p ^-rr*
97* Ponts suspendus au-dessous des chaînes par des suspensoîres èquidi&tantes et verticales* — Afin d'obvier aux: inconvénients des ponts poses sur des chaînes tendues, on les suspend au contraire à deux chaînes supérieures UÀBC . . , . V, portant des suspensoîres verticales en fer AA' BB', CC, »... qui se correspondent sur les deux chaînes. Chaque couple de suspensoîres est réuni par des traverses horizontales dans lesquelles ces suspensoircs sont boulonnées par le bas , et qui reçoivent des pouLrelïes qu'on recouvre de madriers. Soient alors U et V les points de suspension du polygone funiculaire UABCD ...» Y. Chaque couple de suspensoîres peut être regardé comme chargé de la moitié de la travée du pont qui le précède, et de la moitié de celle qui le suit ; en sorte que , si toutes les travées sont égales ou si les couples de suspensoircs sont équidîstants, on pourra regarder le poids supporlé par chaque suspensoire comme connu , et déduire la force du 1er qui convient à cet effort vertical. D'ailleurs, ces poids étant très-coiisidcrables comparativement a ceux des suspensoîres ellesmêmes , il est permis de faire abstraction de ces derniers , et de ne tenir compte dans l'équilibre du polygone funiculaire , que des poids du pont répartis sur chacune d'elles. — Soit uv ( fîg. 135) une droite horizontale > et S un point tel que wS soit perpendiculaire au côté extrême UA , et pro-
portionnel à la tension de ce côté. Supposons d'abord que le polygone UABG . . . . V soit disposé de telle sorte que l'un de ses côtés DE soit horizontal , et prenons sur l'horizontale uv des parties u a , ab 9 bc , cd , etc. > proportionnelles aux parties du poids du pont supportées par les angles A, B, C , D, . . . . On sait que les lignes convergentes Sm , Sa, Sb , Se , ... . représenteront les tensions qui ont lieu sur les côtés UÀ, AB , BG, CD,. .. . auxquelles elles sont perpendiculaires , et que la perpendiculaire Sd représentera la tension du côté horizontal DE. Cela posé , veut-on trouver la différence de hauteur d'un angle A au-dessus de son consécutif B ? en menant l'horizontale BA" , on observera que le triangle AA" B , a ses côtés perpendiculaires à ceux du triangle Sud , et que ces deux triangles semblables donnent la proportion
ÀA" : A"B :: ud : Sd , et, par suite,
Supposons d'ailleurs que les suspensoires soient équidistantes , en sorte que A"fi sera une partie constante égale à la longueur d'une travée. Observons > en outre , que ud est le poids de la portion du pont A'D' ou *r X A'D' , *■ étant le poids du pont sur une unité de longueur ; que Sd est la tension t qui a lieu sur le côté le plus bas de la chaîne ; on aura alors
