FORCES CONCOURANT EN €11 POINT

1 . Équilibre d'un corps. — Jusqu'ici on n'a considéré que l'effet d'une force, égale et directement appliquée à une autre force, et il arrive souvent que des forces appliquées d'une manière quelconque à un corps ont pour but de vaincre des résistances aussi quelconques par l'intermédiaire de ce corps. Quand un corps est ainsi soumis à l'action de plusieurs forces (puissances ou résistances), on dit qu'il y a équilibre entre toutes ces forces lorsque l'une d'elles détruit un certain effet que produiraient les autres sur le corps si la première n'existait pas. Le corps est lui-même en équilibre si les diverses forces qui lui sont appliquées le laissent en repos. Cette dernière espèce d'équilibre ne saurait jamais être absolue, parce que les corps participent au mouvement continuel de la terre et qu'il n'y a en réalité point de repos pour eux. Toutefois un corps sera pour nous en repos lorsque sa position restera la même par rapport à des objets tels que les montagnes, les maisons, etc., que nous regardons comme fixes. Ainsi, l'idée d'équilibre ne se rapporte pas uniquement au repos, et n'exclut nullement le mouvement. De là résulte la distinction de l'équilibre Statique et de l'équilibre Dynamique. On nomme Résultante de plusieurs forces, celle qui produit a elle seule le même effet que ces forces ; ces dernières sont dites Composantes.

2. Résultante de forces appliquées selon la même direction. — Lorsque plusieurs forces agissent sur une même droite et dans le même sens , leur effet équivaut à celui d'une force unique égale à leur somme et qui en est la résultante. Si ces forces agissent dans des sens opposés et toujours sur la même droite, leur résistance sera une force unique égale à l'excès delà somme des forces qui agissent dans l'autre sens, et elle agira dans le sens de la plus grande des deux sommes. C'est le cas où des efforts sont exercés sur la direction d'un même cordon. Remarquons que la tension du cordon est la même dans tous ses points , et qu'il n'est pas possible que ses deux bouts soient tirés avec des efforts différents. La différence obtenue pour ceux qui lui sont appliqués dans un sens et dans Vautre est p\\?&K\ew\. «s\\\v-

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métique, et indique que les efforts supérieurs pourraient développer une action plus grande que celle des efforts inférieurs.

$• Parallélogramme des chemins. — Lorsqu'un corps oi^point matériel se meut de A en B (flg. 23) de manière à décrire le chemin 3 supposé rectiligne, chacune des positions A etB peut être projetée su les droites quelconques OM, ON, situées dans le même plan que la droite AB, par des parallèles à ces lignes ou axes ; ou plutôt la position A donne lieu aux deux coordonnées AA', AA", et la position B aura deux coordonnées BB', BB''. Les positions A', A" sur les droites données sont simultanées avec le point A e t celles B', B" avec le point B. Les chemins A'B.\et A'' B'', sur les directions OM, ON, sont donc décrits en même temps que le chemin véritable AB. • Les premiers se nomment Chemins estimés , ou Chemins relatifs sur telle ou telle direction. Prolongeons les parallèles ou coordonnées des points A et B jusqu'à ce qu'elles forment le parallélogramme AEBF, et nous reconnaîtrons, à cause de AE = A'B' et de AF = A"B", ce principe : qu'un chemin rectiligne parcouru peut toujours se décomposer en deux chemins relatifs sur deux directions quelconques, et que ces derniers sont les côtés parallèles à ces directions, d'un parallélogramme qui a pour diagonale le véritable chemin parcouru. Réciproquement, quand on a les chemins relatifs dans deux directions quelconques , on en déduit le chemin véritable, au moyen de la diagonale du parallélogramme sur les deux premiers.

4. Parallélogramme des vitesses. — On a dit (i re partie, 16 et suiv.) que la vitesse d'un corps en mouvement est représentée par l'étendue du chemin décrit dans un même temps très-court , et qu'il n'y a que le cas du mouvement uniforme où le temps pendant lequel s'estime la vitesse puisse être pris aussi grand qu'on voudra. Or, le chemin AB étant décrit par le corps, en même temps que les chemins A'B', A"B", le premier pourra être regardé comme sa vitesse véritable, et les deux autres comme ses vitesses relatives. Ainsi, la vitesse véritable d'un corps est la diagonale d'un parallélogramme construit sur ses deux vitesses relatives estimées dans des directions quelconques.

5. Cas du mouvement curviligne ou du mouvement varié. — Si le mouvement est curviligne, la diagonale rectiligne AB ne peut plus représenter le chemin décrit. Si le mouvement était varié, cette même diagonale ne donnerait plus l'intensité de la vitesse, dans le cas où il s'agirait d'un intervalle fini de mouvement. Il convient alors de déterminer par une suite de temps infiniment petits et égaux, les chemins élémentaires décrits simultanément . sur deux axes. Autant on aura de couples de ces petits chemins, autant on construira de parallélogrammes dont les diagonales donneront les véritables petits chemins élémentaires. Mais alors, comme les dispositions consécutives A et B (fig. U) sont très -rapprochées, une diagonale telle que AB se confondra sensiblement avec h courbe et pourra être regardée comme la tangente

de cette dernière. Dans la construction de chaque parallélogramme on peut, pour plus de facilité, doubler, quintupler, etc. , les deux chemins relatifs correspondants, sans que la direction de la diagonale soit altérée ; seulement, le chemin qu'elle donnera sera double, quintuple, etc., du chemin réel. 6. Méthode de Roberval. 7- Lorsque la loi du mouvement d'un point est connue dans deux directions quelconques, il est toujours possible, d'après ce qui précède , de mener une tangente à la courbe que décrit ce point* L'ellipse, par exemple, s'engendre en fixant à deux points F, F (fig. 25), que l'on nomme ses foyers, les extrémités d'un fil FAF' d'une longueur égale à son grand axe, et en promenant une pointe A dans toutes les positions où le fil peut être tendu par cette pointe contre les foyers. Puisque dans les mouvements du point descripteur , la longueur du fil FA+F'A est toujours la même, il est évident que la portion FA s'allonge de la même quantité que celle dont se raccourcit l'autre portion correspondante F' A. Le point A tend donc à décrire 011 décrit en effet deux chemins simultanés égaux sur les rayons vecteurs FA et F'A. Ainsi, prenant sur le prolongement de FA une partie quelconque AB, et sur F'A une partie AB' = AB, construisons le parallélogramme ABCB\ La diagonale AG sera la tangente à l'ellipse en A. On observera que ce parallélogramme est ici un losange, et qu'à cause de l'égalité des angles BAC et CAB', la tangente à l'ellipse jouit de la propriété que les angles qu'elle forme avec les deux rayons vecteurs sont égaux. Cette méthode, due à Roberval , est fort utile dans tous les cas où l'on connaît la description organique delà courbe.

7. Indépendance des vitesses simultanées dans un même corps, — On a fait Toir comment on pouvait décomposer un mouvement en deux autres, et réciproquement, et cela parce qu'en réalité un corps peut être animé de deux ou plusieurs vitesses simultanées. Supposez que, pendant qu'un bateau chemine sur une rivière, un homme se dirige d'un bord à l'autre de ce bateau, et que, partant de A (fig. 26) par exemple , il soit arrivé en B au moment où le bateau est parvenu dans une position telle que le point A soit en À' et le point B en B'. Quoique l'homme n'ait parcouru que le chemin AB sur le bateau, il n'en a pas moins décrit par rapport aux rives le chemin AB' ; car il est mù à la fois et de la vitesse qui lui est propre et de celle qui est propre au bateau. Cela posé, ce même espace AB' serait encore décrit si le bateau marche d'abord de A en A' et que l'homme se transporte ensuite de A en B' ; ou si le bateau s'arrête pendant que l'homme va de A en B et qu'ensuite l'homme demeurant au repos en B, le bateau s'avance de A en À'. — Autre exemple : La terre tourne en même temps que le bateau précédent marche, et l'homme peut lui-même marcher sur ce bateau. Cet homme est ainsi animé de trois vitesses simultanées, dont on trouvera la résultante, en les composant les unes après les autres. — Considérons ervfvw \h\ <&?^% posé sur un certain nombre de feuilles de papier placée* \ea \me*«n-taftK»A

des autres sur une table à roulettes. — On peut d'abord tirer la table, elle entraînera dans son mouvement les feuilles de papier et le corps de manière que le tout sera animé d'une vitesse commune. Si, outre ce mouvement général, un bomme tire la feuille de papier inférieure, cette feuille sera, ainsi que toutes les autres et le corps, animée de deux vitesses composantes. Qu'un autre homme fasse encore mouvoir la deuxième fouille de papier, celle-ci et toutes celles qui lui sont superposées, recevront leurs vitesses qui se composeront en une seule. En un mot, quand un corps a plusieurs mouvements simultanés, le véritable mouvement est le même que si le corps recevait l'une après l'autre toutes les vitesses qu'il possède en même temps. Delà cette règle : la résultante de plusieurs vitesses simultanées s'obtient en construisant un polygone (fig. 27) dont les côtés sont égaux et parallèles aux vitesses composantes , et enjoignant le point de départ à l'extrémité du dernier côté.

8. Indépendance de l'action des forces simultanées. — L'action d'une force sur un corps , qu'il soit en repos ou qu'il soit déjà en mouvement , est toujours la même et lui imprime dans l'une et l'autre circonstance les mêmes degrés de vitesse. Que vous abandonniez, par exemple , un corps à son propre poids, la pesanteur lui imprimera les mêmes degrés de vitesse à chaque instant , si ce corps part de l'état de repos ou s'il a déjà reçu un mouvement quelconque de la part d'une autre force. Par exemple , quand une bombe décrit dans l'air une parabole ; la vitesse que le mobile possède à chaque instant est toujours la résultante MR (fig. 26) de la vitesse MQ qu'il a reçue à l'instant qui précède immédiatement l'instant que l'on considère, et du degré de vitesse très-petit MP que la pesanteur lui imprime pendant l'intervalle de temps aussi très-petit qui sépare ces deux instants consécutifs. Ainsi, lorsque deux forces seront appliquées à un même corps, elles lui imprimeront à chaque instant et simultanément les degrés de vitesse qui leur sont propres. Nous avons dit (l ro partie, 71) que ces degrés étaient, d'après une loi générale de la nature, proportionnels aux intensités des forces.

9. D'après cela , soit un point matériel A ( fig. 29 ) sur lequel agissent deux forces P et Q représentées en grandeur et en direction par les droites AB et AC. Il est visible qu'elles lui imprimeront simultanément, et dans leurs directions respectives, les mêmes petits degrés de vitesse A#t, An, que si elles le tiraient chacune isolément. La vitesse totale qui en résulte sera d'ailleurs ( 2 e partie , 8 ) donnée par la diagonale kr du parallélogramme Amrn. Imaginons , dans une direction opposée à celle de celte diagonale, une force X qui détruise la vitesse résultante Ar. Le mouvement ne pourra plus alors naître, en sorte que la force X, détruisant ainsi l'effet de P et Q , fera équilibre à ces forces. Soit porté AD = X sur la diagonale : on conçoit que AD produira.le même effet que les deux forces P et Q, ou qu'elle sera leur résultante: or , leur force PQ et leur résultante AD

ou X sont proportionnelles aux degrés de vitesse Àm, kn et Ar, qu'elles impriment simultanément, c'est-à-dire aux cotés et à la diagonale du parallélogramme construit sur leurs directions. D'où résulte ce principe, connu sous la dénomination de parallélogramme des forces, que la résultante de deux forces est représentée en grandeur et en directionpar la diagonale du parallélogramme construit sur les intensités de ces forces. 11 ne faut pas oublier que l'intensité d'une force est représentée par une ligne prise dans sa direction , et contenant autant d'unités linéaires qu'il y a de kilogrammes dans la mesure de la force. On voit encore que les forces se combinent entre elles comme les chemins et les vitesses. C'est , au reste, ce que l'expérience confirme. Si, par exemple, on attache à une corde ACB ( fig. 30 ), fixée à ses deux extrémités , un poids R de 15 kilog., il est possible de mesurer avec deux pesons les efforts qu'il exerce sur les directions CA et CB. Portant ensuite au-dessus du point C , et dans sa verticale , une longueur CD proportionnelle à 15 , et construisant le parallélogramme CaD6, on trouve que les côtés Ca, Co sont proportionnels aux efforts indiqués par les pesons. 10. Décomposition d % une force en deux autres. — De ce que deux forces appliquées en un même point donnent lieu à une force unique, réciproquement une force quelconque peut se décomposer en deux autres agissant sur deux directions données. Soit Ar (fig. 81 ) une force appliquée en A, et que l'on veut décomposer en deux autres dirigées sur AB et AC ; on les obtiendra au moyen du parallélogramme kmrn. Le côté km sera la première composante , et le côté kn la seconde. Si les composantes sont perpendiculaires entre elles et qu'on appelle PQ ces forces et R leur résultante, on a, à cause du triangle rectangle An», et de rm=An,

17 = In? +Tn*, ou R 2 = P 2 + Q 2 , et, par suite,

Au lieu d'extraire la racine carrée pour obtenir la résultante des deux forces P et Q, qui sont perpendiculaires entre elles, on aura une valeur suffisamment approchée au moyen de cette formule qu'il faut admettre,

R = 0,96P + 0,4Q, P étant la plus grande des deux composantes.

1 1 . Quantité de travail d'une force sur une résistance qui ne lui est pas immédiatement opposée. — Jusqu'à présent on a supposé que la résistance était immédiatement opposée à la force destinée à la vaincre. Considérons maintenant le cas où la résistance a lieu dans une tout autre direction que celle de la puissance et où le point d'application de cette dernière ne peut se mouvoir que dans le sens de la résistance. Soit, par exemple, une force AR (fig. 32) appliquée sur le corps A et que nous nommerons R , et supposons que le corps A ne puisse se mouvoir que dans la direction AB. Décomposons la puissance R en deux autres forces : Tune P=AP , per\>fcT\&\fc\\\aÀ^

tl l'autre Q== AQ , située sur la droite AB, et par conséquent imméent opposée à la résistance qu'il faut vaincre. Puisque ïe corps A ne éder dans le sens perpendiculaire à AB, la composante ne tendra qu'à sr le corps A sans le faire cheminer et par conséquent sans produire avail. Quant à la composante Q , elle est immédiatement opposée à U tance des corps , et, d'après ce qui est dit , si Aa est le chemin très* t décrit par le corps sur la direction AB , qui est aussi celle de Q ou de ésistance, la quantité de travail élémentaire qui vaincra cette résistance a mesurée par le produit Q X Aa. Telle sera aussi la quantité de travail tectif produite par la force R. Si Ton abaisse du point a la per peu dieutire ar sur la direction de R, la distance ar ne sera que le chemin décrit >ar le point d'application de cette force et estimé dans sa direction. Or, les triangles AQR et Aar, étant rectangles et ayant un angle commun en A, sont semblables ; ce qui donne la proportion

ka : Ar :: ar : aq , ou Aa : Ar :: R : Q ;

d'où la force R est aussi égale au produit RXAr: ce qui apprend que U dépense de travail d'une force qui n'est point immédiatement opposée à la résistance , est égale au produit de cette puissance multipliée par le chemin que parcourt son point d'application et qui est estimé dans la direction propre de la puissance. Il serait facile de faire voir que le chemin Ar, estimé dans la direction propre de la force R, est en réalité le chemin que décrit le point d'application de cette force.

12. Quantité de travail pour faire mouvoir un corps pesant sur une courbe* — Lorsqu'un corps de poids P est assujetti à se mouvoir sur une courbe ABC ( Gg. 88 ) , la quantité de travail élémentaire que la pesanteur dépense pour lui faire décrire un petit élément BC, est, d'après ce qui précède , égal au produit de P et du chemin h'c' estimé sur la verticale. C'est aussi la mesure de la quantité de travail dépensée parallèlement à l'élément de la courbe* En ajoutant toutes les quantités de travail élémentaires en vertu desquelles le corps a décrit toute la courbe , on trouvera que la somme, ou la quantité de travail dépensée par la pesanteur, est égale au poids P multiplié par la somme de tous les petits chemins estimés verticalement , ou par la hauteur AD' = H , ou bien au produit P X H. Ce produit est également le travail de la force qui agirait immédiatement dans le sens même du mouvement. Or ,

ou sait ( i re partie , 78) que le double de ce dernier travail est égal à la force

p vive du corps, c'est-à-dire au produit — X V 1 , V étant la vitesse qu'il pos-

sède dans le sens de la courbe an moment de la fin du travail. On aura donc

2PXH = ^XV 2 , ou V* = 2oH:

c'est-à-dire que la vitesse acquise par une courbe sur une certaine hauleu est la même que s'il tombait verticalement sur cette hauteur. On voit er core que h\ quantité de travail que doit dépenser un moteur pour fai

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. il

monter an corps pesant le long d'an plan on d'une surface quelconque , est toujours mesurée par le produit du poids de ce corps et de la hauteur verticale du point où il doit monter.

13. On a démontré ( 2° partie, 11 ) que la quantité élémentaire de travail d'une force dont le point d'application est mû dans une direction différente de celle de la force, était mesurée soit par le produit de cette force et du petit chemin estimé, selon sa direction, soit encore par le produit du chemin réel décrit par le point d'application et de la composante de la force dans la direction du mouvement ; et remarquons que cette composante n'est autre chose que la projection de la force sur le chemin parcouru. D'après cela, considérons les deux forces P et Q ( fig. 34 ) appliquées au point A, R leur résultante , Aa le petit chemin parcouru par leur point commun d'application. Abaissons des points des P,Q,R sur la direction Aa les perpendiculaires PP', QQ',RR'$ la projectiên de la force P où AP sera évidemment AP', et celles de Q et R seront AQ' et AR'. Quant au travail élémentaire de P , ce sera ka X AP', et on aura pour ces deux forces Q et R les produits de AaXAQ'etAaX AR'. Or,