AR'=AP — R'P
et comme
R'P' = r'P = AQ', «t , par suite ,
AR X Aa = AP' X Aa — AQ' X Aa.
C'est ici le lieu d'observer que la composante AP' de P est dirigée dans le sens du mouvement Aa, tandis que la composante AQ' de Q est dirigée en <ens contraire , de sorte que le travail effectif de ces forces ou leur travail total doit être ici la différence des travaux de chacune de ces deux forces. Ce même travail en eût été la somme si les composantes des deux forces P ^ Q, sur la direct ion du mouvement Aa, eussent été dirigées Tune sur l'autre dans le sens de ce mouvement. Quoi qu'il en soit , nous voyons que le traîfl # élémentaire de la résultante de deux forces est égal au travail des deux titoposantes., et ce dernier travail est la somme ou la différence des travaux $** produisent chacune d'elles selon qu'elles agissent dans le même sens ou dans fa uns opposés.
14. Moment de la résultante de deux forces. — Le petit espace Aa peut être décrit de diverses manières. Si Ton suppose , par exemple , que le point soit appliqué à une barre de manège AO (fig. 35), qui tourne autour d'un point pris arbitrairement sur le plan des deux forces , l'espace élémentaire Aa devient un petit arc de cercle qu'il est permis de regarder comme une petite ligne droite perpendiculaire à AO. Les petits chemins estimés A6, Adc % Àc, sur les directions des forces P, Q, et de leur résultante R,soat donnés par les pieds des perpendiculaires abaissées sur chaque force, de l'extrémité e du petit chemin décrit ; et les quantité* è\ç?&CTvtàYre% &.*
n DEUXIÈME PARTIE.
travail qui sont aussi mesurées par le produit de la force et du petit chemin
estimé sur sa direction , sont respectivement pour P, Q, 4 R,
P X A&, Q X A</, et R X Ac.
On nomme bras de levier des forces P, Q, R, les perpendiculaires, telles que 0/>, Oq, Or, abaissées du centre de rotation sur leurs directions. En examinant ce qui est relatif à la force P, on reconnaît que les deux triangles kOp et kab sont semblables , attendu qu'ils sont rectangles en p et en b et que l'angle Okp de l'un est égal à l'angle Kab de l'autre. Ce qui donne la proportion
kb : ka :: Op : AO;
d'où
Ainsi, la quantité de travail de la force P, ouPXAi, devient P X
ka
Op X t\« 0" trouverait de même pour celle de Q , Q X
AO
Oq X-7S et P our ceWe de R, RXOrX -r?\' ^ ais nous avons ^ voir (2 e partie, 13 ) que la dernière était égale à la somme ou à la différence des deux premières , selon que les forces P, Q agissaient dans le même sens ou en sens contraires. On aura donc
.xo,x£-(»x*x£)±(qxo,x&)
ka ou bien , supprimant le facteur commun — et en désignant par r,p, q 9 les
AAj
bras de levier des forces R, P, Q,
Rr = P/>± Qq.
On nomme moment d'une force le produit de cette force par son bras de levier. Ainsi, le moment de la résultante de deux forces qui concourent en un même point est égal à la somme ou à la différence des moments des deux composantes, selon que ces dernières agissent sur leur point commun d'application dans le même sens ou dans des sens différents.
15. Deux points d'application de deux forces peuvent être ramenés à un seul, — Jusqu'ici on a supposé que les deux forces étaient appliquées à un seul et même point, et cependant deux forces P et Q agissent pour l'ordinaire sur un même corps en deux points différents, tels que B et G (fi g. 36). Quelle que soit leur action sur le corps , il est évident qu'elle ne sera pas changée si l'on traverse celui-ci par deux barres rigides AB et AC, situées dans les directions respectives des deux forces données. Ces deux barres iront concourir en un point A, et celui-ci leur étant invariablement lié, ainsi qu'au corps lui-même, il sera permis de regarder les forces P et Q comme appliquées à ce point A. La résultante AR s'obtiendra alors au moyen
de la diagonale du parallélogramme APRQ , où elle rencontrera la surface du corps au point D que Ton considérera ensuite comme le point d'application de la résultante R. Maintenant , si le corps tend à se mouvoir autour d'un point quelconque 0, le point A, qui est le point commun d'application des deux forces PQ et de la résultante R, décrit un petit arc de courbe que l'on considérera comme une droite sur laquelle toutes ces forces pourront être projetées , et Ton sera amené à conclure encore que le travail de la résultante est égal au travail total des composantes. Pareillement on déduirait que le moment de la résultante R par rapport au point équivaut au moment total des deux composantes P et Q par rapport au même point.
16. Extension du théorème des moments. — Les relations précédentes que nous venons d'établir, soit entre les quantités de travail , soit entre les moments des forces et de leur résultante, ont lieu de quelque manière que le point de rotation ait été choisi dans le plan des forces ; mais elles sont particulières au mouvement des points de concours de leurs directions considéré comme leur point d'application. Ces relations subsisteront- elles en ayant égard au mouvement des véritables points B, C et D , où les forces P, Q, R sont appliquées sur le corps. Remarquez que chaque moment respectif ne dépend que de l'mtensité de la force et de la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point sur sa direction. Le moment de la force P, par exemple, sera le même, soit qu'on la suppose appliquée au point extérieur A , soit qu'on la suppose appliquée au point B, où sa direction rencontre la surface du corps. Par conséquent , le théorème des mouvements est vrai , lors même que les deux composantes P et Q ont des points d'application différents.
17. Extension du théorème des quantités de travail. — Si Ton parvient à démontrer que la quantité de travail d'une force est la même, quel que soit le point qu'on choisisse sur sa direction pour point d'application , il est évident que le théorème des quantités de travail évaluées d'après le mouvement du point de concours commun à deux forces et à leur résultante est également applicable lorsque les quantités de travail de ces forces sont mesurées d'après le mouvement de leur point respectif d'application : or , il peut arriver trois cas , selon que le corps a un mouvement de rotation , ou un mouvement de translation , ou un mouvement quelconque.
fiixier cas. — Le corps et par conséquent la direction AP d'une force quelconque étant supposé avoir un mouvement de rotation autour d'un point (fig. 37) , deux poipts quelconques A et B de cette droite décrivent autour de ce point des angles égaux et tels que les petits arcs Aa , B& sont
proportionnels à leurs rayons respectifs AO et BO. On aura donc —jr= — ■.
Or la quantité de travail de P , estimée par le mouvement de son point
Aa d'application supposé en A, a pour mesure PX^:X Op/&&V\\xvèfc$fc\rrèfc.
20* Résultante de deux force» parallèles, croissant par rapport à un point — Passant ainsi à la limite de deux forées concourantes, considérons deux forces parallèles P et. Q appliquées aux point À et B d'un corps (fig, 41). Soit pris sur leur plan un point arbitraire K, et une perpendiculaire à K abaissée de ce point sur ces forces. Enfin R est supposée être leur résistance On aura
R X Kc= P X Kffc + Q X K6,
parce que les deux Forces P et Q tendent à faire tourner le corps du même côte autour du point k, Ce résultat étant indépendant de la position deK, imaginons qu'il soit place en a. On a
K« = } K = ao et K& = ûo, l'expression précédente devient R X ^e= Q X *&• Si le point K est transporté en &, on a Kc = hc, Ka «s ah et Kb = 0. Cette substitution étant faite dans l'égal i lé générale des moments* on a R X ^ ™ P X flJ &- Ajoutant a cette dernière régal ité particulière R X as — Q X a &* on trouve R (ac -f- £c)=P-[- Q) ab, ou R =r P+Q a cause de ac-\-ch = ab t Donc la résultante de deux forces parallèles agissant dans le même sens est égale à leur somme. Supposons que le point K soit placé au point c; les forées P et Q tendront à faire tourner le corps en sens contraire autour- Les moments de Pet Q seront alors de signes différents, et leur égalité générale deviendra
R X Kc = P X Ko -'(j X W. D'à H leurs, dans la position du pin ni K en c, on a Kc ~ 0, ou R X Kc è± 0, Ka e= ac et Ko =s bc. Taisant ces substitutions dans l'égalité générale , on Irnnve P X ac= Q X DC î ce qui nous apprend que Ta résultante partage l'intervalle des points d'application des composantes en parties réciproquement proportionnelles à ces forces lorsque ces points sont situés sur une droite perpendiculaire a leur direction* Si les deux forées P et Q, au lieu d'être dirigées dans le même sens, sont dirigées dans des sens opposés, le moment de In résultante devient ici égal a la différence des moments des composantes, et en passant par une série d'opérations analogues aux précédentes, on trouve que la résultante R est égale a P — Q, c'est-â-dire à la différence des composantes, et qu'elle agit dans le sens de la plus grande*
2 1 . Extension des p rop rikès des fo rces para lié les , le u rs po in ts (Tapplica t ion étant quelconques, — Ces théorèmes ne sont encore démontrés que lorsque les points d'application des forces P, Q, R appartiennent à une même droite ¥J> 7 perpendiculaire a leur direction ; mais les deux composantes P et Q appliquées â un corps ont Je plus généralement leurs points d'application «ur une droite rigide AB, oblique par rapport à la direction de ces forces. Soit pris un point quelconque K' (flg. 42) sur celte droite, et abaissons «no perpendiculaire K'B" à ces force* i Les points À", B", C" des composantes et de fa résultante R satisferont au* relations précédentes , et comme les par-
ties K'C", K'A" et K'B" sont proportionnelles aux parties obliques K'C, K'A et K'B, on aura encore
RXK'C = PXK'A + QxTÏÏT Quant au point d'application de la résultante sur le corps, après l'avoir déterminé en C sur la droite AB, on pourra supposer que la résultante est appliquée en r, à l'extérieur du corps. On remarquera que, dans l'égalité
RXK f C = PXR'À + QX K'B, il ne s'agit plus seulement des perpendiculaires abaissées d'un même point sur les composantes parallèles et sur leur résultante ; elles sont ici remplacées par les simples dislances de leurs points respectifs d'application à un point quelconque K', situé comme eux sur une même ligne quelconque.
22. Moment de deux forces parallèles par rapport à une droite, — Lorsque deux forces sont parallèles, on ne prend pas seulement leurs moments par rapport à un point et on emploie souvent leurs moments par rapport à une droite. De tels moments sont le produit de chaque force et de la perpendiculaire abaissée de son point d'application sur la droite ou axe des moments. Ainsi, A, B (fi g. 43) étant les points d'application des forces PQ et de leur résultante R, LK' l'axe des moments qui rencontre en K' la droite AB de leurs points d'application, on a
RXK'C = PXK'A+QX°,
49 tj ^ „ K A , * K B
R = PX w +QX i r c .
Soient À A', BB' et CC les perpendiculaires abaissées de ces points sur LK",
on voit que ces perpendiculaires sont proportionnelles à K'A, K'B, K'C, et
que l'on a
