INDICATION DES SUBFACES EN CONTACT
OBSERVATIONS
Chêne sur chêne, les fibres parallèles
» » la surface réduite à des arêtes arrondies
» » les fibres croisées
» » la su rface réduite à des arêtes arrondies
» » les fibres parallèles et les surfaces . enduites de suif ou de vieux oing , renouvelé à chaque essai
» la surface réduite à des arêtes arrondies avec enduit, ou l'enduit essuyé et les surfaces étant onctueuses» •
L'adhérence des surface sionne une résistance d'e 3 kilogr. par mètre carré.
Chêne sur sapin , les fibres parallèles
Sapin sur sapin
Orme sur orme '
Chêne sur fer, les fibres étant parallèles , et la vitesse très-petite
» » la vitesse étant de 0«*»,3 par seconde.
» » les surfaces étant très-petites, sans enduit , mais restant onctueuses
Le frottement augmeni la vitesse, à moins que I I faces n'aient été usées p longtemps.
» Le rapport du frotteme 1 pression est constant.
Fer sur fer
( Le frottement diminue i les surfaces ont été usées p longtemps, i Le frottement après u
Cuivre sur fer
Fer sur fer , avec un enduit de suif renouvelé. . .
Cuivre sur fer, » » » . . .
» » avec de l'huile sur un ancien enduit
de suif
user se réduit à 0,17.
' L'adhérence produit un ( tance d'environ 14 kilog
mètre carré.
Idem.
« » la surface réduite à des pointes
émoussées, restant onctueuses,
ou enduites de suif ou d'huile. .
Cuir sur marbre poli, à sec, le cuir non usé. . . .
» » poli, le cuir poli pour Puser. . . .
» » le cuir légèrement huilé ou onctueux
Cuir sur fonte non polie, à sec
» » non polie, huilé •. .
» » ou fer poli à sec , après user. . .
» » ou fer poli , les surfaces étant huilées
Si le mouvement est 1er . Si le mouvement est raj 'de 1» pari".
» » ou fer poli, les surfaces frottées avec
de la plombagine ou de l'huile. .
Cuir sur chêne , à sec non poli
» » après user et poli
» » légèrement humecté d'eau. . .
» » complètement mouillé. . . .
» » légèrement huilé ou onctueux. .
» » fortement huilé
Chêne sur marbre poli à sec
» » huilé ou onctueux
Corde glissant sur du bois ou sur une surface quelconque . .
La filasse, dans les mêmes circonstances que le cuir, produit le même frottement.
107. Observations sur les tableaux du frottement de deux surfaces. — Les tableaux précédents ont pour but de donner les rapports du frottement aux pressions correspondantes , et cela quelle que soit la grandeur des surfaces frottantes. Il n'y a que la nature de leurs substances qui puisse influer sur ces rapports, et Ton se tromperait en croyant que le frottement augmente avec Tétendue des surfaces. Cela n'a lieu qu'à l'égard de l'adhérence qui retient deux surfaces comme collées entre elles ; encore arrive-t-il souvent qu'elle soit négligeable , attendu la petitesse des surfaces en contact , ou le peu de ténacité des matières molles dont on a coutume de les enduire. Au reste, les tableaux donnent la valeur de l'adhérence dans toutes les circonstances où il faut en tenir compte. Puisque pour des substances données, le frottement est une fraction constante de la pression, il en résulte qu'un même corps traîné sur un plan donne lieu à la même résistance sous quelque face qu'il soit posé.
Passons à quelques applications pour faire apprécier l'importance des tableaux que nous avons relatés. On y voit, par exemple, que, pour du bois de chêne sur du bois de chêne en mouvement les fibres parallèles , le rapport du frottement à la pression est environ y~ quand le mouvement est acquis, et qu'ainsi la résistance est de 100 kilogr. pour une charge de 1000 leilogr. Quant les surfaces en contact de ces morceaux de bois sont enduites de suif, le frottement est réduit à 0,035. Le frottement du fer à plat sur d'autre fer est plus fort lorsque ces fers sortent de la main de l'ouvrier que quand ils' ont été usés par le mouvement. Dans le premier cas , il est entre ^ et -J, et il se réduit à ~ quand les surfaces sont parfaitement polies. Un enduit d'huile ne diminue pas sensiblement la résistance de leur frottement; mais elle est réduite au ~ en enduisant les surfaces soit avec du vieux oing, soit avec du suif; cette dernière substance est la plus avantageuse. — Un morceau de fer contre du cuivre produit un frottement de ~ avec un enduit de suif, et de { avec de l'huile. En général, le frottement est moindre à pression égale pour des substances hétérogènes que pour des substances de même nature ; il est également moindre pour des corps durs que pour des corps mous. Voilà pourquoi de l'acier sur du métal de cloche , quand ces corps sont bien polis, frotte moins que du fer sur du cuivre. La raison en est que plus les corps sont durs , moins ils s'usent , et que la quantité de travail absorbée par le frottement est proportionnelle à la quantité de matière enlevée. Enfin , quand du suif est interposé entre deux surfaces , celles-ci ne sont plus immédiatement en contact , il ne reste que le suif dont il faut vaincre la ténacité, et cette résistance est peu de chose. Nous désignerons désormais par la lettre f le rapport constant du frottement a la pression.
108. Frottement du plan. — Considérons d'abord un plan horizontal et S™ 6 partie. Va
i03 DEUXIÈME PARTIE.
indéfini MN (fig. 157), sur lequel est posé , par Fune de ses faces , un corps du poids P tiré par une force quelconque F dirigée de bas en haut, et dont ab représente l'intensité en kilogrammes. Décomposons cette force en deux autres, Tune horizontale ac , qui produit le mouvement ; et l'autre perpendiculaire bc, ou verticale , qui tend à soulever le corps et par conséquent à diminuer sa pression sur le plnn. Si cette composante verticale n'existait pas, le corps presserait de tout son poids sur le plan , et la résistance qu'il opposerait au mouvement , ou son frottement , qui est toujours proportionnel à la pression, serait/' X P* Appelons/? la composante horizontale de F , et q sa composante verticale. P — q sera la pression réelle du corps
contre le plan ;/* (P — q) ou /*X P — /X <Z serî * I e frottement véritable. Donc ici la composante verticale tend à diminuer le frottement du corps de /X 9> ou * favoriser d'autant la composante horizontale qui le fait mouvoir. On aura ainsi, pour l'équilibre ,
Remarquons que l'on a les proportions
ao
p : F : : ac : ab, ou p = F X "~l »
ab
et
q : F : : bc : ab , ou q = F X ~ï •
Ainsi , la relation d'équilibre deviendra
D'où l'on tire F = -/->< L é
ac * f bc
ab^'ab
Le rapport /est , comme l'on sait , donné par les tableaux , et ne dépend que des substances du corps P et du plan MN. Quant aux grandeurs acr et bc , elles seront immédiatement données par le rectangle dont les cotés sont parallèles et perpendiculaires au plan et dont la diagonale est proportionnelle à la force appliquée au corps. Comme cette expression se reproduira souvent, il importe delà simplifier, en prenant pour unité la grandeur ab qui représente la force F. Dès lors les côtés ac et be ne seront plus que des fractions exprimant les rapports des composantes avec la force, elle-même. Ainsi , en posant ab= i , on aura
P = FXac, et g = FXfc, F(«c4-V.*c)=, X P, et I-J^tj.
La valeur de F sera évidemment la plus petite possible on la pins a vanta-
gease, lorsque le dénominateur ac-\-f.bc est le plus grand possible , parce que le numérateur [XPest une quantité constante, ainsi que le rapport /'du frottement à la pression. Supposons ce dernier de j, et cherchons dans cette hypothèse la valeur minimum de ac -\-f.bc ou de «c-)-{ bc. Prenons sur la direction de F (fig. 158) une partie ab égale à l'unité. La projection sur l'horizontale aM sera la valeur de ac , et la verticale projectante de l'extrémité b celle de bc. Pour avoir /*X bcou% bc , prenez
ad = fXab = \ab,
et Ton aura dg = \ bc = f X> bc.
Cela posé, sur aj/ perpendiculaire à ab , portons ac# — ac/ et abaissons la verticale d'y'. Les triangles agr'rf' et agd seront égaux comme ayant les hypoténuses égales et l'angle g'ad' égal à l'angle adg , parce qu'ils sont compléments du même angle dag. D'où
ag' = dg' = \ bc = /". 5c ,
et cfy' = a$r = 1 &c = /* . ac.
Donc on a
ag' -j- ac = gr'c = \ bc -\- ac =f . bc -j- ac ;
en sorte que cette valeur , qui n'est autre que le dénominateur de F , est précisément la projection de bd\ Or, cette projection sera la plus grande possible quand elle deviendra égale ou parallèle à bd f , ou quand on aura à'g' ou ag = abc. Mais ag — fX ac. Donc enfin le minimum de F , c'est à-dire le cas où cette force sera la plus avantageuse , aura lieu
lorsque bc = f X ac : d'où /*= — . Remarquons que les grandeurs bc et ac
ac
expriment, l'une la hauteur, et l'autre la base de la direction de la force
bc par rapport au plan , et qu'ainsi le rappport est précisément Finclinai-
ac
«onde lîang le sous lequel la force de tirage exerce son action. Par conséquent, cette action est la plus petite possible lorsqu'elle tire sous une inclinaison exprimée par le rapport du frottement à la pression ou par la valeur/" relative aux substances en contact.
Les conditions relatives au meilleur tirage des chevaux sur une voiture à quatre roues sont analogues : car leur effort se décompose en deux autres : l'un horizontal , destiné à produire le mouvement , et l'autre ver^tical , à soulever les roues de devant , et à diminuer leur résistance , d'ailleurs plus grande en raison de ce que leurs rayons sont plus petits.
JLe cas ou un corps de poids P posé sur un plan incliné AB ( fig. 159 ) est tiré par une force F , faisant un angle quelconque avec ce plan et dirigé de bas en haut, donne lieu à des conditions d'équilibre analogues à celui de l'équilibre du plan horizontal. Décomposez la force ï eu deux ^uVc*% ^ww*
parallèles , l'autre perpendiculaire au plan. Celle-ci donnera Heu k composante V . kc dent le frottement / . F , 6c diminuera d'autant le frottement général du corps contre le plan , et par conséquent s'ajoutera à la composante parallèle F . uc qui produit le mouvement* Quant à la composante parallèle au plan du poîds P , elle s'opposera au mouvement , ainsi que le frottement produit par sa composante perpendiculaire. L'une est donnée (2 e partie , 103) par la proportion
* : f ; ; bc : ab ,
et l'autre par la proportion
y ï p :: aci AB;
en sorte que P . ÀC et P * BC représentent les composantes du poids , perpendiculaire et parallèle à ce plan , en prenant pour unité la longueur AB de ce dernier. De plus, le frottement produit par la première aura pour expression/' . P . AC. Maintenant que nous savons que le mouvement est favorisé par F . ac-\-f* F * bc , et qu'il est contrarié par P . BC -j-/ . P É AC, nous reconnaîtrons que l'équilibre sera établi au moyen de la relation
F <ac-\-f. F * Ac = P. BC-|-/, P . AC, ou F(ac-f-/\ fcc).= P{BC-J-/\ÀC),
D'où i\m tire F = -i~ fO-I, — £.
ac -\- f i bc
Nous observerons encore que le numérateur de cette valeur est constant
puisqu'il dépend uniquement du poids du corps et de l'inclinaison du plan ;
et qu'ainsi le minimum F correspond au cas où le dénominateur ac -\- f ~ bc
bc est Je plus grand possible, et où l'on aurait— — /. Ce qui indique que
l'action d'un effort est la plus avantageuse lorsque son inclinaison par rapport au plan est égale au rapport du frottement a la pression ou au coefficient /"qui est propre à la résistance des surfaces eu contact* — Enfin , dans le ens particulier ou TefFort F est horizontal, on verra sans peine qu'il tend alors à appuyer le corps contre le plan , ou à augmenter le frottement général du corps, en sorte que le frottement partiel/' , F . bc , au lieu d'être ajouté a la composante horizontale F . ac qui produit le mouvement , doit en être retranche : cela revient à substituer — £c à -f* oc dans la valeur précédente de F. Cette rcmnrque est indispensable pour îe frottement de la vis à filet carré, frottement tellement majeur que dans le cas où les filets sont inclinés au J. t la puissance est triple environ de ce qu'elle serait pou vaincre une même résistance donnée , si ce frottement n'existait pas.
109, Quantité de traçait sur un pian incliné* — Le plan incliné est une machine de Ta plus grande utilité dans les arts, et facilite le transport des fardeaux les plus lourds a une hauteur considérable» Si, par exemple- , il
s'agissait de construire une tour en pierres de taille, il faudrait beaucoup d'hommes pour élever les matériaux selon une direction verticale, au lieu qu'on les amène très-facilement au moyen de rampes assez douces pour que les hommes , les chevaux et les voitures puissent les parcourir. Il y a plus ; c'est que la puissance pour traîner les poids est fort réduite par l'emploi des rampes. En effet, pour conduire une pierre le long d'une rampe AB (fig. 160), les ouvriers ont coutume de la faire tourner sur ses arêtes perpendiculaires à la pente , ou , comme on dit communément, ils lui font faire (juartier; si cette pierre est un cylindre , ils la font rouler, de sorte que dans ces diverses opérations les résistances du frottement sont évitées. L'effort F, qui est ici parallèle à la longueur du plan AB , n'a plus alors à vaincre que la résistance du poids P du corps , et , d'après ce qui a été démontré (2 e partie, 10$) on a >
F = — VP.
1 AB * r '
Si la pente du plan est telle que sa longueur AB soit cent fois sa hauteur correspondante BC , l'effort à exercer contre le corps n'est plus alors que le centième de son poids. Mais a-t-on gagné sous le rapport du travail ? Rappelons-nous que lorsqu'il y a équilibre , ou lorsque le corps est mû uniformément , la quantité de travail de la puissance est égale à la quantité de travail de la résistance. Ici le chemin parcouru dans la direction de F est AB ; son travail est F X AB , et celui du poids est P X BC > parce que le poids monte en réalité de la hauteur BC, pendant qu'il parcourt la longueur AB.
On a donc.
