CEÏÏTRR DE GRAVITE DES COUPS
28, Centre des forces parallèles. — Quel que soit l'angle des deux forces parallèles P, Q avec la droite AB (%. 46) , qui passe par leur point d'application , rintensité de leur résultante A et la position C de son point d'application sont les mêmes , parce que Ton a toujours R— P~|"Qi etPXAC ^<]X BC. Par conséquent, ce point C demeurera invariable, si les composantes , restant parallèles entre elles, viennent à tourner autour de leurs points d'application respectifs. Pareillement, si l'on a trois Forces P, Q, S, et que T joignant le point d'à pplica lion C de la résultante 11 des deux premières au point D d'application de la troisième, on cherchera celui de la résultante des deux forces E et S, au des trots forces données P, Q, S ; on reconnaîtra que le point où leur résultante T est appliquée, est indépendant de l'inclinaison des trois composantes autour de leur point d'application. On étendrait facilement ce raisonnement à an nombre quelconque de forces parallèles , lesquelles auront un point par lequel leur résultante passera constamment* Ce point est ce qu'on nomme Centre de» forces parallèle*,
29. Centre de gravite* — Dn corps quelconque se compose d'une infinité parties pesantes qui sont comme les points d'application d'autant de forces
verticales ou parallèles. Leur résultante est ici une force égale à leur somme ou au poids total , et son point d application s'obtiendra parla combinaison de ces forces parallèles entre elles. Ce point, qui doit appartenir au corps comme les points d'application des forces parallèles dues à la pesanteur, s'appelle centre de en a vit*.
30* Détermination pratique dm centre de gravita â*un corps. — \»ft eevvtTC
- m:ux[È\irc partie,
de gravité d'un corps étant Je centre de toutes les forces verticales qui sollicite les molécules pesa ni es dont il se compose , il est évident qu'il domicilie nrer invariable lorsque ces forces sans cesser d'être parallèles , s'inclinent autour de leur point d'application. Au lieu de faire tourner les forces , que l'on fasse au contraire tourner le corps. Dans ce mouvement les forces conserveront leur direction verticale , et leur résultante , c'est-à-dire le poids total* exercera toujours son action suivant une verticale passant par le même point , c'est-à-dire par le centre de gravité du corps, De là résultent deux moyens fort simples de le trouver quand le corps est invariable. Un corps suspendu à un fil s'arrange de telle sorte que l'effort pour le soutenir fait équilibre à la résultante de tous les points partiels des molécules de ce corps» Ainsi , la direction ÀC ( fig* 47 ) du fil qui le supporte est immédiatement opposée à la verticale qui passe par le centre de gravité G t ou bien le point C par lequel te corps est suspendu au fil et le centre de gra vite G appartiennent successivement à la verticale AC qui passe par le point d'attache extérieur A* Si Ton change le point du corps C par lequel il est suspendu au fil, on aura autant de lignes droites qui concourront au centre de gravité.
Par la même raison , il est possible de soutenir le corps sur une point (fig. 48) toutes les fois que la verticale de son centre se confond avec celle de la pointe, et toutes les positions du corps qui satisfont à cette eondîlmi donnent autant de lignes devant contenir le centre de gravité. Les points supérieur ou inférieur où deux de ces lignes percent respectivement la surface du corps étant connus, ou conçoit que des ouvertures reetilignes pratiquées d'outre en outre donneraient le centre de gravité par leur intersection commune. Reste à trouver les points inférieur et supérieur où une même verticale concourant au centre de gravité d'un corps rencontre sa surface. Suspendes ce corps à un fît, alignes de part et d'autre deux BU à plomb sur le fil de suspension, et faites tracer sur la surface du corps, avec un crayon , la section comprise dans ce plan vertical. Recommencez l'opération par un nouveau plan vertical passant par le même fil de suspension, les deux sections ainsi obtenues se croiseront aux deux points cherchés,
31, Recherche du centre de gravité par le calcul ou par la géométrie. — Cette méthode devient impraticable pour les corps très-lourds, ou pour ceux qui sont fixes , ou pour ceux qui n'existent pas encore et dont la construction est seulement en projet. En général, lorsque la forme d'un corps est définie géométriquement ou par un dessin, voici comment on peut connaître son centre de gravité. 11 faut diviser le corps par une suite de plans , chercher le moment du poids de chaque partie par rapport à no plan quelcon quej et prendre la somme de tous ces moments ; cette somme , d'après c* qu'on a vu dans la théorie des Forces parallèles, est égale au moment du poids tatni f c'est-à-dire, au produit de ce poids multiplié par la distance
de son centre de gravité à un plan arbitraire. Partant cette distance sera donnée par le quotient de la somme des moments partiels divisée par le poids total. Si l'on opère de même par rapport à un deuxième el un troisième plan arbitraire , on aura deux nouvelles distances du même centre. Ainsi , ce dernier sera situé à l'intersection des trois plans respectivement parallèles à ceux des moments. Mais cette méthode, déjà fort longue en soi, peut être abrégée selon les circonstances, surtout quand il s'agit de trouver le centre de gravité des corps homogènes. On nomme ainsi ceux dont deux parties quelconques pèsent le même poids à égal volume.
32. Centre de gravité des corps réguliers. — L'expérience apprend qu'une barre AB ( fig. 49 ) parfaitement homogène , en bois ou en fer , que l'on suspend par son milieu C à un fil , y demeure en équilibre. Le centre de gravité de cette barre est donc situé au milieu de sa longueur. On voit aussi sans difficulté qu'il doit être dans le milieu de l'épaisseur. Si la barre supporte à ses deux bouts une sphère M , elle demeure encore en équilibre quand elle est suspendue par son milieu. Le centre d'une sphère en est également le centre de gravité , car en la suspendant à un fil EA par un des points quelconques de sa surface , la verticale du fil passe constamment par le centre G de la sphère. C'est un principe général que le centre de gravité de tous les corps réguliers et homogènes se confond avec leur centre de figure. /Voilà pourquoi un prisme droit , ou un cylindre droit ont leur centre de gravité sur le milieu de leur longueur , et que ceux d'un cercle ou d'une droite sont placés l'un au propre centre du premier , l'autre au milieu de la droite. C'est ici le lieu d'observer que le centre de gravité d'une surface n'est autre chose que celui d'un corps d'une très-petite épaisseur, et tel qu'une feuille de tôle , de papier, etc. La même considération s'applique à une ligne droite dont l'épaisseur et la largeur sont très-petites par rapport à sa longueur.
33. Centre de gravité des corps symétriques. — On dit qu'un corps homogène est symétrique par rapport à un plan , lorsque ce dernier coupe en deux parties égales toutes les perpendiculaires qui lui sont abaissées et qui sont terminées à deux extrémités opposées du corps. Il est symétrique par rapport à une droite , quand il a deux plans de symétrie passant par cette droite. Une surface plane est symétrique par rapport à une droite , lorsque celle-ci coupe également les perpendiculaires terminées de part et d'autre au contour de la surface. Dans tous les cas, le centre de gravité de ces corps ou surfaces est situé dans leur plan ou dans leur droite de symétrie. Considérons , par exemple, une courbe ayant AB (fig. 50) pour droite de symétrie, et pour laquelle on a déterminé les centres de gravité G et G' des moitiés supérieure et inférieure. Ces deux moitiés , étant rabattues l'une sur l'autre, leurs centres de gravité G et G' devront coïncider : ce qui revient à dire , qu'avant le rabattement ces mêmes centres étaient situés sur une drovta GG' perpendiculaire à AB et à des distances égales de cet axe. CeVfc \*Q*è ^v
S me PARTIE. %
Ton concentre ces deux moitiés à leurs centres respectifs G et G', GG' n'est plus qu'une droite terminée par deux points matériels dont le centre de gravite est évidemment à son milieu ou sur ÂB. — Un raisonnement analogue pourrait être appliqué à un corps à trois dimensions symétriques par rapport à un plan. Le centre de gravité d'une surface qui a deux axes de symétrie, est à l'intersection de ces deux axes. Le grand axe et le petit axe d'upe ellipse sont des axes de symétrie qui se coupent au centre de l'ellipse. Ce qui indique pourquoi ce centre est aussi celui de gravité de Taire plane contenue dans cette courbe. — Le rectangle a aussi son centre de gravité à l'intersection de ses diagonales, parce que cette intersection coïncide avec l'intersection des perpendiculaires qui passent par les milieux des côtés opposés. Lorsqu'un volume a une droite de symétrie ou deux plans de symétrie, nous avons dit; que son centre de gravité devait se trouver sur cette droite. — Le cylindre droit à base elliptique a deux plans de symétrie déterminés par les grands et petits axes de ses deux bases opposées. Son centre de gravité se trouve donc sur la droite qui joint leur centre G (fig. 51 ) , et il est évident qu'il sera en même temps au milieu de cette droite.
D'autres corps sont partagés symétriquement d'une infinité de manières. Telle est la sphère dont tous les plans de symétrie passent par le centre ; c'est pourquoi ce dernier en est aussi le centre de gravité.
34. Centre de gravité des corps réguliers non homogènes* -*- Si le corps régulier n'est pas homogène , on le regarde d'abord comme tel , et le centre de gravité (fig. 52) , obtenu dans cette hypothèse , donne lieu à une première approximation. On supposera ensuite que le poids du corps , supposé homogène , y soit concentré ; après quoi, retranchant ce poids p du poids total P , on observera que la différence P — p est le reste du poids négligé juscfu'alors à l'égard de la partie plus pesante. Soit 0' le centre de gravité du volume de cette dernière, il faudra partager la droite 00' par un point K,
tel que l'on ait
/>XOK = (P-/>)K0',
et le point K sera le centre de gravité réel.
35. Centre de gravilédes corps coupés par tranches parallèles. — Quand on peut partager un corps en une suite de tranches parallèles et connaître le centre de gravité de chacune d'elles , le centre de gravité de tout le corps est sur la ligne qui contient les centres de toutes les tranches. En effet , composez deux de ces tranches entre elles, puis leur résultante avec une troisième et ainsi de suite, et vous reconnaîtrez que le centre de gravité total doit appartenir à cette ligne.
36. Parallélogramme , parallélépipède cube. — Soit, par exemple , le parallélogramme ABCD (fig. 53), décomposé en une suite de tranches trèsétroites et parallèles au côté AB , le centre de gravitévde chacune d'elles étant à leur milieu , et tous ces milieux étant situés sur la droite EF qui
passe par les milieux des côtés opposés ÀB et DC, il en résulte que le centre de gravité du parallélogramme doit se trouver sur cette droite , et comme on peut voir aussi de la même manière qu'il est contenu sur la droite Hl qui joint les milieux des deux autres côtés opposés AD et BC, il est donc à leur intersection 0. — Un raisonnement analogue conduirait à prouver que le centre de gravité d'un cube ou d'un parallélipipède quelconque est à l'intersection des trois droites qui passent respectivement par le centre de gravité de deux faces opposées.
37. Triangle. — Le triangle ABC (fîg. 54) étant partagé en. tranches trèsminces et parallèles au côté AC, on reconnaît comme précédemment que les centres de ces tranches sont tous compris sur la ligne BD qui va du sommet B au milieu D du côté AC , et qu'ainsi cette droite doit contenir le centre de gravité du triangle. Ce même centre, par une raison analogue, doit également appartenir aux deux droites qui joignent chacun des deux antres sommets A et C aux milieux F et E des côtés opposés BC et AB. Donc enfin le centre de gravité d'un triangle est à l'intersection commune des trois droites menées de chaque sommet au milieu du côté opposé. Il est aussi celui du système de trois boules égales placées aux sommets du même triangle ; car le centre particulier de gravité de deux boules placées aux extrémités de la droite AC est sur le milieu D de cette droite, et ce dernier point sera tel qu'on pourra y concentrer les deux boules. Joignons le point D à la troisième boule B par une droite BD : celle-ci contiendra évidemment le centre de gravité des trois boules ; et comme on reconnaîtrait seroblablement que ce même centre appartient encore aux droites CE et AF, on voit qu'il coïncide avec celui du triangle. Remarquons que , puisqu'il y a deux boules à l'extrémité D de la droite BD, et une seule au sommet B, le centre de gravité G de toutes trois partagera la ligne BD en deux parties, telles que
DG=iBG = ^AB.
Donc enfin le centre de gravité d'un triangle est situé sur la droite qui passe par le milieu de sa base et par le sommet opposé; il se trouve sur le premier tiers de cette droite à partir de la base. On voit encore que sa hauteur audessus de la base est le tiers de la hauteur du sommet opposé.
88. Quadrilatère quelconque. — La règle suivante a pour but de trouver le centre de gravité d'un quadrilatère quelconque ABDC (fîg. 58). Menez les deux diagonales AD et BC qui se coupent en F ; portez la partie la plus courte AF de l'une d'elles AD sur elle-même deD en B, et après avoir joint le point H au milieu E de l'autre diagonale BC, divisez l'intervalle EH en trois parties. Le centre de gravité G du quadrilatère sera au premier tiers de cet invervalle à partir du milieu de la deuxième diagonale.
39. Pyramide triangulaire. — Une suite de plans parallèles à la base ABC de la pyramide triangulaire SABC (fig. 55 bis) donne lieu à des tranches triangulaires parfaitement semblables à cette base, etlous\Q\\Y&<rcï\Vcfesà& gravité seront sur h droite SG' qui va du sommet 8 au cetWte As ^nVà^S
21 DEUXIÈME FAftTIE.
de la face ABC, parce qu'ils sont les uns et les autre* sembîabîement placés* Ainsi la droite 5G' doit contenir le centre de gravité eïe la pyramide* Comme il y a quatre sommets et quatre bases dans la pyramide triangulaire et que celle-ci peut se décomposer en tranches parallèles à toutes ces bases, on voit que son centre de gravité est à l'intersection des quatre droites qui joignant chaque sommet au centre de gracile de la base opposée. Ce centre de gravite est aussi celui de quatre boules égales respectivement placées au sommet de la pyramide. Car on reconnaît sans peine que te centre de gravité des trois premières À, B, C coïncide avec celui du triangle ARC , et que celui de tontes qnatre appartient à la droite qui joint le sommet S au centre de gravité de la base ABC, Maintenant que nous savons que le centre de gravité de la pyramide est précisément celui des quatre boules égales., nous pouvons en trouver la position sur SG' en observant que trois d entre elles peuvent être considérées comme concentrées en G' et que la quatrième est seule située sur l'autre extrémités de la droite* Ainsi le point G doit partager la droite SG' en parties réciproquement proportionnelles aux poids que ses deux bouts supportent et qui sont triples l'un de l'autre ; donc, on a
GG # =]SG, ou GG'=±S'G'; d'où, il résulte que le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est sur la droite qui joint un sommet au centre de gravité de la base opposée et au premier quart de cette droite à partir delà base. H est encore évident que la hauteur de ce même centre de gravité au-dessus de la base est le quart de la hauteur du sommet opposé*
40, Pyramide à base quelconque. — La proposition précédente est également applicable à une pyramide dont la base est un polygone (fig* S6). Non-seuletncnt son centre de gravité est sur la droite qui joint le centre de gravité de la base au sommet, mais encore on peut décomposer ïa base en une suite de triangles qui serviront but-mêmes de bases à pareil nombre de pyramides triangulaires dont la somme Forme la pyramide totale. Ces pyramides ayant pour sommet commun celui de la pyramide donnée , on voit que tous leurs centres de gravité, ainsi que celui de cette dernière, seront situés sur un plan parallèle à celui de la base et élevés du quart du la hauteur de ecMe du sommet. Donc, enfin, le centre de gravité cherché est au premier quart à partir de la base sur fa droite qui joint le centre de gravité do ta base au sommet opposé* De la pyramide on passe au eene a base quelconque. Pour avoir le centre de gravité de celui-ci il suffit de joindre le centre de gravité de la base au sommet par une droite et de déterminer, à partir de la base, le premier quart de cette droite,
41. Polyèdre quelconque. — Puisque tout polyèdre se décompose en pyramides triangulaires et qu'en vertu du théorème des moments, le moment du jKjïdsou du volume de ce polyèdre, par rapport à un plan, est égal a la tomme du moment dm poids ou des volumes de ces ^vauwles, il est tou-
jours possible de trouver la position du centre de gravité de ce polyèdre par rapport à trois plans quelconques.
42. Corps de forme quelconque. — Lorsqu'un corps est terminé par des surfaces courbes, ou une aire plane par une courbe quelconque, il faut décomposer le corps ou la surface en petites parties de forme analogue aux précédentes, calculer chaque moment partiel par rapport à un plan ou aune droite, et diviser la somme de ces moments par le volume total ou par la surface que Ton considère. S'il s'agit, par exemple, d'obtenir le centre de gravité de Taire plane quelconque CabDdc (fig. 57), tirons dans son plan une droite quelconque AB , et partageons cette aire en une suite de tranches très-minces et perpendiculaires à cette droite. La tranche abcd pourra être regardée comme un rectangle dont le centre de gravité g esta son milieu. Son moment partiel sera égal à abdc X </*\ 9* étant la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce centre de gravité, ou une moyenne entre les distances af et cf des extrémités de la tranche à la droite AB. Prenant ensuite la somme de tous les moments partiels trouvés de la même manière, on la divisera par Taire totale mesurée d'après la méthode de Thomas Simpson, et le quotient donnera la distance du centre de gravité cherché à la droite ÀB. On recommencera l'opération par rapport à une autre droite, pour que la position de ce centre de gravité soit complètement arrêtée.
4$. Utilité du centre de gravité pour la mesure de certains volumes. — La considération du centre de gravité est très utile pour la cubature de certains volumes, fort difficiles à évaluer par les méthodes ordinaires. Tels sont la vis, réchiffre d'un escalier. Telle est encore la surface de révolution engendrée par le mouvement d'une courbe plane CDE (flg. 38) autour d'une droite A B situé dans son plan. Supposez cette courbe découpée eu petites parties rectangulaires dont les côtés soient perpendiculaires et parallèles à l'axe. Chaque rectangle engendrera autour de Taxe un petit anneau partiel, et la somme de tous ces anneaux réunis donnera le volume total de la surface de la révolution. Soit r la distance depuis Taxe jusqu'au centre d'un petit rectangle quelconque. On sait que le volume d'un anneau dont le profil est un rectangle a pour mesure Taire a de ce rectangle multipliée par la circonférence moyenne de l'anneau, laquelle est ici 2^-r (* est le rapport™ de la circonférence au diamètre) : car la base circulaire d'un tel anneau étant développée en ligne droite forme un trapèze dont la longueur moyenne est précisément celle delà circonférence moyenne Inr développée. Donc, enfin, le volume de l'anneau élémentaire engendré par le rectangle que l'on considère est exprimé par le produit 2^r X «» ou 2?r X ar * ^es anneaux qu'engendrent d'autres parties rectangulaires a, a",.... ont de même pour expression de leurs volumes respectifs, 2*r X a ' *'•> %* X «"'"• Partant le Tolume total de la surface de la révolution sera égal à 2r(ar + aY-j- a V + ....).
delà faceÀBCj parce qu'ils sont les uns et les mitres semblablement placée Ainsi la droite SG' doit contenir le centre de gravité de la pyramide. Comme il y a quatre sommets et quatre bases dans la pyramide triangulaire et que celle-ci peut se décomposer en tranches parallèles à toutes ces bases, on Toit que son centre de gravité est à Vinterseclion des quatre droites qui/oignent chaque sommet au centre de gravité delà batte opposée. Ce centre de gravité est aussi celui de quatre boules égales respectivement placées au sommet de la pyramide. Car on reconnaît sans peine que le centre de gravité des trofs premières À, B, C coïncide avec celui du triangle ABC , et que celui de toutes quatre appartient à la droite qui joint le sommet S au centre de gravité de la base ABC. Maintenant que nous savons que fe centre de gravité de la pyramide est précisément celui des quatre boules égales, nous pouvons en trouver la position sur SG' en observant que trois d'entre elles peuvent être considérées comme concentrées en G' et que la quatrième est seule située sur l'autre extrémité S de la droite. Ainsi le point G doit partager ta droite SG' en parties réciproquement proportionnelles aux poids que ses deux bouts supportent et qui sont triples l'un de l'autre ; donc, on a
GG'^SG, ou GG' = }S'G'; d'où il résulte que le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est sur la droite qui joint un sommet au centre de gravité de ta hase opposée et au premier quart de cette droite à partir de ta base. Il est encore évident que la hauteur de ce même centre de gravité au-dessus de la base est le quart de la bauteur du sommet opposé.
40- Pyramide à base quelconque, — La proposition précédente est également applicable à une pyramide dont la base est un polygone (fig. 56). Non-seulement son centre de gravité est sur la droite qui joint le centre de gravité de ta base au sommet, maïs encore on peut décomposer la base en une suite de triangles qui serviront eux-mêmes de bases à pareil nombre de pyramides triangulaires dont la somme Forme la pyramide lotaïe, Ces pyramides ayant pour sommet commun celui de la pyramide donnée , on voit que tons leurs centres de gravité, ainsi que celui de cette dernière, seront situés sur un plan parallèle à celui de la base et élèves du quart de ta hauteur de celle du sommet. Donc, enfin, le centre de gravité cherché est au premier quart à partir de la hase sur la droite qui joint le cent te de gravité de la base au sommet opposé* De la pyramide on passe au cône a base quelconque. Pour avoir le centre de gravité de celui-ci il suffit de joindre le centre de gravité de la base au sommet par une droite et de déterminer, à partir de la base, le premier quart de cette droite.
41. Polyèdre quelconque* — Puisque tout polyèdre se décompose en pyramides triangulaires et qu'en vertu du tbéorèmodes moments, le moment du potâs on du volume de ce polyèdre, par rapport à un plan, est égal à ia somme du moment des poids ou des volumes de ces ^™m\àfc%, \l est ton-
jours possible de trouver la position du centre de gravité de ce polyèdre par rapport à trois plans quelconques.
42. Corps de forme quelconque. — Lorsqu'un corps est terminé par des surfaces courbes, ou une aire plane par une courbe quelconque, il faut décomposer le corps ou la surface en petites parties de forme analogue aux précédentes, calculer chaque moment partiel par rapport à un plan ou aune droite, et diviser la somme de ces moments par le volume total ou par la surface que Ton considère. S'il s'agit, par exemple, d'obtenir le centre de gravité de Taire plane quelconque CabDdc (fig. 57), tirons dans son plan une droite quelconque AB , et partageons cette aire en une suite de tranches très-minces et perpendiculaires à cette droite. La tranche abcd pourra être regardée comme un rectangle dont le centre de gravité g esta son milieu. Son moment partiel sera égal à abdc X 9h 9* étant la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce centre de gravité, ou une moyenne entre les distances af et cf des extrémités de la tranche à la droite AB. Prenant ensuite la somme de tous les moments partiels trouvés de la même manière, on la divisera par l'aire totale mesurée d'après la méthode de Thomas Simpson, et le quotient donnera la distance du centre de gravité cherché à la droite AB. On recommencera l'opération par rapport à une autre droite, pour que la position de ce centre de gravité soit complètement arrêtée.
43. Utilité du centre de gravité pour la mesure de certains volumes. — La considération du centre de gravité est très utile pour la cubature de certains volumes, fort difficiles à évaluer par les méthodes ordinaires. Tels sont la vis, réchiffre d'un escalier. Telle est encore la surface de révolution engendrée par le mouvement d'une courbe plane CDE (fig. 58) autour d'une droite AB situé dans son plan. Supposez cette courbe découpée eu petites parties rectangulaires dont les côtés soient perpendiculaires et parallèles à l'axe. Chaque rectangle engendrera autour de Taxe un petit anneau partiel, et la somme de tous ces anneaux réunis donnera le volume total de la surface de la révolution. Soit r la distance depuis Taxe jusqu'au centre d'un petil rectangle quelconque. On sait que le volume d'un anneau dont le profil est un rectangle a pour mesure l'aire a de ce rectangle multipliée par la circonférence moyenne de l'anneau, laquelle est ici 2^-r (*• est le rapport \- de la circonférence au diamètre): car la base circulaire d'un tel anneau étant développée en ligne droite forme un trapèze dont la longueur moyenne est précisément celle delà circonférence moyenne Inr développée. Donc, enfin, le volume de l'anneau élémentaire engendré par le rectangle que l'on considère est exprimé par le produit 2^r X a t ou 2ît X or « Les anneaux qu'engendrent d'autres parties rectangulaires a', a",.... ont de même pour expression de leurs volumes respectifs, 2tt X a ' T ' -> *%* X «"'''. Partant le volume total de la surface de la révolution sera égal à
f T ^^ fl y-faV + ....).
même est égal à la masse de ce corps multipliée par la vitesse commune à tousses points.
46. Mouvement d'un corps lorsque la force motrice est appliquée à son centre de gravité, — Lorsqu'un certain degré de vitesse v est appliqué à tous les points d'un corps pendant un très-petit temps f, on peut calculer (2 e partie, 44) la force d'inertie totale F de ce corps, puisque, M étant la masse de ce dernier, on a
Nous savons en outre que celte force d'inertie est appliquée selon la direction commune du mouvement, au centre de gravité du corps. Par conséquent si Ton suppose qu'à l'instant où le degré v de vitesse va naître, on applique en sens contraire du mouvement et au centre de gravité une force précisément égale à F, il est évident que cette force introduite arrêtera le mouvement. Cela posé, si Ton applique au centre de gravité d'un corps une force motrice X (fig. 60), elle lui imprimera un mouvement de transport parallèle. Car cette force X sera égale et directement contraire à la force d'inertie totale F qu'elle fait naître. Autant il y aura de parties du corps, autant il y aura de petites forces partielles f,f,f',..*. dans lesquelles la force F se subdivisera et qui toutes seront proportionnelles aux poids de ces parties.
Ainsi , /*= — - Y ,f = -== F. Les degrés de vitesse que chacune d'elles im-
/ X t f X t' f^tf'
primeront à leurs parties respectives seront , ' — f - , - , ou sim-
plement — -- — , en remplaçant /*,/>,/>/ , .... par leurs valeurs — : F ,
- F , . • . . et comme est précisément le degré de vitesse qu'imprime
au centre de gravité la force F ou la force X qui lui est égale, on reconnaîtra que pour qu'un corps reçoive un mouvement de transport parallèle , il faut que la force motrice ou la résultante des forces motrices qui lui sont appliquées passe par son centre de gravité.
47. Mouvement âîun corps lorsque la force motrice ne passe plus par le centre de gravité. — Si la force motrice X était dirigée suivant une droite AB (fig. 61) en dehors du centre de gravité G du corps, on peut prévoir que le mouvement ne sera plus de transport. En effet, si ce mouvement était parallèle dans tous les points , il naîtrait des forces d'inertie partielles dont la résultante passerait par le centre de gravité G, et si on remplace cette dernière par une force F contraire au mouvement , cette force F appliquée en G devrait l'arrêter et produire l'équilibre ; mais il est impossible que deux forces telles que F et X appliquées aux extrémités d'une droite ou barre AG, puissent s'entre-détruirç à moins qu'elles n'exercent leur action dans la di-
rertion de la barre, En général^ ai des forces agissent d'une manière quelconque sur un corps libre, ce dernier reçoit un mouvement compliqué l'un mouvement de translation au centre de gravité, et d'un mouvement relatif ou de rotation autour de ce centre. Les géomètres ont de plus trouvé que, quel que fût le mode d'action des forces, le mouvement du centre de gravite était le même que si toutes les forces y étaient transportées parallèlement. Ainsi, d'après la composition de ces forces, on peut toujours trouver le mouvement du centre de gravité, et c'est surtout ce qu'il importe do connaître. Le centre de gravite de la bombe qui décrit une trajectoire dans )W, a une vitesse bien autrement rapide que la vitesse relative des autres points autour de ce centre, en sorte que ce mouvement de rotation n'exerce qu'une très- faible influence* La loi du mouvement du centre de gravité est, d'après ce qui précède, facile à trouver* Car si on appelle X la résultante de toutes les forces motrices transportées à ce centre parallèlement à ellesrenies, F la force d'inertie totale, on a X = F, D ailleurs
où Ton tire
F=MX (2 1 partie, 44); XX*
* sera le petit degré de vif esse imprimée à un instant quelconque pendant Je trèj-petit temps f. Enfin, de ce petit degré de vitesse on passe aux vitesses acquises au bout d'un temps quelconque et de là aux espaces décrits. -48, Force rive totale imprimée à un corps mû parallèlement à lui-même. — : que nous avons dit précédemment s'applique encore à la force vive totale que possède un corps lorsque toutes ses parties ont un mouvement de trans-
P port parallèle. Eu effet , V étant la vitesse générale , c X^ Seera ' a force v * vo
if
de la partie dont le poids est p f ±- x Y* celle de la partie de poids j/,etc; de
sorte nue la somme de toutes ces forces vives, c'est-à-dire la force vive totale, sera y 2 ji LlL~£L LJL; j s u MX^ Ce dernier résultat prouve
qu'on a eu raison dans l'estimation de la force vive de la voiture du roulier, de l'évaluer d'après la masse de la voilureen bloc, au lieu de rechercher séparément les forces vives des roues, du corps de la voiture, etc.
49* Conclusion relative au mouvement de transport. — Les considérations que nous venons de développer font voir que dans les mouvements de transport d'un corps ou d'un système de corps, les calculs pourront être simplifies, puisqu'il est permis de Faire abstraction de la forme extérieure des corps , de concentrer leur masse totale autour du centre de gravité, et de raisonner sur ce point comme sur la masse totale»
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TKAV41L DB Là PESAHTEU* UAIfS LK MOtfVEHEffT d'uîï COftPS OtT D'US SYSTÈME DE C0RP8. — DIVERS ÉQUILIBRES DE CES COBfS*
60- Théorème gênerai &ur te travail de la pesanteur, — Jusqu'ici nous avons justifié la concentration de la masse d'un corps autour de son centre de gravité, seulement lorsqu'il s'il g i t d'un mouvement de transport parallèle. Ajoutons que cette concentration devient , en général , impossible lorsque toutes les parties de ee corps reçoivent des mouvements différents les uns des autres. En effet , les forces d'inertie partielles ne sont plus parallèles entre elles, et leur résultante, c'est-à-dire la force d'inertie totale, ne peut plus être égale à leur somme. Mais, si dans ces mouvements divers on veut évaluer le travail de la pesanteur pendant un temps quelconque, les action exercées par cette force sur toutes les parties du corps ne cessent pas d J êtn parallèles et verticales, et, connue leur résultante, et le poids total, pass constamment par le centre de gravité, on raisonnera sur le mouvement di ce point comme si la masse y était concentrée , en faisant abstraction di mouvement de rotation de toutes les autres parties du corps ; puis on éva luera la quantité de travail dépensée par la pesanteur d'après le produit di poids total et du chemin parcouru par le centre de gravité dans le sens vertical. Si , par exemple, le centre de gravité d'un corps animé d'un mouvement quelconque ya de la position G à la position G' (fig. 62) en décrivani une courbe quelconque, on multipliera le poids P de ce corps par la hauteur verticale G'R dont aura monté le centre de gravité , afin d'obtenir I travail dépensé par la pesanteur dans l'intervalle des deux positions. Ci théorème, à l'égard du travail de la pesanteur, loin d'être particulier ai mouvement d'un seul corps, s'étend à l'ensemble des pièces liées entre elles, et telles que les roues, les barres, les leviers , etc, , dont une machine esl pour l'ordinaire composée* Si vous calculez la somme ùes quantités de tra vaîï dépensée sur chaque pièce parla pesanteur, tous reconnaîtrez qu cette somme est la même que la quantité de travail dépensée sur le centn général de gravité de tout le système. En général , soient p, p\ p",.... le; poids de diverses pièces liées entre elles ; h^h\ A",»-., les hauteurs don leurs centres de gravité particuliers montent ou descendent dans le passage d'une position à une autre^ en vertu de leurs mouvements respectifs d ailleurs quelconques; F la somme de tous ces points , et - la hauteur dont l centre de gravité général est monté ou descendu* On aura
Bz^pk+p'h'+p>'h' r + ....
Dans cette égalité, il faudra ajouter entre eux tous les travaux dépenses par la pesanteur sur les centres de gravité qui ont un mouvement ascendant, et retrancher au contraire de celte somme les quantités de travail relatives aux centres de gravité qui se sont abaissés. Cela résulte de ce pria-
cïpe , déduit de la résultante des force» parallèles (*2* partie , 2i>) , que la quantité de travail de leur résultante est égale à la somme des quantités de travail des composantes qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des quantités de travail de celles qui agissent dans le sens oppose, On pent en voir la démonstration directe, en rapportant, dans chaque position, à \m munie plan de niveau ÀB (fig. 6$), des centres de gravité des différents corps, par des perpendiculaires abaissées sur ce plan, Soient H, ïï', H",»»,, les distances perpendiculaires h ÀB des centres de gravité des poids f y p\ fV- lors de la première position du système, P la somme de ces poids, Z la distance au même point pour la même position du centre de gravité général, on aura, en vertu du théorème des moments,
En*=pU+p'W+p "H" +-..-; pour la deuxième position du système, on aurait encore PZ l = j pII l + /H' i + P "H/' + ....
Lei deux égalités étant retranchées terme à terme Tune de L'autre, leur différence donnera P<Z, -Z) =P (H, - nj+f'tH,' - B') +p" (H "H") + .... En supposant que le plan de niveau ÀB demeure inférieur à tous les points partiels, on remarquera que ï t — Z est la hauteur s dont le centre de gravité général a monté ou descendu , selon que Z t est plus grand ou plus
petit que 2 ; qu'il en est de même des différences R i — H, ïl^ — H'
lesquelles sont égales aux quantités A, H\ &",.••* et a °nt positives ou négatives selon que lé centre de gravité des points particuliers p, p /»",..•. ont monté ou descendu. De plus, les quantités P (Z, — Z), jo (Hj — H), p (h\ — H') , , « .. sont les produits des forces par les chemins parcourus dans leurs directions propres, c'esUà-dîre les quantités de travail partielles dues a la pesanteur. Ainsi, le travail total dû à la pesanteur sur un système de corps pesants en mouvement^ est égal à la somme des travaux des poids qui montent, diminuée de celle des travaux des poids qui descendent.
5Î. Équilibre des corps pesants. ** Si le système des corps pesants est dans une position telle qu'en passant à une position voisine, le centre de gravité général demeure sur une mène ligne de niveau , ou que Ton ait Z t = Z , dans ce cas la quantité de travail P (Z, — Z) devient nulle et Ion a
ph + p h f -f- prth**-{- ,... = 0.
J)onc , dans une semblable position, Là quantité de travail à dépenser pour en déplacer le corps est nulle, les quantités de travail partielles de la pesanteur sur chaque corps s'entre-délruisent, et il y a équilibre dans le système. Telle est la condition d'équilibre des corps pesants qui sont seulement soumis à la gravité. Toutefois, cel équilibre se présente %oms cYv^en fc-V^\& !
selon la nature des positions du système. Si, après avoir dérangé un peu l'ensemble du système des pièces, le centre de gravite généra] descend, on conçoit qu'il tendra à descendre de plus en plus et qu'il faudrait dépenser une certaine quantité de travail pour le ramener a sa position primitive. Vn tel équilibre est dit instable , parce que le système tend évidemment à s'en écarter. Au contraire, si , en déplaçant un peu l'ensemble des pièces , le centre de gravité général s*est élevé, c'est une preuve que ce déplacement a exigé une certaine quantité de travail que la pesanteur tend à restituer; l'équilibre est alors stable; parce que le système est sollicité à y revenir, quand on l'abandonne à lui-même. Enfin si, après un dérangement analogue au précédent, le centre de gravité général ne monte ni ne descend, la quantité de travail dépensée est toujours nulle; le système n T a aucune tendance m à revenir a sa première position, ni à s'en écarter* Eu un mot l'équilibre est indiffèrent.
ï>% Exemples des diverses espèces d'équilibre» — Considérons ,par exemple, une tîge tournant autour d'un point fine A {%. 64) et supportant à sa partie inférieure un corps symétrique par rapport à la ligne milieu qui va du centre de rotation au centre de gravité général G. Ji est évident qu'il y aura équilibre, lorsque la tige occupera la position verticale ÀG, Je dis de plus, que l'équilibre est ici stable; car t en éloignant le système de la position ÀG, le centre de gravité monte de G en G' en décrivant l'arc GG% et il a fallu dans ce déplacement dépenser une quantité de travail que la pesanteur va restituer aussitôt qu'on abandonnera la tige a etie-même. A la vérité elle Fora une suite d'oscillations autour de AG, mais leur amplitude diminuera par suite de la tendance de la ligne à occuper sa position primitive AG. Supposer la tige dans une situation opposée à laprécédente (fig* 65) : si elle est encore parfaitement verticale t la résultante de toutes les forces de pesanteur ou du poids total passe par le point d'appui; il n'y a point de raison pour que le corps s'incline plus à droite qu'à gauche, attendu sa symétrie par rapport à la ligne AG. Toutefois cet équilibre est instable; car, pour peu que le système soit dérangé , le centre de gravité descend de G en G', et il faudrait ensuite une certaine quantité de travail pour le ramener à la position AG.
Quand un cône (fig, 66) est posé sur sa base et qu'on vient à l'incliner, le centre de gravité de ce cône décrit un arc qui l'élève ; partant , ce corps, abandonné à lui-même, revient à sa première position. Si, au contraire, on appuie le cône sur sa pointe rationnellement, il y a encore équilibre comme lorsque ce corps reposait sur sa base; mais le plus petit mouvement suffit pour faire descendre le centre de gravité. La première position du cûne correspond à L'état d'équilibre stable, et la deuxième a celui d'équilibre instable, Un cylindre elliptique placé sur un plan de nhean est en équilibre stable
Ltion stable* selon que le grand axe oh Je petit axe de sa base elliptique arallèle à ce plan f fig* 67). Une boule sphérique qui se meut sur un plan de niveau offre l'exemple d'un équilibre indiffèrent. Le centre de gravité ou Te centre de figure de cette bonïe demeure a la même hauteur audessus du plan, et la quantité de travail employée a le déplacer à chaque instant est toujours nulle, de sorte que le corps dans toutes ses positions a plus de tendance à s'arrêter qu'à s'éloigner. Un cylindre parfaitement circulaire est encore dans ce cas.
Les ponts-levis ne sont autre chose qu'un système de pièces à Tetal d*équilibre indifférent , ou qui demeure en équilibre pour toutes les positions possibles* Pour que cette condition soit remplie , il suffit de s'assurer que le centre de gravité général de la bascule et du tablier, dans toutes les positions possibles , à la liaison de ces corps esta la même hauteur ou parcourt un même plan de niveau.
Les chariots , les voitures ne doivent , à proprement parler, exiger aucune quantité de travail dans leur transport horizontal , et par conséquent leur centre de gravité total ne doit ni monter ni descendre pendant leur mouvement.
Si certaines roues de moulin tantôt se ralentissent et tantôt s'accélèrent, c'est qu'elles ne sont pas cintrées, ou que leur centre de gravité G est en dehors du centre À des tourillons (fig. 08). Cette roue devient analogue au pendule qui offre alternativement les caractères de l'équilibre stable et non stable : d'abord l'équilibre est stable lorsque le centre de gravité delà roue occupe la position la plus basse \ puis ce centre de gravite monte en s'écnrtant de la verticale Ab\ et la pesanteur pcndaot ce mouvement ascendant diminue sa vitesse par petits degrés successifs \ arrivé au point le plus haut, Je centre de gravité G prend de nouveau une position d'équilibre qui est instable , parce qu'au delà la pesanteur accélère la vitesse jusqu'au point le plus bas que nous avons pris pour point de départ , et dans lequel la vitesse redevient la même.
La balance consiste principalement dans un fléau à bras égaux ÀC et CB ( fig* 69 ), armé de couteanx dont rareté D repose dans l'œil d'une chape double suspendue en E. Les deux extrémités du fléau portent deux bassins extrêmement égaux qui doivent contenir, l'un le corps a peser, et l'antre les poids étalons» Une balance peut être sourde, folle ^ nu paresseuse, selon qu'elle tend à revenir vers sa position horizontale ou à s'en écarter, ou qu'elle demeure en équilibre ou en repos sous toutes sortes de positions. Prenez en particulier le moment du poids de chaque pièce dont la balance »e compose par rapport à un plan de niveau ÀB , et divisez la somme de tous ces moments par le poids total de la balance. Le quotient vous donnera la hauteur du centre de gravité G au-dessus de ce plan* Sa position aeva déterminée, attendu que ce centre doit éfro compris dans Y axe àe Vj\ufeVx\fc
CF du système. Lorsque le centre de gravité sera au-dessous du point cTappui B des couteaux;, lu balance sera sourde ^ parce que l'équilibre est stable; s'if est au-dessus , la balance est folle et l'équilibre instable ; enfin , requîïîbre est indifférent et ta balance paresseuse } lorsque le centre de gravite de 1 balance et le point d'appui des couteaux du fl^an sur la chape se confondent- Les bonnes balances sont celles dont le centre de gravite est placé au-dessous du point d'appui sans en être ni trop près ni trop loin*
ÉQDllinhE ET STOUTËKENT n'en CORPS SOLIDE HERE.
&8. Équilibre d'un corps libre. — Quand des forces appliquées à un corp^ se font équilibre sur ce corps , ou qu'elles ne changent point Tetat de soi mouvement, ou quand elles s*cntre-dé£ruisent } il est nécessaire que la somme des quantités de travail des forces qui entraînent le corps dans un sens soit égale à la somme des quantités de travail des forces qui l'entraînent en sen: contraire. Pour se rendre raison de ce principe, concevons que L'on ait composé les premières forces qui agissent d*un coté en une seule, et qu'on ait fait de même a l'égard de celles qui agissent de l'autre côté: le système des forces sera ainsi réduit à deux forces uniques qui devront se faire équilibre; et ce: équilibre aura lieu quand les deux Forces seront égales et directement o posées. Mais lorsque deux forces sont égales et contraires, la quantité d travail de l'une est égale à la quantité de travail de l'autre , et si d'atlleu on admet que la quantité de travail de chacune d'elles est égale à la somme des quantités de travail des forces données dont elle est composée, on reconnaîtra ainsi la condition d'équilibre que nous avons énoncée ci dessus ( l ;•
(i) Voici une démonstration plus rigoureuse pour Its» lecteur» qui ne se coût enterai eut pas de celle du teitc. Soient P j Q , R } S , .. , . (Gg, 70) des force» appliquées à un corps solide de forme quelconque. Prenons dans l'intérieur de co corps trois point» quelconques a; i,c, que nous regarderons comme les sommets d'un triangle invariable abc , et décomposons chaque force en trois autres selon les droites A&,Ab^\ Às f dirigée* du point d'application^ delà forcée chaque sommet. De cette manière nous obtiendrons trois groupi s de composante» qui concourront respectivement aui points a , b f c , et qui auront pour résultante* ^ le premier de la force Z , le deuxième la force K , et le troisième la force F. I/cquilihre est ainsi réduit à celui des trois forces X t Y , Z , et il ne sera pas troublé ai Ton suppose que les côlés ab t ae, hc } deviennent aie» tour à tour. Dans l'hypothèse du cote fixe ah* le» deux forces Z et X sont détruite» par la résistance de ce côté, et ai la troisième force Y n'était pas située dans le plan a fa, clic le ferait tourner autour de al. On démontrersît tettiblublcincnt que les forces X et Z doivent être comprise» dans ce m *'mfi plan au
64. Équilibre et mouvement des machines. — Considérons une machine composée de roues qui sont soutenues par des appuis et qui se communiquent le mouvement , soit par des dents , soit par des chaînes ou par des courroies. Imaginons qu'une force ou puissance fasse tourner la première roue , celle-ci éprouvera une réaction de la part de la deuxième. Cette réaction à son tour devient pour la deuxième une puissance qui tend à la faire marcher ; mais cette deuxième éprouve sur les appuis qui la lient à la troisième , une réaction qui est une véritable résistance à son propre mouvement , et qui devient puissance pour cette troisième roue. Remplaçons maintenant les appuis de deux pièces voisines par les efforts de réaction qui y sont exercés : chaque pièce deviendra un corps libre, et pour qu'il y ait équilibre autour de ce corps , il faudra que la quantité de travail des forces qui tendent à faire marcher le corps dans un sens, soit égale à celle des forces* qui le font marcher en sens contraire. A l'égard d'une pièce particulière , cela revient à dire que le travail de la puissance qui la fait mouvoir , est égai à celui de la résistance opposée par la pièce suivante ; en raisonnant de proche en proche, depuis la pièce qui reçoit l'action du moteur jusqu'à celle qui fait l'ouvrage et qu'on nomme outil , on reconnaît que la quantité de travail de la puissance équivaut à celle de l'outil. En un mot, quand des forces travaillent à l'aide de machines , ou par l'intermédiaire de corps sur d'autres corps, il faudra distinguer les puissances des résistances, et on trouvera que le travail des unes est toujours égal à celui des autres. Si les corps se pressent, s'étendent ou se frottent, les nouvelles résistances qui résultent de ces actions seront comprises parmi les résistances , bien que ces actions soient inutiles au travail que l'on veut obtenir. L'équilibre peut avoir lieu, soit que le corps reste en repos ou qu'il soit en mouvement. Dans le premier cas, les quantités de travail sont celles qui seraient produites par un petit dérangement du système. Dans le deuxième cas, les
comme la force Y. Maintenant, pour que ces trois forces se fassent équilibre dans ce plan, il faut que Tune d'elles soit directement égale et opposée à la résultante des deux autres , ou que la résultante de toutes trois soit nulle , condition qui entraîne celle que les trois forces concourent en un même point. Si la résultante des trois forces X, Y, Zest zéro, la somme de leur quantité de travail est nulle. La quantité de travail de chacune d'elles est d'ailleurs égale à la somme des quantités de travail d'un même groupe , et la chose est évidente puisque ces composantes ont un même point d'application. Ainsi, la somme des quantités de travail des forces X , Y , Z peut être remplacée par la somme des quantités de travail de toutes les forces groupées autour de a , bet c. Mais ces dernières, ajoutées trois par trois , donnent la quantité de travail de chacune des forces proposées, P, Q, R , S. En sorte que la somme des quantités de travail des forces X, Y , Z n'est antre chose «jueia quantité de travail des forces P, Q, R, S. D'où l'on voit que dans l'équilibre d'un corps solide , la quantité totale de travail des forces qui \e toVWdtenV. e%V. €ç<b\« as*».
pondent à telle ou telle vitesse et au calibre du projectile. Ainsi, connaissant la vitesse initiale et deux composantes , ou aura en poids la valeur de la résistance initiale, et par suite les composantes horizontale et verticale de cette fnree au commencement du mouvement. De ces composantes, Tune -est la force motrice de la bombe dans le sens horizontal , et elle diminue la vitesse horizontale primitive, d'un petit degré facile à évaluer pour un petit temps, ce qui donne ainsi la vitesse horizontale acquise au bout de ce même petit temps, L'autre composante de la résistance ajoutée an poids de la bombe donne la force motrice dans le sens vertical; on déduit de cette dernière le plus petit degré de vitesse dont la vitesse verticale primitive est diminuée pendant le même petit temps que nous avons choisi , ainsi qae la vitesse verticale acquise au bout du dit petit temps. La résultante des deux nouvelles vitesses acquises horizontalement et verticalement donnera lieu à une nouvelle résistance que Ton trouvera dans les Tables et que Ton décomposera en deux: autres forces horizontale et verticale. Les intensités de ces deux forces s'obtiendront, d'ailleurs, en les considérant, ainsi que leur résultante, comme proportionnelles aux vitesses acquises déjà déterminées, Puis on cherchera le petit degré de vitesse dont la vitesse horizontale s'est accrue ou diminuée au bout d'un temps petit, égal au premier, par la nouvelle composante horizontale a la résistance; on en fera de même dans le sens vertical, en prenant pour force motrice le poids de la bombe augmenté de la composante verticale de la nouvelle résistance. On voit que de celte manière on parviendra aux vitesses acquises au bout du deuxième petit temps, tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical. En continuant ainsi on déterminera la loi de toutes les vitesses acquises, ainsi que tous les espaces parcourus. Au moyen des espaces parcourus simultanément suivant les directions horizontales et verticales, on construira la trajectoire de la même manière qu'il a été procédé dans le vide. Quant aux espaces réels décrits , ils serviront à faire connaître le développement de la trajectoire.
ïfOl'VEUF.IYT ut)* COttrS au tu in HT* wf,
S6, Le travail de forces quelconques faisant tourner un corps autour d f un axe est réduit à celui de leurs composantes dans un plan perpendiculaire à cet use. — Le principe démontré (2 L * partie, 1%) du travail des forces sur un corps peut s'étendre à des cas quelconques. Nous allons l'appliquer à celui où un corps tourne autour d'un axe fixé et lie invariablement à ce corps. Imaginons une force R 5 'exerçant en un point A (fi<j. 7'2) d'un corps qui
tourne autour de LM , et décomposons cette force en deux autres , l'une Q parallèle a LM, et l'autre P dans un plan perpendiculaire à cette môme droite et passant par son point d'application A. On remarquera que P est la projection de la force R dans ce plan , et que les composantes de cette dernière peuvent s'obtenir par le procédé indiqué (2* partie, 10), En agissant de la même manière à l'égard des autres forces appliquées au corps T on les réduira a deux groupes dont l'un se composera de forces parallèles à l'axe et l'autre de forces situées dans des plans qui lui sont perpendiculaires; et de plus la somme des quantités de travail de ces deux groupes sera précisément égale au travail total des forces données. Or, le travail du premier groupe est ég-al au produit de la résultante des forces parallèles qui le composent multiplié par le chemin que parcourt le corps selon leur direction * c'est-à-dire dans le sens de l'axe 5 et comme le corps ne peut cheminer sur cet axe auquel par hypothèse il est Lié invariablement, on voit que le chemin décrit par les points d'application des forces parallèles est mil , et qu'il en est de même à l'égard de leur travail, Ainsi, le travail total des forces données se réduit, en définitif, a celui de leurs composantes, ou de leurs projections dans des plans perpendiculaires â Taxe de rotation et qui passent par leurs points respectifs d'application.
57. Travail des forces qui font tourner un corps autour d'un aire. — La quantité de travail des forces appliquées à un corps qui peut prendre un iiouvemcnt de rotation se réduisant à celle de leurs projections sur des plans perpendiculaires à Taxe, il reste encore à déterminer le travail de ces dernières* Soient P (fig, 73) l'une de ces composantes, X son point d'applicatian sur le corps , et C le point où Taxe coup© le plan perpendiculaire qui contient la composante P. Abaissez du point C la perpendiculaire CI) à AP , et observez que Ton a démontré ($° partie, 17) que la quantité de travail d'une force est toujours la même, quelque soit le point sur sa direction , dont on considère le chemin parcouru. Ainsi , la quantité de travail de la force P, estimée d'après le chemin du point D ( est la même que pour le point A. Or, le point D décrit dans un très-petit temps t un arc S dont CD est le rayon. Ainsi, la quantité de travail de P sera P X S< Mais on n'a pas besoin de mesurer immédiatement pour chaque composante le petit arc que décrit le pied de la perpendiculaire abaissée de l'axe sur sa direction, parce que quand un corps tourne, tous les points qui lui sont attachés invariablement, décrivent simultanément des angles égaux, et par suite des arcs proportionnels à leurs distances de Taxe. Eu appelant, par exemple. S' Tare Jécrit par le point D' autour de C, on aura
s : S' ;: cd ; CD';
