S = S' X CD

en appelant r la grandeur de la perpendiculaire CD, et désignant Tare de CD' par S t t afin de se souvenir que cet arc a pour rayon l'unité T on aura enfin

Pour une autre composante P' dont la perpendiculaire abaissée de Tare a pour longueur r\ on trouverait do même

S' = rS' ( .

Ainsi , les quantités de travail des composantes perpendiculaires à Taxe sont P X r ^ t et P X r 'Sp et Ton remarquera que les produits P, r et P . t* ne sont que les moments de ces composantes. Donc , le travail des composantes, et par suite celui de la force donnée qui lui correspond , est égal à Tare commun S, multiplié par le moment de la composante. Sachant en outre que le travail total des forces données est é{jal à la somme des travaux de celles qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des travaux de celles qui agissent en sens contraire - on en conclut que leur travail total pour faire tourner un corps est égal à l'unité de distance de l'axe, multipliée: parla différence de la somme des moments de leurs perpendiculaires à Taxe et qui font tourner le corps dans un sens, et de la somme des moments de ces mêmes composantes qui font tourner le corps dans l'autre sens.

o"8. Équilibre d'un corps autour d'un axe. — Si les forces données se font équilibre autour de Taxe, leur travail total est nul , ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que la somme des moments des composantes perpendiculaires à l'axe qui agissent dans un sens, est égal à celle des moments des composantes qui Font tourner le corps dans un sens opposé,

f5 / ). Extension du principe des forces vives au mouvement de rotation. — Lorsque des forces sont appliquées à un corps qui tourne autour d'un axe de rotation, le mouvement qu'il prend ne peut être que perpendiculaire a cet axe; si les forces ne font pas équilibre, le mouvement s'accélère ou se retarde, et il naît, sur chaque partie du corps > des forces d'inertie qui agissent dans la direction du mouvement, et dont les quantités de travail forment une même somme que celles qui sont développées dans le même temps par les forces motrices. Quand tous les points du corps sont animés de vitesses simultanées qui sont égales , rien n'est plus facile que d'évaluer le travail total de l'inertie pendant un intervalle de temps quelconque : il est égal à la moitié du produit de la masse totale du corps , multipliée par la différence entre les carrés de la vitesse commune qui a lieu au commencement de l'intervalle et de celle qui a lieu à la fin. Mais, lorsque toutes ces parties sont animées de vitesses différentes en même temps (et c'est ce qui arrive du m un moment de rotation;, \\ faut tttlunet. a\i ^\M\\w\ttmïiUl «t

Ma fin de l'intervalle, la force vive de chaque partie du corps, faire la somme de toutes celles que possèdent ces parties au commencement de l'intervalle, et la somme de toutes celles que ces parties possèdent à la fin; puis retrancher ces deux sommes Tune de l'autre pour avoir l'accroissement total des forces vives. La moitié de ce résultat étant le travail de l'inertie, et ce dernier devant être égal au travail développé par les forces données, ou plutôt (2 e partie, 57) par leurs composantes perpendiculaires à l'axe, on peut dire que dans tout mouvement de rotation d'un corps, le travail des composantes' perpendiculaires à Taxe de rotation est égal à la moitié de l'accroissement des forces vives du corps. Afin de tirer parti de cette relation, il faut une méthode pour obtenir la somme de toutes les forces vives que possèdent au même instant les parties d'un corps qui tourne autour d'un axe de rotation.

60. Méthode pour estimer la force vive totale d'un corps qui tourne autour tTunaxe. — Considérons, par exemple, une petite partie m (fig. Ih) située a une distance r de l'axe de rotation LM. Soient Y la vitesse qu'elle possède

à tm instant quelconque , p son poids ; m sa masse , ou - ; la force vive de

cette partie sera - X V 2 , ou m X V 2 . Si l'on en fait autant pour toutes les

autres parties et qu'on ajoute toutes les forces vives qui ont lieu dans un même instant, on observera que la vitesse V de chaque partie différera selon sa distance r à l'axe. Elle lui sera d'ailleurs proportionnelle, attendu que toutes les parties du corps tournent simultanément; en un mot on pourra trouver les vitesses comme les petits chemins simultanés décrits. Or, on a vu que S étant le chemin décrit par la partie m,

on a • S = r X Sr

Divisant cette égalité par f, ou par le petit temps employé à décrire S,

on tire — = r X —•

On sait que la vitesse, dans un mouvement quelconque, est égale à un trèspetit chemin du mobile, divisé par le temps employé à le décrire. Ainsi,

V=— . On aura de même -i=r V t . La vitesse V 1 , qui n'est autre chose

que la vitesse relative au chemin S t , ou à celui qui est à l'unité de distance, est ce qu'on nomme vitesse angulaire du corps. Enfin , de la rela-

tion — = r X ~ on ^ re cetle autre , V = rV , qui indique que la vitesse

d'un point quelconque possédant un mouvement de rotation, est égale au produit de sa distance à l'axe par la vitesse angulaire du corps. Par conséquent , la force vive de la partie m du corps sera mr 2 V^. La foxcfc V\n^ svmultaoée de h masse m' serait de même mV 2 V^. Eviun , U sovftvufc <ta\.o\*te*

43i DEUXIÈME PARTIE.

ces forces vives, c'est-à-dire la force vive totale, sera, à caose que V t 2 est facteur commun, V L 2 (mr 2 -j- m'r 1 + m"rt f2 -{- «,..), Hemarquons que si le mouvement vient à changer ? il n'y a que la vitesse angulaire V t qui varie,

tandis que le facteur ,*.... mr 2 -f- tnV 2 -]- trt'V 2 -f- * . . ,

se reproduit encore dans l'évaluation de la nouvelle force vive. Celle quantité, que les géomètres ont désignée par moment d'inertie, je rappellerai I, eu sorte que la force vive du corps devient V, 1 XI- ûonc. la force vive d'un corps qui tourne autour d'un a.re, est égaie au carré du produit de sa vitesse angulaire, multiplié par son moment d'inertie. Supposes maintenant que par suite d'une accélération causée dans le mouvement, la vitesse angulaire V f soit, au bout d'un certain intervalle de temps, devenue Y/, la force vive é ce dernier instant sera Y/ 3 X ïi parce que \ ne dépend nullement de la vitesse* On aura donc. ...-IX 'i — 1 X ^ \ 2 pour l'accroissement de force vive produite pendant cet intervalle , lequel doit être égal au double des quantités de travail des forces données, ou même au double de celles que produisent leurs composantes selon des plans perpendiculaires a Taie, Supposons encore que ces composantes soient réduites à une seule force F* et que le chemin estimé dans sa direction, et parcouru pendant l'intervalle de temps que Ton considère, soit b% on aura

I X V^ IX V t 2 = 2FE.

61. Détermination du mouvement d'un corpr qui tourne et qui est sollicite par -une farce, — k l'aide du principe précédent on est à même de trouver l'intensité de la force motrice qui fait tourner un corps, quand on connaît Fa vitesse angulaire de ce corps à deux instants, et le chemin décrit par le point d'applicalion de la force pendant l'intervalle qui sépare ces instants. Réciproquement , si une force analogue a la précédente est donnée, ainsi que le chemin donné par son point d'application, on peut conclure l'accélération de la vitesse angulaire du corps. Supposons, par exemple, une rou montée sur un arbre horizontal et qui tourne autour de son centre (Gg. 7b") ; uu poids P est suspendu à une corde enroulée autour de l'arbre. On demande la vitesse que la roue prendra, lorsqu'à partir du repos, la corde ou le poids sera descendu de la hauteur H, et par I le moment d'inertie de la roue ; J X V ( 2 sera la force vive acquise et on aura

IXV/=2PXH,

2PXH

d'uù

et par snite ,

B$, Application aux volants. — Un volant consiste dans une roue ou pièce qui tourne autour d'un arbre htmtonla\ eV àoi\l Vft^&wta twtat

tenues a une assez grande distance de t'axe de rotation, sont liées par des bras à ce dernier. Imaginons que des forces soient appliquées à cette roue entre deux instants pour lesquels la vitesse angulaire du mouvement soit successivement V t et V ( ' ; il faudra que l 'accroissement de la Force vive de la unisse du volant soit égal au double du travail total des deux forces, ou

ue Ton ait

que i on at ou

1(V* — V l =J=2FE 1 2FE

qu

ce qui donne la différence des carrés des vitesses. Si ta quantité de travail

développée parles forces demeure la même pour l'intervalle de temps com-

cis entre les instants où la vitesse angulaire du volant devient V ( et Vy et

2FE e Ton augmente son moment d'inertie 1 , la fraction — - — diminuera, et

par conséquent ces vitesses angulaires différeront d'autant inoins. Et, comme le moment d'inertie est en raison composée et de la masse du volant et de la distance à laquelle cette masse est rejetée loin de cet axe, on voit qu'il est toujours possible de disposer ce volant de manière que le mouvement soit très-peu irrégulier, lors même que la quantité totale de travail développée par les puissances serait très-grande. Remarquons encore que si les puissances agissent entre elles de manière qu'elles accélèrent le mouvement, cet excédant de quantité de travail devient une force vive qu'emmagasine te volant. Si , au contraire , de nouvelles résistances surviennent et que Je mouvement se rel en tisse, l'inertie du volant a 'ajoutera au travail des forces qui favorisent le mouvement pour vaincre ces résistances. Ainsi, l'utilité du votant consiste à absorber l'excès du travail de la puissance sur la résistance pour le restituer ensuite a la puissance, quand le travail de celle-ci devient inférieur. Aussi y a-t-il certaines machines où sans un volant le moteur ne saurait faire marcher f outil. Si, par exemple, un moteur est destiné à faire marcher une scie, il est évident que le travail de cette dernière n'est pas le même pendant sa montée et pendant sa descente t parée ijue la seie ne mord dans le bois que quand elle descend. Ainsi le travail du moteur, supérieur à celui de l'outil pendant une demi-oscillation , doit lui devenir inférieur pendant la demi-oscillation contraire. Dans le premier cas le volant s accélère et absorbe de la force vive; dans l'autre cas, au contraire, cette force vive est restituée et ajoutée à celle du moteur 1 pour vaincre le travail de la résistance devenu alors plus grand.

63. Distance de l'inertie d'un corps qui tourne autour d'un axe, — On sait que si une masse m reçoit dans un très-petit temps t le degré

de vitesse v, Ta mesure de la force d'inertie /"est — - — -* Vqut uw^ ^wvvfc

masse m' on n'aurait /> = - — , et/" = - — . Si de plus les masse*

m, *n', m", font partie d'un même corps qui tourne autour d'un axe, leurs petits degrés de vitesses respectifs sont évidemment proportionnels à leurs distances r, r', r". Donc, en désignant par v x le petit degré de vitesse imprimé à l'unité de distance de cet axe , on a

v = rv x , v = r r v x , r" =t r"v { , d'où

f=«r X-^-, f = m'f X^-, et f' = »"r" X ^ , • . . .

Mais si cet accroissement de vitesse angulaire v x a été produit sur le corps par la force motrice F perpendiculaire à l'axe et appliquée à une distance R de cet axe, cette force est la mesure de l'inertie du corps et doit faire équilibre à toutes les forces d'inertie partielles/',/*,/ 1 ", ... * en sorte que le moment FR sera égal à la somme des moments /r, f r\ f r" -J- . . . „ Substituant à /,/*, /",... .

leur* valeurs «rX —, «V X -j, m"r" X t 1 , .... on aura enfin

FR = S ( mf ! + m V2 J »"f"2),

<hi FR = £ X I.

Donc, le moment de l'inertie totale du corps qui a un mouvement de rotation est égal au moment d'inertie de ce même corps par rapport à l'axe , multiplié par le quotient du petit degré de vitesse angulaire imprimé et du petit temps pendant lequel ce petit degré a été communiqué. Malgré l'analogie qui existe entre le moment de l'inertie d'un Corps, et ce que noire avons nommé son moment d'inertie , on reconnaît qu'il ne faut pas les confondre l'un avec l'autre. La même équation

nous apprend que quand on connait la force motrice F qui imprime à un corps un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire à sa direction, on trouvera à chaque instant le petit degré de vitesse angulaires^ communiqué , pourvu que Ton calcule le moment d'inertie du corf rapport à l'axe. De là, il est possible, au moyen d'une courbe qui a p\| abscisses une suite de petits temps t égaux, et dont les ordonnées sont vitesses acquises, de déterminer la loi de ce mouvement.

64. Théorème sur le moment d'inertie d'un corps par rapport à un ax quelconque. — Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe que conque , moment que , dans tout ce qui précède , nous avons représen par la lettre I , n'est autre chose que la somme des produits des divers

es qui composent le corps , multipliée par le carre de leurs distances spectives à l'axe. De tous les moments dîner tie d'un même corps, les plus faciles à obtenir sont ceux que Ton prend par rapport à un axe qui passe par son centre de gravité. IL est donc important de trouver le moment d'inertie par rapporta un axe quelconque, au moyen de celui qu'on déter^ mine par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité. Soient GO ( fîg. 73) ce dernier axe, LM un axe quelconque parallèle à G II, m une petite masse du corps GKH par lequel nous imaginerons un plan perpendiculaire à ces deux axes qui le coupe eu a et en h* Formons le triangle amb y et abaissons du point m la perpendiculaire md à ab 7 on aura , d'après la propriété connue du triangle,

(ra&) 2 = {ma} 2 +a& a + (2aj& yi ad).

Désignant par r la distance mb du point m à l'axe quelconque XM f par r t celle ma du même point à Taxe GH du centre de gravité, par K la distance constante ah des deux axes qui est encore celle du centre de gravité à Taxe LM , et par d la distance ad du point M au plan mené par GH perpendiculairement à celui qui contient les deux axes : l'équation précédente devient

fa«r,+K*4î£.rf 1

multipliant par la niasse m T

eur d'autres masses m\ m ,f on trouvera

mf . r'î = m f t r{*Jrm? - K* 4 2K . t*' . cf , W . r" 1 = «V* + W . K» + SK . m" 6 d'\ joutant toutes ces équations terme à terme, et appelant I le moment nertie mr 3, -\- mV s 4 mV 3 par rapport à Taxe quelque LM , et I, le mont d'inertie turf 4 m'r t n 4 m rf r{ n . . • . par rapport à Taxe G1I qui sse par le centre de gravité, on arrive à cette dernière relation , tm I ( -î- K 2 (m + m' -f- m" ) 4 2K {m .d 4 m' , d f 4 wf* , d").

m 4 m ' 4 m '* "f" ■ * * * est * a ^^sse totale du corps ;

d4- *»' * d' -\- m" . d" 4 ■ * - * e3t ' a somme des produits de chaque tuasse partielle par sa distance à un même plan perpendiculaire à celui des axes , on bien celle des moments de ces masses par rapport à ce in, ou bien encore le moment de la masse totale M par la distance du e de gravité au plan- Mais le centre de gravité du corps est situé sur GE et par conséquent aussi dans le plan de ces moments ; donc, } uîgtauce à ce plan est nulle, et il en est de même de la somme 4 d»' - d f 4 m ' f ■ d" -\- , , t * Donc la relation précédente se réduit tre,

Ainsi, le moment d'inertie d*un corps pris par rapporta un axe quelconque est égale au moment de ce corps pris par rapport à un axe parallèle qui passe par son centre de gravité , augmenté du produit de la masse de ce corps t multipliée par le carré de la distance de son centre de gravité au premier axe* U résulte de ce théorème que sî tes distances des diverses molécules d'un corps à son centre de gravite sont petites comparativement à celles qui séparent ce centre de l'axe de rotation , on pourra tout simplement prendre pour le moment d'inertie le produit de la masse du corps par le carré de la distance de son centre de gravité à Taxe. Enfin, si Ton multiplie les deux termes de l'égalité l 5=3 I ( -|- MK 2 par le carré de la vitesse angulaire V t avec laquelle le corps tourne autour de Taxe extérieur LM, on aura

Or j V, 2 X I est l a force vive possédée par le corps; \ { 2 est celle qu'il posséderait s'il tournait autour de Taxe parallèle passant par le centre de gravité avec la même vitesse angulaire V l ; MK 3 Vj 3 est la force vive du mémo corps en le supposant concentré à son centre de gravité. Donc la force vive d'un corps qui tourne autour d'un axe est égale à la force vive de ce même corps concentré à son centre de gravité , augmentée de celle qu'il possc derait s'il tournait avec la vitesse angulaire qui lui est propre autour d'ui axe parallèle passant par ce centre* Enfin, quand les dimensions du cor] sont très-petites par rapport au centre de rotation, ou que ï t X ^ 2 es * n gîigeable par rapport à I X Vf, on a simplement I X V, 2 = MK*V| â c'est-à-dire que la force vive d'un corps est égale au produit de sa masse dn carré K-Vf de la vitesse de son centre de gravité.

G5. Moment d'inmtie aVnn corps par rapport à ses volumes partiels. — Li moments d'inertie dont il a été jusqu'ici question sont relatives aux mas: partielles m, m\ W . - , . d'un corps* Or si le corps est homogène et qi Ton désigne par D sa densité ou le poids d'un mètre cube de la matière ce corps, par o, a\ a" le volume des masses mm, m\ ", . • . » ces di

. . . . DX* DX«' PX^ meres sont égales a , — - ,

parce que les poids

ces masses ne sont que le produit de D multiplié par leurs volumes respec tifs- Ainsi , le moment d'inertie mr 1 ~|- mV?^-, M . pourra être mis sous cett< autre forme

B(«f* + *va-f «V*-|- ),

le moment d'inertie du corps par rapport à son volume étant or^-f-aV 2 -

o" r" 2 • ... Il suffira de le multiplier par la densité du corps divisée

la gravité g pour en conclure le moment d'inertie par rapport à la mas:

66. Moment d'inertie de divers corps par rapport à leurs volumes*

ou sim-

allons maintenant indiquer divers moments d'inertie de volumes tout calculés.

1° Le moment d'inertie d'une barre (fig. 77) dont la longueur est a, pris par rapport à un axe passant par son milieu et qui lui est perpendiculaire , est y» <**•

2° Le moment d'inertie d'un cylindre droit à base circulaire ( fig. 78 ) dont le rayon est r , et c la longueur parallèle à son axe , est , en nommant

«• le rapport 3,1-4:2, ou -=- , de la circonférence au diamètre , -^cr*. 7 à

3° Celui d'une jante ou d'un anneau rectangulaire concentrique à l'axe

( fig. 79 ) et dont a est l'épaisseur parallèle à cet axe , 6 la longueur dans le

sens du rayon , enfin r le rayon moyen , est %irrab l r 2 -|- -j J ,

plement âsrr.ao.r 2 , à j^ près , quand ô est moindre que { r.

4° Celui d'un segment spbérique pris par rapport au diamètre passant par

le milieu de ce segment ( fig. 80 ) , r étant le rayon de la sphère , et f la

\ flèche du segment , est «

, *f* ( --r* —/'• 4- — /* )• ^ e moment d'inertie de la sphère entière

par rapport à un de ses diamètres est y^-a- . r 5 .

5° Celui d'un cône droit à base circulaire (fig. 81) dont r est le rayon de

la base et a la hauteur , pris par rapport à cette hauteur comme axe , est

TTr^r*. Par conséquent celui d'un tronc de cône droit dont a est la hauteur, r et r' les rayons de la grande et petite base , pris par rapport à l'axe,

sera

6° Le moment d'inertie d'nn ellipsoïde , en nommant a , o , c (fig. 82) ses

trois axes , et E son volume = — wdbc, pris par rapport au diamètre a ,

esty^ + c 1 ).

7° Celui d'un parallélipipède rectangle dont les trois côtés sont a,b,c (fig. 83), pris par rapport à un axe passant par son centre et parallèle à

l'arête a, est -r^ abc (b 2 + c 2 ) ; le moment d'inertie étant pris par rapport à une droite parallèle à a et passant par le milieu de la face qui a o et

a pour côtés , est —^ abc (o 2 «^J- 4c 2 ).

8° Celui d'un prisme droit à base de trapèze ayant b , b' ifo %V\ \^^

plus grand et Je plus petit côte parallèles, û pour hauteur perpendiculaire à la fuis sur tes milieux de ces côtes ; ce moment, pris par rapport à un axe passant par le» milieux des grandes bases b des trapèzes et parallèle aux arêtes a , est

ac

en sorte

ïrte

Quand b et 5' sont moindres que -^ c s on peut né, que le moment d'inertie devient

9* Si Ton remplace les trapèzes du prisme ci-dessus par des segments de paraboles» dont c (%, 85) est la longueur du grand axe, b la corde perpendiculaire à cet axe qui termine la parabole , le moment d'inertie par rapport à une droite parallèle aux arrêtes a du prisme et passant par le â , /3. 6. 6* + 16c 1 \

milieu de b est

abc I ■

Quand b sera moindre que — c l'on prendra

fc.c 5

auprès.

Ce dernier article est en partie relatif aux bras des balanciers , etc. , dont la forme doit approcher de celle de la parabole, pour offrir une égale résistance dans tous les points,

67, Application des moments d y inertie. — Par exemple, dans le cas d'un ma teau qui tourne autour d'un axe O (fig. 86), et dont P serait le poids de la tête j R la distance à Taxe de son centre de gravité , on pourra (2° partie, 64), attendu que les dimensions de celte tète sont ordinairement assez

P faibles à l'égard de la distance R, prendre— . R 2 pour la valeur approchée

du moment d*inertîe. Quant à celui du manche, on l'obtiendra immédiate" tnent d'après le résultat (7 n ) ci-dessus , puisque sa forme est à. peu-près celle d'un parallélîpipède rectangulaire, tournant autour d'un axe parallèle a Tune a de ces arêtes et passant par le milieu b de son épaisseur- En prenant donc c pour sa longueur et nommant P son poids, R' la distance de son centre de gravité à l'axe, D sa densité 1 son moment d'inertie à cause de D' X *fo> == P' sera

La recherche du moment d'inertie se simplifie pour le volant , en remarquant que toutes ses parties sont rejetées à une distance de Taxe qui est

«ensiblement constante. Ainsi , en appelant R le rayon moyen du vola ht, les distances r, r', r". . . . des masses m, m\ m" à cet axe seront égales à R , d'où

I = X R** Qnant à la force vive du volant dont V est la vitesse an-

p claire , elle est exprimée par le produit I X V, 2 ou par — X R 2 X ^, 2 .

Pour avoir la vitesse angulaire du volant , on comptera le nombre de tours

qu'il fait dans un temps déterminé ; on multipliera ce nombre par 2sr , ou

par -=- ; enfin , le quotient de ce produit , divisé par le nombre de secondes

contenues dans la durée de l'observation , ne sera autre chose que la vitesse angulaire. Supposons que V l soit, de S m pour un volant dont le poids P est 200 kilogr. et le rayon moyen R est 2 m , on aura , en remplaçant

g par 9 m ,81 pour l'expression du moment d'inertie q-^-t X * = 720, et pour

celle de la force vive , 720 X 9 m = 6480 , dont la moitié représente une quantité de travail de 3240 kilogr. absorbée par l'inertie du volant et restituée ensuite lorsque la puissance cessera entièrement d'agir.