TROISIÈME

perpendiculaire à sa longueur, les intervalles rectangulaires qui séparent i sections entre elles deviennent des trapèzes, de telle sorte que la petite Ion» gueurpç de fibre située du côté de la partie convexe DE s'allonge, et que la petite longueur r§ de fibre située dit côté de Ta partie concave FG s'accourcit. Il y a donc une fibre intermédiaire et intérieure qui ne s'est ni accourcîe ni allongée; on nomme cette dernière fibre invariable* Duhamel a reconnu, en effet, par expérience, que pour une pièce horizontale fléchie, les fibres su périeures s'allongent et les fibres inférieures se refoulent directement, II a scié la pièce parle bas jusqu'à moitié de son épaisseur environ, et après avoir chassa un coin de bois dans l'intervalle du trait de scie, il a vu que la résistance de la pièce n'était nullement altérée, et qu'elle commençait à diminuer dès que le trait s'élevait aux trois quarts de L'épaisseur. En observant que chaque élément de fibre compris entre deux sections consécutives de la pièce s'allonge ou s'accourcit d'autant plus que cette fibre est plus éloignée de la fibre invariable, il est naturel d'admettre que ces allongements ou accourcïssements sont proportionnels aux distances de chaque fibre par rapport à la surface de la fibre invariable. De plus, la résistance de chacune d'elles à la flexion est proportionnelle non-seulement à suu allongement ou à son aecourcissement (â e partie, 78 et 74), mais encore à sa section élémentaire. Ainsi, chaque résistance d'un élément de fibre est proportionnelle au produit d\in élément de la section de la pièce et de là distance de cet élément à la surface de la fibre invariable; car cette distance est proportionnelle à l'allongement ou à raccourcissement. Toutes ces résistances partielles étant sensiblement horizontales à cause du peu de flexion qu'on suppose à la pièce, et par conséquent parallèles, ont pour résultante une valeur proportionnelle à la somme des produits de chaque élément de la section transversale, multiplie respectivement par sa distance à la surface de la fibre invariable^ ou bien encore au produit de la section entière et de la distance de son centre de gravité à celte surface (2° partie, 42), Mais, comme le mouvement dû à la flexion ne peut s'opérer que dans le sens de ta force P qui l'occasionne, il faut nécessairement que la résultante des résistances soit nulle d'elle-même, ou que la fibre invariable pas se par le centre de granité de la section transversale de la pièce. Il faut de plus que le travail total de toutes les résistances partielles soit égal au travail de la force Pqui a produit la flexion, ou au produit P X CD , ou P X /"• L'abaissement/ de l'extrémité libre de la pièce est ce qu'on nomme la pèche de flexion* Or, je remarque que si on examine seulement chaque travail de la résistance des portions de fibres comprises entre deux sections consécutives prêt qsj on voit qu'il est proportionnel au produit de chaque section élémentaire transversale d'une fibre et du carrédeson allongement ou accomcissement (3° partie, 73et 74), ou même encore au produit decliaque élément de la section totale multiplié par le carre de sa distance à la surface de I.» fibre invariable. Donc, enfin, le travail total des résistances des fibres est

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proportionnel à la somme des produits de chaque élément de la section de la pièce multiplié par le carré de sa distance verticale au centre de gravité de la section entière ; en un mot, il est proportionnel nu moment d'inertie de cette section par rapport à un axe horizontal qui passe par son centre de gravité, et qui est situé dans son plan. Enfin, comme ces distances constituent en quelque sorte f épaisseur verticale de la pièce, et que le travail de la résistance de celte dernière augmente avec les carrés de ces distances et même encore avec Taire transversale, on peut prévoir à l'avance que le travail de la résistance , ainsi que la résistance de la pièce, augmente comme le cube de l'épaisseur de la pièce. En égalant le travail P X /de la force appliquée au travail total des résistances des fibres, et en nommant I le moment d'inertie de la section transversale par rapport à un axe qui passe par le centre de gravité de la section, et dans le plan de cette dernière, E le coefficient d élasticité , et L la longueur de la pièce, ou trouve

' — e xi *""

Telle est l'expression de la flèche que produit une force P sur l'extrémité libre d'une pièce encastrée invariablement à l'autre bout , avant que cette pièce ne transmette Faction de celte force* Si an multiplie /par

P a X ^ 3 P T le produit -s — ™--p sera le travail consommé uniquement pour fléchir

pièce (1). Cette quantité d'action , qui est évidemment une perte dans le

travail des machines , étant proportionnelle aux cubes des longueurs et en

raison inverse du coefficient d'élasticité et du moment d'inertie de la section,

on voit qu'il y a dudésavantageàse servir de pièces trop longues, et qu'il y a,

au contraire, avantage à rendre le moment 1 d'inertie de la section le plus

»raod possible, ainsi que le coefficient d'élasticité. On parvient au premier

)ut soît en faisant Taire de la section transversale la plus grande possible, ou t

ce qui vaut mieux encore, en rejetant un grand nombre de ses points loin de

'horizontale passant par son centre de gravité. Quant au coefficient d'élasticité,

le tableau du n° 72 montre qu'il est plus considérable à l'égard du fer que du

bois ; aussi fait-on mieux , quand on le peut s de construire les pièces d'une

lactitoe en fer qu'en bois* L'augmentation qu'on vient de reconnaître si

convenable dans la section transversale d'une pièce , explique pourquoi une

pièce rectangulaire fléchît moins de champ que sur son plat. C'est encore ainsi

ju'oii justifie l'emploi des pièces dont îe profil a la forme d'une croix, ou qui

iont terminées par des côtes ou nervures.

76. application aux pièces carrées, rectangulaires , ou circulaires. — Nous

(i) La Talent* de la flèche et du travail Cûiuomrné par la flexion d'une pièce prismatique, a moyen du moment d'inertie de »a section trans w#ale T est le résultat d T uu etva^vUt *\k i résistance des matériaux qui àeveit être annexé à la deuxième pirtU.

allons rechercher la flèche et le travail consomme par une force verticale I* sur une pièce horizontale encastrée par un bout, et dont la section est successivement un rectangle, un carré, un carré posé parallèlement à ses diagonales et un cercle.

1° Pièce à section rectangulaire, — Soïta (fig. 896) la largeur horizontale de la pièce, b son épaisseur verticale, L sa longueur; le moment d'inertie I de la section Iranversale par rapport à Taxe horizontal passant par son milieu

est

d'où l'on tire

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