N4TURE DES SUBSTANCES

Coefficient

d'élasticité E,

par millim.

carré.

Valeurs

moyennes j

ou réduites.

Fil de cuivre *N®1-.. »...

SOOOO Î7900

eoeo

Fil de Laiton. ,

— d'acier. .•«,•.•.«.»

— de fer. ....... . . .

iTîorede verre» No 1. ..a.......... '

Pour te laiton , le fer et l'acier, ces nombres s'accordent très-bien avec les moyennes insérées dans la table du N" 298 ; et , ce qu'il y a de remar-

Îuable , le fer en fil continue (292) à donner ici un coefficient d'élasticité 7900i^it, un peu inférieur à celui qui se conclut des expériences sur les prismes non étirés ou passés à la filière.

Quant aux valeurs de E , relatives aux tiges de verre , elles sont , tout au plus , les I de celles ^ qui ont été déduites ^ au N» 267, du résultat des expériences de MM. Sturm et Colladon, expériences que ce dernier physicien se propose, au surplus , de répéter.Cette grande différence ne peut tenir évidemment qu'à des erreurs d'observation pu démesure, à moins qu'on n'admette , entre les verres, «ne diflférence de constitution élastique

DES RÉSISTAÎÎCES. 2i3

f23S), analogue à celle que présentent, eux-mêmes (293), les aciers, selon qu'ils sont plus ou moins trempés et recuits; et, comme les résultais des expériences répétées, de M. Savart, sur les premiers, s'accordent suffisamment bien avec la moyenne d'entre eux, on devra provisoirement adopter, pour le verre , cette moyenne qui réduira ainsi (242 et 267) à

^S^ =0,00000175 = t, et à ;~ 0,00000175= 0,00000263 ^\t,

les valeurs respectives des dilatations ou contractions linéaire et cubiquede cette substance , par atmosphère de traction ou de pression.

Questions particulières relatives à la résistance des matériau^..

301. Observations préliminaires, ^ous nous sommes beaucoup étendu , dans tout ce qui précède , sur ce qui concerne la résistance directe des corps à l'extension et à la compression , parce que ces notions non-seulement forment la base des plus importantes applications de la mécanique à la science des maehines et des constructions , mais encore sont indispensables pour bien saisir et apprécier le rôle que jouent , dans une infinité de circonstances , les forces d'élasticité et de ténacité, soit des molécules individuelles, soit de leurensemble constituant les divers corps solides en usage dans les arts.

En remplaçant ^ comme on le fait quelquefois, cette exposition circonstanciée des résultats de rexpérience,par des tableaux résumés qui ne con* tinssent que les moyennes générales relatives à chaque espèce de corps ^ en négligeant de les accompagner d'éclaircissements propres à en montrer le véritable esprit , ou le degré de précision et de certitude , quant aux di^ verses applications ,.nous eussions craint , dans une matière aussi grave « d'inspirer au lecteur une fausse sécurité , une confiance trop aveugle, dans les résultats, qui ne serait pas moins dangereuse sous le point de vue de la solidité, que sous celui de l'exagération même des dimensions et de la dépense. C'est dans un but semblable que nous croyons devoir fairesuivre ces données expérimentales, de quelques applications particulières, en ellesmêmes fort simples, mais qui nous offriront l'occasion d'appeler Tattention du lecteur sur divers faits d'expérience ou de théorie, qui ne sont point dénués d'ua certain intérêt ^ et qui eussent difficilement trouvé place dans un exposé général.

302. Des plus çrandes charges à faire supporter au3S piliers en maçonnerie. Demandons-nous d'abord quel est le maximum de la hauteur qu'il serait possible de donner à un pilier, cylindrique au prismatique , appareillé en pierres de taille, de Jaumont , en usage dans la ville de Metz (2S9} , afin d'être assuré qu'il ne s'afi^aissera pas sous sa propre charge.

Il est évident que les sections horizontales du pilier étant censées égales dans toute sa hauteur , il suffira de considérer (258) ce qui a lieu pour l'unité de surface de ces sections, sauf ensuite ( 264 ) à réduire les résultats dans la proportion indiquée par l'usage ou l'exemple des constructions existantes. Or nous voyons , par la dernière des colonnes du tableau du N°259, que le calcaire oolithique de Jaumont, de 1''' qualité, peut supporter, avant de rompre» une pression de ISOkU par centimètre carré ; et, par l'avant-deruière colonne, on trouve que son poids spécifique est 2,20; ce qui donne ( 3S ), pour sa densité ou le poids du mètre cube, 2200ku. UoQc, si nous nommons x la hauteur cherchée, en mètres , nous aurons pour calculer sa valeur

220«k.:rz= 1800000k:

286 MÉCASIQUE INDUSTRIELLE.

d'où Ton tireir=:818"^18, pour la hauteur qui produirait la rupture instantanée du pilier. Mais, à cause des motifs énumérés au N** 264^ on devra , dans une construction permanente, et attendu qu'il s*agit ici d'un assemblage de blocs dé pierres, réduire cette hauteur au sixième au moins, ou, pour plus de sécurité, au jôi c'est-à-dire à 82? environ, afin d'être assuré que les premières assises du pilier pourront supporter la charge des assises supérieures , d'une manière indéfinie , ou telle que l'indique l'expérience des anciennes constructions.

Si ce même pilier devait porter, en outre de son propre poids, une charge additionnelle de 70000'''^ par exemple, sur chaque mètrp carré, oa poserait réquation :

2200t Xx + 70000k = -V 1800000k = 180000 d'où l'on tirerait

hauteur un peu moindre que celle des piliers qui supportent le clocher dçi Mutte de la cathédrale de Metz.

.^03. Observations relatives à Célasticité des pierres. Il nous serait impossible, dans le cas actuel, de calculer le tassement (261) ou l'atiPaissement d'un semblable pilier sous la charge qu'il supporte ; mais nous ne devons point passer sous silence un fait qui s'observe sur le clocher dont il vient d'être parlé, fait qu'on peut également remarquer dans beaucoup d'autres, et qui prouve jusqu'à quel point les pierres, en général, sont douées d'élasticité : lorsqu'on met en branle la grosse cloche placée à la moitié environ de sa hauteur, et qui çèse près de llOOOkii, les oscillations des parties les plus élevées, situées a 85"> environ au-dessus du sol, sont tellement grandes,que c'est à peine si l'on peut s'y tenir debout.Des expériences, dans lesquelles on tiendrait note du nombre, de la durée des oscillations^ et qui seraient faites à l'aide d'un pendule ou d'un instrument à niveau, convenablement disposé, seraient très-propres à faire connaître l'étendue de ces excursions du clocher, de part et d'autre de la verticale; et elles mettraient ensuite à même de déterminer, approximativement, la compressibilité et le coefficient d'élasticité des matériaux qui constituent ce remarquable édifice.

On arriverait encore plus directement au but, si, lors d'une construction nouvelle, on se servait du moyen déjà indiqué au N*" 262, pour obtenir directement les accourcissements ou tassements éprouvés successivement par les premières assises d'une pile, en pierres de taille fichées, avec beaucoup de soin, en mortier ou ciment, dont on pourrait, dans tous les cas, négliger la faible influence, d'après les observations de M. Yicat.

Au surplus, les calculs ci-dessus supposent que les piliers, dont on avait à déterminer la limite de hauteur, étaient composés uniquement d'assises en pierres de taille bien dressées; mais s'ils devaient être simplement forementés en pareilles pierres, et que leur intérieur dût être garni en moellonnage, alors il conviendrait d'avoir égard à cette circonstance^ dans les calculs, et de réduire, suivant la proportion indiquée auN*" 264, la charge permanente à faire porter aux piliers dont il s'agit.

304. £>e h forme la plus avantageuse à donner aux piliers ou supports isolés des édifices. Le problème qui vient de nous occuper dans l'article précédent, donne lieu à une question fort intéressante concernant la loi suivant laquelle on doit agrandir l'aire des sections ou assises horizontales des piliers, pour que la charge qu'elles supportent soit la même en tous les points.

Soit (Fig. 49) ahdc une assise ou tranche très-mince d'un pilier en pierre.

dont ABDG représente le profil. La surface de la base supérieure, a&, de eelte tranche, aura à supporter tout le poids delà partie abBA du pilier, et de la surcharge en AB, s*il en existe. Celle de la base inférieure, cd^ aura à supporter les mêmes poids , plus celui de la tranche abcd que Ton considère; donc Taire de ed, devra surpasser celle de a5, de toute la quantité relative à ce dernier poids. Or, si, pour fixer les idées, nous supposons les différentes sections du pilier^ circulaires, et ayant leurs centres situés sur Taxe vertical IL, la tranche abdo pourra être considérée comme un petit trpnc de cône, ayant pour volume le produit de sa section moyenne, y»/», par son épaisseur ai^ mesurée sur la verticale du point a, c'est-à-dire

tr.mo^.ai ; «• étant égal à 3,1416, et o étant le centre du cercle moyen dont il s'agit.

D'un autre côté, si nous supposons qu'on projette verticalement le cercle ab^ sur le plan de la section cd, on verra que l'excès de cette dernière «ur ab, sera mesuré par une couronne circulaire ayant pour surface le produit de sa largeur constante ci, par la circonférence moyenne qui répond au diamètre mn^ c'est-à-dire ci.2^.fno. Donc, si nous nommons p le poids du mètre cube de la matière du pilier, et *=-VR (244 et 284), la charge permanente qu'on veut faire supporter, par mètre carré de surface, aux différentes sections horizontales de ce pilier, on devra avoir, d'après la condition indiquée ci-dessus^

jp.tr. mo , air=z k * ci . S** • ffio^

quelle que soit l'assise ou la tranche horizontale que Ton veuille considérer. En divisant les deux membres de cette égalité , par le produit «• . wo , qui en est facteur commun , elle deviendra

P . «10 . ai = 2A • Cl , ou mo = — .,

p ai

pi elle pourra, dans chaque cas , servir à calculer wo, quand le rapport de ci à at , ou l'inclinaison de la génératrice ac, sur l'axe IL, c'est-à-dire l'inclinaison de la tangente en w, à la courbe de profil du pilier, sera donné à priori, et réciproquement. Or nous allons voir que cela suffit pour qu'on soit en état de tracer cette courbe, de proche en proche , avec un degré d'approximation très-suffïsant pour la pratique.

Prolongeons, en effet, la direction deçà jusqu'à sa rencontre en *, avec l'axe IL du pilier ; la triangle cqi , semblable au triangle mto , donnera , par les principes de Géométrie connus,

oi ! Cl :; 0* : wo, ou mo x ^i = et x <>'• Remplaçant donc le produit mo . ai^ par sa valeur dans l'équation ci-dessus, et observant que ci devient facteur commun aux, deux membres , et peut être supprimé, oft aura

p . of = 2* : d'où Ton tire o* ==

P Ainsi la distance ot^ qu'on nomme la êoutangente de la courbe A»»C du profil , par rapport à Taxe IL , doit être une quantité constante et facile à calculer dans chaque cas.

Par exemple , dans celui de la pierre de Jaumont dont il a déjà été parlé (302) , on aura, en prenant le mètre pour unité ,

P = 2200k, A = ^ iSOOOOOk = ISOOUOta , et par conséquent

ee qui annonce que les inclinaisons des éléments de la courbe , sur

l*axe IL, ou la verticale ^ seront extrêmement faibles, et d'autant moindres que les rayons mo des sections correspondantes , seront eux-mêmes plus petits. D'après cette donnée, rien ne serait plus facile que de construire, de proche en proche, la courbe du profil AmC du pilier , soit en partant da sommet AB , s*il y a surcharge, soit en partant de la base CD , s'il ne doit point y en avoir. Sans nous arrêter à ces détails , auxquels le lecteur suppléera facilement, nous ferons remarquer que la courbe dont il s'agit est précisément celle que les géomètres nomment logarithmigne , parce qu'elle est telle que ses abscisses ol , prises par rapport au sommet I du pilier^ on t un rapport déterminé avec les logarithmes hyperboliques des ordonnées correspondantes (198). C'est ce qu'il est facile dç démontrer (1) à Taide de l'équation p .mo . ai = U . ci , trouvée ci-dessus , et de considérations géométriques semblables à celles que nous avons mises en usage dans les M"* 181 et 198 ; mais nous nous contenterons d'indiquer ici les résultats, pour ceux des lecteurs qui désireraient les appliquer en se servant de la table (N» IJ) , placée à la fin de ce volume.

Dans le cas d'une surcharge , de Q kilogrammes, placée sur le sommet de la colonne, on aura, en nommant &, le rayon Ai, de ce sommet, qui sera déterminé parla relation

jfe.T.i2=Q, d'oùi=% /A.

(i) Pour ft^eii oonTaincre, il n'y a qu'à tirer de Péquation p,moMÙz=2k,ci dont il s'agit ,

la valeur de ai^ égale à Paccroissenient rs de Tabsctase Ir de a, et à laquelle correspond

l'accroissemeut ci qu'a subi^ de a en c, l'ordonnée ar, de la courlie, qui peut être sutisti-

fuéeà l'ordonnée moyenne mo , dans l'équation ci-de«8U8, si l'on suppose l'intervalle os ou

rs infiniment petit. On aura ainsi

2k ci aiours= — X ^Ç p ar

ce qui montre que, pour obtenir l'abscisse entière k, il faudra faire la somme corres-

ci I

pondante des valeurs du quotient — ou dn produit—^, ci, relatives aui diflféreats accrois-

ar ar

sèment s infiniment petits, ci reçus, par l'ordonnée ar^ depuis A, jusqu'au point déterminé c, puis multiplier le résultat par le'facteur commun et constant — ; opération qui, ici encore, s'effectue approximativement, par la méthode du N<> 180; e'est-à-dire en calculant l'aire de la courbe qui a pour ordonnées les différentes valeurs de — , et, povi ^ ^ ^ ar

accroissements d'abscisses , les valeurs correspondantes de ci , qui sont les accroissements mêmes deK perpendiculaires ûu rayons ar de la colonne. Or la courbe dont il s'agit ne sera évidomment autre chose (181) que Thyperbole équilatére construite sur ces môrocs ordonnées et abscisses ; d'où il est aisé de conclure, d'après les observations du N° 198» qu'en effet , la longueur Ir ou I5 , des abscisses propres du profil de la colonne 9 ont les rapports indiqués avec les ordonnées correspondantes, ar ou c«, etc.

En général , on voit que , si la différentielle ou l'accroissement infiniment petit dy d'uDS quantité y , variable avec une autre s , dont elle dépend , doit demeurer proportionnelle

au produit — 'dl^r, de «a valeur inverse par l'accroissement correspondant dx de cette autre,

la première peut toujours être déterminée par l'aire d'une certaine portion d'hyperbole équilatére, ou par le logarithme népérien qui représente cette aire.

oI=— X%. -rî P *

et, dans celui où il n'existe pas de surcharge et où l'on se donne, à priori, le

rayon CL =• B, de la base du pilier, on aura, à l'inverse,

p mo

relations qui serviront à calcnler les distances ol et oLj répondant à un rayon quelconque mo^ au moyen de la table déjà citée.

Il est parfaitement évident, d'ailleurs, que tous les résultats qui précèdent sont indépendants de la forme, pleine ou évidée, des sections du pilier, pourvu que ces sections soient, pour les diverses assises, semblables et semblablement disposées autour de Taxe IL.

305. application particulière '^ limite de F élévation des édifices. Prenons toujours pour exemple, la pierre de Jaumont qui donne

P et supposons que le pilier doive porter une surcharge de 250000^ sur le sommet. On calculera le rayon 6, par la relation

Â;r62 = aSOOOOk, ou 180000k, 3,1 416.*^ = 230000 kil ; ce qui donnera

2ib à très-peu près. Mettant cette valeur et celle de—dans ravant-dernièredes

P formules du N^ 304, elle deviendra

Cela posé, demandons-nous à quelle hauteur, au-dessous de AB, se trouve

{>lacée la section mn dont le rayon mo = 2»,98 . On aura à chercher, dans a table (N* II), le logarithme du quotient de 2,28 et de 0,67, quotient qui est 3,404 environ ; on trouvera, pour celui du nombre 3,40 qui en approche le plus, en dessous, 1,22378 ; mais, comme le nombre proposé lui est supérieur de 0,004, et qu'une diflPérence de 0,01 , pour ceux de la table, en donne une de 0,00293 dans les logarithmes correspondants, nous de- Tons augmenter notre premier résultat des 0,4 de 0,00293, ou de 0,00117 environ ; ce qui donne finalement, pour la valeur approchée du logarithme de 3,404, le nombre 1,22495, ou i,225, avec une exactitude très-suffisante. Ainsi on aura

ol = 163m,64.1,225 = 200-,46.

On trouverait de même, les autres coordonnées de la courbe, soit dans le cas dont il s'agit ici, soit dans celui qui répond à la dernière des formules du N» 304.

La hauteur qui vient d'être trouvée paraîtra énorme, et néanmoins elle croîtrait indéfiniment, quoique lentement, avec mo: par exemple, pour mo 3s dix fois O'^.â?^ 6«,7, on trouverait :

ol = 163-,64.2,3026 =37e«,8,

toujours en se servant de la tablç ; ce qui semblerait prouver qu'avec de Part, il serait possible de donner à nos édifices publics, beaucoup plus de

iAb MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

légèreté et de hardiesse qu'ils n'en possèdent actuellement. Mais il ne faut pas trop se hâter de tirer de pareilles conséquences, du résultat de calculs fondés sur des suppositions plus ou moins abst,raites,et dans lesquels on ne tient pas compte de toutes les circonstances influentes, de toutes les chances de rupture et d'instabilité. Toutefois, ce ne saurait être un motif de négliger les indications de la théorie : lorsqu'elles peuvent s'accorder avec les prescriptions du goût et des convenances locales, elles conduisent toujours à des économies de construction qu'on n'oserait se permettre à prton, sans le secours du calcul.

d06. Observations relatives à la formé de quelques parties âes édifices des objets naturels. On peut croire^ sans trop s'aventurer, que des considérations dû genre de celles qui viennent d'être mises en avant, n'ont point été totalement étrangères à rétablissement dé quelques-unes des parties essentielles des édifices modernes, qui sont généralement constituées de blocs disjoints d'assez faibles échantillons , ou d'assises de pierres simplement unies par du mortier. La forme conique ou àonoïdale^ adoptée pour les colonnes isolées, notamment celle que le célèbre ingénieur anglais, Smeaton , a donnée à la tour et aux contreforts extérieurs du phare d'Ëddystone^nous semblent tirer leur origine d'idées plus ou moins analogues à celles qui viennent d'être exposées. A la vérité, les édifices isolés , du genre des phares, et surtout celui d'Ëddystone ^ dont le pied est violemment battu par les vagues de la mer, sont soumis à l'action de causes destructrices en apparence beaucoup plus puissantes que celles qui dérivent delà simple compressibilité des matériaux, et parmi lesquelles on doit particulièrement citer le choc de l'air en mouvement ou du vent^ dont nous apprendrons plus tard à apprécier l'influence , mais il y a cela d'heureux, que l'élargissement successif et rapide delà base des édifices, en raison de Taecroissement de leur hauteur , favorise la stabilité contre l'action de l'air et les causes d'ébranlement quelconques , avec d'autant plus d'efficacité que cette hauteur est elle-même plus considérable ^ dé sorte qu'en adoptant la forme logarithmique dont il s'agit, et qui, d'après l'observation déjà faite, s'applique tout aussi bien aux massifs pleins qu'à ceux qui sont évidés^ il est toujours possible de satisfaire, à la fois, à toutes les conditions de stabilité.

Au surplus, cette même forme s'observe également dans la structuré des tiges verticales des grands végétaux, notamment dans celle des arbres , donc le tronc, surmonté d'une tête épaisse, ofl^re presque toujours, une grande prise à l'action du vent, réunie à un grand poids. Le principe qui consiste dans ragrandissement progressif de la base des corps, semblerait donc être l'une des conditions d'économie que la nature s'impose dans ses œuvres, et dont elle ofl^re d'ailleurs beaucoup d'autres exemples non moins remarquables, dans révidement des tiges des roseaux et des graminées en général.

On vient de voir comment , dans un support isolé, composé de diverses assises indépendantes , la pression croissant du sommet à la base , il devient nécessaire d'adopter pour leur profit, une forme conoldale ou logarithmique. Mais il n'en est pas tout-à-fait ainsi des colonnes monolithes ou composées d'un seul bloc de pierre, supposées ou non surchargées au somàiet. Car, dans un solide homogène de cette espèèe, dont la forme serait, par exemple , cylindrique, la section de moindre résistance,' celle pour laquelle le renflement transversal serait le plus grand avant l'instant delà rupture, se trouve , d'après le raisonnement et l'expérience (240 , 238 et 281) , située tantôt vers le milieu de sa hauteur, lorsqu'on peut négliger son poids ])ropre, vis-à-vis de celui de la surcharge, tantôt un peu au-dessous de ce milieu , lorsqu'il devient nécessaire de tenir compte de l'influence de ce

DES RÉSISTAINCËS. 241

poids dans le cas de colonnes trës-élevées. Il en résulte que ce ne sont pas précisément les parties Toû«ines de cette base qu'il faut le plus fortifier, mais bien celles qui se trouvent situées un peu au-dessus, vers la section de moindre résistance dont il s'agit. Or celte observation, fort simple, donne une explication plausible des motifs qui ont pu conduire les Grecs , ce peuple si plein de goût et de véritable génie, a renfler le fût de leurs eolonnes suivant la forme de la conchoîde^ dont le tracé est bien connu des architectes , et qui se rapproche beaucoup de celle de la logarithmique, vers la partie élevée de la colonne, où elle a pour asymptote l'axe même de cette colonne. En général, on aperçoit que les formes, les proportions et les principales dispositions adoptées dans lès monuments de Tantiquité, ne sont point le résultatd'un pur caprice ou d'un simple esprit d'imitation, comme on pourrait l'admettre d'après un premier examen; mais qu'elles dérivent pour la plupart, de règles qui ont leur source dans les faits de l'expérience et la puissance du raisonnement. L'architecture gothique ellemême, si bizarre qu'elle paraisse, est fondée, comme on i*a aussi reconnu , sur les principes d'économie et de stabilité des diverses parties des édifices , combinés avec ceux qui dérivent des idées religieuses et mystiques de l'époque.

307. Calcul de l'équarrissage à donner aus support en bois. Considérons un poteau carré, en chêne, posé de bout, et qui doit supporter une portion connue du poids dont est chargé un plancher ou une construction supérieure quelconque. Supposons notamment que ce poteau , vertical, doive avoir 12p*** ou 3°*,90 de hauteur, et porter une charge de 28000''"»» à son sommet; cela posé, demandons-nous quelles sont les dimensions horizontales qu'il conviendra de lui donner, non-seulement afin de l'empêcher de rompre ou de fléchir transversalement, mais encore pour être certain que son élasticité ne sera aucunement altérée ; enfin demandons-nous aussi quel sera le tassement ou raccourcissement que sa hauteur pourra subir, et assignons-lui des limites convenables.

Comme nous ne connaissons pas, à priori^ le côté des sections horizon* taies de cette pièce, dont le rapporta la hauteur exerce ici (2G9), une in* fluence très-appréciable, faisons une hypothèse : supposons-le de 0'",50, ou égal à I environ de sa hauteur totale ; on trouvera d'après les observations decenuméro, que chacun des millimètres carrés de la section dont il s'agit, pourra supporter, d'une manière permanente, un poids d'au moins Ok^SO. Nommant donc of, le nombre, inconnu, des millimètres contenus dans le côté de la pièce, x^ sera celui des millimètres carrés contenus dans l'aire de sa section, et l'on aura, pour calculer x, la relation

0,3 :r2 = 28000k ; d'où s = i/93333 = 305,5 millim.

Mais ces 305,5 millimètres ne sont guère que le treizième de la hauteur de la pièce ; donc on devra augmenter de quelque chose l'équarrissage trouvé. Afin de le découvrir, on remarquera, toujours d'après le numéro 269, que, pour une telle proportion entre la hauteur et le côté de la section, la résistance doit-être supposée réduite aux | environ de 0k,30 ou à 0k,25 par milUinètre carré ; refaisant, en conséquence, les calculs dans

cette hypothèse, on trouvera^

or = 2 / 28000 = 334,6 millim. ; c'est-à-dire un équarrissage de près de ISp® de côté.

Pour calculer la quantité dont la pièce s'accourcira, on remarquera que, sous la faible charge de 0k^25 par millimètre carré, sa force d'élasticité ne saurait être aucunement altérée, et qu'elle peut-être supposée (236 et 269] la même, à peu près, que si les fibres se trouvaient allongées au lieu d'être acoourcies. On aura donc, d'après les ]N~ 27< et 275, la formule

P = 1200Afkilog. ,

242 M£G(\NIQUË INDUSTRIELLE.

de laquelle, en faisant P= 28000k, et A = (535)^ = H2200 millimètres carrés environ, on tire : i =0,00021 pour raccourcissement proportionnel de la pièce; ce qui donnefinalement, pour son tassement total, ^"'.Q.O^OOO^l = 0'»,0008 environ. Ce tassement est trop faible évidemment pour qu'il soit nécessaire des*en inquiéter dans les constructions, quand bien même on y comprendrait celui qui provient du refoulement inévitable des fibres aux deux bouts de la pièce, et qui ne peut guère être inférieur au premier, lorsque les faces n'ont pas été exactement dressées et dégauchies. Au surplus, s*il ne s'agissait que d'une construction provisoire^ et qui ne dût, par exemple, subsister que pendant le cours d'une seule année, on pourrait évidemment (270 et suiv.) diminuer, de beaucoup, l'équarrissage obtenu par ces calculs, et courir la chance d'un plus grand tassement des fibres sans compromettre la solidité de Tédifice.

Dans cette hypothèse , il n'y aurait certainement aucun danger (268 et 272) à porter jusqu'à lk,00 =| 4k,00, par millimètre carré de section, la charge absolue de la pièce que précédemment, on avait prise égale àOk,30 seulement, et, en répétant les calculs de tâtonnement ci-dessus, on trouvera finalement, ar =220 millimètres environ, attendu encore qu'ici l'épaisseur de la pièce n'excédant pas le t? de sa hauteur , on doit réduire la charge (269) à 0,6.1k,00=0k,60 à très-peu près.

308. Question relative aux effets mécaniques de la chaleur, Proposonsnous de rechercher quel est l'effort de traction qui serait exercé , par une barre de fer de S'", 5 de longueur, 60 millimètres de largeur et 30 millimètres d'épaisseur, contre deux supports invariables, dans lesquels ses extrémités auraient été solidement encastrées, à la température atmosphérique de 28<> centigrades, lorsque cette même température vient ensuite a s'abaisser à 10° au-dessous dezéro, c'est-à-dire diminue, en totalité, de 38o centigrades. On trouve, en premier lieu, d'après la table du N° 26, que l'allongement ou la dilatation, par mètre , étant de 0'",00122 pour 100» d'élévation de température , il sera de 38.0"», 0000 122 = 0»,000464, également par mètre, pour 38°, et, comme les contractions et dilatations correspondantes aux mêmes abaissements ou élévations de température, sont égales, on voit que O'^^OOOiB^ sera aussi raccourcissement que tendrait à prendre la barre, si elle était parfaitement libre. Mais, par hypothèse, elle reste allongée de toute cette quantité, par mètre courant de longueur, en raison de la résistance des supports ; elle les sollicitera donc en vertu d'un certain effort qu'on trouvera (236) par la formule

P = EAi kilog. ,

attendu que l'allongement dont il s'agit ne dépasse pas la limite d'élasticité naturelle du fer (298).

Dans cette formule d'ailleurs , on devra prendre A = 60 . 30 = 1800, E = 20000 (ibid.), si l'on adopte le millimètre carré pour l'unité d'aire de la section ; ce qui donnera pour l'effort P, attendu qu'ici t = 0,000464 ,

P = 20000 X 1800 X 0,000464 = 16700kil.

Par conséquent, si, au lieu d'être inébranlable, chacun des supports n'est susceptible que d'une résistance limitée , il cédera jusqu'à l'instant où cette résistance sera précisément égale à la force de traction correspondante de la barre , force que, pour un déplacement donné des points d'attache, on pourra calculer au moyen de la formule ci-desaus ou de celle-ci

P X âOOOO X 1800 1 = 36000000 t kilog.,

en ayant soin de diviser ce déplacement total, mesuré dans le sens de la

barre , par la longueur-entière de cette barre , afin d*en conclure Talion^ gement i , par mètre , qui entre dans la formule.

Quant au cas où , au lieu d*une contraction , la barre , déjà encastrée à ses extrémités , subirait une dilatation par suite d'une élévation ultérieure de température^ le petit nombre des données que Ton possède sur la résistance des métaux à la compression (281 et suivants) , même aux températures ordinaires^ ne permettrait pas de calculer^ avec une suffisante exactitude, les efforts qui seraient dus à cette dilatation, et qui pourraient être accompagnés, dans quelques cas, d'une flexion transversale, d'une altération moléculaire dont il deviendrait bien difficile de tenir compte dans l'état actuel de nos connaissances.

309. Remarques diverses sur r application du calcul à ces effets. Les calculs que nous venons d'exposer, donnent une idée de la manière dont on peut avoir égard aux effets mécaniques dus à l'application de la chaleur aux pièces métalliques qui entrent dans la constitution des édifices, et dont nous avons cité plusieurs exemples dans les préliminaires de cet ouvrage (2S). Les changements de température que nous avons eu à considérer dans ces calculs, étaient assez faibles , en effet , pour qu'il nous fût permis de supposer la résistance élastique de la barre à peu près constante dans les deux états. Mais , si la variation de température à laquelle se trouve soumise une pièce de fer, était capable d'amener un changement notable dans sa constitution moléculaire , si , par exemple , on prétendait appliquer ces calculs au cas des bandes ou frettes de roues , aux ceintures des dômes des grands édifices , etc. , pour la pose desquelles on fait usage d'une assez haute température, alors il deviendrait nécessaire d'avoir égard à ce changement d'état moléculaire , lors du refroidissement du fer , soit sous le rapport de l'affaiblissement de la ténacité provenant du recuit, soit sous celui de l'altération de l'élasticité qui résulte de l'étendue même des allongements ou des contractions subis par chaque pièce; et c'est à quoi on parviendrait, d'une manière approximative^ à l'aide des données de la table du N** 289 , ou d'une table analogue , si la loi des dilatations relatives à de hautes températures, était suffisamment bien connue. Or il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi ; et l'on sait , par les savants travaux de MM. Dulong et Petit , dans lesquels le platine , le fer et le cuivre notamment , ont été soumis à des températures de SOG"" centigrades , que les dilatations suivent une marche progressivement croissante , variable avec la nature et l'état moléculaire de chaque corps. Toujours est-il que les effets dus à la contraction et à la dilatation des métaux par suite des changements de la température , doivent être d'autant plus considérables, que ces changements le sont eux-mêmes davantage.

Quant aux allongements qui répondent à la limite de l'élasticité naturelle de chaque métal, on peut s'assurer, par la comparaison des nombres de la table du N* 298 , avec ceux qui sont rapportés en détail dans les traités de physique, et dont nous avons donné un simple extrait au N"* 26 , que , pour le plomb, le laiton et le fer ductile , ou recuit en particulier, ces allongements correspondent toujours a des températures inférieuresàlOO^'y et auxquelles par conséquent les calculs ci-dessus demeurent applicables. En effet , pour les métaux dont il s'agit , les allongements relatifs a la limite d'élasticité , étant respectivement de 0,00067 , 0,00135 et 0,00054 , on trouvera , pour les limites correspondantes de la température, les nombres 23^8, 69%8 et 46»,6 environ.

Remarquons , au surplus , que , si les résultats des expériences citées au N» 285, n'ont pas jusqu'ici permis de constater avec exactitude, les différences de ténacité dues aux variations de température , cela tient essentiellement aux nombreuses causes d'incertitude qui accompagnent le

phénomène de la rupture , et , surtout à I^impossibUtté d'opérer eonstam^ mont sur un même corps ou sur des corps identiques. Or ees diffieultés ne se présenteraient pas , si l'on se bornait à observer la loi des premiers allongements en deçà de la limite où l'élasticité s'altère^ et Ton ne saurait trop encourager les physiciens et les ingénieurs à entreprendre de semblaoles expériences, il serait possible , en effet , d'y tenir un compte exact des variations de la température , qui ^ pour les fils métalliques en partie euher, doivent, comme on Fa vu, exercer sur ces premiers ailoogements^ une influence très-comparable à celle des poids mêmes que ees fils supportent ^ et desquels on conclut spécialement les valeurs du coefficient d'élasticité.

A regard des bois , des pierres , et autres corps spongieux, od sait que Finfiuence des changements de la température peut être , en partie y masquée (il) par celle de Fétat hygrométrique de Fair, de sorte qu'il deviendrait nécessaire d'en étudier séparément les effets , si Fon tenait à une rigoureuse exactitude. Mais , comme la quantité d'humidité ou de vapeur d'eau, contenue dans l'air atmosphérique à l'état naturel, est assez étroitement liée à l'élévation de sa température, il suffirait, quant à Fobjet des applications ordinaires, de tenir note de cette dernière, dont les effets mécaniques, sur les pierres du pont de Sooiilac , ont été spécialeoaent signalés et étudiés par M. Vicat, dans un intéressant article inséré aux Annaleê des ponté ei chausàées,

SI 0. Formules et calculs relatifs à Tinfluence exercée par h poids des prismes sur leur résistance à l'allongement. Soit AB (fig. 50) , un prisme homogèoe , de longueur L et de section A , suspendu verticalement à un point fixe, A, et chargé à son extrémité inférieure, B , d'un poids Q; nommons D la densité , et/) = A . D le poids de Funité de longueur ou du métré courant de ce prisme. Considérons, en particulier, Fun de ces éléments , abcd , de longueur infiniment petite , ab ou cd , de poids /> . a& , et situé à la distance bB , de l'extrémité inférieure B dont il s'agit ; ab et bB se rapportant, de même que L ou AB , A et j» , à Fétat primitif ou naturel de ce prisme , c'est-à-dire à celui qui correspond , par exemple , au cas où il se trouverait posé , dans toute sa longueur, sur une table de niveau , sans être sollicité par aucune force. Il est évident que , pour la position verticale, l'élément ab , se trouvant chargé , dans l'état d'équilibre^ du poids Q , augmenté de celui p . bB, qui correspond à toute la longueur bB , il s'allongera d'une fraction t , de ab , qu'on trouvera au moyen de la formule du N"" 5i36, laquelle , en remplaçant ici P par Q -|- p . fcB , donnera

et , par conséquent, pour FaHongement absolu de ab ,

Q-hp.5B /^Q^ P^\

A.E * U.E^A.eJ'

formule qui aura lieu pour un élément quelconque du prisme, et qui sup-* pose seulement que la charge ^Q + p *bB , n'excède jamais la limite pour laquelle l'élasticité cesse d'être parfaite , ou les allongements , d'être proportionnels aux charges correspondantes.

Allongement delà partie inférieure du prisme. Si l'on VCUt maintenant obtenir la quantité dont se sera allongée toute la partie 6B du prisme, il faudra évidemment faire la somme de toutes les valeurs du produit infiniment

Setit, t. aft, relatives aux différents éléments semblables , qui sont compris eptiis le premier , abcd, jusqu'au point d'attache, B, du poids Q.Or c'est à quoi Fon parviendra , par les méthodes dont on a fait usage notamment

aux N""108 , HO et 135, <j^est-à dire en élevant aux^extrémités , b, de ces éléments , des ordonnées ou perpendrculaires, bb\ à Taxe du prisme, qui soient proportionnelles ou égales aux valeurs Gorrespondanles de i. Car tes ordonnées se composant, d'après la formule ci-dessus qui donne t, d'une

première quantité ou longueur constante bnT^BB' =, j. > et d'une

autre, fii&'zziT^-Tpi qui croît proportionnellement à la distance 6B, de

chaque élément à l'extrémité inférieure du prisme, ces ordonnées^ disonsnous , auront toutes leurs extrémités, B' , &' , A\ situées sur une même droite, A'B', inclinée par rapport à l'axe AB, et qui formera, avec la portion bB de cet axe , et ses ordonnées extrêmes, BB' et hb^ , un trapèze, BWb'b , dont Faire

|fcB(BB' + ^*')=*B(BB' +!«&') ou AB (^+|l^j ,

représentera rallongement total subi par la partie bB.

allongement de lapartie supérieure Ab. Cet allongement sera évidemment donné par l'aire du trapèze correspondant , bb'A'A , qui a pour mesure

attendu quTon a ici

aTË~^ et toujours ** ==-^^-^| — ,

Mais bB est la même chose que AB— 6A ou L~AA, et par conséquent, ;).iB=p.L — p.5A; donc l'allongement cherché de fcA, est

/ 2Q+;)L p.bk\{Q + pL) p

■•*^It:1~ a.e) — ÂTI-^^-âÂTl*^'

résultat auquel on arriverait directement encore par la considération de la figure.

Jllongement total. Considérant, en particulier, l'allongement total delà barre AB ou L . sous l'influence réunie de son poids et de la charge Q, on aura , d'après I une ou l'autre des formules ci-dessus , pour calculer cet allongement que nous représenterons par /' , l'expression

^ - ^ \ÂE+2AEJ ~AE ^ + "âTE^ '

qui se compose de deux termes distincts, dont le premier est relatif à l'allongement que produirait la charge Q , indépendamment du poids des parties du prisme, et dont le second se rapporte essentiellement à ce dernier poids, considéré, à son tour, comme s'il agissait seuU et abstraction faite deQ. Or ce poids étant mesuré par le produit pL, on voit que, pour avoir égard à son influence^ il suffira, comme cela a été indiqué au N» ^5, d'en ajouter la moitié à celui de Q , pour obtenir, sur-le-champ , la valeur de l'allongement total du prisme ; ce qui n'empêche nullement que l'allongement proportionnel , t, subi par l'élément situé en A, ne soit dû à la charge entière Q -f-/>L.

jépplicaiion numérique. Supposons, afin d'offrir un exemple,

AB ou L — 10», A = 0"'i,00â5 ou 2500""«- % et Q =10000k,

ce qui correspondra à une surcharge de--— —-=: 4^,0 seulement par mil-

limètre carré. Soit , de plus ^

246 MÉCANIQUE INDIIsfaiELLE.

D=7800"' oap=7800k. 0™^0025-l"' = 19k,5, E= âOOOOOOOOOO'' par mètre carré,

▼aleurs qui conviennent indistinctement ( 292 ), au fer forgé ou laminé^ on aura :

pour la 1" partie de l'allong. ^t ==g^^l0- = 0»,002,

pour la deuxième ^XÊ^»^ '^^^ = 0»,0000195.

On voit ^ par ce dernier résultat, combien peu le poids propre de la barre' exerce d'influence pour le cas du fer ; mais , en refaisant les mêmes calculs sur un prisme de plomb pareil^ on trouverait que cette influence, quoique assez faible encore, devient néanmoins sensible, de même qu'elle le serait évidemment aussi pour une barre de fer chaufi^ée au rouge vif, etc.

311. Limites relatives et absolues , de la hauteur des prismes suspendus ver-ticalement à un point fixe. Parmi les questions intéressantes dont la solution se rattache au point de vue qui nous occupe , nous mentionnerons celles où l'on demande le maximum de hauteur qu'il serait permis de donner à un prisme suspendu verticalement àun point fixe, pour que sa force de ténacité ne pu t être vaincue, ou son élasticité être altérée sonsFaction du poids de ses propres parties.

Limite relative à Félasticité. L'élément supérieur de ce prisme devant supporter la charge ;>L, toute entière, subirait un allongementproportionneU',qu'on trouverait évidemment (236 et 310) par la formule