OBSERVATIONS

Le nombre relatif aa frottement du fer sur boiSf se rapporte à une poulie d^épreuve dont Tenduit et la nature des coussinets ne sont point indiqués par Coulomb.

360. ObsefTOiiênê ditenes eonoemani les enduits, Nous croyons devoir consigner ici quelques remarques particulières qui sont la conséquence des recherches expérimentales de M. Morin : i*" la grosseur des tourillons n a d'influence ^ sur rintensité du frottement^ qu*ea ce que les plus petits d'entre eux, surtout ceux qui offrent beaucoup de jeu, ont plus de facilité à expulser les enduits frais ou tout-à-fait fluides^ et de rapprocher ainsi les surfaces (S5â) de Tétat qui correspond à la simple onctuosité ; 2' la présence de Tcao sur les tourillons parvenus à ce dernier état, ou enduits d'anciennes graisses, de cambouis, a pour unique avantage d'empêcher, {>ar son renouvellement continuel , que les surfaces frottantes ne s'échauffent, ne se rodent, et que les enduits gras ne soient liquéfiés j S^" le cambouis très-mou, purifié, par la fusion, des poussières qu'il renferme, el le mélange de sain-doux et de plombagine, dans la proportion de ^ pour cette dernière, ont l'inconvénient de s'épaissir vite, et de ne laisser, après eux, qu'une onctuosité inférieure à celle des graisses pures ; l'usage n'en peut être fondé que sur des motifs d'économie , auxquels viennent se joindre, sans doute, celui d'une diminution d'usé des surfaces frottantes, quand on emploie le mélange de graisse et de plombagine, pour lubrifier les bois ; 4"* enfin, le bitume d'asphalte ou goudron minéral, soumis également à l'essai par M. Morin, se rapproche beaucoup, par ses propriétés, du cambouis et du mélange de graisse et de plombagine dont il vient d'être parlé ; de plus, il a la propriété d'adhérer fortement aux surfaces, et, sous ce rapport, il parait offrir des avantages particuliers, dans le cas des essieux en bois, des voitures, au graissage desquels il est souvent employé, par économie , concurremment avec le goudron végétal. Mais on remarquera que les goudrons , généralement composés de résines , corps très-friables, et d'huiles essentielles plus ou moins volatiles, sont susceptibles de durcir très-vite, et de donner lieu ainsi à un grand accroissement de frottement, quand ils ne sont pas fréquemment enlevés et renouvelés.

Ajouton<(queles enduits solidesou mous , tels que le suif et le vieux-oing, sont principalement employés pour le bois et les outils tranchants dont ils adoucissent le frottement sans se laisser facilement absorber; que l'eau est mise en usagepour diminuer l'échaufTement des outils qui servent à forer, à scier la pierre, dont elle diminue en même temps la dureté; qu'enfin on se sert particulièrement de l'huile pour adoucir le frottement des ciseaux, des burins et forets employés au travail des métaux, dont elle empêche également le trop grand échaufïement et le ripement ou broutement.

C'est aussi , comme on l'a vu (532) , d'huile, notamment d'huile d'olives, qu'on se sert pour lubrifier les mécanismes légers de l'horlogerie ; mais cette huile , à laquelle on substitue souvent, avec avantage, celle de pieds de bœufs , à cause de sa plus grande fluidité , doit être soigneusement épurée , c'est-à-dire dégagée des acides , des mucilages , etc. , qu'elle renferme , et qui en altèrent la bonté et la fluidité. Dans cet état, en effet , les huiles n'ont pas l'inconvénient d'adhérer aussi fortement aux surfaces , de s'épaissir aussi vite ^ ni d'encrasser et d'altérer chimiquement les métaux autant que le font les autres matièresgrassesconnues. D'ailleurs, on s'attache ici à diminuer retendue des surfaces frottantes , en évidanl coniquement ou sphériquement les platines métalliques et les pierres fines qui servent de coussinets ou de crapaudines aux axes ; ce qui a , de plus^ l'avantage de présenter, à l'huile , des espèces de réservoirs , dans lesquels elle est retenue en vertu de sa simple adhérence, et d'où elle est constamment attirée dans le petit vide ou espace capillaire compris entre les surfaces frottantes. Toutefois , redisons-le , ces soins seraient plus nuisibles qu'utiles dans les grandes machines , où les pressions sont très-fortes , et

les surfaces en contacl assez peu étendues , pour qu*il soit permis de négliger Tinfluence qui peut être due à l'adhérence des enduits.

Qitestions diverses concernant la résistance des corps au glissement.

56i . Exemple relatif au frottement des traineaus. Supposons , en premier lieu, un tratueau, en bois , chargé d'un poids total de lôOOi^ii, y compris le sien propre, et glissant sur un chemin horizontal pareillement en bois; on demande : l"* Tetfort nécessaire pour faire partir ce traîneau , 2° le nombre de chevaux nécessaire pour le faire cheminer sous différentes vitesses et d'une manière continue.

En recherchant dans la première colonne de gauche de la table du N*" 555 , l'article relatif au frottement des bois sur bois^ à l'instant du départ , on trouve , sur les trois lignes horizontales qui lui correspondent , différents nombres en regard de chacune des têtes de colonnes, qui , vers la droite , indiquent Tétat des surfaces ou de l'enduit ; cela annonce {ibid,) que la résistance est susceptible d'éprouver^ dans chaque cas , des variations d'intensité dépendantes de la nature des bois , du degré de leur poli et de la direction des fibres ou du mouvement. Mais , en supposant qu'il s'agisse ici de surfaces assez mal dressées et soignées , on devra prendre le maximum des rapports ou coefficients de chaque espèce ; et , comme on aperçoit , par les nombres de la troisième colonne , que la résistance augmente , en général , quand les surfaces sont ou simplement humides ou complètement imprégnées d'eau , on devra , afin de ne pas rester au-dessous de la réalité , adopter le chiffre 0,71 , qu'on rencontre parmi ceux de cette colonne ; nous aurons donc , pour le frottement au départ du traîneau : 0,71 . 1500^11 == lOCSkii.

Un bon cheval ne peut guère exercer, d'après Régnier (5« cahier du Journal de V École polytechnique) , un effort de plus de 400^11 contre un obstacle immobile , il ne pourrait donc vaincre directement la résistance dont il s'agit. Mais , en attelant au traîneau deux chevaux de cette force , et les faisant agir par secousses, en vertu de leur quantité de mouvement antérieurement acquise (131 , 133 et suiv.) , il y a lieu de croire qu'ils en viendraient à bout , encore bien que Tinertie leur oppose , dans ce cas ^ une très-grande résistance (146 et suiv.) ; car nous savons (555) qu'un ébranlement , assez léger, imprimé aux corps en contact , suffit pour produire leur départ sous un effort bien moindre , et à peu près égal à celui qui correspond aux instants où le mouvement est déjà acquis. Or on voit, par la table du N*" 357, relative à ce cas , que la résistance serait , tout au plus , égale aux 0,48 de la charge, c'est-à-dire 0,48 . 1500= 720^»!; mais il est clair que les deux chevaux ne pourraient pas traîner fort loin cette charge , sous un pareil effort ; et comme , d'après la table du N"* 205 , le tirage moyen ou le plus avantageux d'un cheval , dans un travail soutenu , est de 70tii environ^ on voit qu'il faudrait en atteler au moins dix au traîneau, pour qu'ils pussent le faire cheminer convenablement, en exerçant

moyennement un effort de— t^t- = 72itii environ , sous une vitesse qui ,

d'après les données de cette même table , doit être , au plus (206) , de f|kni = 0"',87 par seconde ; cette vitesse n'ayant d'ailleurs (349) aucune influence sur l'intensité absolue de la résistance à vaincre , celle-ci restera toujours égale à 72kii pour chaque cheval allant , soit au pas , soit au trot. Enfin , puisqu'à cette dernière allure , qui correspond à une vitesse d'environ 2^,2 par seconde , l'effort de tirage des chevaux doit être réduit moyennement à AA^^^ , toujours d'après la table du N» 205 , on voit que ,

dâ2 MECANIQUE IINDUSTRIËLLE.

dans ce cas , il en fandrait , au moins , — . ,- = 16,36 , pour traîner con-

venablement la charge.

Supposons , maintenant, les surfaces frottantes parfaitement dressées et graissées dans toute leur étendue ; d'après les chiffres moyens des colonnes 4 et S de la table du N" 357^ la résistance sera réduite aux 0,08 , au moins , de l&OO^ii , ou à i^Oi^u : ce qui n'exigerait plus que l'emploi de deux médiocres chevaux , s'ils devaient cheminer au pas , pendant dix heures chaque jour, ou celui de trois chevaux pareils , chenrinanl au trot, pendant seulement quatre heures et-demie , puisque )a dépense de travail, par métré de chemin, demeure indépendante de la vitesse , ou égale à Î20t . {m = 120^1", pour les deux cas. Les chiffres des mêmes colonnes, 4 et 5 , de la table dont il s'agit , mfontreiat , au surplus ^ qu'il n'y aurait de l'avantage à substituer des ornières ou des languettes saillantes, en fer ou en fonte , à celles en bois , qu'autant qu'on voudrait éviter la dépense de l'enduit , ainsi que la trop prompte altération des surfeces*

362. EûsempU relatif à la étabilité des construcitims. Supposons^ en second lieu . qu'il s'agisse de reconnaître quel est l'effort horironlal que peut supporter un mur de soutènement, en maçonnerie ordinaire, de 40" de hauteur, 2*",5 d'épaisseur au sommet , et 3'" ^5 à la baj^e , afin d'être assuré qu'il ne glissera pas sur ses assises horizontales; l'effort, dont il s'agit, devant être , tout au plus , égal à celui de la poussée des terres ou de l'eau qui s'appuient derrière ce mur ; poussée dont le calcul repose d'ailleurs sur des principes de mécanique , dont l'exposition ne rentre pas dans le plan de cet ouvrage (1).

Remarquons d'abord que l'assise des fondations étant la plus chargée de toutes , et celle qui présente , à la cohésion des m^ortt^ers . ki plus grande étendue de surface , ce n'est pas elle qui court le plus de chance d'être désunie par glissement; mais, comme la [wussée croît elle-même rapidement avec la hauteur des terres à soutenir, nous admettrons ici que la base du mur soit réellement l'assise de plus faible résistance relative. D'an airti*e côté , la poussée et la rtsisUmce étant les mêmes pour chaque unité de longueur du mur, ou leur rapport étant indépendant de cette longueur, il suffira de considérer ce qui a lieu pour une portion comprise entre deux tranches verticales, ou profils distants de i mètre , par exemple. Cela posé, on trouvera, sans difficulté , pour le poids du mur, en admettant (3S)qoe Je mètre cube de maçonnerie pèse SOOOkîi, le chiffre

iO" . ■ ^ ' ■ 1". 20OO'- = 60OOQ>-"-

La table du N» 356 ( l^*' partie) donne ici f =0,66, pour la plus faible des valeurs du coefficient du frottement , relatives aux briques et aux pierres non polies, avec ou sans interposition de mortier fra4s, qui, dans quelques cas, favorise le glissement ; donc la résistance est, au moins, de 1 60 OUO^^^* =40000kii, par mètre courant de longueur, et, par conséquent, la poussée ne devrait pas surpasser cet effort. Mais, à cause des ébranlements auxquels le revêtement peut être soumis , immédiatement après sa construction , il convient de consulter la table du N° 358 , relative aux cas où le

(0 En attendant que nous puissions mettre au jour tes recherches spéciales que n»u< avons entreprises sur cet important sujet, nous renverrons aux Mémoires et ouvrages, si connus, de Couiumb et tie MM. de Pron-y, Français, Navier et Andoy. On consultera eniû les Aide-Mémoires de MM. Laisné et Morin, où se trouve consigné un extrait des régiei ausqut'lles nous son: mes parvenu peur les cas usuels.

mouvemeDt est déjà acquis, sous rinilueace de cet ébranlemeut^or ici, Ton voit qufi , sauf pour le cas des pierres dures , bien dressées j le frottement ne descend point au-dessous des 0,6 de la pression ;doijij[; on pourra adopter lechiffreO^e • 60000kii,=56000*^", comme valeur jniniinum de Ja résistance que le frottement des assises inférieures du mur oppose à son glissementhorir zontal. Reste à ?oir maiiiteaant, si cette résistance peutiau bout d'un certain temps , être surpassée par Tadhérence ou cohésion produit'e paria solidification des mortiers^ auquel cas (556) il conviendrait, non d ajouter, mats de substituercelle-cià la première, dans les calculs relatifs à la stabilité si toutefois il était permis d'admettre que les causes d'ébranlement , dont on vient de parier , soient insuffisantes pour détacher les surfaces , et réduire de nouveau la résistance à celle qui est due au simple frottement.

L'aire de la portion d'assise ou de base , que nous considérons , est de S",» . 1" = 3,5 mètres carrés , par mètre courant de revêtement ; et, d'après la dernière des colonnes de la 2"*^ partie du tableau ( 556 )eité en premier lieu ^ on n« peut guère compter, même pour les bons mortiers^ sur une résistance moy>enne qui surpasse 9 à 10000k par mètre carré , ce qui donne une résistance totale de 5,5 . 9000k = 31500^^1 à 5,5 . 40000k =3500ekii, un peu inférieure à celle qui a été trouvée,dans Thypothèse du frottement. On voit donc que, dans cette question, il serait inutile d'avoii* égard à la cohésion des mortiers , et cela aveiî d'autant plus de raison : 1« qu'il ne serait pas prudent de compter sur la moyenne , ni même sur la plus petite des données fournies par l'expérience ; 2"^ que les surfaces en contact étant ici très-grandes ^ .il peut arriver que des mortiers, en chaux ordinaire, soient loin d'avoir acquis, même auboutd'uneou de deux années, le maximum de leur dureté relative ; S*" qu'enfin le, mur peut être soumis, avant cet instant, àtous les aocidentsqui naissentdu chargement des terres, de l'application de la poussée, etc.

Les calculs qui précèdent ne présentent, commean voit, que des approximations grossières , des à-^peu-près bien éloignés de ,1a rigueur mathématique qui ptait tant à l'esprit dans les sciences rationnelles ; mais cette incertitude tient à la nature physique même des choses, et ne doit pas nous porter à dédaigner les données du calcul et de l'expérience , qui nous mettent au moins à même d'obtenir des limites^ et d'éviter des mécomptes d'autant plus fâcheux , qu'ils nlintéressent pas seulement iramour^propre et la fortune des individus.

Passons maintenant a d'autres exemples, qui nous offriront des résultats plus satisfaisants sous le rapport de la précision des chiffres.

36^. Calcul du travail absorbé par le frottement des tom'illons des roues hydrauliques et des volants. On se sert aujourd'hui, dans plusieurs machines, de grandes roues en fonte, très-pesantes, destinées, les unes, à donner le mouvement , les autres à le conserver et à le régulariser, de manière à remplir ainsi les fonctions de réservoirs de force vive {dtA et 144) ; il n'est peut-être pas inutile d'appeler l'attention de quelques-uns de nos lecteurs, sur l'énorme consommation de travail qui peut résulter du seul frottement des tourillons de ces gigantesques appareils, dont nous devons l'introduction récente, enFrance, àTesprithardi et entreprenantdes mécaniciens anglais.Il existe, en efîet, des usines à.fabriquer le fer, dont les roues à eau ne pèsent guère moinsde80000k>i,etquifontde6à8tours, moyennement, par minute, tandis que leurs volants^ dont le poids excède souvent 20000kii, font jusqu'à 50 et 60 révolutions pendant le même temps ; d'ailleurs , les tourillons , en fonte, de ces masses, tournent sur des coussinets en bronze , bien graissés avec du suif, et qui ont environ 0",30 de diamètre dans le premier cas, et 0",20 dans le second.

D'après ces données, il ne sera pas difficile de calculer le travail absorbé par le frottement de pareils tourillons, au moyen du tableau du N" 359

3M IHÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

des règles ou formules établies au N*" 350 ; car on peut admettre , et Ton démontre d'ailleurs directement par les principes qui se rapportent à la composition ou combinaison des forces, que, dans tous les cas semblables, la pression normale, N^ supportée par les tourillons, diffère généralement très-peu du poids même de la roue ou du volant ; ce qui n'aurait plus lieu si ce poids était très-petit ou si seulement il était comparable à l'intensité de la force motrice qui entretient le mouvement.

Pour les tourillons de la roue hydraulique ; en particulier , on trouvera que le frottement /TT= 0,054.80000k =^4520ka, dans le cas d'une alimentation de graisse continue, et qu'il est de 0,07S. 80000k = 6000kii, dans celui où ils seraient alimentés à la manière ordinaire; la roue faisant, je suppose , 6 tours à la minute , et le diamètre 2r , des tourillons, étant de 0«°,30, il en résulte, à la circonférence, une vitesse V=0,1047.6.0'»,13 = 0",0942, par seconde ; ce qui donne, pour la dépense correspondante de travail : RV = 0™,0942.4320k = 406km,94 = 5,4 chevaux-dynamiques environ, dans le cas d'un parfait entretien , et 0'°,0942.6000k = 565km^2 = 7,5 chevaux , dans celui d'un entretien ordinaire. De semblables consommations de travail, seraient suffisantes pour faire mouvoir un ou deux tournants de moulins à farine, et elles deviendraient intolérables dans des machines qui n'auraient pas , au moins , la puissance de 40 à 50 chevaux.

Pour le volant, le frottement, sur les tourillons, sera seulement de 0,054.20000'''= lOSOkii, dans le cas d'un entretien parfait, et de 0,075.20000k =n iSOOkii, dans celui d'un entretien ordinaire; mais, comme la vitesse est ici de 50 tours , au moins , à la minute , ce qui donne un chemin de 0°',5236, décrit, dans chaque seconde , à la surface des tourillons, il en résulte une consommation de travail, équivalente à 0",5236. 1080k = 565km = 7, 5 chevaux environ pour le premier cas , et de 0'^5236.i500k = 785km = lo,5 chevaux pour le second.

Il faut, comme on voit, que l'emploi des volants présente de bien grands avantages , sous le rapport de la régularisation du travail des machines employées à la fabrication du fer, pour qu'on se décide à faire, en quelque sorte en pure perte , un aussi énorme sacrifice en frottement d'axes seulement; car il est évident que le frottement des rouages qui servent à transmettre ou à entretenir le mouvement de pareilles masses, et la résistance de l'air qui l'accompagne inévitablement^ doivent, à leur tour et par suite de l'excessive vitesse qu'on fait prendre à ces masses, être d'autres causes de déperdition du travail moteur, dont rinfluence mérite d'être prise en considération.

364. A%$tre application relative au frottement des roues de voitures, La charge réglementaire maximum, des diligences , est de 3620'^, répartie sur quatre roues, dont celles du devant ont 0'°,485 de rayon, et celles de derrière 0",76; le rayon moyen des essieux est de 0",0S5 ; ces essieux en fer, glissent, avec un très-petit jeu , sur la surface intérieure de bottes de roues , en cuivre, bien graissées à la manière ordinaire, et qui viennent successivement présenter tous leurs points ou génératrices à un même point ou à une même génératrice des essieux ; on prendra donc ici , d'après la première partie de la table du N« 358 , /"= 0,075 ; ce qui donnera pour la résistance tangentieile et totale éprouvée par les quatre roues, 0,075.3620k = 271k,50. Ces diligences cheminant avec une vitesse de deux lieues à l'heure, ou d'environ 2",22, par seconde^ quand les chevaux vont au trot, et chacun des points des roues venant successivement s'appliquer le long de ce même chemin, il est aisé de calculer que les plus

grandes d'entre elles font : ^ ^"l^^^^ = ^ f J^f ,^ = 0,465 tours

DES RÉSISTANCES, »jg

seulement |«r seconde, et les pins petites : ^ .f^fj^ = 0,728 ; de

H,nV I? ™1 *' *î" '** «"PPOS« égaletnent chargées, le travail consommé , aans le même temps, par les premières, sera d'environ |271k,5.2ir.0">,088!

.0,468 = 13km,9, et , par les secondes, de 13kn.,9. 1^ ^ «Jt™ 7

1, !^f]! ®° P*".* 'ï."^*'.'' Pl"^ simplement à ce résultat, en observant que rJnl^*: »" * •?*""" *^'="* ' «" ""« seconde, par le point d'applicaiiOD du frottement , ou par la circonférence des boites en contact avec les

roues , sera seulement de 2>.0°,058,^'°^^^ =o« qv&^J^ — o» 1082

pourlesgrandesroues.etde0-,035^ = 0-,l602 pour les petites;

-j?î.î*îfR"*.'™Si?.4*?*°* '«« quantités de travail : ^2711,5.0"' 1022

renUvflefL5î;n?""'*.'f ==^*'""^^^''I»' «'«''«'«'•<i«°* ^espeS meni avec les précédentes, et donnent, au total : 13,83+21 74— 35km KQ

SK Slla te:;^' P^r '*^ '™"«™«°^ réunis dfqtatVel^uTs ; &

îri^s^sSa^.rK^^^^^^^^^

C eTiT-^Ti2""'?' = 26S2L, toSoi?sVarT onde'""' "' raSSs^rù l.tt»"?- *''*«"9"?' cette remarque suffit pour montrer caMe^^P» J?. t «"^«Vt^t'on des voitures avec roues aux simples traîneaux; ?e aSnSi^.l.'r^yn*""*"**^^^''^^^^^^^ ^°^ très-bien apercevoir que moiîlS ^il^.-'^f '^?.1'^T*"*°* <*«"«"» affaiblissement, plus ou ÏÏSmînf mVmî Vi"^" V* ^"^ fro«ement direct, mais bien dais l'affaid cSar le nnTn^fîll' "te^se , ou dans la diminution du chemin relatif, rannnrf H., J^? ^""PP''^*'®" <** '« résistance, et qui est mesurée par le tenTs ml Z" ?*'"'"*!' V" "y"" <•«« roues. Ainsi, par exemple , âaré!. ^Zî ..?? '*• *^.' .«•■•^«««fS' '« '««sse ou le chemin effectif de là eS; '^ii^^T.» rt' 1? '' ««'«"«'•ence des roues, est de 2-,22 par Sa 0- ?nl i* ^^"* ''i •*' •■'î"*^ ««* seulement, comme on Va vu ,

Sîon 22 fouCTl '^•^"" • *^ ** * ^T'^^"^ P»""- '«« petites , c'est-à-dirè environ 22 fois et U fois moindre que la première.

^K.t»n^^"JÏ,.ï*l'!"*' pratique, il conviendrait encore de considérer : 1 la résistance que lair oppose au mouvement de la voiture; 2° le frolte-

et ;iSn>. r"^?" ^'^'i (^^^ «!"* « ««" «>°fe 'es épaulements, intérieur IcfrnJni"»'"^" ^^ """.**' «"'^ •"«t'nts Où la voiture éprouve des le fîoïïmfn ÏT' transversales résultant des inégalités du sol ; 3- enfin, bct ÏÏm^ ni ^^ '**'**"*'^ "''Pf"" <»» •'« roulement (*fd) qui na t du con- ÏÏériaux de if rn!;?r *'*' l''?' ' ^" ' P'"tdt, de la résistance que les a" inr^L? ^ ™»"*® opposent a leur déplacement, à leur compression et

oies pSnM?«h1" r'"?S"\"'««°t atteints par les bïndes des f?èsf;i£ ,^i™i±'*'^"''^^^^^^ en effet, est

que la lé^îln^^ TI f ** î''«enees lancées au trot; observant d'ailleurs inflninJfi ''^•Kf* ^Pau'ements de roues ne peut exercer qu'une

elé- rf^" „T"?*'i'"' *;?"' '** "«^ «ù le sol est convenablem?nt nifburniî lo 1 ^ "5? ' <'3°« e»»aq"e cas, de la quantité de travail qu'aurait rournie la mesure directe de l'effort du tirage, etc , la oerle de travail o^asiounée par le frottement des essieux , pe Ajîfufs calc^^^^^^^^^ dîalcaHn^ la méthode mdiquée ci-dessus; en opérant,'disons-nous, cette KothS' IV^l "''T*'!'^ •' ^r*^"t possible d'arriver, dansde telles menÏÏnn?'! .'* î?*^';'"* **" ''■"«" consommé par la résistance au roule- «ent dont U s agit , et , par suite , à la valeur même de l'intensité relative,

de cette résistance , -âans les difPérents cas. Mais, ainsi que nousea a?oiu déjà averti, notre intention ne saurait être de nous étendre ici sur les considérations ei^érlmentales et physiques qui se rapportent h ce genre de frottement (IJ.

(i) DaD» les leçons <{ue nous avons données, en 18291 aux ouvriers de la ville de Metz, et dans celles que nous avons professées Tannée vulvante, Ji Vécolc d'application de l'artillerie et du génie, nous avions exposé quelques données d'expériences et de calculs , relatives au frottement dont il s'agit, et que, d-après Coulomb, nous supposions proportioauei à la «barge N des rouleaux , et inverse de -lear diamètre 2r , la puissance étant elie-méme oensée immédiatement appliquée à leur centre ou axe , ce qui donne lieu à la formule

pour mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération wn doonéet fournies par la table du N» 2i3 , et par les expérienoes mêmes de Coulomb, «ous en avions déduit une nouvelle table des râleurs du coefficient /*, que nous croyons 'utile de rapporter icij en attendant que éo» résultats d'expériences plus direcites et plus précises, aient levé entièrement les incertitudes qui existent maintenant eucore sur la véritable loi de la résistance au ronletaent. Car , si M. Dupuit , dans un récent ouvrage intitulé : Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, iSSy) , a été conduit à modifier^ en partie, la loi avancée par Coulomb j d'un autre côté, les expérieufes encore inédites de M. Morin, sont venues la confirmer pleinement j de sorte que oen^est pas trop se hasarder que de reproduire aujourd'hui même, des résultats défà publiés en i83i , dans les Htbograpbîes de l'école d'application de Mett. Nous avona d^autaat plus de motifs de le faire, que ces mêmes résultats ont été postérieur ment insérés, sans notre aveu, dans un petit ouvrage ayaut pour titre : Mécanique des écoles primaires , où ils sont présentés comme de simples données de l'expérience.

TABLE des rapports du frottement à la pression , dans le atts eu roulement de surfaces cylindriques sur des surfaces de niveau.

VALECHS DÉSIGNATION DE L'ESPÈCE D£ AOUËS, de f, ou rapport

et de l'état des kui faces eu contact. du fri>Ueairat

à la preMÎon.

Roues de voitures garnies de bandeii de fer, cbeotMiaai :

Sur une chaussée, «u sabte et cailloutis non veaais o,oG34

Jd. ieniem>pierrcfnent, à l'état ordinaire 0,041 4

îd. id. en parfait état 0,0 i5o

ïd, en pavé , bien entretenu : au pas . . 0,01 85

2d. id. au trot * o,0338

fd, ^ en planches dé chêne, brutes 0,010a

Roues eh forte sur rails en boi» saillants et rectiligries (GerstHer) o,0023

Id. sur ornières plates enfer o,oo35

Id. id» saillantes, avec alimentation de graisse, ordinaire . o,ooi'j

Id. id. id. continue. . 0,001

RouLEAtJ d'orme sut pavé uiii (Régnier) - . . o,oo;4

Jd. sur cbène parfaitement dressé (Coulomb) 0,0016

Id. sur gayac (Id.) 0,0010

Rouleau dë fokte sur granit uni , o^ooi^

365« Lois du mouvement horizontal des eorpa «on* finfimsncs du frotùnnent. Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois que là pression ne change pas , il est évident , à priori (107 et suiv.) , que , si un corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau , dans une direction rectiligne donnée, et qui demeure invariable à tous les instants, eomme il arriverait, par exemple , pour un traîneau glissant dans des rainures ou sur des languettes saillantes , parallèles et rectiligaes , il est évident, dis» je, que le mouvement que ce corps prendra naturellement, en vertu de sa vitesse initiale , sera uniformément retradé; c'est-à-dire que eette vitesse ira cootintieilement en diminuant de quantités qui seront exactement proportionnelles aux temps écoulés depuis un instant quelconque. Nommant P

le poids de ce corps, M = - sa masse » V» sa vitesse initiale , V la vitei^se

qu'il conserve au bout d'un nombre quelconque , T, de secondes écoulées, enfin , désignant par £ l'espace qu'il a décrit à la fin du temps T, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont il s'agit , les formules

dans lesquelles /'est le coefficient du frottement des corps en contact^ et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première partie de cet ouvrage (112 , 130 et suiv. , 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il sufiBt de remarquer : 1" qu'on doit avoir ici , à chaque instant ,

— œt/'P, ce qui donne p=fyt,

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants t^ dans le corps mobile ou traîneau , et, par conséquent , /^rT pour la vitesse totale détruite au bout du temps T , et V^ —fgT pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; "ir que le produit /"P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans toute l'étendue de la course E, et que la force vive. MVJ , diminuée de celle, MV-, doit être précisément égale (137) au double de cette quantité, etc.

Ces diff^érentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids absolu, P, du traîneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où ce traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q , décomposée ou ramenée , dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aide dîune corde passant sur une poulie de renvoi ; dans ce cas , pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement,/?, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q ; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le coefficient fan

frottement de la quantité 2, selon que l'effort Q agit pour favoriser ou

pour empêcher le frottement, c'est-à dire pour retarder ou accélérer le mouvement du traîneau : le seul changement à opérer dans les formules

ci-dessus , consistant ainsi à remplacer /" par /"it ^, pour passer du premier cas au second. Toutefois, s'il arrivait, dans cette dernière hypothèse que l'effort Q surpassât le frottement /"P, il pourrait aussi arriver que le

328 MÉCANIQUE INDUSTAIELLE.

traîneau , après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction prifflitiYe^ retournât bientôt en arrière , pour continuer ainsi indéfiniment dans le sens de Q; ce qui suppose qu a l'instant de cette rétrogradation la vitesse Y s'évanouisse , et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d'uniformément retardé qu'il était, devenant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti , par la discussion même des formules , de cette circonstance tout^à-fait analogue à celle que nous a offerte (120) l'ascension verticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d'insister.

Quant au cas où la puissance constante , Q , toujours supérieure à /V, agirait dans le sens même de la vitesse initiale^ Yi , il va sans dire que le mouvement serait^ à tous les instants, uniformément accéléré , comme cela a lieu pour la chute des corps graves , l'intensité et le sens du mouvement étant seuls changés; ou, si l'on veut, l'action, f=^Mg, delà gravité , se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q — /P ., la vitesse initiale , Yi , serait augmentée d'une quantité mesurée

par ("^ — /') 9^^ 1 3U lieu de ^T, après un temps quelconque, T,

écoulé. • '

366. Vérification de ces loi» par rexpèriênce directe , procédé pour obtenir rintensité du frottement de» corp» en mouvement. Ce qui vient d'être dit, en dernier lieu , peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps , et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis , et , à peu près comme Pavait fait , avant eux , Galilée (116) , dans des circonstances analogues quant au but, quoique très-distinctes, pour le fend , qu'elle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés , puis à s'assurer que cette relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé ; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd'hui , que la loi est connue , et peut être admise à peu près sans restriction , il ne serait nullement nécessaire de recourir à remploi d'appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant , l'intensité relative du frottement , dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d'une manière directe: il suffirait de lancer le traîneau, sur son chemin horizontal, disposé de manière à l'empêcher de tourner, avec une vitesse quelconque , Vi , et d'observer seulement le nombre de secondes F, qu'il a mis à décrire l'espace , £', au bout duquel il s'est arrêté.

En effet , si Ton exprime , dans les équations ci-dessus (364), que ta vitesse finale, Y, est nulle, elles conduisent, sur-le-champ , aux nouvelles formules :

Y|=/br, Y^=2/(7E', E' = Y|T'-i/^T'S dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux premières, qui serviront immédiatement à calculer les valeurs de Y, et de/*, ainsi que toutes les autres circonstances du mouvement. Par exemple en divisant,

membre à membre , la deuxième par la première , elles donneront , pour

2E' calculer V, , la relation Y^ = -=- ^ que nous eussions pu décrire de suite

(109 et suiv.), d'après les lois bien connues du mouvement uniformément accéléré ou retardé , et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement.

/•= ^' = ^^' ^ IgT gt'

relative au cas du mouyement. *

Pour off^riruneapplication numérique, nous supposerons qu*un traîneau, armé à sa surface inférieure de patins en acier poli , soit hmcé , toujours de manière à l*empécher de tourner^ sur la surface glacée d'un étang ou d'une rivière, avec une vitesse de'4" par seconde, et nous nous demanderons: l'' le temps au bout duquel le mouvement de ce traîneau , abandonné à lui-même s'arrêtera , en raison du frottement qu'il éprouve de la part de la glace; 2" l'espace total qu'il aui'a [uircouru. Nos tableaux ne contiennent aucune donnée relative à ce genre de frottement, mais nous admettrons^ d'après les expériences de M. Rennie (1), que son coefficient soit réduit aux 0,04 environ de la pression, de sorte qu'on aura ici :/'=0,04, V| == 4"* ; ce qui donnera, en substituant cette valeur dans les formules, et attendu que g = 9",81 environ ,

c'est-à-dire que la durée du mouvement serait de 10",2 , et l'espace parcouru de 20",4 à très-peu près.

Supposant qu'à Pinverse, on ait obtenu cette durée et cetespace d'après l'observation directe, on en eût déduit immédiatement les valeurs de /"et de Vi, ainsi que cela a été indiqué ci-dessus. On voit d'ailleurs , par les données de la table du N"* 357, que les résultats, auxquels on vient de parvenir, offrent comme une sorte de limite par rapport à ceux qu'on obtiendrait pour d'autres corps que la glace, et cela donne une idée de l'extrême rapidité avec laquelle le frottement doit, dans les circonstances ordinaires, éteindre le mouvement à la surface de la terre ; mais nous verrons, -par la suite, que la résistance de l'air et des fluides , en général, est une autre cause qui contribue puissamment à la production de cet effet, surtout dans les premiers instants du mouvement et lorsque la vitesse est très-rapide.

Questions et formules concernant les pertes de force vive dues au frottement

pendant le choc, '

367. Premier exemple relatif au choc verHcal d'un traîneau. Le cas le plus

simple de la question est celui d'un traîneau, de poids P^ ou de masse M==

-, qui, étant animé, à un certain instant , de la vitesse horizontale, Y ,

vient à être choqué normalement , par un antre poids , F , ou une autre

(i) SuWant CM mêmes expériences^ faites à la température de 30, j5 centigrades au-dcs. sous de léro, le coeffîcieut de ce frottement diminuerait , avec la pression , ainsi qu'il suit: pour des pressions de ok^5 , ak,o et 18k par centimètre carré, il serait respectivement 0,04, o^o3, 0,014. l^onr la glace glissant sur de la glace, M. Rennie a trouvé^ dans les même» circonstances, le coefficient du frottement égal à o^o3 et 0,02 pour des pressions respectives de ok,i5 et ok,6o par centimètre carré. Le résultat des recherchts de cet ingénieur, sô trouve consigné dans les* Transactions philosophiques de la Société royale de Londres , pour Tannée 1829.

aaO NÉCAl!! IiQUE WDUSTftlELLE.

. masse, M'=— , tombant librement de la hauteur H', au bas de laquelle M'

a pris la vitesse V'=(/2^H\ Or il est évideut que, dto l'instant où oeUe d<ernière maisse atteindra le tratoeau , elle sera , si rien oe s*oppose à son glissement horizontal, sollicitée, tout au moins^ par le frottement qui naît de leur réaatioQ réciproque, dont nous représenterons le coefficient par ^ /iriotensité de ce frottement étant, dans chacun des élémeints infioimeat

petits, tj de la durée du choc , mesurée (350) par l'expression fW-j i elle

eommuniquepa à la masse M% et détruira, dans ki> masse M du traîneau , une quantité de mouvement, mesurée par /'MTV ^ ^^fi^ ^^^ P'^^ grande impression. Ainsi., sous ee point de vue. ei à cattse^qne Factmn est ^le et contraire à la réaction, la quantité d£ uonveinent des deiuc masses, ou celle de la massa entière, M 4* tV^ ae seca point altérée dans le sens horir

zontal; mais, comme l'effort de réaction vertical, ¥ =W-r , éprouvé

par le traîneau, se transmet, pgurainsidi^instantanément, jusqu'àsa surface d'appui inférieure , elle y fera nattre un autre frottement mesuré par

/M'p dont le coefficient /f, sera, ea général , distinct du premier, et qui

donnera lieu à unie perte de quantité de mouvement , mesurée également (350) par/'M'V, à la fin de la plus grande impression;, supfjosaat d'abord, qu'en vertu du frottement/" ou d'une cause de résistance quelconque^ les masses M et M' aient acquis , dans le sen^ horizontal , à la fin du choc, la vitesse commune W,. la. quantité de mouvement correspoiidante, (M 4- M') W, du système die ces m^&çs, devca. étre^égaleà MV— /*MV,.cequi donne

pour calculer la* vitesse finale oL commune dont il s^agit « dïms l'hypathése d'un choQ assez vif ou djuue durée assez courte , pour qu'il devienne permis (168 et 169) de nég][ig;er le poids des corps vis-à-vis des efforts de

réaction , M' - , développés pendant la durée même de ce choc.

La masse M possédait sçule, avant le choc, la force vive horizontale, MV*, maintenant les deux masses possèdent en commun, par hypothèse, la force vive (M + M') W*; donc on aura pour calculer la perte de force vive;, dans te sens hopiaontal , l'expression» r

m' - (M- + m w =- Mv^ ^ (MWW)\

deint tel moitié f$;ra cowajtee: le. traivail détruit par le frottement du traîneau, dans le sens dont il s'agit, travail auquel il conviendra d'ajouter encore (162) celui, ^ M'V'*, qui s'opère dans le sens vertical , si, comme il arrive presque toujours, itest permis de négliger te vitesse de rejail- Kssement de M^

Nous vanom» de supposer que cette dernière masse, en recevant, pen- 4aH^ le choc, la quantité de mouvement horizontal /J!ll'V\ ou la vitesse bjorizontale/T', avait acquis fii^alement le mouvement même dont est animé le traîneau ; ce qui revient à admettre que /'V soit précisément égale à te vitesse W, de ce mouvement. Mais généralement, il n'en sera pas ainsi dttns te cas d'un simple 6'0f)tement exercé à h surface supérieure du traîneau , et alors la quantité de mouvement possédée par le système,

DES RÉSISTAiliCES. 381

h It fin da chœ . prendra simplement la valeur M W + fH'T , au lieu de (M + M) W; ce qui donnera, pour détermitier W, cette «ntre relation :

MW+ />M'V'=MV-^MT' on W^Y^iZ+n^V;

d*où il sera facile de déduire la nouvelle e2y)ression de la perte de force vive occasionnée par le choc. D'ailleurs, si la condition

ou, ce qui revient au même,

y.^ MV PV

se trouvait satisfaite , la «nasse M' ne pourrait acqu^ir , à là fin du choc , la vitesse W du traîneau ; elle resterait donc en arrière par rapport à celui-ci , c*est4-dire qn'dfte continuerait à glisser , à sa sMarface supérieure , jusqu'à ce que le frottement /*F , occasionné par son poids , ^r cette surface, ait complètement anéanti la différence de vitesse, W

IVommens T le temps nécessaire pour raocômplissement de cet effet ^ fW sera évidemment (364) la quantité de mouvement imprimée , pendant ce temps, à la masse M' , par le frottement />P', etArp— feera Tac-

croissement correspondant de vitesse de cette masse, si elle n^est sollicitée, ainsi que le traîneau^ par aucune force étrangère et qu'elle ne fasse simplement que glisser sans tourner. D'une autre part , la masse JH, de ce traîneau, étant sollicitée , à sa surface inférieure, par le frottement f(P + P')> et, à sa surface supérieure, par le frottement /^F, ou, en totalité , par la force retardatrice /*(P -f F) 4- /T' , il perdra , pendant le temps T'et en raison de cette force , une quantité de mouvement/

(P-f P') r + /'FT', ou une tttesse mesurée par ^^^^^^J^^^-^' ;

donc on obtiendra ce temps par la condition

fwï' ,^, / (P 4- P ) r -l-rp T"

si, je le répète, te frottement et Tinertie sont les seules forces qui sollicitent le traîneau.

Mettant dans cette équation, pour W. la valeur trouvée en dernier lieu^ et observant que P = %, F = M^, on en déduira immédiatement

PV -(/•+/■-) FV^

pour calcuter le temps T' dont il s'agit ; ce qui donnera facilement aussi l'espace décrit, par le traîneau, pendant cette dernière période du mouvement, qui sera uniformément retardé (364).

368. Juire question sur ce sujet. Supposons maintenant que le poids P', au lieu d'être entièrement libre dans sa chute^ soit contraint de prendre, à chaque instant, la vitesse horizontale. Y, dont le traîneau est successivement animé ; circonstance qui se réaliserait , par exemide , si la masse M', en tombant de la hauteur H^ était dirigée par une tige verticale formant

système avec le traîneau, et dont rextrémité supérieure aurait été le point de départ de la chute : dans ce cas , il n'y aurait plus lieu évidemment à s'occuper des réactions horizontales produites par le frottement sur la surface supérieure du traîneau. D'ailleurs, le poids P', perdant ici encore, à l'instant du choc , toute la vitesse verticale^ V% qu'il avait acquise dans sa chute, il en résultera , sur la surface d'appui du traîneau, un frottement , /M' -— > qui, d'après le principe établi à la fin du N° 550. détruira,

dans la masse M + M' de ce traîneau et de ce poids censé faire corps avec lui, une quantité de mouvement toujours mesurée par l'expression /*MT'; et, comme celle que le système possédait avant le choc, dans le sens horizontal, était (M -f- M') V, la quantité de mouvement qui subsistera ensuite , aura pour valeur (M -f- M') V — /"M'V. Nommant donc W la vitesse commune aux deux corps , à ce dernier instant , on aura , pour la calculer, la formule

W{M+M')=(M+M')V-/MT' ou ^^V^M^SpVs

très-différente de celles auxquelles on est arrivé dans le numéro qui précède.

Les corps possédaient , avant le choc , la force vive horizontale et com^ raune (M -j- M') V*, celles qu'ils possèdent maintenant est (M -f- M') W*; donc la perte de force vive , dans le sens horizontal dont il s'agit y est mesurée par l'expression

où il ne s'agira plus que de substituer, à W, la valeur obtenue ci- dessus , et dont la moitié exprimera toujours le travail consommé , par le frottement, pendant le choc ; la moitié de la force vive MV* , exprimant, d'un autre côté (162) , celle qui est absorbée dans le sens de la réaction tiormale des masses M et M^

Ces calculs , comme on voit , supposent encore que le choc finisse à l'instant même de la plus grande compression des deux corps, et que leurs poids et la force horizontale Q, qui les sollicite, soient négligeables vis àvis des efforts de réaction , F, développés pendant le choc ; mais évidemment cela ne serait plus permis , si le choc était très-doux , ou les corps très- compressibles , car alors il deviendrait nécessaire , comme on l'a plusieui:s fois remarqué , d'avoir égard à la loi même de cette compressibilité y pour arriver au résultat final. Quant au cas d'une élasticité plus ou moins parfaite , il suffira de connaître la vitesse ou la hauteur du rejatllisseriïent du poids P', pour être en état de calculer le surcroît de perte de force vive qui en résulte : nV, par exemple , étant la vitesse de ce rejaillissement, /*MT' + /«M'V'sera évidemment (157) , toujours d'après le principe du N"* 550 , la somme des quantités de mouvement horizontales , détruites pendant la réaction mutuelle des deux masses M et M' ; de sorte qu'on aurait ici la nouvelle relation :

W(M4-M') = (M-t.M')V-Al + «)M'Vs ou W==V-^^±^' V,

pour calculer la valeur de la vitesse . après le choc , qu'il conviendra de substituer à l'ancienne , dans l'expression de la perte de force vive (M-f-M') (Y2 __ w2) çg^jç vitesse étant moindre que celle trouvée en premier lieu, on voit que la perle de force vive sera aussi plus grande , conformément à ce quia déjà été remarqué à la fin du N** 550.

Pour le second choc , on procéderait comme pour le premier et ainsi de suite. Mais l'expérience démontre que , dans les cas ordinaires , où les

corps Q6 peuvent éprouver de flexions transversales sensibles , la hauteur et, par conséquent, la vitesse^ nY\ du rejaillissement^ sont toujours , en effet, des fractions très-petites de celles qui ont produit le choc; de sorte que le mouvement vertical du corps P' est promptement éteint.

369. Particularités offertes dans ce dernier exemple , par le mouvement qui précède iHnstant du choc. Dans la réalité , le poids P' n'a pu, dans nos hypothèses, participer à l'accélération de mouvement du traîneau , due à Tinfluence de la force horizontale Q, et à la diminution du poids F, sans éprouver, de la part de la tige directrice^ tm certain effort de réaction horizontale , 9 ? et, par suite, un frottement vertical , qui a dû ralentir la vitesse de chute de la hauteur H'. Nommant f le coefficient de ce frottemeot , V raccélération de mouvement reçiré par le système du traîneau et de la tige , pendant le temps infiniment petit <, Teffort horizontal q, dont

il s'agit , sera évidemment (i30) mesuré par M' --- = , tandis que

l'effort vertical, dû au glissement , le sera par fM -r^^f T • '®

premier s'ajoutera à la force d'inertie ( — i-^ j y du traîneau et de

son contrepoids Q ; le second s'ajoutera à la pression P, occasionnée par son poids propre , et fera naître un excès de frottement mesuré par la

fraction fAe.f ou //' ; enfin , le premier de ces efforts dé*

truira; dans le traîneau , pendant une fraction quelconque, T, de la durée de la chute du poids P\ une quantité de mouvement précisément égale à celle que ce poids a reçue de la tige ou du traîneau, tandis que le second détruira , toujours dans le sens horizontal , une autre quantité de mouvement qui sera à la précédente , dans le rapport de ^ à /f 9 , elc. Quelle que soit d'ailleurs la complication apparente de ces effets , il sera toujours possible et même facile , de calculer les circonstances des mouvements simultanés , de descente du poids P' et de progression horizontale du traîneau^ qui n'en continueront pas moins d'être uniformément accélérés.

£n ed^t, Yj étant la vitesse horizontale de tout le système à l'instant où le poids P' vient à être lâché de la hauteur entière H'; E l'espace horizontal décrit par le traîneau, pendant que P' descend de la hauteur quelconque^

H, relative au temps T ; q = — - l'effort de réaction horizontal, et /"' — -

le frottement, ou l'effort de réaction vertical , éprouvés par la tige directrice de la part du poids P', dont, je le suppose, la vitesse V' prend raccélération de mouvement v\ pendant l'élément de temps infiniment petit f , les équations du mouvement instantané , ou pendant la durée de ^ seront , d'après ce qui vient d'être indiqué : !• pour le traîneau ,

ï* pour le poids F,

ce qui donne Immédiatement

^. g(Q-/P) eon:t«A

m WÉCANIQOE INDUSTRIELLE,

et, par cohséqueot (107 et mm?.,),

pour calculer toutes les circonstaùces des deux mouvements uDifôrfloéoQeDt accélérés dont il s'agit , pendant la durée entière de la descente du poklsF de la hauteur H ou H', d'où Ton déduira aisément ensuite^ celles^! se rapportent au choc subséquent de ce poids et du traîneau (568).

D'ailleurs, ces équations ne tiennent point compte des résistances qui peuvent être inhérentes au mouvement du contrepoids moteur Q ; nous avons voulu seulement ici donner une idée de la manière dont on doit avoir égard , en général ^ au frottement qui se développe pendant la réaction lente ou brusque des corps en mouvement (1).

370. Principe concernant hs effets du frottement pendant le choc» Revenant maintenant à nos premières considérations , nous ferons remarquer que, dans tes instants qui précèdent celui oà le poids P' vient à être lâché du sommet de sa tige directrice, il pèse sur le traîneau, et y produit un excès defrottementmesurépar/V; qu'il pèse également sur ce traîneau , à partir de l'instant où il le «hoque ; qu'enfin il cesse entièrement de peser sur lui pendant sa descente de la hauteur H' de la tige, dont le frottement/^^ peut ici , élre négligé , circonstance d'où il résulte qu'en supposant ce traîneau sollicité par l'effort horizontal et constant Q, qui lui donne (365) un mouvement uniformémetit iaccétéré, ce mouvement s'accélérera bien plus rapidement encore pendant la descente dont il s'agit; qu'en un mot, le système aura gagné, par cette seule caîuse, une quantité de mouvement relative à l'énergie de la pression qu'aurait produite le poids J?\ et qui sera évidemment mesurée par la quantité /*P'T=/M'grT, T représentant ici la durée entière de la chute H'. Mais gT est précisément égal ( 117 ) à la vitesse V, acquise librement, par M', au bas de cette chute; donc la^iuantitéde mouvement /P'T, est aussi égale à celle /MT', qui est ensuite détruite pendant le choc (367), et, par conséquent, à la lin de ce choc, la vitesse du traîneau se retrouvera être précisément la même que si le poids P' n'eût pas quitté le sommet de la tige, où il était primitivement soutenu.

(i) Dons uii Inémoire tniituié : Formules relatives utue effets Hu tir sur les différentes partiesâe Vaffut^ méntotre innpFtiné , «n iS!25,ipar heë ordnt de M. te itiLnistre de Ugoerre, et dont une nouvelle édiUota tllBfnt de {Mitttitre, M. Pdiskoii a , le pt^ltiiér je crois, oifert uii exemple, un peu étendu, de la manière dunt un doit appliquer le caloul à ces «ortes de questions. La méthode de cet illustre géomètre consiitle à exprimer , diaprés le principe de d^Âalembert, les conditions lie Péquitibre entre les (^uantrtésflnibs de ntouvement, perdue* ou gagnées par les différents corps du système, et cousidérdes comme autant de forces de percussion comprenant celles que les frottements détruisent au point où s* opère la réaction mutuelle de ces mêmes corps J'ai fait voir ensuite^ dans la lithographie du Cours de Mécanique de rÉcole d'application de Metz (édition de 1826), qu'oB pouvait arriver aui équations fournies par ce -principe, ainsi qu'à Pexpression des perte* de force vire^ qui ne «oot données qne d'une manière fort mdirecte par le principe de Garnot, au moyen de la coatidération des pressions ou forces motrices variables , développées pendant la durée même dit choc des corps, et j'en avais immédiatement offert nue série d'applications aux chocs Hei marteaux, des pilons et des systèmes de rouages qui entrent dans la composition des machinei. Depuis lors, MM. Gauchy, Navier, Coriolis et Duhamel, dans des ouvrages ou mémoiref bien connus et justement appréciés, sont revenus , à leur tour, sur ces questions, par une marche analytique qui leur est propre, mais qui n'ajoute rien, ce me semble, du nioi"* quant au fgnd , aux résultats que j'avais moi-même obtenus par des considérations d'uue autre espèce.

Au surplus^ quelles que soient la vitesse horiscmtaleet h vitesse vertieaie acquises par le traîneau et par le poids F, à la fin de la chute de eeiui-^ei, la quantité de iBOuvement qui, en vertu du frottement, sera détruite^ dans le sens horizontal , pendant l'acte du choc , n'en sera pas moins toujours égale à celle qui aum été reçue par le système, en raison de la diminution de pression survenue pendant la descente de P' ; car les raisonnements , établis ( 368) pour le cas où il n'y a pas de frottement exercé le long de la tige directrice , demeurent exactement appli€at>ies , par exemple, à celui ( 369 ) où il en existe ; de sorte que, malgré ce frottement . la vitesse du traîneau, après les instants qui succèdent au choc , n'en sera pas moin^ précisément telle qu^elle eût été si le poids F fût demeuré au sommet de la tige.

571 . Féfifiaation de ee principe par Veigpériencey e^ réflexions féuéraleâ à ce ^ujet. Une expérience dans laquelle se trouveraient vérifiées , « posiérieri , les conséquences auxquelles on iiient de parvenir en dernier lieu, serait très-propre à prouver que le frottement suit, pendant le ohoc des corps, les mêmes lois de proportionnalité à la pression et d'indépendance de la vitesse, que dans le cas des pressions et des mouvements ordinaires. Or tel est , en effet , à très-peu près « la manière dont M Morin a procédé et raisonné dans les expériences déjà citées au N° 348;seulement le poids P', au lieu d'être contraint de suivre , dans sa descente de la hauteur H' , la tige verticale dont il a été parlée tombait librement de cette hauteur, à laquelle il était primitivement soutenu. Mais, comme la vitesse horizontale dont il était animé aux instants qui précédaient sa chute, lui était commune avec le tratneau ; comme nulle autre cause , si ce n'est la résistance insensible de l'air, ne venait modifier cette vitesse horizontale; comme, enfin, l'accélération de mouvement, que relfort moteur ou le contrepoids Q, pouvait communiquer au tratneau pendant la durée fort courte de la descente du poids F, se trouvait être, à cause de la petitesse même de ce poids vis-à^ vis du sien propre et de celui de Q, une fÉ-action négligeable de la vitesse commune dont il s'agit, il en résulte que leschoses se sonl,à très-peu près, passées> pendant le choc, comme si le poids F fât, dans sa chute, demeuré constaniment uni au tratneau, ainsi que nous Pavons supposé dans les derniers articles , afin d'éviter l'emploi de principes étrangers à cette première partie de la Mécanique , et relatifs à la conservation du mouvement horizontal du poidsP' , pendant sa descente en ligne courbe , de la hauteur H'.

Ce qui se passerait dans le cas d'un traîneau , dont l'intérieur serait occupé par des hommes qui agiraient en vertu de secousses verticales impri • mées à leur corps, ou à des corçs étrangers qu'ils laisseraient retomber après les avoir élevés ou lancés a une certaine hauteur , de telles circonstances, disons-nous, offriraient un autre exemple, très-familier, des effets de compensation qui viennent de nous occuper ; car , sans qu'il soit nécessaire de se livrer à un nouvel examen de la question, on peut, à l'avance, affirmer qu'après chacune des alternatives d'actions ou secousses dont il s'agit, le mouvement du système du tratneau et de ce qu'il porte, se retrouvera précisément être le même que 'si ces secousses n'eussent pas eu lieu , ou que les corps fussent restés dans un état de repos relatif , pourvu néanmoins que l'on fasse abstraction de la légère Influence occasionnée par l'accélération ou le retard que pourrait recevoir le mouvement du système, pendant ces mêmes secousses ou alternatives d'action. La vitesse horizontale du tratneau ne faisant ainsi qu'osciller entre ses limites extrêmes, et ce qui précède pouvant tout aussi bien s'appliquer au frottement sur les essieux des voitures ordinaires, qu'à celui du glissement rectiligne des traîneaux, sur le sol^ on est conduit à admettre éga-

Sae MÉCANIQUE INDUSIKIËLLË.

lemeot que les pertes de travail ou de force vive, occasionnées, par les frottements, dans dépareilles circonstances , seront telles, à très-peu près , qu'elles eussent été dans l'absence de tous chocs ; de sorte que, sous ce point de vue , les ressorts de suspension , qui permettent à la charge des oscillations verticales ou alternatives d*action. semblables à celles dont il vient d'être parlé , ne sembleraient offrir aucun avantage particulier sons le rapport de la diminution du tirage. Mais on doit considérer, 1^ qu'ici les secousses proviennent de causes étrangères à cette charge, et notamment des obstacles solides dont les routes sont presque toujours parsemées, 2<> que nos raisonnements, dans les précédents articles, supposent que les pressions, développées pendant le choc, ne soient ni assez vives ni assez intenses , pour que la loi de proportionnalité du frottement à Ces pressions , cesse d'être observée , ou pour que la constitution des surfaces en cor tact, soit altéiée d'une manière notale. Les avantages bien constatés de la suspension des voitures sur ressorts, dans le cas de cahots sur des routes mal pavées • l'accroissement progressif delà résistance moyenne avec la vitesse du mouvement qui s'observe alors (2i3),prouvent assez que les effets de ces chocs et les circonstances de ce mouvement, sont complètement modifiés, comme le sont elles-mêmes les lois du frottement sous de grandes vitesses et pressions.