BAN
du
plan.
VALEURS DES RÉSISTANCES OBÙQUES CALCULÉES DAIfS LE SEHS DU MOUVEHKIT,
La résistance directe ou perpendiculaire étant prise pour unité.
d'une palette dirigée suivant le rayon, d'après
Vince.
Hutton. Thibault.
d'uR« palette paraHèle à l'axe, et frappant l'air
extérieure»
intérieure».
moyenne de deuxpalett*.
dirigées in-, térieuremfet extérieure».
(i) Transactions phyîosnphiqves de la Société royale de Londres i 1778. ip) rCovvelles rxinrimccs d"* Artillerie , p. 117 et «uiv.
403. Observations sur les données de ce tableau et les lois de la résistance oblique. Les Dombres des premières colonnes relatives à la résistance latérale, sont suffisamment d'accord entre eux^ quoique ceux obtenus par le docteur Vince, en opérant sur l'eau, soient un peu plus faibles^ pour les grand angles ; circonstance qui peut tenir (400) aux proportions du volant et de la surface choquante.
En nommant a l'angle de cette surface avec la direction du mouvement, Hutton représente le résultat de ses propres expériences, par la formule empirique
(sin a)*»®^"»»»,
très-approximative, quoiqu'elle se trouve déduite d'une méthode d'interpolation qui semble peu appropriée à la nature du phénomène. Cette formule, dont le calcul devient facile à l'aide des tables logarithmiques, peut être remplacée avantageusement par la suivante
2 sin^g
1 4- sin^a ->
dont la coipposition fort simple, appartient à M. le colonel Duchemin, et se trouve justifiée dans le Mémoire qu'il a présenté au concours de l'Académie des sciences, pour le prix sur la résistance des fluides, par la comparaison des résultats qu'elle fournit avec la moyenne de ceux qui se déduisent des données ci-dessus de l'expérience.
Quant aux nombres ou rapports inscrits dans les deux.dernières colonnes de la table^ les différences qu'ils offrent, soit entre eux, soit avec ceux des précédentes^ sont d'autant plus dignes de remarque, que le dispositif, auquel ils correspondent, se rencontre dans plusieurs mécanismes où les volants à ailettes servent à régulariser le mouvement.
404. Roues ou volants à ailettes multiples. Dans les expériences de Hutton, faites avec l'appareil à axe vertical de Robins, le volant ne portait qu'une seule ailette ; il en portait deux symétriquement placées par rapporta l'axe, dans les dispositifs à axes horizontaux employés par Borda et M. Thibault ; enfin dans celui du docteur Vince, le volant portait quatre ailettes montées sur autant dje bras égaux, croisés à angles droits. Malgré les observations contraires émises par Bubuat, dans les Principes d'hydraulique, on peut croire que le rapprochement des ailettes, dans ce dernier système , n'a pas dû exercer d'influence sensible sur l'intensité de leur résistance individuelle ; mais il n'en serait plus ainsi évidemment du cas où ces ailettes se trouveraient beaucoup plus resserrées et multipliées, comme cela a lieu dans certaines roues ou moulinets, dont les palettes sont souvent rapprochées à une distance moindre que leur largeur dans le sens du rayon.
D'un autre côté, on sent, à priori, que les phénomènes de mouvement, présentés par la masse fluide , doivent ici se trouver modifiés d'une manière notable, et qu'à une certaine limite de rapprochement des ailettes, Faction de la force centrifuge (391) doit, pour ainsi dire, être la seule cause d'ébranlement du milieu, tandis que la force vive imprimée à ses molécules et la résistance du volant doivent, de leur côté, devenir à peu près indépendantes du nombre des ailettes. Le principe des forces vives laisse encore apercevoir que cette résistance doit croître toujours à peu près comme le quarré de la vitesse du centre des ailettes; mais, dans des phénomènes aussi compliqués, il ne convient pas de s'en rapporter simplement aux indications de la théorie et du raisonnement, et il est préfériible de recourir aux données de l'expérience directe.
Résultats des expériences de MM. Piobert, Morin et Didion (Mémoire ci^é). Pour une roue de 1",30 de diamètre extérieur, dont les ailettes carrées, au nombre de 20, avaient 0"*,20 de côté, et dont par conséquent la sur-
m I^JECÀlNIQUE INDUSTRIELLE.
face totale A, était de O^'i^S, la résislaoce, dans l'air, a pu 6ire représentée par la formule
défalcatipn faite de la résistance des bras> et la vitesse uniforme T, dn centre des ailettes, demeurant comprise entre 3 et 8"» par seconde.
Pour la même roue portant successivement cinq , dix et vingt ailettes rectangulaires des dimensions ci-dessus, la résistance, dans Tair, se trouve représentée généralement par la formule
R^^ 0\100 + (0,0068 + 0,H79na)V2,
y étant la vitesse du centre de ces ailettes, n leur nombre et a leur aire commune. Mais, ainsi qu'on Ta fait remarquer, n ne peut augmenter dans cette formule, au delà d'une certaine limite, sans que le coefficient 0,1179 ne diminue, et que le nombre 0,0068 lui-même n'augmente, de sorte que la seule chose démontrée par ces expériences, c'est qu'à cela près dé la constante O^^^lOO qu'il est permis de négliger dans les applications ordinaires, à cause de sa petitesse^ la résistance demeure sensiblement proportionnelle au quarré de la vitesse.
Réùstanee des plans minces dans le mouvement reetiligne ei parallèles
40S. Premier cas : le plan étant mu dans un fluide on repoê. Ce cas étanfk plus difficile à soumettre à Texpérience que celui qui se rapporte au mouvement circulaire, on ne doit pas être surpris des lacunes et des incertitudes qu'il laisse encore. Voici le petit nombre de résultats qui le concernent.
Expériences de Vuhuat. Dans une suite d*expériences délicates pour déterminer la loi des pressions et des non pressions éprouvées par un plan de 1 pied carré de surface, sous des vitesses comprises entre 1" etS"" par seconde au plus, Dubuat a trouvé {Principes d hydraulique y ^^ partie, art. 482 et suiv.) que, en représentant par m le coefficient de l'excès de pression sur la face antérieure, et par n celui de la non pression sur la face postérieure (379), on avait, en conservant toujours à/>, A et H leur signification (382) et prenant pour formule de la résistance,
R=*MH=w|)AH-{-«MH, »«^1, w=0,433, *=1,433.
Dubuat admet, en outre, que les valeurs de m, n et A sont indépendantes de l'étendue des surfaces ; mais, bàtons-nous de le dire, ces valeurs ne sont pas le résultat d'une mesure directe et absolue de la résistaDce;eUesont été seulement conclues de celles des pressions partielles en avant et en arrière obtenues à l'aide des procédés manométriques déjà indiqués et critiqués à la fin du numéro 378.
Expériences de MM. Piohert^ Marin et Didion. D'après ces récentes expériences, faites sur des plans minces de 0,03 à 0,25 de mètre carré, que, a l'aide de contre-poids , ils faisaient remonter verticalement dans l'eau en repos , de manière à leur laisser acquérir, vers la fin de leur course, un mouvement sensiblement uniforme , dont la vitesse a varié de 0*" à 5" par seconde, la résistance serait très-exactement proportionnelle à l'étendue A, des surfaces; mais il y aurait lieu (388) de tenir compte d'un terme indépendant de la vitesse, pour le cas des mouvements très-lents (383 et suiv.)
La formule propre à représenter la loi delà résistance serait ainsi^, AH ayant toujours la même signification :
R = A(0k,934 + 143,15V*) = 0,934A + 2,8IMH .
DES RESISTÂIS'CES. 37J
dans laquelle le terme constant devient négligeable toutes les fois 4iue la vitesse surpasse 0°*,$ à O'^fi par seconde ; de sorte qu'on aurait alors simplement
R=2,81pAH et Jb«=2,81.
Cette valeur de ^ est, à peu près, le double de celle ci-dessus, trouvée par
Dubuat; elle a été obtenue au moyen d'appareils susceptibles d'une grande
précisioq^ mais, comme les expériences ont eu lieu sur un bassin d'eau
d'une assez faible profondeur, et dans lequel les plateaux, même en leur
1 supposant une marche bien assurée, n^ont dû acquérir une vitesse uni*
! forme que lorsqu'ils étaient voisins de la surface supérieure du liquicle> i(
; peut se faire (393) que cette circonstance ait exercé une influence considé-
I rable sur les résultats, et, dans tous les cas, il conviendra d'en borner
I l'application à des circonstances analogtres.
[ Expériences des mêmes ^ telatioes à Totr. Dans cette nouvelle Série d'expé- ! riences sur des plateaux carrés et minces de 0""%S5 et 1"*« de surface , mus I verticalement , dans l'air en repos et indéfini , avec des vitesses uniformes qui ont varié entre 0°" et 9°" par seconde, Tensemble des résultats de l'expérience a conduit à la formule générale
R= A î^ (0,036 + 0,084 V) == pA (0,038 + 1,374 H),
dans laquelle />'«= 1^,214, représente la densité de l'air sous une température et une pression barométrique moyennes, 4e 10° centigrades et 0",76 de hauteur de mercure, p étant toi^'ours la densité ou le poids effectif du mètre cube d'air à l'instant de l'expérience.
On voit par cette formule , que , pour les gaz et des vitesses au-dessous de 4 à 5^^ par seconde, il ne serait nullement permis de négliger le terme constant, dont il parait d'autant plus difficile de s'expliquer ici l'orL- ' gioe (388), que sa présence n'a été signalée dans aucune des expériences de Bor^a , Uutton et M. Thibault, sur le mouvement circulaire des plans minces.
Pour les vitesses comprises entre 4°* et 9°", limites de celles qui ont été observées, on pourrait, au contraire, prendre, sans erreur sensible,
R=l^S74pAH ou it =1,374; résultat peu différent de celui ci-dessus, de Dubuat et des plus faibles de ceux qui ont été obtenus par M, Thibault, etc. (400), ce qui tend à confirmer les remarques précédentes.
Réêisfance de l'air dans le mouvement varié. Ces mêmes expériences, commises, ainsi que les précédentes, aux soins particuliers de M. Didion, observateur très-oonsciencieux, ont montré (380) que, dans le cas où lé mouvement du plateau, au lieu d'être parvenu à une parfaite unifbrmité, variait d'une manière sensible, la résistance devait être représentée parla formule à trois termes (382)
pour toute la partie de la descente des plateaux où le mouvement s'accéhVrait , et
R == A^ f 0,036 + 0,084 V« - 0,164 ^-\ ' po ur la partie de l'ascension où il était retardé, —étant toujours le rapport
de raccroissement ou de la diminution instantanée de là vitesse à l'accroissèment du temps.
Malheureusement le résultat de ces expériences ne met pas en mesure de reconnaître Tinfluence des dimensions réeMes des plateaux dans chaque expérience, et de le confronter avec celui qui se déduit de la régie établie par Dubuat(580).
406. Deuxiâhe cas : le plan étant immobile dans un fluide en mouvement. D'après deux anciennes expériences de Mariotte , sur une planchette carrée de 6^° de côté.^ soumise au choc d'un courant d'eau uniforme, parallèle et rectiligne^ courant dans lequel elle était entièrement plongée, et dont la vitesse a varié entre li"*,25 et 3p^',75 seulement par seconde, on aurait
R = ifepAH, et * = l,2Spour A = 0•"^0264; mais ce résultat laisse beaucoup d'incertitude, à cause de Timperfection des moyens employés par l'auteur, pour mesurer la vitesse du courant.
Expériences de Dubuat (Princ. d'hydr., art. 458, 466 et 484). En soumettant au choc de l'eau animée d'une vitesse de 3^' environ par seconde, le plan de i^ carré dont il a été parlé dans le précédent numéro, ce célèbre ingénieur a trouvé, à l'aide des mêmes procédés , que l'on avait
m = 1,186, n= 0,670, A= 1,856 pour A =0»% 1055.
Cette valeur de k diffère , comme on voit , beaucoup de celle obtenue par Mariotte , et elle ne diffère guère moins de la valeur * = 1 ,433 à laquelle Dubuat est parvenu (405) dans le cas où c'est le plan qui se meut dans l'eau en repos ; mais , s'il y a lieu de concevoir des doutes , ce n'est pas à regard du dernier résultat qui a été vérifié , par Dubuat , au moyen d'une mesure entièrement directe de la pression, et qui l'est également par les «résultats suivants.
Expériences de M, Thibault {omvaQe déjà Cité). Cet auteur ayant exposé à l'action directe du vent, des plans minces de 0«^%1089 et 0«%2304 de surface , dont la résistance se trouvait mesurée à l'aide d'un instrument à ressort nommé anémomètre, il a trouvé, par une réduite de sept séries d'expériences, dans lesquelles la valeur de k a varié entre 1,568 et 2,125, et la vitesse du vent entre 1°*,8 et 8"»,2 par seconde ,
A = l,8â4 pour A = 0*"Si089 et A = 0™',2304,
nombre qui diffère très-peu du précédent.
Enfin, d'anciennes expériences de Rouse, citées par Smeaton, dans ses Recherches expérimentales sur l'eau et le vent , ont donné , pour une surface d'un pied carré de Londres , soumise à l'action de l'air , sous différentes vitesses ,
D'après cela , on ne saurait douter que la valeur k = 1,86 , obtenue par Dubuat , ne soit exactement déterminée pour l'air et l'eau , dans le cas de surfaces qui diffèrent peu de 0",32 de côté : que si d'ailleurs , on voulait tenir compte de l'expérience de Mariotte, sur une surface de 0"»%025, alors on devrait admettre, comme on le faisait jusqu'ici, que, même dans le genre de mouvement qui nous occupe , la résistance croit plus rapidement que l'étendue des surfaces , surtout à partir des plus petites d'entre elles.
407. Remarques générales sur les résultats qui précèdent. Ces résultats que nous avons rapportés , pour ainsi dire, sans commentaires, et dont le petit nombre et l'incertitude pourront surprendre ceux qui ignorent jusqu'à quel point sont difficiles les expériences précises de cette espèce , ces ré-
sultats ne permettent pas encore de décider, d'une manière positive, si , comme l'avait pensé Dubuat , la résistance des plans mobiles dans un fluide en repos , est effectivement distincte de celle des plans en repos choqués par un fluide en mouvement. L'indécision tient essentiellement, comme on Ta vu, au premier de ces cas, et plus spécialement à la difficulté de procurer aux corps un mouvement rectiligne, parallèle, rigoureusement uniforme et suffisamment prolongé ; mais aujourd'hui, grâce aux applications de la vapeur à la navigation et à la locomotion , on serait plus en mesure de réussir dans l'entreprise d'expériences de cette espèce : il suffirait de monter convenablement les appareils sur un bateau ou une voiture mus, de cette manière, dans un temps calme. On doit donc faire des vœux pour que de telles expériences soient enfin tentées avec des moyens de précision , analogues à ceux déjà mis en usage par MM. Piobert, Morin et Didion.
Dans l'état actuel des choses, on peut remarquer, en faveur des opinions de Dubuat , que le résultat auquel il est parvenu pour le mouvement rectiligne, s'accorde suffisamment bien avec ceux que fournissent les expériences sur le mouvement circulaire et les plans d'une très-petite étendue relativement à la longueur du rayon du volant (-401), cas pour lequel la nature du mouvement doit (39i) exercer le moins d'influence.
D'après les expériences de Borda, en effet, la plus petite 1,39, des valeurs de fc, difl^ère peu de celle 1,43^ que fournissent les expériences de Dubuat ; et , suivant M. Thibault , la plus faible de celles qu'il ait été à même d'obtenir à Taide du volant, s'est trouvée égale à 1,291 , nombre qui doit être encore un peu trop fort, comme lobserve cet habile expérimentateur. Rien donc ne répugne absolument à adopter, je ne dis pas seulement le coefficient fc = 1,45 trouvé par Dubuat , mais celui 1,254 qui a été proposé en dernier lieu, par M. le colonel Duchemin (Mémoire cité), d'après le résultat d'expériences analogues à celles de Dubuat, et qui laissent également le regret de n'avoir pas été vérifiées au moyen d'une mesure directe et absolue de la résistance.
Ces considérations, jointes àla valeur fc=l,374, obtenue par M. Bidion, dans le cas de plans d'une fort grande étendue, mus verticalement dans rair(405) , rendent au moins très -probable la singulière, l'énorme difl^érence signalée par Dubuat, entre le cas d'un plan mobile dans un fluide en repos, ou du même plan en repos choqué par un fluide en mouvement; différence qu'il attribuait principalement à la facilité qu'éprouvent, dans le premier, les molécules à se dévier à une plus grande distance du corps, en avant ou latéralement, ce qui, dans le langage de Tauteur (380) , revient à supposer une plus grande étendue à la proue fluide. En nous fondant sur ces difl^érents motifs et en attendant des expériences tout à fait décisives, nous proposerons la valeur moyenne * =1,30 pour le premier de ces cas , celui des corps mobiles dans un fluide en repos , et la valeur *=1,85 pourlesecond; sauf à décider ultérieurement si l'étendue effective des surfaces oflre, ou non, une influence dont il soit nécessaire de tenir compte dans les calculs, du moins pour les très-petites surfaces.
Jiégistonces des surfaces minces concaves el convexes ; voiles ei parachutes»
408. Plans minces avec rebords. Lorsqu'on adapte au pourtour antérieur dune plaque mince, des rebords formant saillie sur cette plaque, la déviation des filets s^y trouvant augmentée , il en doit être ainsi de la résistance : ce fait a été prouvé par les expériences de Morosi , répétées
S?G MÉCAÎÏIQUE INDUSTRIELLE.
depuis pnr M. F. Savart (1), sur le choc des veîiics d'èan fsolées , pour lesquelles la résistance a été presque doublée. Les expértences de Christian (/^fécanique mdustrielh^ tom. I", p. 478 et suiv.), sur une plaque recevant le cboe , dans un coursier qu'elle remplissait presqu'en entier , lui ont donné une augmentatidn de pression de 7V environ pour un jeu latéral très^faible , et de 7 pour un jeu du \ de la largeur de la plaque ; mais on peut croire que la résistance serait augmentée suivant une proportion plus grande encore, dans le cas d*un fluide ou d*un jeu pour ainsi dire indéfini,
409. Surfaces eyHndrique$ ntinoes, eoneaves. M. Thibault, dont noos avons déjà si souvent cité les recherches expérimentales sur l'aîr, a constaté qu'une surface mince de carton, courbée cytindriquement , de manière à pi'ésenter sa concavité à l'action de ce fluide , et mue circulairement sous différentes vitesses , à l'extrémité du bras d'un volant de 4 ",37, donnai! Heu à des résistances dont la loi était à peu près fa même que cdie des plans minces , sous les mêmes vitesses et inclinaisons , sauf pour les très*petits angles d'incidence BAN (Fig. 67, N*» 402), où les surfaces courbes ont présenté comparativement , des résistances un peu plus fortes.
Un plan mince et trois surfaces cylindriques concaves , à peu près circulaires , dont les arcs ofi^raient respectivement 20», ifS^ et 60^ degrés de courbure, tandis que les aires, sensiblement égales, de leurs projections A, sur un plan perpendiculaire à celui du mouvement, étaient d'environ Oin^^i0â!4, ces surfaces, disons-nous , ont donné, pour la valeur comparée de leurs résistances, celle du plan mince étant représentée par 1,000
1*» La surface courbée do 20» 1,030
2* La surface courbée de 40* 1,0S4
3« La surface courbée de 80* 1,070
Ces expériences n'ont pas mis à même de constater la limite d'accroissement de la résistance avec la courbure.
410. Surfaces minces à double courbure^ voiles de navires, M. Thibault ayant soumis à l'expérience, une autre surface concave, à double courbure, d'environ 50«, couverte de toile et ofl'rantà Taction de l'air la mê»6 pirojectîon A, que ci-dessus, il a obtenu un résultat un peu supérieur môme à celui qui concernait le cylindre courbé sous un arc de eo»,
Enfin des surfaces de toiles enverguée^ à la manière ordinaire (ceffe des voiles de navires) , et dont la courbure a varié de 50 à OO*», ont ofl^ert des résultats anal(^ues. Mais, de plus, l'expérience a montréque la résistance directe et oblique de ces voiles, dont la flèche était environ le | du rayon ^ différait très-peu de celle d'un plan mince, de même surface développée et de même inclinaison, sau^ pour les petits angles où cette première résistance devenait un peu plus forte , fait très-remarquable et déjà soupçonné par Dubuat. Ainsi on pourra calculer (402) la résistance des voiles de vaisseaux, à peu près pour tous les angles au-dessus de 45' d'inclinaison , en les supposant remplacées par des plans de même étendue développée.
411. Résistance des parachutes. On admet asscz généralement que la flèche ou le creux d'une suif ace concave, telle que ceUe des voiles de vaisseaux et des parachutes , ne doit pas surpasser le tiers ou le quart de sa largeur moyenne, mesurée entre les bords opposés, lorsqu'on veut rendre un maximum la résistance de ces surfaces , sous une étendue donnée. MM. Piobc^t, Morin et DidiM ont entrepris des expériences dans
(1) ÀitMûies de Chimie et de Physique, T. LY , pag. 357 et 18^ («nn^ iS33).
la vue de découvrir spécialement Fintensilé et la loi de la résistance relative à une surface de celle espèce. Il se sont servis , à cet effet, d'un parapluie , recouvert , à la manière ordinaire /en taffetas , qui avait 1">,27 de diamètre moyen ou d'envergure , 0",373 == 0,31 • 1",27 de flèche réduite, et l«"q,20 de surface A, en projection sur un plan perpendiculaire à son axe ou à sa^tige. L'ayant fait descendre et monter alternativement à Tair libre , sous différentes vitesses , dans le sens vertical , parallèle à cette tige , et de manière à lui faire opposer, tantôt sa concavité et tantôt sa convexité , à l'action du fluide , ils ont conclu du résultat des expériences dirigées principaleinent par M. Didion :
1" Que si Ton représente par 1 , la résistance uniforme d'un plan mince de même étendue horizontale A , celle du parapluie ou parachute devenait , dans les mêmes circonstances de mouvement , 1,94 environ , quand la concavité se trouvait dirigée en avant, et 0,77 quand c'était la convexité qui se trouvait Félre à son tour ;
2° Que , relativement à la loi de la résistance dans le cas où le mouvement était parvenu sensiblement à l'uniformité , elle se trouvait , pour les vitesses de à 8"', soumises à l'expérience , représentée fort exactement par la formule
R= ^r A (0,070 + 0,163^)= 4,936 ^, A (0,036 + 0,084 V*) quand la concavité était dirigée en avant , et R = ^ A (0,0284-0,0652 V)=0,768^ A (0,036 + 0,084 F)
quand l'inverse avait lieu , les lettres ayant ici d'ailleurs la même signification que pour la formule correspondante du N" 40S ;
3" £nfin , que , dans le cas au le mouvement varie à chaque instant, il devenait nécessaire , comme pour les plans minces (ibid.) , d'ajouter aux
formules un terme dépendant du rapport -^ » ^^ sorte qu'on avait , en
particulier, pour le cas de la descente des parachutes , qui intéresse spécialement l'aèrostation ,
412, Rénntance des angles dièdres. Les auteurs que nous venons de citer, ont aussi soumis , dans les mêmes circonstances , à Taction de l'aîr, un angle formé par deux plans rectangulaires réunis h charnière , et qu'ils ont fait mouvoir verticalement , sous différentes ouvertures et différentes vitesses, dans le sens même du plan qui divise cet angle en deux parties égales : a représentant ici , en degrés sexagésimaux, Fangle aigu de chaque plan avec la direction du mouvement ou avec le plan médian dont il s'agit, A la somme des aires des deux plans , ils ont trouvé , pour le cas où la vitesse était devenue sensiblement uniforme et où l'angle agissait par son tranchant ,
formule qui se réduit à sa correspondante du N' 406 , quand a =* 90', et que les deux plans n'en forment plus qu'un seul , perpendiculaire à la direction du mouvement.
Cette résistance, comme on le voit, suit des lois très-distinctes de celle des plans minces , obliques et isolés (402) , et il n'y a là rien qui doive surprendre , si l'on réfléchit à la diversité des mouvements imprimés 9U fluide dans les deux cas.
P* PARTIl. 48
Résiitance des corps prismatiques dans un fluide indéflni,
413. Prismes droits immobiles dans un fluide en mouvement. Pour de tek
f)rismes terminés aux deux bouts par des faces planes ( Fig. 85 ) , et doot 'axe est dirigé dans le sens du mouvement , «la résistance peiit toujours être exprimée par la formule R =^/) AH ; mais le facteur k est susceptible de varier , avec le rapport de la longueur L , de ces prismes , à la racine quarrée de leurs aires transversales A, ainsi qu'il suit.
Selon Dubuat^ qui remplace (405) le facteur ife, par la somme w+n, des coefficients m et n de Texcès de pression antérieure et de 1^ non pression postérieure, on a, pour
=1,00, m=l,186, «=0,271, fc=l,4S7, =8,00, «1=1,186, «=0,155, ^=1,339, =6,00, «1=1,186, «=0,117, A=l,503.
Mais ces nombres n'ayant pas été déduits immédiatement d'une mesure directe de la pression supportée par le prisme, il convient de leur substituer les suivants , tels qu'ils résultent des expériences entreprises , par Dubuat, pour en vérifier la justesse, et d'après lesquelles on aurait respectivement, pour
fc=l,865, 1,451, 1,323, 1,360;
ce qui semble démontrer que, passé le terme où la longueur des prismes égîile trois fois leur largeur moyenne, la résistance cesse de diminuer par ^'influence de la non pression (S79 et 390), et tend au contraire, à croître de plus en plus , en raison de la prépondérance acquise par le frottement latéral du corps.
Suivant les récentes recherches théoriques et expérimentales de M. le colonel Duchemin, la loi des variations du coefficient k, serait donnée par ce tableau
Valeurs deyk, 0,000, 1,000, 2,000, 3,000,
Id, de k, 1,864, 1,477, 1,347, 1,328;
dont les nombres, quoique déduits de mesures indirectes ou partielles des pressions antérieure et postérieure , s'accordent néanmoins très-bien , éonime on le voit, avec ceux que Dubuat a obtenus par des procédés directs et à l'abri de toute contestation.
Quant à l'existence d'un minimum de pression , révélé par les résultats ci-dessus, des dernières expériences de Dubuat, elle serait, suivant les vues théoriques de M. Duchemin (1), une conséquence nécessaire de ce que les
(i) Soit i ce qu'on appelle le coefficient de la contraction ou de la réduction éprouvée par la dépense des ajutages dont il vient d'être parlé , m (4o5) le coefficient de la pression antérieure du prisme, censée proportionnelle au produit /7ÂH , n celui de la pression postérieure mesurée de même , de sorte quMci ^ =» m — n , on aurait , d'après M» Duchemin |
Hfizrra, n = j,776t* — o,5236, A = 2,624 — 1,776»* j les valeurs de i, déduites des expériences de Michelotti, étant données, pour chacune de
filets liquides cessent, dans la cas actuel, de se détacher des faces latérales du corps en m et m' ( Fig. 55, N" 374 ) , dès que sa longueur est environ 2,67 fois sa largeur moyenne ; circonstance analogue à celle qui se produti dans Técouleraent de Teau par les ajutages cylindriques des réservoirs, mais qui n'aurait plus lieu pour le cas ci-après, des prismes mobiles dans un milieu en repos, parce que les filets fluides se trouveraient alors soumiis à une moindre déviation latérale ou s'infléchiraient de plus loin , de pari et d'autre du corps, conformément à Topinion de Dubuat (407).
Les idées de l'auteur, sur la manière dont la pression se répartit autour du corps, difl^èrent d'ailleurs spécialement de celles de Dubuat (879;, en ce qu'il considère comme étant les mêmes, en chaque point, les pressions qui appartiennent, soit à laface antérieure, soit à la face postérieure du prisme, rexcès des premières sur la pression statique naturelle, étant mesurée par le double de la hauteur due à la vitesse , et Texcès pareil des secondes étant susceptible de varier avec la longueur du ])risme , suivant des lois très-distinctes pour les deux cas où ce prisme est en mouvement ou en repos.
414. Prismes droits mobiles dans un fluide en repos. Pour ce cas pailiculier (Fig. 54) , l'axe des prismes se trouvant toujours dirigé dans le sens du mouvement, on aurait également, d'après Dubuat, pour
A = 0»ï,10,-;— =0,0, m = Ifia, n == 0,433, k = 1,433,
mais ces résultats n'ont pas été déduits d'une mesure directe de la résistance.
Dans des expériences de M. Marguerie (1) , sur des cubes de O"*!,? et l"""! de faces environ, mus sous de faibles vitesses, dans un bassin rempli d'eau de mer, où ils se trouvaient entièrement plongés, k a pris moyennement la valeur 1^27^ qui surpasse un peu celle 1,17, fournie par la table ci-dessus.
Les expériences du colonel Beaufoy (39S) , sur des prismes rectangles de l^** carré de base et lO^*** anglais de longueur, enfoncés de 6^^* environ sous l'eau et mus dans le sens de cette longueur, conduisent, par le calcul, aux valeurs *= 1 ,44 environ, pour des vitesses de 4" par seconde, k = 1,50 pour celles de 2", et it = 1,58 pour des vitesses de 0™,5 environ; l'excès de cette dernière valeur de fc, sur la première, paraissant tenir essentiellement au frottement latéral, dont l'influence croit avec l'afl^aiblissement de la vitesse (383 et suiv.)
M. Morin, qui s'est livré à un long travail sur les données fournies par ces mêmes expériences, a trouvé que la résistance, en représentant par S la surface latérale ou frottante du prisme ci-dessus, était donnée, d'une manière approximative , par la formule empirique
R=0,85M^+0,!71m£+0,007pS ^ .
ceUet du rapport y— 'y par t<t table suÎTante r
/ . =0,000^ o,5oOy lyooo, i,5oo, 3,000, 9^5oo^ a,6;o^3,;;5o,3,ooo, 4:Ooo5,ooo,8,ouo,
k «=«0^627, o»635, 0,641,0,647, o,653, 0,608, 0,660, 0,661, o,663, 0,671, 0,678, 0,694. (i) Mémaires de F Académie de Marine,
MO MÉCANIQUE IKDUSTRiE^LLE.
dont le premier terme représente la résistance antérieure' du prisme, le second la non pression postérieure, et le dernier le frottement latéral. Mais les résultats de ces expériences offrent , en eux-mêmes, trop de chances d'incertitudes (39S) pour qu'on puisse ainsi démêler exactement le rôle de chaque genre de résistance.
On ne connait pas d'autres mesures directes de la résistance des prismes rectangulaires mus dans l'intérieur d'un fluide indéfini, et, comme le remarque M. Duchemin, il ne convient pas de confondre , ainsi qu'on la fait quelquefois, ce cas avec celui des corps flottants dont il va être bientôt fait mention.
Suivant le résultat particulier des expériences de cet officier supérieur, fondées , comme celles de Dubuat (405) , sur des moyens indirects de mesurer les pressions partielles, on aurait dans le cas présent^ pour
Ainsi les yaleurs de ft, qui, d'abord , sont inférieures, de beaucoup , à leurs correspondantes relatives au cas des prismes en repos (413), leur deviendraient égales pour des longueurs triples environ de la largeur moyenne ou réduite, et, suivant l'auteur, elles continueraient ensuite à l'être, pour des longueurs^ de plus en plus considérables du prisme par rapport à sa largeur. D'un autre côté, la résistance loin de diminuer comme l'indique le résultat ci-dessus des expériences de Dubuat, irait , au eontraire, sans cesse en augmentant, à partir des plus petites valeurs du
rapport -7=^, circonstance qui, dans les vues théoriques de M. Duchemin,
s'expliquerait encore par la facilité qu'éprouve ici (407 et 413) , le fluide à dévier et à suivre les faces latérales du corps, sans jamais les quitter, et sans cesser par conséquent, de demeurer soumis, en chacun de leurs points, au frottement qui résulte de son glissement sur ces faces. Mais, quel que soit le mérite de cette explication, elle est fondée sur un trop petit nombre de faits, ces faits eux-mêmes offrent , avec ceux qui ont été recueillis par Dubuat, un désaccord trop grand, pour qu'on puisse l'admettre d'une manière définitive. M. Duchemin représente d'ailleurs la loi des valeurs ci-dessus de k , par la formule d'interpolation très-simple
\ 9|/A+L/ applicable seulement au cas des prismes mobiles dans un fluide en repos.
Résistance des corps flottants , sous des vitesses médiocres. Nous avons vu (393) que les circonstances par lesquelles ta résistance des corps flottants diffère de celle des corps entièrement plongés, ne sont
Sas telles que l'on ne puisse encore, pour des vitesses médiocres de ",5 à 1»,5 par seconde , représenter cette première résistance par la formule
R =kpA^ = kpAU,
pourvu qu'on y attribue à l'aire A , de la plus grande section transversale du corps, la valeur qui convient à la partie réellement immergée dans l'état de repos ou d'équilibre. Ainsi nous adopterons cette formule dans l'exposé qui suit des résultats de l'expérience.
415. Prismes droits mus suivant Vase. Dubuat avait crii pouvoir conclure de la comparaison de ses propres expériences avec celles de Borda (1 ) et de Bossut (2) , que la résistance des corps flottants était , à circonstances égales , plutôt inférieure que supérieure à celle des mêmes corps entièrement plongés. Dans une expérience de Borda sur une caisse de 14po de hauteur^ mais dont la partie immergée représentait un cube de Ipd de côté, mu , perpendiculairement à Tune de ses faces , avec des vitesses de 8 à 46po par seconde seulement, on aurait eu , suivant les calculs de Dubuat, h= i^ll résultat effectivement moindre que celui t ,172 , auquel il était lui-même parvenu pour les corps entièrement plongés sous Teau.
La plupart des expériences de Bossut , sur des prismes flottants dont la longueur se trouvait comprise entre2 fois et3 ou 6 fois la largeur moyenne, ont conduit , pour des vitesses de 2 à 4pd» par seconde , à des valeurs de k plutôt moindres que supérieures à Tunité , attendu que ces prismes étaient, fort souvent, accompagnés d'une poupe, dont l'avantage pour diminuer la résistance , ne saurait alors être mis en doute (390). Enfin une autre expérience de Bossut , sur un prisme rectangle de lOp» 8i'g de largei^r, 4p«i« de longueur, enfoncé de i2p«,5 dans l'eau , et qui était mu perpendiculairement àrsa plus grande face , avec une vitesse d'environ î2p''», ayantconduit Dubuat à la valeur A =1^44 {Principes d'hydraulique, 5" partie, art. iSS et suiv.), il justifie le léger excès présenté par ce dernier nombre, sur celui que fourniraient les données de ses expériences rapportées au N"4I4, ci-dessus, en faisant observer qu'ici la largeur transversale du prisme était le quadruple de la haîiteur de flottaison ^ circonstance qui a dû augmenter la non pression , etc.
Le fait est qu'il règne quelqu'incertitude sur ces nombres. Ainsi , par exemple, M. Duchemin, en refaisant les calculs de Dubuat relatifs au cube ci-dessus de Borda , est arrivé à la valeur k = 1,48 , au lieu de i,il ; et , à l'égard des expériences de Bossut , il pense que Ton doit mettre de côté, toutes celles de l'année 4775, où la direction de Tefl'ort de tirage ne passait pas par le centre de la partie plongée des prismes (595) , pour s'en référer uniquement à celles de 1778, où Ton avait évité cet inconvénient. Or, parmi ces dernières expériences , M. Duchemin en cite deux , sous les N" 963 et 964 , dans lesquels un prisme rectangle de 4p^i« de longueur horizontale . sur 2 de largeur, et qui était enfoncé de 2pdH dans IVau , a donné , pour la résistance perpendiculaire à la plus grande de ses faces , k = 1,85 , et, pour celle de la plus petite, k = 1,56 ; ce qui lui fait conclure que la résistance des prismes droits , mus suivant leur axe , à la surface de l'eau, dépend plus particulièrement du rapport de leur largeur, horizontale à leur longueur, et qu'en substituant la considération de ce
rapport à celle de -y^ , la valeur de k devient , à peu près , ce qu'elle
serait pour les corps entièrement plongés^ et qui , étant immobiles, recevraient le choc de l'eau en mouvement (413).
D'après cette manière de voir, la valeur de *, relative aux prismes droits flottant à la surface de l'eau, et dont la longueur surpasserait 3 fois la largeur horizontale, ne descendrait jamais au-dessous de 1,33, conformément aux données de la table et de la formule ci-dessus (4H), de M. Duchemin. Mais, nonobstant toutes les incertitudes attachées aux résultais des premières expériences entreprises, par Bossut, de concert avec d'Alembert et Condorcet, lesquelles ont généralement conduit^ comme on l'a observé
(i) Mémoires de VA*iaièmie dès Sctenccx de t7f>7.
(a) Hydraulique expèrimcniate ^ iliap. ij el 16. \
t6^ MÉGANIQUE mDUSTBrELLf:.
ci-dessus^ è des valeurs de A, peu différentes de ruQité, dans des eireon* stances qui se rapprochaient beaucoup de celles du halage ordinaire des bateaux, et précisément a cause que l*on avait eu le soin ^ dans les expériences subséquentes de 1778, de diriger la marche des corps Sottants par un câble fortement tendu entre les extrémités du bassin qu'ils parcouraient, de manière à leur dter toute liberté de s'élever ou de s'incliner de Hivant à Farriére (394 et suiv.)^ nous ne saurions admettre que, dans les applications à la pratique^ on doive attribuer au coefficient h^ dont il s agit, et pour le cas des prismes flottants dont la longueur serait au moins 3 fois la largeur horizontale, une valeur qui surpasse notablement 1,10 ou même 1,00. Nous verrons plus loin d'autres motifs d'en agir ainsi.
Ces différentes causes dincertitude n'ayant pu d'ailleurs influencer sensiblement que les valeurs absolues de h et non leur rapport, dans des expériences entreprises sous les mêmes conditions, on pourra admettre, en attendant des données expérimentales plus précises, les chifl^res suivants qui se concluent du rapprochement des résultats obtenus pas Bossut , en opérant sur des prismes flottants armés de proues et de poupes de diverses figures.
416. Corpif prismatiqueê avec proues etponpen. D'après les expériences dont il vient d'être parlé, une poupe angulaire ahc (Fig. 68), à faces planes verticales, ajoutée a la face postérieure ac , d'un bateau prismatique rectangle, dont la longueur était deux fois la largeur, n'a diminué la résistance que de 0,10 environ ., quand la saillie H de cette poupe, était la moitié de sa base ac^ et de 0,16 , quand elle en était les \ environ. L'influence de la poupe pour diminuer la non pression eût été probablement plus sensible pour des prismes moins allongés (390) , comme elle deviendrait moindre aussi pour des prismes dont la longueur surpasserait trois fois la largeur: danslesapplications relatives aux bateaux ordinaires, on pourra, sansrisque de se tromper de beaucoup, réduire à 0,10 la diminution de résistance occasionnée par la poupe.
D'ailleurs l'expérienee semble démontrer que les arrondissements qui peuvent être donnés (Fig. 69) , aux faces d'une poupe angulaire, ne modifient que trés-peu les résultats, à saillie égale de cette poupe. Mais il en est tout autrement, quand on vient à ajouter à un prisme rectangle, ainsi qu'on le fait pour les bateaux et les piles de ponts, des proues arrondies : l'influence de la saillie et de la forme devient bien plus grande, comme on en va juger par le résultat des expériences connues.
Proues triangulaires veriicales. Le prisme ci-dessus (Fig. 68), ayant été retourné de manière à présenter son arête tranchante h l'action de l'eau, la résistance a varié, avec l'angle en b^ suivant la loi indiquée par cette table, dans laquelle on a pris la résistance du même prisme , sans proue, pour unité :
Angle aie de la proue .... 180°, i56o, iSa», 108®, 84**, 60®, 36», 120. Rapp'de la saillie i(f à la largeur oc, 0^000,0^ 106^ o,2a3,0|364) 0,556,0^865, 1^570, 4,7^^' Résistances compardes .... 1,000, 0,958,0,845,0,693, 0,54 3, 0,44^*0*4 '4f®>4°"'
Dans le mémoire souvent cité, M. Duchemin représente la loi des résistances indiquées par cette table, au moyen de la formule empirique
A'sino ^-., •, .
dans laquelle a désigne la moitié abd^ de l'angle de la proue, ou l'ancl*? aigu d'incidence (402) des filets fluides sur les faces de cette proue , fe' un coefficient numérique calculé au moyen de la dernière des tables ou formules du N'' 414, pour l'hypothèse où la saillie W, serait comprise dans la
longueur entière du prisme , afla d*en comparer la taleur totale à sa largeur transversale ac.
Quoi qu'il en soit de cette formule, on voit que la loi de la résistance qui nous occupe, n'a rien de commun avec celle de plans minces soumis à Faction oblique d'un fluide indéfini (402), et, de plus, on aperçoit que la valeur de celte résistance est susceptible de varier avec la longueur de la partie rectangulaire du corps.
Prot^e à pan coupé en dessous. D'après d'autres expériences de Bossut , laddition à un prisme rectangle, d'une proue (Fig. 70) formée parle prolongement de ses faces latérales et limitée, en dessous , par un plan incliné successivement sous des angles de 43° et de 2S°, t& à Diorizon, a réduit la résistance aux 0,55 et aux 0,43 respectivement , de ce qu'elle était avant qu'on ne lui appliquât cette proue , le prisme étant alors terminé carrément.
Proues cylindriques verticales. Suivant d'autres données fournies par ces fnémes expériences, une telle proue, quand sa base est un demi-cercle obc (Fig. 71), réduit la résistance aux J~ , ou à la moitié environ de celle { ,10 (415), qui , à longueur et section égales , aurait lieu sans cette proue. Ce résultat est, comme on voit, à fort peu près le même que celui qui , d'après la table ci-dessus, se rapporte au prisme triangulaire isocèle inscrit abc^ ou dont l'angle en 6 est droit.
Enfin, d'après des expériences de Borda ^ d*une tout autre espèce et qui seront bientôt mentionnées, sur des proues isolées de diverses formes, mues dans Tair , on peut provisoirement admettre que^ à saillies égales , les proues cylindriques (Fig. 72), dont la base est un triangle mixtiligne abc^ formé de deux arcs de cercle tangents aux faces latérales du prisme, sont celles qui diminuent le plus la résistance antérieure des prismes.
417. Résistance particulière des vaisseaux. Ldi figure des grands vaisseaux diffère de celle des bateaux ordinaires en ce que leur proue (Fig. 73, coupes horizontales et verticales par des plans équidistants) présente une arête aiguë qui se raccorde aux flancs de la carène^ par des courbes horizontales abj bc... offrant une inflexion. La longueur de la coupe horizontale moyenne abc^ a'b*c\ répondant au milieu de la flottaison ou de la partie de la carène plongée sous l'eau, ne doit pas excéder 5 à 6 fois sa plus grande largeur aV, puisque la résistance ne pourrait qu'augmenter en raison du frottement latéral (414); cette plus grande largeur elle-même doit se trouver un peu au delà du milieu de la longueur à partir du point b.
Bans les expériences de Bossut (1) , sur un prisme droit, de 72^'' de longueur, de 15 à 18^** de largeur réduite, et dont la section transversale avait la forme du maître-couple ABC, d'un vaisseau, les valeurs du coefficient k, ont peu différé de 1^05, soit en plus, soit en moins , tandis que dans celles qui ont concerné un modèle de vaisseau de même section ^ k n'a varié qu'entre 0,22 et 0,24, c'est-à-dire entre le quart et le cinquième du nombre précédent.
La petitesse de ce résultat donnerait lieu de croire que nos ingénieurs maritimes sont parvenus, à force d'expériences et de tâtonnements, à donner à la carène des grands vaisseaux , à peu près la forme qui offre le moins de résistance à l'action de l'eau. Mais il convient d'observer que la solution du problème relatif à rétablissement de ces immenses édifices flottants, dépend d'autres éléments non moins essentiels, tels que : le tonnage qui, avec la vitesse de la marche , constitue en quelque sorte l'effet utile; le mode d'arrimage, \a voilure, la stabilité^ etc. Il tfest donc guères
(i) llydrauliqvê expérimentale t, art. 8^5 et 876.
r84 MÉCANIQUE INDUSTUTELLE.
permis de regarder le résultat dont il s*agit comme la limite minimum et absolue de la résistance des corps, sons une section transversale donnée.
•418. Résistance des bateaux naviguant sur les canaux et ks rivières étroites. Les résultats précédents, concernant spécialement le cas où le fluide peut élre considéré comme à peu près indéfini , ou offre une très-grande étendue par rapport aux dimensions transversales du bateau , ils ne doivent point élre a[)pliqués, sans corrections préalables (392) , à celui d'un bateau naviguant sur un canal ou une rivière, dont la largeur n'aurait pas 4,5 fois, et la section 6,40 fois au moins, sa plus grande largeur et sa plus Ip-ande section transversales, comme Ta reconnu Dubuat en discutant le résultat des expériences de Bossut , d'Alembert et Condorcet, déjà citées au N« 415.
Nommant RIa résistance d'un bateau prismatique sans proue, estimée, conformément à ce qui a été dit en cet endroit, pour un fluide indéfini , R' celle du même bateau supposé en mouvement dans un canal très-long ou qui est ouvert aux deux bouts, et dont A' est Taire de la section transversale ; A continuant à représenter, pour le cas du repos, la plus grande des sections pareilles d'immersion du bateau , on aura , d'après Dubuat, pour calculer R' au moyen de R,
fraction dont la valeur devient , en effet , Tunité quand A'== 6,40 A, et \ 8.46=2,82 quand A'=A, le bateau remplissant alors toute la section du canal.
Dans celte dernière hypothèse , comme le remarque Dubuat, le prisme refoule en avant de lui la masse du liquide, à peu près comme le ferait un viTitable piston ; et , si la résistance conserve, alors même , une valeur médiocre, c'est que l'eau, en s'amoncelant en amont de ce prisme , agit pour s'échapper par le fond , et pour le soulever , au-dessus de sa position naturelle d'équilibre, d'autant plus que la section du canal est ellemême plus rétrécie. Mais ce gonflement ou remou , et le soulèvement qui en résulte et qui a été particulièrement observé par Bossut, ne doivent pas être confondus avec le phénomène de l'onde solitaire , mentionné aux N°* Saict suivants, quoique les effets apparents aient entre eux beaucoup d'à- . niilogie, et qu'ils soient le résultat d'une même cause.
Au surplus , lorsque sous une assez faible profondeur d'eau, le canal offrira une largeur supérieure à 4 } fois celle du bateau , il conviendra , d'après })iibuat , de calculer Taire \', comme si elle était réduite à cette dernière largeur, et Ton devra en agir de même à l'égard de la profondeur, toutes les fois qu'elle dépassera 1 ^ fois la hauteur maximum d'immersion (592).
Quand le bateau se trouve armfe d'une proue plus ou moins aiguë, Tinfludnce de cette proue, pour affaiblir la résistance, devient d'autant moindre que la section transversale du canal se rapproche davantage de celle du bateau ; la proue ne faisant alors que refouler Teau en avant comme un piston , sa forme devient, en effet, à peu près indifférente. Nommant R la valeur du coefficient de la résistance ou de la formule pAH , pour le cas dont il s'agit, et q le rapport de la résistance du bateau avec proue a celle de ce bateau sans proue, considérées, toutes deux, pour le cas d'un fluide indéfini, Dubuat représente le résultat des expériences de Bossut, par la formule
DES RESISTANCES. S8â
R', \ et A' ayant d'ailleurs iesmémessignifications et valeurs que ci-dessus,
A' elle rapport j- ne devant jamais être pris au-dessus de 6,46^ puisqu'alors
on aurait simplement R"=9R'.
Mais, il est nécessaire de le remarquer dès à présent , les expériences dont il vient d'être parlé, ayant principalement concerné (415) des bateaux qui ne pouvaient céder librement à Tactionde la force motrice et du fluide, on ne doit pas s'attendre à ce que les formules de Dubuat se vérifient exactement dans les circonstances ordinaires de la navigation. Nous verrons, en effet, plus loin, dans une application empruntéeàrexcellent Traité d'Hydraulique de M. d'Aubuissôn, que les formules exagèrent alors la résistance de près du double de sa valeur ; ce qui vient confirmer les observations du N*" 415, et doit d'autant moins surprendre , que Tinfluence des obstacles étrangers apportés ici, à la marche du bateau , dans les expériences de Bossut, ont dû croître avec le rétrécissement de la section du canal.
Résultats des expériences concernant les bateaux rapides,
419. Expériences de MM. Macneill et J. Russell^ suries bateaux longs à proue tranchante, Nous avous consigné, dans le tableau ci-après , les données et les résultats principaux des expériences , entreprises en Angleterre, par ces ingénieurs , dans la vue de découvrir la loi suivant laquelle la résistance des bateaux rapides varie avec la vitesse. Les Mémoires d^où nous avons extrait ces données ne faisant point connaître , avec une suffisante exactitude, les dimensions transversales des bateaux soumis à Texpérience et les profondeurs effectives d'immersion à Tinstant du repos , il nous a été im[)0ssible de calculer les valeurs de Taire A , qui doivent être introduites dans la formule (page 378) de la résistance, afin d'en déduirecelles du coefficient numérique fc, sous différentes vitesses.
D'un autre côté, les expériences elles-mêmes, n'ont généralement concerné que des vitesses uniformes, supérieures à 1" ou 1",B par seconde, en deçà desquelles MM. Macneill et Russell supposent^ avec tous les auteurs,* la résistance exactement proportionnelle au quarré de ces vitesses; c'est pourquoi, au lieu de rapporter, dans le tableau suivant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les valeurs absolues du coefficient A:, qui seules eussent permis de calculer, pour les divers cas d'application, la résistance effective des bateaux longs dont il s'agit, on s'est borné à y inscrire les valeurs comparées et relatives de la résistance pour chacune des séries principales d'expériences.
A cet effet, on a considéré que, si la loi du quarré de la vitesse, indiquée
par la formule R = kpk. ^ , était exacte, on devrait trouver que le rap-
port y, ou hp ^ , calculé d'après les données rf'nwe ulle série, conserve
les mêmes valeurs , et que si le contraire arrivait , la suite de ces valeurs indiquerait la loi même des écarts de la résistance, par rapport à celle du quarré des vitesses. D'un autre côté , comme cette dernière loi est assez exactement suivie pour les vitesses de O'-jS à l",» par seconde, on voit
qu'en divisant les valeurs du rapport «r^ » parcelle du rapport ^^ qui appartient à la plus faible des résistances ou des vitesses observées dans une même série d'expériences, c'est-à-dire ^ue, si l'on calcule la suite des valeurs du rapport numérique et composé
386 aiÉC\NlQUE INDUSTRIELLE
cette suite, dans laquelle les nombres relatifs aux plus petites vitesses devront s'écarter peu de Tunité , indiquera d'une manière absolue, la loi des* déviations de la résistance par rapport à celle du quarré de la vitesse, ou du produit /cA.
'lel est l'esprit dans lequel à été dressée la table suivante, où les dimensions des bateaux se rapportent au mètre.
EXPÈBIENCES DE K. HAGNEiLL,
en ]833.
modèle en cuivre,
L' ex*.3,070 LaridO,226 imm. 0,089
vites.
par sec^.
Bateau long en
îer,\eGraham
et Houston ;
Lo^exté. 21,30 Larr.id. 1,67 immers. 0,23
vitesse
par seco'Je.
résiste comparée
ou valeur de ri
EXPÉRIENCES DE H. J. RUSSEU,
en 1834 et 1835.
V Esquif ,
expériences
de 1834;
Lo^ ext. 9,52 Lar^ id. 1,28 Ifflfflers. 0,07
vitesse par
secoue.
résiste comiparée
ou valeur deN
Le Baleaur-Oride y expériences de 183o;
Longueur extérieure.. 21,03 Largeur id. .. 1,82
Immers. 0,342 Immers. 0,482
vitesse
par secoue.
résiste comparée
ou valeur deN.
vitesse par
seco**e
résiste comparée
ou valeur deN,
Le Dirleton J
expériences '
de 1835,
Lor ext. 21.03; Larg.id. 1,82 Immers. 0,34
vitesse
par
seco'ïe
résiste comparée
ou valeur deN.
yofa. Les nombres soulignés concernent des vitesses très-voisines de celles que M. Rusiel' attribue , dans chaque cas (394) , à la grande onde.
420. Observations particulières relatives aux dopinées de ce tableau. Nous n'avons poiot inscrit, dans le précédent tabl^ad^ les nombres fournis par celles des expériences de M. Riissell, qui ont concerné de très-faibles ou de
périences qui, ayant trait à des profondeurs moyennes d'immersion, pouvaient offrir des suites régulières et suffisamment étendues pour accuser une loi dans la résistance. Les expériences relatives aux bateaux le Houston et le Raith^ n'ayant pas d'ailleurs ce caractère, du moins au même degré que celles qui ont concerné VEaquif^ le Bateau-Ontie,. et le Dirîeton, nous les avons passées sous silence , afin de ne pas trop allonger le tableau et multiplier inutilement les calculs.
Quant aux données fournies parles expériences de M. Macneill^ elles sont ici rapportées d'une manière à peu près complète, d'après l'extrait des tables que M. Minard a traduites en mesures françaises et publiées à la page 129 (2° semestre 1834) des Annales deê ponts et chuusaées. Seulement il nous a paru utile de substituer, dans quelques cas, des moyennes aux nombres fournis par les expériences, sur le Graham et le Houston , qui , ayant concerné des vitesses peu différentes, offraient néanmoins des ano« malies assez fortes pour masquer la loi delà résistance, et pour qu'il devint permis d'en rejeter la cause sur les erreurs mêmes de l'observation. En général, dans les expériences de M. Ma^neill, comme dans celles de M. FlUSselK ces anomalies, dans les résultats partiels relatifs à une même vitesse, sont telles que leurs différences avec la valeur moyenne de la résistance, surpassent souvent le \ et même le \ de cette moyenne ; ce qui peut être attribué non moins au mode particulier d'expérimentation, qu'aux circonstances physiques déjà signalées aux N°' 594 et suivants.
Dans les expériences sur le bateau modèle, entreprises par M. Macneill, dans la galerie nationale des sciences pratiques à Londres , le tirage horizontal s'est effectué au moyen de cordes mises en mouvement par une machine à contre-poids; il en est à peu près ainsi des expériences en grand, de M. Russell, sur le Bateau-Onde et le Dirleton; mais peut-être, le dispositif, en lui-même fort ingénieux, employé dans ce dernier cas, et qui a quelque analogie avec celui de la machine à contre-poids et à disques tournants de l'italien Mathei, pour mesurer la vitesse initiale des projectiles, n'offrait-il pas toutes les chances de précision désirables, sous le rapport de Tuniformité du mouvement et de l'appréciation de la résistance. Enfin, dans les autres expériences de ces ingénieurs, le halage des bateaux s'est opéré directement, au moyen de chevaux dont l'irrégularité d'action présente ici des inconvénients d'autant plus graves, que la résistance change très-rapidement avec la vitesse.
421 . Principales conséquences et réflexions critiques sur Vempîoides bateaux rapides et la loi de leur résistance. Les incertitudes et les contradictions qui viennent d'être signalées dans le résultat des expériences, ne permettent pas de tirer des conclusions positives relativementà la loi mathématique de la résistance des bateaux rapides et aux avantages qui doivent être attribués, je ne dis passons le rapport industriel et commercial, mais sous celui de la diminution même de la résistance , à l'usage exclusif d'une grande vitesse. Que, dans la vue d'augmenter le tirant d'eau, la charge utile , on réduise à 7V, comme on le fait généralement, ou même à -Js Je rapport de la largeur à la longueur du bateau ; on ne voit là rien que de très-avantageux surtout pour les canaux étroits (418) ; car l'accroissement de frottement dû à un pareil allongement de la carène ne saurait compenser , du moins entre certaines limites , l'avantage inhérent à la diminution de sa section. Que, dans la vue de diminuer les frais du halage par les chevaux , on fasse remorquer les bateaux par des locomotives établies sur chemin de fer, comme on l'a récemment tenté pour l'un des biefs du canal de Forth et Clyde, en Angleterre, il n'y a là encore, rien que de très naturel. Quant à l'usage des grandes vitesses, considéré en luitrès-fortes charjes et tirants d eau ; nous nous sommes attichés aux ex-
même, tl est certain qu'il entraîne un accroissement énorme de la résis* tance et de la fatigue des chevaux, ainsi que Tavait appris le résultat des plus anciennes expériences.
L'ensemble des nombres consignés au tableau ci-dessus^ montre , en effet, que, pour des vitesses qui n'excèdent pas S"" par seconde , dans les expériences en grand de M. Macneill, et 2",50 à 2'",80 dans celles de M. Russell, la résistance est^ à peu près, telle qu'on la conclurait de la loi ordinaire, mais qu'à partir de ces vitesses respectives, qui répondent à celle du trot ordinaire des chevaux, jusqu'à la vitesse de 3" à 5"*,40, qui est à très^peu près celle du grand trot, la résistance croît d'une manière fort irrégulière, et comparativement très-rapide, surtout dans les expériences de M. Russell, où elle surpasse, pour quelques cas. le double de celle que fournirait la loi du quarré de la vitesse ; qu'enfin si, à partir de ce point, dont, suivant ce derniei ingénieur, la vitesse différait peu de celle de l'onde solitaire, la résistance suit comparativement une marche décroissante, il s'en faut de beaucoup qu'elle descende au-dessous de la résistance assignée par la loi dont il s'agit, de quantités aussi notables qu'on semblait l'espérer et l'annoncer d'abord. Car, si les résultats obtenus par M. Macneill et quelques-uns de ceux qui l'ont été par M. Russell^ indiquent qu*à la vitesse de 4",5 â 5"* par seconde , qui est à peu près la limite de celle qu'on puisse ici espérer des chevaux, la résistance se trouve réduite aux 0,66 moyennement, de celle qui aurait lieu d'après la loi du quarré des vitesses, tous les autres résultats des expériences du dernier de ces ingénieurs, montrent que cette réduction , quand elle existe, est tout à fait insignifiante, sans compter que le chiffre des premières est fort contestable, et serait remplacé, avec plus de chance d'exactitude , par la fraction 0,72 ou 0,75, attendu (419) qu'il répond, dans le tableau, à des séries de valeurs de N, dont celles qui concernent les plus faibles vitesses, sont moyennement de 0,1 au moins, au-dessous de l'unité.
Concluons de cette discussion , que si les phénomènes présentés par les hateaux'posie sont, en eux-mêmes et sous le point de vue scientifique, dignes de l'attention la plus sérieuse , il s*en faut qu'ils offrent , sous le rapport des réductions comparatives de la résistance a de grandes vitesses, et abstraction faite des avantages inhérents à la forme j, aux dimensioDs mêmes des bateaux , le degré d'intérêt et d'importance industrielle qu'on a voulu leur accorder dans ces dernières années ; et , pour tout dire en un mot , la seule conséquence positive qu'il soit permis de tirer, quant à présent, du résultat des expériences anglaises, c'est que , s'il devient avantageux, pécuniairement parlant, de marcher rapidement dans certaines circonstances, il convient de faire prendre aux bateaux une allure assez vive pour ne pas tomber dans des vitesses trop voisines , en dessous , de celles pour lesquelles l'onde solitaire tend à se former et à se maintenir avec régularité.
422. Expériences de M» Marin sur les bateaux prismatiques , avec proue et poupe pyramidales raccordées cylindriquement (fig. 69 et 70). L'un de ces bateaux , dont la forme était généralement celle des bateaux d'équipages de ponts militaires, a reçu diverses rallonges qui ont permis d'étudier l'influence particulière de la longueur sur la résistance. Ils ont tous été mis en mouvement dans un fossé de la fortification de Metz , ayant 1" de profondeur d'eau moyenne et 30" de largeur, tandis que la largeur des tateaux a seulement varié entre 0™,7 et 1°*,7. Les phénomènes observés dans ces circonstances particulières , ont été analogues à ceux que nous avons déjà décrits d'après M. J. Russell , si ce n'est que le pan coupé en dessous , de l'avant des bateaux , donnait ici Uèu à deux gerbes latérales qui tendaient à augmenter Tévidement, la dépression sur les côtés de la proue et les
longaes faces qui s'y raccordent. La vitesse a été imprimée à ces mêmes bateaux ^ tantôt an moyen d'une machine à contre-poids ^ tantôt à Taide de chevaux dont l'allure irréguhère , jointe aux inconvénients inhérents à Tobliquité de la proue (395) , était très-défavorable au succès des expériences. Aussi ne doit-on pas être surpris des incertitudes offertes par les résultats , et de la bizarrerie des lois qu'ils suivent.
En prenant pour abscisses les vitesses et pour ordonnées les résistances correspondantes ^ mesurées directement dans chaque cas , M. Morin , chargé spécialement de la direction de ces expériences , a généralement obtenu des courbes à point d'inflexion, dans le genre dts paraboles cubiques^ c'est-à-dire en forme d'S, et qui d'abord, convexes vers Taxe des absci.^ses, comme le veut la loi parabolique ordinaire (393), deviennent ensuite concaves , sans cependant donner lieu à un sommet ou maximum d'ordonnées. Ces ordonnées continuent, en effet, à croître , comme dans toute la partie des courbes voisines du point d'inflexion , avec une rapidité variable d'une série d'expériences à l'autre et sans relation nécessaire ou apparente avec la hauteur d'immersion , le tirant d'eau du bateau , et sa longueur : celle-ci, notamment , n'a pas semblé exercer une influence appréciable sur l'intensité de la résistance , quoiqu'elle ait varié entre huit et dix-sept fois la largeur, et que son augmentation ait donné lieu à une diminution sensible de l'inclinaison et de l'étendue de surface exposée à l'action de l'eau.
M. Morin ayant relevé , avec beaucoup de soin et par des moyens suffisamment précis , l'inclinaison dont il s'agit, la profondeur d'immersion effective sous chaque vitesse et l'aire de la section transversale correspondante, a pu, dans les nombreux tableaux qui accompagnent son Mémoire, calculer le rapport de la résistance effective au produit de celle aire par le quarré de la vitesse; mais les résultats n'en ont pas offert, pour cela , une loi plus régulière , plus facile à représenter par une formule , que si l'on se fût borné à prendre, pour l'aire transversale immergée , celle que l'on considère ordinairement, et qui , étant relative à l'état de repos, est beaucoup plus facile à mesurer. Cette dernière aire se trouvant soigneusement Indiquée dans les tableaux , sa connaissance permettrait de calculer une
nouvelle table des valeurs du coefficient A, de la formule R = hpA -^ ;
maïs , à cause des incertitudes attachées aux résultats , nous nous contenterons de remarquer: i» que, pour les différentes formes de bateaux soumis à l'expérience, avec ou sans rallonges , les valeurs de k ont généralement peu différé de 0,20 pour les plus petites vitesses , comprises entre 1",20 et 1°»,50 par seconde ; chiffre notablement moindre que celui auquel on serait conduit (416) par le résultat des expériences de Bossut ; 2° que les plus grandes valeurs de k ont eu lieu pour des vitesses comprises entre 2",6 et 3~,0 , et se sont élevées jusqu'à 1,15 pour les bateaux d'équipages de ponts , et à 0,95 moyennement pour les autres, avec ou sans rallonges, ces mêmes valeurs paraissant généralement croître d'ailleurs, avec la profondeur d'immersion; 3" enfin que, pour les vitesses de 4 à 5"* par seconde, le coefficient dont il s'agit peut descendre jusqu'à la valeur 0,b ou 0,6 dans les cas les plus favorables , et demeure ainsi toujours supérieur, de beaucoup , à celui qui convient aux plus faibles vitesses.
423. Expériences du même , sur le bateau-poste de Paris à Meaua-, Ce bateau, en forte tôle , et qui offre une forme et des proportions analogues à celles (Fig. 57 et 58) des bateaux qui naviguent sur le canal de Paisley en Ecosse , à 1",86 de largeur, 0™,74 de profondeur et 22",/ de longueur; il peut porter jusqu'à 80 ou 85 personnes , y compris l'équipage, et marche ordinairement à la vitesse de trois lieues à l'heure, traîné par trois chevaux dont le rclai est d'environ 3,800 mètres. Les expériences ont eu lieu aller-
nativement sur le canal de l'Ourcq et le canal de Saint-Denis , dont le premier offrait une section beaucoup plus faible que le second , réunie à une pente qui donnait aux eaux une vitesse de 0'",25 à 0",3 par seconde ; ce qui n'a pas empêché que la résistance , à vitesse relative égale , n'ait été plus grande dans le dernier canal et pour les circonstances où le placement du bateau ^ au sommet de Tonde , rendait sa marche la plus convenable. Cette vitesse s'écartait elle-même assez peu de 4'°,3 par seconde à la descente . et de 3'°,8 à la remonte : au-dessous de ces limites respectives, le bateau était soulevé à l'avant; il s'inclinait par suite de sa tendance à marcher derrière Tonde , et la résistance passait souvent du simple au double , comme dans les expériences de M. J. Russell ; mais , à Tinverse de ce qui a été avancé par cet ingénieur, avec de l'adresse et de la persévérance , on a pu souvent faire remonter le bateau sur le sommet de l'onde, et l'obstacle n'est point infranchissable comme il le prétend.
D'ailleurs les vitesses les plus convenables dont il vient d'être parlée sont sensiblement moindres que celles qui , d'après la règle de M. Russell (394) , correspondent à la moitié de la profondeur du canal aux divers points (ici l'°,3 et 2°*) , et M. Morin, en remarquant, d'après le résultat de ses propres expériences , que Tonde peut être formée à des vitesses beaucoup moindres, dépendantes uniquement de celles du bateau, explique la difficulté de la marche , à ces dernières vitesses , par l'allure indécise des chevaux qui sont alors contraints de cheminer au petit trot. Quanta nous , qui n'admettons pas non plus la l'ègle de M. Russell , il nous semble à peu près évident (397) , que la disparition des ondes accessoires , la formation de Tonde calme , solitaire , ont lieu à une vitesse constante et sensiblement indépendante de la forme et des dimensions du canal. La remorque régulière à l'aide de machines à vapeur, mettra , sans doute , bientôt à même de décider la question d'une manière plus positive.
En attendant, voici les moyennes des résultats obtenus, par M. Morin, pour la marche la plus avantageuse du bateau au sommet de Tonde : Canal de TOurcq. . R = 10,54 A (V ± t?f kiiog, k = 0,207. Canal de S'-Denis. R = 13,80 AV^tii^g, fc = 0,271.
V4" V représentant ici (582) , pour le canal de TOurcq, la vitesse à la remonte , et V — t? à la descente , A , en général , Taire de la plus grande section immergée au repos , enfin k le coefficient de la formule R = *pAH (page 378).
Le rapprochement de ces résultats avec ceux du précédent numéro et du N" 417, qui concernaient les faibles vitesses de bateaux offrant une forme à peu près aussi avantageuse que celles des bateaux-poste , semble permettre de conclure que ., même sous de très-grandes vitesses , et précisément pour celles qui rendent la marche la plus facile , la résistance n'est ni plus ni moins forte que ne l'indiquent les anciennes formules et l'ancienne théorie. Ainsi , les conséquences offertes par le résultat des expériences de M. Morin, restent à peu près les mêmes que pour les expériences anglaises (421). Quant aux développements dans lesquels nous sommes entrés , ils trouvent leur excuse dans Timportance et la nouveauté du sujet-
Résistance des corps anguleux ou arrondis , de diverses formes , mus dans un
fluide indéfini.
424. Résultat des anciennes expériences sur la résistance comparée de ces corps. Borda , Hullon et Vince ont entrepris des expériences dans la vue de découvrir spécialement l'influence de la forme de différents corps pleins ou sortes de proues et poupes isolées , tels que prismes ou coins triangulaires à faces planes et courbes, cônes droits ou circulaires, demi-cylindres,
sphères entières et demi-sphères , qu'ils faisaient mouvoir circulairement suivant leurs axes ou plans de symétrie , dans l'eau ou dans Tair, sous des vitesses médiocres et de manière à leur faire présenter alternativement la Saillie ou convexité , et la base , ou le plan diamétral , à Faction directe du milieu. Les résultats auxquels ils sont parvenus en comparant pour chaque cas spécial, la résistance sur la convexilé à celle sur la base^ sont consignés dans le tableau suivant, où le prisme triangulaire , à faces courbes , et le demi-cylindre , à face elliptique, désignent, le premier, un prisme dont l'angle au sommet (Fig. 72, N** 416) , était formé par la rencontre de deux arcs circulaires de 60"^ décrits des extrémités de la base , comme centres , le second , un cylindre ayant pour section transversale , une demi-ellipse circonscrite au trianrjle équilatéral formé sur cette base , et dont la saillie était ainsi les 0,87 environ de la largeur.
RAPPORT DE LA BÉSI8TAVCB *.
Du coin triangulaire à faces planes, à celle de sa base rec-( 900 (Bnrda) . • • . 0,^28 tangulaire, Tangle au sommet étant de {600 (Id.) • • • • o,j30
Du coin triangulaire à faces courbes, à celle de sa base rectangulaire (Borda). . 0,89^
Du demi-cylindre à base elliptique a celle de sa base rectangulaire (Borda) • . . o,43o
Du demi-cylindre circulaire à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,570
De la conveiité du cône à celle de sa base circulaire , j 5*^o ^ ?J\ ^^ ^^'c/ i
l'.„g.e.u.oma,et étant de j l^" 4' (H«u;„,: .' '. if/fi De la demi-spbère à celle de la sphère entière (Borda et Hutton) 0,990
Î Moyenne d'après Borda. o,4oS Hutton 0,41 3 Vince o^4^3
425. Observations diverses sur ces résultats. On doit regretter que les résistances de chaque espèce n'aient point été comparées directement à celles de plans minces, de même forme et surface, que les bases des divers corps indiqués au tableau ^ car elles eussent mis à même d'apprécier l'influence comparative des poupes isolées. Tout ce qu'il est permis de conclure de Tensemble des résultats obtenus par Hutton, dans des circonstances qui , malheureusement , ne peuvent pas être considérées comme absolument identiques, c'est que la première de ces résistances , celle des plans minces, eût été généralement trouvée un peu moindre que la seconde , celle des mêmes plans accompagnés de leurs poupes , et cela dans une proportion d'autant plus sensible que la saillie de cette poupe eût, elle-même^ été plus grande par rapport aux dimensions transversales de sa base. C'est ainsi , par exemple, que, pour les bases de l'hémisphère et du cône soumis à l'expérience par Hutton , la résistance , dans Pair, et sous des vitesses de 5 à 4*, a surpassé de 0,01 et 0,02 environ , de sa valeur, celle du plan mince correspondant ; ce qui est sensiblement d'accord avec le résultat qu'on déduirait des données d'expériences et de la formule rapportées au N" 414 , d'après M. le colonel Duchemin , pour le cas des prismes, lorsque, dans la vue de découvrir spécialement la part d'influence due à la saillie d'une poupe adaptée à un plan mi) perpendiculairement dans un fluide en repos , on a le soin de prendre cette saillie pour la valeur de L dans la formule.
On peut aussi remarquer , avec cet officier supérieur , que les nombres offerts par les résultats des expériences de Borda et de Hutton, sur la résistance des prismes triangulaires et des cônes ^ suivent, à trè$-peu près, la loi du sinus des demi-angles aux sommets ou des angles d'incidence , à cela près encore de l'influence particulière et ici très-faible , due
à rallongement même de chacun des corps. Ces différentes circonstances, jointes à ce que le rapport des résistances doit , d*après les observations du N" 401 , rester à peu près le même dans le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire , permettraient de déterminer ^ par le calcul , la résistance absolue des corps indiqués au tableau ci-dessus, si celle des
Slans minces était exactement connue. Prenant, par exemple, avec i. Duchemin (414) , k = 1,254 pour les coefficients des plans minces, mus directement dans Tair ou dans l'eau, celui de la sphère entière serait moyennement (424), 0,407.1,01.1,254 = 0,411.1,254 = 0,516; ce qui s'écarte peu de la valeur la plus probable de ce coefficient, comme on le verra bientôt. La résistance du cylindre circonscrit à la sphère, serait, dans ces mêmes hypothèses , f 0,516 = 1,29 à très-peu près.
426. Résultats des anciennes expériences relatives aux sphères. Il convient toujours de distinguer entre eux les résultats des expériences qui ont concerné le mouvement circulaire et le mouvement rectiligne.
Expériences de Borda et de Hutton^ relatives au mouvement circulaire* Pour des sphères de 4 à 6po de diamètre, mues circuLiirement dans Tair ou dans l'eau , à l'extrémité d*un volant dont le rayon différait peu de I",30 , Borda et Hutton ont trouvé , sous des vitesses médiocres ,
R = A/) AH et A = 0,56, fc = 0,594, respectivement. Hutton prend exactement fc = 0,60, pour les vitesses de 2 mètres par seconde , dans l'air , et il fait remarquer que la résistance doit être augmentée de \ environ , quand on passe d'une sphère de 0"121 de diamètre à une autre de 0°',162; circonstance qu'il faut toujours attribuer (391) à la nature particulière du mouvement (1) ; car, dans d'autres expériences relatives au mouvement rectiligne de sphères ou projectiles dont les diamètres ont varié entre 2,00 et 3,55 pouces anglais , les valeurs de h n'ont elles-mêmes , varie que de ^V à yV sous des vitesses de 360 à 310"* par seconde.
Anciennes expériences de Dcsaguilliers et de Newton sur la chute verticale de globes dans Pair et dans l'eau (2). Le résultat de ces expériences, OÙ le mouvement était varié, a été soumis au calcul, par Dubuat , en ayant égard (380 et 382) à l'influence de la proue et de la poupe fluides (Principes d'hydraulique, 5° partie, art. 529 , 550 et 562). Pour les expériences entreprises par Newton seul, sur la chute verticale, dans l'eau, de différents globes de 6 à 15Hg. de diamètre , la valeur de k a varié depuis 0,457 jusqu'à 0,60, même en rejetant les expériences anomales, et l'on avait moyennement A =: 0,523 pour des vitesses inférieures à 0"8,par seconde; néanmoins Dubuat admet, d'après le résultat de ses vues théoriques et expérimentales, la valeur k = 0,50, qui se rapproche beaucoup de la moyenne des résultats fournis par d'autres expériences de Désaguiliiers , aidé de Newton , sur la chute , dans l'air , de globes de 5po environ
(i) Pour le ca» des sphère», la formule de la note du N<> 399, devient^ d*aprè« M> Duchemin ,
dans laquelle r désigne le rayon de la sphère, / la distance de son centre i Taxe, de nombre 3,1416^ A; le coefficient de la résistance dans le mouvement rectiligne , queTauteur suppose ici égal a s/s i,q8 ou aux 0,4 de celui du cylindre circonscrit à la sphère (4^5), d'après les données d^une théorie particulière de la résistance des corps ronds. . (2) Livre H des Principes mathématiques de la philosophie naturelle*
de diamètre . expériences pour lesquelles k n'a varié qu^entre 0,497 et 0.516, sous des vitesses finales d'environ 4"* par seconde.
Mais ce^ dernières expériences , exéciitées à Taide de vessies rendues à peu près sphériques, lors de rînsufflatioii , présentent beaucoup d^incertitudes , et elles sont contredites par le résultat de celles entreprises antérieurement par Newton , sur la chute verticale , dans l'air , de globes en verre de même diamètre , expériences qui ont donné , toujours d'après les calculs de Dubuat ^ A= 0^537 moyennement^ sous d^es vitesses de à 9°" par seconde. Si une pareille différence , dans les résultats, ne devait pas être purement rejetée sur la différence même de forme et de nature des globes, il faudrait nécessairement attribuer l'accroissement du coefficient k, dans les dernières expériences^ à l'augmentation de la vitesse et aux incertitudes inhérentes à la détermination de la véritable densité de l'air.
expériences de AI. Beaufoy relatives au mouvement rectiiigne uniforme. Dans ces expériences, où une sphère de i^^ environ de diamètre, a été mue horizontalement sous la surface de niveau d'un bassin d'eau , on a eu, d'après les calculs de M. Morin, A=0,370 ; mais nous avons déjà fait remarquer (395) combien ces expériences offrent, d'incertitudes.
427. Réêuliats des récentes expériences de MM, Piobert, Marin et Didion. }Jf%e première série d'expériences, exécutées à Metz, en 18W, par ces officiers, sur des globes de diverses dimensions , mus verticalement dans l'eau aveé des vitesses uniformes de 0°* à 5" par seconde^ les ont conduits à représenter la résistance de ces globes par la formule
vd^ . ^d-
analogue à celle du N** 403, et dans laquelle {wd^ désigne la surface frottante ou antérieure de la sphère , et j^ed^ l'aire de la section transversale de son grand cercle.
Pour des vitesses au-dessus de S"» , on pourrait ainsi prendre , à moins de Tfo près , en négligeant le terme relatif au frottement ,
