PRINCIPALEMENT FONDÉE SUR LA CONSIDÉRATION DES FORGES YIYES

(a) Notions préliminaires et fondamentales. On a pu voir , par Texposé des No'dTS et suivants de cet ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides , laissent encore de vague et d'obscurité , et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique , par un lien plus solide, et qui, en Tabsence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins , de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de Texpérience. Or cela ne nous parait nullement impossible , si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaie de les déduire, d'une manière plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le N® 381 du texte, de Tapplieation du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu , par Bernouilli et Borda, dans leurs recherches physico- mathématiques sur l'écoulement des liquides. Rappelons-nous, en effet , cette remarque importante due à Tesprit ingénieux de Dubuat , et^ qui s'est présentée en plijisieurs endroits du texte , notamment aux N^ 878 et S79, S92 et 418 : Quand un corps est exposé a l'action directe d'un fluide , les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultante de Tobstacle que présente ce corps à leur libre passage , que dans une certaine région de part et d'autre de l'axe du corps , parallèle à la direction du mouvement ; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois Lî\I, VW (fig.5B, 55, 80, ete., pi. Ml) seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit lui-même au corps , suivant la direction du mouvement absolu ou relatif; de sorte qu'en amont de ce corps, l'écoulement se feraiît comme dans un vase qui offrirait , sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annuUaire déterminé par intervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d'être parlé , parois qu'il serait d'ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la

432 MÉG\MIQU£ INDUSTRIELLE.

région oô les tourbillons et mouvements excentriques quelconques, viennent à se propager (S75) dans les masses latérales du fluide.

Cette manière d'envisager le phénomène de la résistance est si naturelle que Dubuat Ta formellement indiquée au N** 487 du tonie H, de ses Principes d'Hydraulique , et que les expérieooes subséquentes de 1M[. Duchemio, consignées dans ses Mémoires (878) successivement présentés à FAcadémie des sciences, Font conduit à comparer , dû moins' pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de Teau en mouvement, les phcnamènes d'accélération et de déviation présentés par las filets liquides , sur le pourtour entier du corps , Si une contraction renversée , qui, dans le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si oonqq des ajutages cylindriques ou tuyaux additionnels , adaptés aux orifices d'écoulement de^ vases (413 et note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s'est contenté d'en déduire , par une comparaison un peu forcée par une sorte d'empirisme , la formule d'interpolation rapportée dans la note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (418) vérifiées par celles de l'auteur, nous parait d'autant moins admissible en elle-même , que l'analogie sur laquelle elle se fonde , n'aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu*ii deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-différentes , lorsqu'en adoptant sans réserve l'idée ingénieuse de Dubuat, on lui applique , comme on 1*9 indiqué ci-dessus, les belles théories de Bernouilli et de Borda.

(b) Hypothèses admises. Dans cette application du théorème des forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des raolé? cules fluides sont égales , dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comme par exemple , en amont aux points L, 1^% des figures 58, ^ , 80 , etc., ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points m etn, m' et fi' qui appartiennent à la section contractée , pour laquelle la convergence des filets , au sortir du vase, devient la plus forte et l'hypothèse beaucoup moin9 évidente , bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (I) sur le choc des veines lir quides , soit entre elles , soit contre l'orifice du tube manomctrique de Pitot (378) , prouvent que le fait est vrai dans le cas oii de telles veines sont pro? duites par l'écoulement permanent d'un liquide au travers d'orifices cireur laires, pratiqués dans les parois minces de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces orifices ; et cela résulte aussi d^ h vérification àposr teriori , des formules obtenues dans cette hypothèse , pour la vitesse et la dépense de liquide. Mais, dans le cas qui nous occupe oiî une masse fluide indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos , il ne parait pas que U

(i) ànv^f^^'*^ '''• fHmie et de physique j toiue LV (i833).

même hypothèse soit permise ; tout porte à croire , au contraire « comme on le verra plus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers Tinter ieur de la veine contractée en m et m% qu'à l'extérieur en n et n/, oii elles doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D'un autre côté , en considérant ce qui se passe h une petite distance, en amont de l'orifice d'écoulement, c'est-à-dire dans l'espace que l'on assimile à un véritable réservoir, on ne voit pas que l'on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets , et dont l'excès sur celles qui ont lieu en aval du corps , détermine certainement l'accélération de vitesse reçue par le fluide en mn et m^n\

Cependant , nous admettrons , dans l'application du principe des fof ces vives à ce mode d'écoulement , l'hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches , on des vitesses et des pressions moi/ennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales , par l'aire de ces tranches respectives , non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes , mais pour avoir des rapports , des relations qui , au moyen de certains coefficients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène y ainsi que cela a lieu , par exemple , dans le cas des déversoirs, oii le principe des forces vives conduit à des formules de cette espèce. Seulement ttne fendra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l'égard des pressions , elle tend, quant aux vitesses , à diminuer l'expression de la somme des forces vives , d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et iears directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne diffère, au fond , de celle du N* 381 , qu'en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement^ an lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles , c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le cas d'un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour l'entretenir à un même état de mouvement , travail dont la valeur est alors, en efiet, clairement indiquée par le produit dont les facteurs sont : l'aire de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse , l'excès de la pression moyenne d'amont sur celle d'aval , et la distance uniformément parcourue dans chaque élément du temps on dans chaque seconde. Mais, quoiqu'on n'aperçoive plus aussi bien, dans le cas d'un corps en repos ^choqué par un fluide en mouvement ^ la relation entre les pertes de forces vives et le travail moteur qui, en réalité , se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes

de la masse liquide , il ii*en est pas moins évident, à priori , que Tun de ces cas peut être ramené à Tautrepar la considération des mouyements relatifs; c'est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc , sans nous préoccuper, en aucune manière , dans nos raisonnements , de celle qui concerne spécialement la résistance.

(c) Plan mince soumis au choc direct d'un fluide. Ces préliminaires étant établis, considérons d*abord un plan mince CD (Fig. 80) , de surface A , et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéBni de densité p, animé de la vitesse uniforme V, perpendiculaire à sa direction. Nommons :

A' l'aire de la section transversale du canal formé par les parois fictives

LM.LTM'; m le coefficient de la contraction effective éprouvée par les filets en mn, m'n\ c'est-à-dire le rapport de l'aire de leur section transversale ^ à celle A' — A, de l'orifice annulaire du réservoir ; W la vitesse mo}ienne du fluide dans la section contractée m», mV, dont

l'aire est m (A' — A) ; n le facteur numérique, supérieur à l'unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections ; P et P' les pressions moyennes , par unité de surface , qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

Q enfin le volume et M = p-^ la masse du fluide qui , dans l'unité de

temps s'écoule uniformément par chacune des sections transversales

A' et m (A'— A); on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question , comme on le fait ordinairement, dans l'hydraulique, et sans s'inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et m ( A' — A ) , en amont ou en aval du corps ,

Mn2W»-MV« = 2^î\I (~ — ^\ n»W2— V*=2^(-— -j;

d'oii l'on tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la différence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur l'étendue, A^ 4le ses deux faces,

fflais , à cause de la continuité , ou parce qu'il doit s'écouler dans l'unité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m(A' — A), qu'il .fin afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi , dans Thypo- Ihèse oîi ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression P d'amont, à la pression P' d'aval , dont la première

est supérieure et la deuxième inférieure â la pression naturelle ou statique du milieu,

«.(A'-A)W=A'V. WH:;^jV;

ce qui donne finalement

pour la valeur du coeffîcient A; (382] de la formule RvzzkpXR.

(d) Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de l'expérience. Si l'on admet le résultat des recherches expériraentaies de Dubuat, qui donnent ici (406), ^=:1,86 pour le coeffîcient de résistance des plans minces ^ et A'=6,46Apour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d'exercer l'influence , on déduira de l'expression ci-dessus de k ,

on satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coeffîcient de contraction fn=0,75, comme le donne l'expérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et «=1,0714, n* = 1,149 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l'hypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'=: 6,46A , admise par Dubuat , pour le cas des prismes entièrement plongés (Princ, d'hyd.^ tome II, n'^ôSl ) , suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps , égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais , si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à 0,5 (392), ce qui revient à prendre A' = 4A seulement, on trouverait iii = 0,7884n, et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que l'unité , et partant inadmissible. Il ne parait donc pas que l'on puisse supposer A' de beaucoup inférieur à 6,46A , pour le cas des plans minces choqués directement par un fluide.

D'un^ autre côté , on voit , par l'expression générale ci-dessus de k , que si , comme le voulait Dubuat (407 et 41 S) , la déviation se fait réellement de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A' à A' — A venant à diminuer , il en sera de même de la résistance; ce qui s'accorde avec^le résultat des expériences de cet auteur , confirmées depuis par^celle de M. Duchemin.

Par exemple, ilsuffîra de supposer A' =12A, pour retomber, à très-peu près , sur la valeur k = 1,4SS donnée par les expériences de Dubuat (405) dans le cas dont il s'agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat, en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos , ou que le coeffîcient m, qui entre au quarré dans l'ex-

pression de ^, y augmente d*une très-pelile quantité , par eiemple devienne 0,81 ou 0,82 ; mais alors, comme on va le voir, on tomberait dans d'antres diificultës concernant le cas des surfaces convexes, et Ton ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance , à moins de prendre le facteur n beaucoup plus près de Vunité ; ce qui ferait diminuer en même temps m , pour le cas des fluides en mouvement; nous continuerons donc à raisonner dans Thypothèse avancée par Dubuat, sans nier toutefois que le facteur numérique n* ne s'approche un peu plus de l'unité que nous ne Favons supposé précédemment.

La formule ci-dessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître si , au lieu d'être indéfini , le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées dû plan CD qu'on ne vient de le supposer pour les parois LM et VW : eHe indique même que cette résistance devien* drait infinie pour A' = A ; ce qui s'expKque en considérant qu'afors la pression continue , éprouvée par le corps , se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéfinie , comprise, en amont, entre les parois solides dont il s'agit.

(e) Surfaces minces convexes ou concaves. Supposons- maintenant qa'on substitue au plan mince CD , une surface convexe ( Fig. 53 ) , continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour nt'être point sensiblement en prise aux effets du frottement ,. la conlraetion latérale sera diminuée et son coefficient m augmenté , sans qu'il soit nécessaire d'apporter aucun autre changement à Texpression de k, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra Taire de la projeetioa de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction da mouvement , puisque les pressions normales et élémentaires supportées. par le corps, doivent être estimées dans le sens même de ce mouvement , comme le sont , de leur cêté , les pressions moyennes P et P'. En particulier , si cette surface possède la forme la plus avantageuse possible , et qu'on adopte les valeurs «* = 1,149, A' = 646 A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause de m=i , le coefficient ^= 0,61 pour le cas oii le fluide seul est en mouvement ; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au ^° 426 ; mais on doit considérer qu'il s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos , et pour lesquelles par conséquent , l'aire A' a dû être augmentée , indépendamment de l'influence, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères ; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves oii le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0,6, ou 0,66, conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Yenturi sur l'écouleraent par les tubes rentrants, le coefficient h de la résistance , pourrait aussi s'élever de 1,S à 1,6 fois celui des plans

minces f valeurs qui De sont Dullèment en contradiction ayee les effets observés dans ces circonstances (408 et suiv. )

(/) Prismes droiis soumis aw ekoe direei d'un fluide. Passant au cas des corps prismfiliqttes ( Fg. ôS ) dont la longueur L^ étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM , L'tt', ît devient permis de supposer queks filets soient redevenus parallèles vers Tes extrémités postérieures de ces prismes , après avon"' perdu , par le choc ou les tourbillonnements , Fexcès de la vitesse W , qu'ils possédaient en mn , m'ns si»r celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps 9 et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense y «'U étant cette même vitesse augmentée {b) de manière à reproduire la force vive efiefstive des filets , Gomme nous l'avons admis précédemment (>s}. pour nW et la section contractée. Nommant , de plus , G et C les contoorson périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous snpposeroOfS soumis , sur toutes ses faces , de la part du prisme ou du fluide ambiant ,. à un frottemtmt représenté approximativement par la formule

- iCD* pour Te premier , et par la formule — iC' (U — V )' pour le deuxième ,

en posant, d'après k acte de la page 854^ )& = 0,000969 = 0,0035^, ou & = 0y00O82^=O,0OSl f et négligeant le terme relatif à la simple vitesse ; admettant d'ailleurs , comme on le fait ordinairement et comme nous le justiGerons plus loin, que l'excès de la vitesse «W sur la vitesse fi^U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression M (nW — n'U)* relative toujours à la masse M de fluide écoulée, pendant l'omté de temps, daas chacune des sections A', A' — A, «t(A' — A), on arrivera , par l'application du principe des forces vives au cas actuel , et en conservant toutes les notations précédemment admises (c) , à l'équation fondamentale

Mn'2U2~MV2+M(nW-nT)2+2M p^fc -^ci l ^V\%-=^Mg^^—^',

de laquelle on tire sans diffîcnllc , à cause àes relations de conlinuité

Q = AT==m{A'~A)W=(A'-^A)U,

ur numérique

en posant , pour abréger , le facteur numérique

/(C représentant , lui-même ce qu'on nomme improprement le coefficient de la contraction^ dans le cas des ajutages ou tuyaux additionnels très-courts, mais coulant à gueuîe-bée, puisqu'il porte ici, plus spécialement, sur la ré-

438 HÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

duction éprouvée par la vitesse de sortie U, en raison des tourbillonnements et des résistances intérienres.

Nota. Les résultats auxquels on arrive pour ^ et U , dans le cas des tuyaux d'écoulement ordinaires , s'accordent , comme on sait, d'une manière trèssatisfoisante avec ceux de Texpérience , pourvu que la longueur de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre ; mais cela n'a plus lieu dans le cas contraire, oii le coefficient ^ suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante , indiquée dans Terrata y ci-après , de la note du N® 413, ce qui parait tenir essentiellement à ce que la vitesse moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à mW, en diffère alors d'autant plus que l'extrémité du tuyau où elle se mesure , est elle-même plus voisine de la section contractée , à partir de laquelle, en effet , la veine va en s'épanouissant et prend des sections vives très-distinctes do celle de ce tuyau, et qu'il serait probablement plus exact de lui substituer dans l'application du principe des forces vives. Mais , au lieu d'introduire de pareilles modifications dans les formules , oili il reste encore les indéterminées n et n' qu'on pourrait supposer égales à la valeur 1 ,07 , déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer à ^, dans ces formules, les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Micbelotti , sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs; ce qui montrera, tout au moins, que ces mêmes formules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance des prismes.

{g) Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de l'expérience. Considérant d'abord le cas oii le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite , les expériences de Dubuat (413) assignent au coefficient de la résistance, la valeur minimum ^ = l,3â3, tandis que celle du coefficient ^ des courts ajutages, atteint, d'après les expériences de Micbelotti , le maximum de la sienne ^=^0,82, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus de il , ne pourrait s'accorder avec l'expérience , qu'autant qu'on aurait

~^===:^/rqrr== 0,82 /â^â^S^ 1,25 ou A'=5A,

valeur qui se rapprocherait davantage encore de celle A'=4A qui a été mesurée directement par M. Duchemin , dans le cas des prismes en repos, si l'on attribuait à ft une valeur un peu plus grande que 0,82 , comme il parait naturel de le faire , puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de k , données par la formule du précédent article , à partir du plan mince , suivront très-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat , tandis que , pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les valeurs de k iront continuellement en augmentant, comme celle de ^ , à cause du frottement latéral. Néanmoins , dans les calculs rela-

ilk aux prismes très- courts, il deviendrait indispensable d'avoir égard à la condition qui rend Â' = 6y46A et ^ = m=0,75 pour les plans minces, etc., et il ne s*agit ici, je le répète, que de Tinterprétation générale du phéno* mène de la résistance au moyen des formules déduites du principe des forces vives.

A l'égard des prismes de longueur moyenne , en mouvement dans un fluide en repos , il y a tout lieu d*adopter la valeur A^ = 6,46A, telle que l'a ob« tenue Dubuat pour un cas analogue , et alors on trouve :

*=-^ — Ij et par suite, ^=1,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet auteur , sur un prisme dont la longueur était le triple environ de sa largeur réduite ; de sorte qu'en adoptant la valeur A^ = 5A , pour de tels prismes en repos , et la valeur A' =6,46 pour les mêmes prismes en mouvement , les formules très-simples

représenteraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résistance relative à ces deux cas , pourvu qu'on eût égard aux observations ci-dessus relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s'il s'agissait de prismes très-longs , le frottement latéral ferait diminuer ^ et augmenter k avec L , d'après les formules analytiques (/) qui donnent les valeurs de ces deux coefficients ; ce qui est conforme aux indications de l'expérience.

{h) Prismes avec proues sans poupes. Prenant , en particulier , pour les prismes de moyenne lopgueur , ^ =r 1, ce qui les suppose armés d'une proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule de Fart (/}, donne ^=3 0,56, pour le cas où ces prismes sont immobiles , et £=0,40 pour celui oii ils choquent le fluide en repos. Or ces valeurs sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut (e) pour les surfaces minces et convexes , considérées dans des circonstances analogues , et la dernière s'accorde assez bien avec les données de l'expérience , relatives (424) aux prismes mobiles , armés de proue mais sans poupe. Que si l'on voulait d'ailleurs , comme on l'a déjà proposé (e) pour les plans et surfaces minces , rejeter la diminution de résistance, dans le cas des fluides en repos, sur la diminution même de la contraction plutôt que sur la grandeur relative du rapport de A' à A ^ il faudrait aussi attribuer à ft des valeurs proportionnellement un peu supérieures à celles que donnent les expériences de Michelotti sur les tubes additionnels. Dans toutes les hypothèses, on est conduit à admettre que les valeurs de ce rapport , et par conséquent celles de i!;, tendent vers l'égalité , pour les deux cas des fluides en repos ou en mouvement , à mesure que la longueur L des prismes augmente.

Hais nous œ pousserons pas plus Loin cette discussion et ces rapprochements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis, pour conduire à des conséquences exemptes de toute objection , et nous passerons à Texamen de rinfluence qui peut être exercée par l'addition d'une poupe à l'arrière des prismes.

(t) appréciation de Finfluence exercée par les poupes. En admettant que l'addition d'une poupe n'influe que très-peu sur la direction rectiligne des parois Actives LM, L'ill' (Fig. 82 ), on s'apercevra, de suite, que les phénomènes de mouvement qui s'accomplissent dans la région postérieure du canal limité à ces parois , doivent offrir la plus grande analogie avec ceux des ajutages coniques divergents , déjà anciennement soumis à l'expérience par Bernouilli et Yenturi. Ainsi la pression y devient négative j c'est-à-dire inférieure à la pression statique , à peu près comme cela arrive latéralement , vers l'amont ( Fig. 5â ) , en m et mr, sauf qu*icî le parallélisme des côtés du prisme empêche le défaut de pression de devenir nuisible ou d'augmenter la résistance. D*un autre côté , la vitesse moyenne , U( je suppose , conservée par les filets à leur sortie de l'évasement ou en quittant le corps , diminue à peu près en raison inverse de Taire des sections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisamment adoucie et allongée, comme Texprime la figure 82 , peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant ; or cela tend à faire disparaître, dans l'équation des forces vives, relative à ce cas , le terme qui concerne la vitesse d'affluence Y, du fluide , dans la partie d'amont, et, par suite, à diminuer la résistance.

Enfin , le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du tayaa limité aux parois fictives LM , L'M^ dans la partie évasée formée par la proue , donne lien à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui. est occasionnée parle rétrécissement de la section contractée mn, «nV (Fig. 55), dans le cas des prismes sans proue; perte qui pourra ici être représentée par le produit Mn'* (U — U,)'j si U et Uj désignent toujours les vitesses moyennes de régime , ou censées uniformes , dans les sections prismatiques en amont et à l'extrémité postérieure de l'évasement , n'^ le nombre, supérieur , à l'unité, par lequel on doit multiplier les forces vives AfU^ etMUi^ possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire les forces vives effectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablemeat adoucie et allongée , mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales , il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistance , il suffira de considérer séparément ce qui se passe dans les régions , antérieure et postérieure , du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives LMi L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises^ et désignant, pour la deuxième; par P, la pression corres-

pondante h la section au la vitesse moyenne est Uj, pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps , enfin par A,, pour plus de généralité, Taire de la faee postérieure de la poupe , supposée perpendiculaire à Taxe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé (Fig. 82), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc.; négligeant, au surplus , le frottement le long de cette poupe, comme on l'a fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/*) , la suivante

Mn'^U,' — Mn''V^+ Mit'» (U — U.)» = fMg (-— 1^\ ,

el , à cause des relations de continuité (A' — A ) U = ( A' — A|)U, = AT', elle donne

^^— ^^2^^'nA'-Ar'

en posant de nouveau , afin d'abréger ,

facteur qui devient nul , comme cela doit être quand on suppose l'aire A^ du

pan coupé, égale à celle A de la section transversale le plus large de la partie

prismatique du corps, tandis que si l'on y suppose A| =s , ce qui convient

au cas de proues effilées représentées par la fig. 82 , ce même facteur prend la valeur

très- faible et essentiellement positive, à cause que A' surpasse au moins quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d'aval P,, qui doit différer alors très-peu de la pression statique du milieu, surpasse, conformément aux indications de Texpérience relative aux tuyaux divergents , celle qui a lieu vers là partie prismatique du corps , pour toutes les valeurs de Àj comprises entre zéro et A.

La pression P^ qui agit contre A^ donne incontestablement lieu à une diminution de résistance mesurée par le produit A^Pj ; mais on n'aperçoit plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pressions exercées par le fluide contre la surface de Févasement formé par la poupe , pressions qui décroissent de la section d'aval où elles ont pour valeur P|, jusqu'à celle de la partie prismatique du corps oii elles deviennent égales à P'. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée ci-dessus , pour la proue elle-même ; ^le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever, puisqu'il est impropre à faire découvrir les pressions partielles et variables dont il s'agit. Or il parait qu'il faut, ici encore, considérer P^ comm^ une pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le

r* PARTIE. 56

prodait A (P| -^ P') comme la diminution qu*éprouve la résistance par suite de la présence de la poape .

(j) Formules relatives aux prismes armés de poupes avec ou sans proues. D'après les observations précédentes , si Ton retranche de TeiLpression de R, déjà trouvée pour la partie d*araont , la valeur du produit Â(Pj — P')doiit le facteur P| — P^ vient d'être obtenu en dernier lieu pour la partie évasée du canal, il en résultera cette nouvelle expression de la résistance

2gf' ^«(A'-A)* ^'«(A'A)»'

à laquelle on arrive, de suite, si , en conservant toutes les dénominations précédemment admises , on pose , d'après le principe des forces vives , Téquation

K^ f5 rp-p )

n-ni;— V»4-(nW— n'C)'+3^— — ^iLP + n'«(U— U.)» = 2y ^ '' ,

qui exprime la loi de Téconlement du fluide entre les sections extrêmes A',A' — A et de laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais où , pour plus d'exactitude , on devrait affecter U et U^, d'un coefilcient numérique différent de celui n', qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour amener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne , pour ce cas général , la valeur de R , revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail , par la demisomme des pertes de forces vives , et son facteur k doit encore pouvoir être conclu de l'observation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages , d'une forme analogue à celle du can^l fictif, si on les adaptait , à la manière ordinaire , à l'une des parois planes d'un réservoir vertical rem* pli d'eau uniquement soumise à l'action de son propre poids , mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en effet, l'équation des forces vives ci-dessus, applicable à ce dernier cas, et propre à donner la vitesse' U^ d'écoulement par l'orifice extérieur A' — A^ , en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à l'axe de la veine, il suffît d'y supprimer le terme en V^, et de remplacer le deuxième membre, par le produit 2^H ; d'où il résulte que si l'on nomme fti

le coefficient de réduction de la dépense hypothétique Q=(A' — k{jV^'^gE ,

et qui porte essentiellement sur la vitesse v 2yH, on devra avoir, d'une part ,

de l'autre ,

ce qui permettra de calculer immédiatemeDt la valeur de ia résistance au moyen du coefficient ^[ fourni par les expériences des tubes diVergénts dont il vient d'être parlé.

{k) Comparaison du rèsuUat de$ formules avec ceux de rexpérience. Supposant, en particulier, la proue et la poupe disposées (Fig. 8^*) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval , le coefficient m de cette contraction deviendra l'unité , et A^ nul; si , de plus , comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L , de la partie prismatique du corps , est très-petite , on pourra négliger le frottement latéral , et (/) l'on aura ^ =: 1 , ce qui donnera simplement pour le coefficient de la résistance ,

Prenant , comme dans le cas ci-dessus des plans minces , n'^ 7= 1 ,149 , et observant que n — w^ doit être ici une très-petite fraction dont il devient permis de négliger le quarré ; prenant en outre, A' = 4A pour la.Umite inférieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par un fluide en mouvement, et A^ =: 6,46A pour celle des mêmes corps en mouvement dans un fluide en repos , on trouvera approximativement , dan^ les hypothèses actuelles où l'on néglige l'influence du frottement latéral , en même temps qu^on suppose au corps, la forme la plus avantageuse possible, A: = 0,13 et i = 0^04 9 pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respecliFs ; ce qui n'offre rien de contradictoire avec les résultats connus de l'expérience (417 et 423).

Il y a plus même , on doit pressentir, d'après les conditions qui viennent d être assignées au maximum de réduction de la résistance , que , pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite , pour les prismes rectangles , par exemple , armés de proues et de poupes , d'ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu'il est possible , on ne saurait éviter entièrement les effets de contraclion, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des filets , vis à vis des parties anguleuses ou tranchantes ; et de telles perturbations sont la source inévitable , soit d'une perte de force vive , soit d'une diminution de la section contractée m ( A' — A ) d'amont, équivalente à un accroissement (1 — m) (A' — A ) , de la section transversale correspondante du corps.

(/) Remarque surja théorie précédente. L'application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables , s'étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides ; mais, comme on le voit , ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des filets, résultant d'une forme déterminée du corps, il ne saurait non plus servir à résoudre l'important pro-

blême des surfaces de moîudre résistance , qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut bien indiquer en bhc , qu'on me passe rexpression« la marche générale de la pression, de la résistance totale , en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps ; mais c*est, comme on l'a vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets ou à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant , de cette manière , le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux étudiés de leur écoulement dans les vases , les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport , les formules auxquelles elles conduisent, peuvent offrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Beraoùilli et Euler (373), en considérant d'une manière fort incomplète, le mouve* ment des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants.

(m) Examen critique de h théorie de BemouilU et d'Euler* Nommant toujours p la densité constante du fluide , et Y sa vitesse d'afiiuence uniforme en amont du corps ,d l'aire de la section transversale de l'un des tuyaux formés

P par les filets au point ou la vitesse est V , dm = ^ dkY la masse qui s'écoule

uniformément par cette section dans l'unité de temps , aGn « l'angle formé

par le tuyau avec l'axe du corps, censé parallèle à Y , en un pqint où la vitesse est U , c'est-à-dire l'angle de Y et de U ; la pression élémentaire due au changement d'intensité et de direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant estimée dans le sens de Y, sera, d'après Euler et Bernouilli , donnée par le produit

YM U \ d»i(Y— U cosa)=^pdk~ 1 1 — -cosi»! -

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens , en chaque seconde, par lu réactiun de la portion du filet compris entre les deux points mentionnés; et par conséquent , pour Tensemble des portions analogues des filets que l'on considère comme ayant subi les eff'ets de la déviation en amont du corps , la pression totale P, est donnée par Fexpresiiion

où u et flf sont fonctions des variables qui fixent la position des filets ou de leur section d'arrivée dk^ l'intégration devant avoir lieu depuis l'axe central de la veine, jusqu'aux filets extérieurs qui ^ restant rectilignes et parallèles, cessent d'être influencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse , pour ainsi dire , tout arbitraire ou indéterminé , et qu'on ne

petit lui donner une forme plus explicite , à moins d'admettre, avec Euler et Bernouilli , que U et « soient indépendants de la position de dk , ou d*attribuer à ces variables , une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par Texpérience ; ce qui est précisément le point de la difficulté ; car on arrive à des résultats très-différents selon qu'on rapporte « et U aux points d'inflexion même des filets ou à des points situés au delà , vers les extrémités du corps.

D'un autre c6té , rien ne fixe , à priori , les limites de l'intégration ; et si ^ pour sortir de cette nouvelle indétermination , on prend , avec quelques auteurs, pour ces limites , celle de la section transversale du cylindre circonscrit a ce corps , section dont l'aire serait représentée par A , ce qui donne la formule

R=2M 2-^(1-;^ co8«J,

on tombe dans un nouvel arbitraire , puisqu'on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une distance de son axe central, égale à 1 -i fois, au moins , sa largeur réduite, de sorte que fd\ ne serait jamais au dessous de 4 A. Ce n'est donc que par une sorte de compensation d'erreurs que celte expression de la résistance , représente assez fidèlement la marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone , ainsi qu'il a prétendu le faire dans son intéressant*^éifiot're sur la percussion des veines d^eau , imprimé en 1 836, parmi ceux de l'Académie des sciences de Turin ( tome XL, p. 81 ), je ne pense pas , dis-je , qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse , mathématiquement parlant , l'application de cette même formule aux fluides indéfinis , sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces postérieure el latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des effets dus à l'allongement des prismes, explique suffisamment les motifs qui ont dirigé l'Académie des sciences de Paris , lorsqu'en 1826, elle a, de nouveau, remis au concours la question de la résistance des fluides , en exigeant qu'elle fût appuyée sur l'étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les filets au pourtour du corps ; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut s expliquer par cette considération , d'une manière un peu plus claire qu'on ne Fa fait jusqu'ici , les principaux phénomènes relatifs aux changements de pression observés dans les expériences.

(n) Examen de la marche des pressions en amont des corps exposés à Inaction des fluides. Occupons-nous d'abord de ce qui se passe dans l'intérieur de l'espèce de vase formé , en amont du corps (Fig. 55 et 80) , par les parois fictives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pression exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient possibles ou s'il n'arrivait pas, dans

la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à la pression hydrostatique du milieu. Si Ton se rappelle bien le contenu des N"* S74 et 878 de cet oifvrage , concernant la marche des filets qui , par la présence du corps supposé immobile dans les figures 53 , S5 et 80 , sont contraints de s'infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central aB , tandis que dans la seconde , ils lui opposent leur concaTÎté; si Ton se rappelle en outre, que, dans l'écoulement des fluides le long de petits tuyaux analogites à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire ou différentielle, en chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité , et croit avec la courbure et la vitesse ; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle BaC ou BaD , et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une êutfaee lieu des points d'inflexion des filets , on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives Ln , LV, et va sans cesse en augmentant et en s'ajoutant à elle-même, à mesure que l'on s'avance vers la paroi solide CD et l'axe àB , où elles s'entredétruisent de part et d'autre , ou, plus spécialement encore , à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d'ailleurs résulte une accélération .correspondante de vitesse , de a vers C ou D , accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois Ln, LV, est nécessairement égale à la pression statique , elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la êurface des inflexions dont il a été parlé.

(o) Région des pressions négatives , limitée par la surface des points d'inflexion des filets. Pour la région postérieure du vase , comprise entre celle surface et les sections contractées m» , mn\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire , la pression totale, celle qui résulte de raccumulatioD des pressions partielles, s^exerce du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on s'éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives Ln , LV; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique , il faut qu'elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps , où la veine contractée vient à s'épanouir, à rejoindre ces parois , et les filets à subir (Fig. 53 et ffi ) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules , elle doit , sous l'influence de ces pressions croissantes du dedans vers le dehors, tendre à s*accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase , et ceci semble justifier l'hypothèse précédemment admise (6 et d) relative-

ment aux limites assez étroites daas lesquelles se trouvent renfermées les inégalités de vitesse des filets qui franchissent les sections contractées mn, wV.

D'un autre c6té , il semblerait également permis d'admettre que , pour les points de la surface des inflexions, ou la courbure des filets et les forces centrifuges deviennent nulles en changeant de sens et de signe, les pressions totales et les vitesses dussent redevenir elles-mêmes sensiblement égales à celles du fluide ambiant , par suite de Taccélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en même temps par les pressions , mais ce serait supposer implicitement le parallélisme des filets dans tous les points d'inflexion dont il s'agit , ce que rien n'autorise à supposer,

(p) analogie de ces phénomènes avec ceux que présente V écoulement par les orifices des vases ordinaires, 11 ne sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien » s'appliquer aux phénomènes de l'écoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires , et que M. Lechevalier , dans des mémoires approuvés par l'Académie des sciences , a démontré l'existence d'une surface ellipsoïdale interne , voisine de Forifice , qui doit avoir de l'affinité avec celle des inflexions dont il vient d'être parlé , et à partir de laquelle les filets commencent à être soumis à des changements de courbure et ii une accélération de vitesse sensibles. On pourait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités ofiertes par la veine extérieure où la force centrifuge parait jouer un grand rôle tant que la courbure des filets n'est pas redevenue complètement nulle ; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives à l'écoulement des fluides élastiques, dans lesquelles M. Navier a eu égard à la détente , conduisent , en apparence , à des résultats erronés pour le cas de très-grandes différences de pression ou de très-grands changements de vitesses.

(q) Régions latérales et postérieures du corps. Maintenant si l'on considère, par exemple dans le cas des prismes (Fig. 35), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbillonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée , il est évident que la pression doit se trouver la même en tous les points ; c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il n'existe pins de courbure dans les filets et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités de ces courants latéraux, près de la face postérieure du corps , les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers l'axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en mn et mV^ la pression totale , due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM , L'M où elle

esl toujours celle du milieu ambiant , jusqu'aux filets iotêrJe irs de& tourbillons où elle redevient négative , «'est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s'agit.

(r) Influence spéciale desproues et des poupes. D'après ce qui précède, on conçoit très-bien que l'influence d'une proue continue et courbée vers le dehors ( Fig. 58 et 82 ) , ajoutée a un prisme , doit être de reporter vers le milieu a, du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare , en amont , la partie soumise à des pressions négatives de celle qui l'est a des pressions positives, tandis que l'addition d*une poupe, courbée de môme , n^a d'influence , pour diminuer la pression , qu'autant qu'elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filels qui tendent à former les tourbillons de l'arrière , et dont la vitesse est d'ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas où le corps , manquant d'une proue, a, parmi lui-même*, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d'envisager le phénomème de la résistance des fluides , les considérations sur lesquelles se fonde la formule de Bernouilli et d'Euler , on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire, et peutêtre plus propres à représenter les résultats de Texpérience; mais, au liea d^insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince , exposé obliquement à Faction d'un fluide indéhni.

(«) Des plans minces exposés à l'action oblique des fluides ( Fig. 81 }. En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives Ln et LV, et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par l'intervalle compris entre le plan CD et ces parois , on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout le pourtour de l'orifice ; qu*elle est plus forte sur l'arête G du plan , la plus avancée vers Famont , plus faible sur l'arête D qui l'est le moins , et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure; que d'un autre cèté, l'axe central aB de la masse fluidç soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête C que de farièteD, conformément au résultat dts expériences du docteur Â.vanzini [Tnstituto nationale italiano 1. 1, part. 1], citées dans le Mémoire (40B) de M. Duchemin , lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression a , sur la face antérieure du plan , doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets , parallèlement à ce plan , soit égale tout au tour ou de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en effet, d'après les considérations exposées en dernier lieu , que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par l'axe aB , avec le plan CD , que pour ceux qui appartiennent aux angles obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filets engendrent res-

pectivement soit sur le plan CD où elles s'ajoutent , soijt sur Vase 0B oh elles

tendent à se détruire en se cunlrebulant.

De là résulte aussi que la niasse des filets qui s'écoulent vers la partie «C ,

allant toujours eu diminuant, par rapport à celle des filets qui s^écoulent vers nD , à mesure que Tangle d*iHcidence BciC devient plus aigu , Cinfluenee dé raceroissement de contraction subie par les premiers, doit aussi s'affaiblir rar pidemenl avec cet angle ; de sorte que le coefficient moyen m, de la contracr tion sur le pourtour du plan CD, doit généralement augmenter , mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la diminution de la coavergenoe des filets en D ou en imV.

(t) Formules reiàtives à ce cas. Conservant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (c) , et observant que la différence des pressions reçues par le plan oblique CD , doit être mesurée par le produit A ( P — P'^ dans le sens perpendiculaire à ce pian , et par A sin « ( P — P' ) dans le sens parallèle à Taxe AB du mouvement , on aura , en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou leç di«r vers modes d'écoulement ,

<pe qui donne pour le choc perpendiculaire ,

yt I n'A'* \ n^h!^

* = ^^2-y UA'-A.in^)' -^ ) "^^ "' *' == m» (A' - A .in *)* " * ^ «t, pour le choc obliqae spus l'angle aigu BaC = • ,

"=^^2;U'(A'-Asîa.)'-M'""" *=,».»{A'^A.iu-/"

Or , en se rappelant que m augmente seulement depuis w s= 0,75 , €|ui correspond ( J) à « = 90", jusqu'à m =:= 0,88, qui parait convenir, en effet, aux plus petites valeurs de i«, lorsqu'on prend , comme pour le choc direct, «^= 1,15, A'ss6,46A, en se rappelant, dis«je, cet accroissement progressif de m, il sera faoîle de voir que les valeurs ci-dessus du coefficient de résîs^ tance ift', marchent effectivement dans le sens indiqué par les «xpériences dont les résuluts sont rapportés dans 4a table du IN" 402,

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi la résistance des plans minces obliques, est très différente de celle des angles dièdres (412) , formés par deux tels plans ou par les faces également planes d'une poupe triangulaire (416, Fig. 68), adaptée à un prisme : dans ces deux derniers cas , l'axe central des filets passe par le sommet de l'angle dièdre formé par les plans , et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures de ces mêmes plans , etc.

(u) Considérations relatives aux tourbillons. Nous terminerons celte note par quelques remarques concernant les tourbillons qui , en différents cas ^

I" FARTIK. 57

: — sin«.

4S0 n£CANlQUE INDUSTRIELLE.

tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des perles

de forces vives qu*i1s éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égard, il est très-essentiel de distinguer les remous, en quelque sorte stationnaires , qui se forment dans les anses et les creux d*un bassin , d*un canal traversés par nn courant t*t/ou principal, d'avec les tourbillons proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' (Fig. o4 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et révolutif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s*agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation , Tincurvation éprouvée par ce courant , toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d*une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre , quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d*air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples ; et qu'on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires , ce qui n'implique pas nécessairement l'idée d'un cboc direct, mais d'un choc en quelque sorte tan* gentiel,et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire , autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se furment à l'arrière des corps en mouvement dans un fluide , par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons |>lus intimes qui peuvent être dus a l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section, ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent II ^une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont^té mentionnés au N** 375 , et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

(r) Expreêsion de la perte 4e force vive qu^ih occasionnent. Considérant ^Méeialement le cas des grands tourbillons , il est aisé de voir qu'aux pre« mîers instants de leur formation , leurs divers anneaux ou spires sont doués sensiblement de l'excès de la vitesse V du courant qui les produit , sur la vitesse d'entraînement général U du courant postérieur ; de sorte que si M est leur masse totale , ou la masse qui , dans l'unité de temps , est ainsi transformée, la force vive qu'elle entraine ou dissimule et qui devient une source de perte de travail , doit réellement être mesurée par l'expression M(y — U)% admise ordinairement en se fondant, non plus, comme l'avait fait anciennement Borda , aor le ehoc des corps durs qui n'a rien à faire ici , mais sur la vitesse relative d'affluence d'unç veine fluide dans un vaso en mouvement* Or l'équation ordinaire des forces vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail , non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires , il convient de les ajouter aux diminutions, en quelque sorte patentes , éprouvées par la force vive , c'est-à-dire ici à la quantité MV2— MU^

Mais en dehors du cas dont il 8*agît, par exemple dans celui du choc des Veines isolées contre des surfaces d*une certaine étendue , il ne parait pas qu*on soit autorisé à le faire, à Timitation de Borda , du moins en s*appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce <iui se passe dans une telle circonstance , ou en général dans l'épanouissement , la déformation des veines liquides ^ à ce qui a lieu même dans le choc lies corps mous; car la cohésion joue, à Tégard de ceux-ci, un rôle qui ne parait nullement avoir lieu pour les liquides, du moins dans les hypothèses où Ton se place ordinairement , et oiî Ton prétend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

{ae) Perle de quantités de mouvement. Quand on veut, au contraire, raî« sonner en s'appuyant sur la considération des quantités de mouvement per* <lues ou gagnées , dans le choc des fluides , il devient absolument inutile d^avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements ^ car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MV — MU, puisque les signes des quantités partielles de mouvement , des filets ou spires qui composent ces tourbillons , estimées dans le sens de U et de Y^ étant donnés par les signes mêmes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions , la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle ; ce qui n'a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu'elles conservent le signe positif sur le pourtour entier des spires. Mais, ainsi qu'on Ta expliqué au N" 375 du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu'on Ta exprimée ci-dessus, est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement rectiligne et parallèle.

(y) Changements subis par la vitesse des tourhiUons de la part du milieu ambiant. Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même , dans toute Tétendue des tourbillons , aux premiers instants de leur formation , ii s*en faut que les choses demeurent dans cet état après un certain temps oii ces tourbillous , détachés du courant producteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, a l'action d'un frottement latéral qui tend à rallentir leur mouvement de proche en proche, ou d'une spire à l'autre, d'une manière d'autant moins sensible que l'on s'approche davantage de leur axe central ; ce qui explique la loi observée par Newton et Léonard de Vinci (375)* Il résulte d'ailleurs de ce mouvement giratoire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrifuge, y augmenter de Taxe à la circonférence , et qu'étant égale à la pression du milieu ambiant , en ce dernier point, elle doit être moindre ou négative sur l'axe. Mais nous n^ctendrons pas plus loin celle discussion, qui conduirait à Texplication mécanique du phénumène, si généralement connu, des trombes^ sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occasion.