CHAPITRE IV

DO FROTTEMENT d’uNE SURFACE TOUR- NANT EN CONTACT SUR UNE AUTRE SANS ROULER.

(19) Si Ton fait tourner un corps, de forme ronde, pressé contre une autre surface , en Tempêchant en même tems de rouler le long de cette surface , on produira une espèce particulière de frottement différente de celles que nous avons examinées dans les deux chapitres précé cédens.

Ce genre de frottement semble participer de lanature des deux autres. Comme dans la première espèce, une surface glisse sur rautre; comme daUs la seconde, la surface de contact est réduite à une ligue droite, et quelquefois à un point.

Ce frottement est donc d’une espèce

inlermédiaire entre les deux autres : il est moindre que le frottement en glissant^ et plus grand que le frottement en roulant.

Essayons d’expliquer les moyens de se rendre compte de ce frottement, et d’en étudier les propriétés.

Soit un axe cylindrique soUde A B , fig. I-II, inséré dsms un cylin-

dre creux, dout le diamètre C B serait plus grand que celui de A E , de ma— nièie à permettre au cylindre creux de tourner autour du cylindre solide.

Supposons que ces deux cylindres aient leur axe dans une position horizontale, et que le cylindre creux soit entopi é d’une poulie D E dont il serait le centre,

Passons sur la circonférence de la pou^.

lie, une corde très-flexible à l’extrémité de laquelle sont attaches deux plateaux de balance G et H.

En conséquence de la forme du cylindre solide et du cylin,dre creux, et de la ïiianière dont agit le poids de la. poulie, les points de contact du cylindre creux et du cylindre solide , seront sur une ligne droite formée pa.r l’intersection d\m plan vertical passant par l’axe

DES surfaces tournantes. 67

du cylindre solide et la surface intérieure du cylindre creux.

En effet, si, du point de contact B, nous concevons une ligne perpendiculaire au plan du papier, et passant le long de la surface intérieure du cylindre creux , ce cylindre et le cylindre solide se toucheront sur cette ligne et non en tout autre endroit.

Il résulte donc , de ce que nous venons d’exposer, que, si le cylindre creux tourne autour du cylindre solide, comme cela a lieu dans les roues de voitures , chaque partie de la surface du cylindre creux est nécessairement exposé aux effets , du frottement ; tandis qu’aucune autre partie du cylindre solide), que la ligne qui passe par le point B de la section n’éprouve cette action.

Si , au contraire , comme cela a lieu quelquefois, c’est le cylindre solide qui tourne dans le cylindre creux , il en résulte un effet opposé. La surface entière du cylindre solide est successivement exposée aux effets du frottement, tandis ^ que ces effets n’ont lieu que sur une ligne unique dans le cylindre creux.

En chargeant les plateaux G et H avec des poids égaux, on peut, à volonté ^

faire varier la pression sur le cylindre creux. Si, lorsque ces plateaux sont également charges, on ajoute dans run d'eux , dans le plateau H , par exemple , des poids légers ou du sable, jusqu'à ce que ce poids additionnel mette la poulie en mouvement, on poun'a déterminer ainsi la quantité de frottement qui existe entre le cylindre solide et le cylindre creux.

Le poids additionnel n'est pas , néanmoins , dans ce cas , la mesure exacte du frottement.

En effet, il faut considérer que la pôu> lie tourne autour de son centre I, que le frottement qui résiste au mouvement agit en B, et par conséquent avec un bras de levier B I , tandis que le poids additionnel, qui détruit les effets de ce frottement en faisant tourner la poulie, agit avec le bras de levier E I.

Appelons F le frottement, etW le poids additionnel , et nous aurons , d'après les propriétés du levier, établies dans notre second Traité de mécanique :

F:W::Ei:Bi El

DES surfaces TOURWAJNTES. %

G’cst à-dire que le frottement est égal au poids additionnel, qui produit le mouvement de la poulie , multiplié par le rayon de cette poulie , et divisé par le rayon du cylindre creux qui tourne sur le cylindre solide.

11 en résulte donc que le frottement est plus grand que le poids additionnel dans le rapport du rayon de la poulie , au rayon du cylindre splide.

Ccunme dans les expériences pour déterminer le frottement en roulant, on doit , ^ chacune d’elles , mettre le poids additionnel successivement dans chaque plateau , et prendre la moyenne des résultats, s’il y a quelque différence entre eux.

Pour reconnaître si ce frottement est une force uniformément retardatrice, on met, dans l’un des plateaux, un poids plus grand que celui qui serait nécessaire pour vaincre seulement le frottement , le plateau descend alors d’un mouvement accéléré ; et , en plaçant auprès de lui , une échelle verticale graduée ^ on peut reconnaître quelle est la vitesse de cette accélération.

Si l’on trouve que les espaces que le plateau parcourt en une , deux , trois ,

70 DU FROTTEMEMT

quatre , etc. secondes , sont entre eux comme les nombres i , 4 y 9 » y

en d’autres termes, 'si les esj)aces parcourus sont (comme les carres des.tems, le mouvement est , uniformément accéléré.

En conséquence , on peut conclure de cette expérience , dans laquelle les résultats sont réellement ceux que nous venons de supposer, que ce frottement est uiie force uniformément retardatrice , et cela , exactement d’après les mêmes principes que ceux que nous avons développés aux numéros 9 et lo.

La corde employée dans ces expériences, comme aans celles décrites dans les autres chapitres, doit être tellement flexible que sa raideur ne puisse produire aucun eflêt sensible sur les résultats.

(20) Dans une série d’expériences faites d’après le principe que nous venons d’expliquer, Coulomb reconnut que cette espèce de frottement , comme toutes les autres modifications du frot- . tement, est ^umise à la loi de proportionnalité entre la pression et le frottement , de même qu’à l’exception pfuçiems fois citée que., dans le cas d’üne trèsgrande pression , le frottement est dans

DESi SÜEFACES TOURNANTES. »J t

ün rapport un peu moindre que' cette pression.

Il reconnut aussi que , comme dans le frottement en glissant, on obtient un grand avantage, si l’on graisse les surfaces. En général, le suif frais diinifiue le frottenlent de moitié. Il augmente à mesure que la matière onctueuse diminue. Ce dernier effet est, à la vérité, plus lent que dans le frottement du premier genre, ou en glissant.

Ce frottement est aussi une force uniformément retardatrice, et par conséquent, il est indépendant de la vitesse du mouvement.

Comme dans les deux autres espèces de frottement, la quantité de celui-ci dépend de la qualité des surfaces en contact. Si du fer tourne en contact avec du cuivre, le frottement équivaut à un septième de la pression ; si les deux surfaces sont en bois , le frottement est undouzième de la pression. , ,

En général ^ toutes les observations

3 ue nous avons faites sur le frottement U premier genre , ou en glissant, s’appliquent à la troisième espèce de frotte-, ment ddht nous nous occupons dans ce chapitre.

DU FROTTEMEMT

(2n) Le frottement des corps tournant sur des pivots semble appartenir à ce troisième genre de frottement. Il fut également l’objet des recbercbes de Coulomb qui a publié , à ce sujet, un Mémoire inséré dans les Mémoires de V Académie des Sciences de i -^go. Nous en extrairons les résultats suivans :

Les corps ^u’on fait tourner sur des pivots sont généralement suspendus , au moyen d’une chape et d’un collier de matière très-dure. La cavité du collier a une forme conique dont le sommet est terminé par un segment concave dont le rayon de courbure est très-petit ; la pointe du pivot qui est suspendue par ce collier, forme une petite surface convexe, dont le rayon de courbure est un peu plus petit que celui de l’extrémité du cône creux.

L’expérience démontre que la courbure du fond du cône creux est irrégulière , et que le frottement d’un collier d’agathe dans lequel tourne un pivot, est fréquemment cinq ou six fois plus considérable , que le frottement d’un plan d’agatlie bien poli, sur lequel tournerait le même pivot. •

Ces considérations engagèrent Cou-

it

lomb à se servir, dans le cours de sea expériences , mais d’un plan parfaitement poli pour soutenir le corps sur la pointe du pivot.

Pour empêcher le corps de glisser, il avait soin que son centre de gravité fut très-bas par rapport au point de suspension. Il faisait alors tourner le corps sur le pivot i en lui imprimant un mouvement de rotation ; puis , au moyen d’une montre à secondes, il observait exactement le téms employé par le corps pour faire les quatre ou cinq premières révolutions , et en déduisait facilement * une révolution moyenne , pour déterminer La vitesse primitive du mouvement; enfin, il comptait le nombre de révolutions que le corps faisait avant de s’arrêter.

Dans une de ces expériences , Coulomb se servait d’une cloche de verre de 48 lignes de diamètre , de 6o lignes de hauteur et du poids de 5 onces. 11 la plaça sur la pointe d’un pivot, et, après’ lui avoir imprimé difïérens degrés 'de vitesse autour de ce pivot , il observa très -exactement le tems qu’elle employait à faire sa première révolution,* ce qui lui donnait une vitesse moyenne

Mùcaniq. 3 S

qui répondait à la moitié de cette première révolution.

11 comptait ensuite le nombre de révolutions que faisait la cloche avant de s’arrêter ; les résultats qu’il obtint , furent les suivans :

Première expérience, La cloche fit une révolution en quatre secondes, et s’arrêta après avoir lait 34 ‘/«o révolutions.

Deuxième expérience, La cloche fit une révolution en six secondes un quart , et s’arrêta après avoir fait i4 7«o révolutions.

Troisième expérience. La cloche fit une révolution en 1 1 secondes , et s’arrêta après fait 4 V«o révolutions.

[Maintenant , si nous désignons par b la vitesse initiale, par X l’espace parcouru entre le commencement et la fin du mouvement, par A le momentum con-

s tante de la force retardatrice, par y — ÎL

la somme des produits de chaque molécule par le carré de la distance r à l’axe de rotation , divisée par la quantité < 2 , qui désigne la distance de l’axe de rotation au point où la vitesse initiale

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DES surfaces, tournantes. <j5

est b , il est facile de trouver Texpression analytique suivante, pour la valeur con^nte de la force retardatrice.

Mais , comme dans les trois expériences rapportées ci-dessus, on a employé la mê-

me cloche de verre , la quantité f

reste la meme ; doit donc être une

quantité constante , si A est une quantité constante , et réciproquement.

Mais , dans chaque expérience , on a constaté le tems employé par la cloche pour faire une révolution entière. La vitesse moyenne , ou la vitesse du milieu de chaque première révolution, est par conséquent mesurée par la circoniérence parcourue. L^espace parcouru jusqu’à la fin du mouvement, est mesuré par le nombre de révolutions faites depuis l’instant où la vitesse moyenne est déterminée, jusqu’à la fin du mouvement.

En calculant donc sur les ^données

7b DU FROTTEMENT

fournies par ces trois expériences , nous pouvons former le tableau suivant :

Première expérience. La cloche fait une révolution en 4 ^', s’arrête après 34 révolutions, le résultat est donc

Deuxierne expérience. La cloche fait une révolution en G'/V' s’arrête après i 4 V'u révolutions, le résultat est donc

Troisième expérience. La cloche fait une révolution en ii'^ s’arrête après 4 7 *" révolutions, le résultat est clone

Cette expérience démontre donc , sans la moindre équivoque , que la quantité

et, par conséquent , la quantité A

qui désigne le momenfum du frottement, sont des quantités constantes , quel que soit le degré de vitesse initiale : donc la vitesse n^ aucune influence sur la résistance produite par le frottement sur

DES surfaces TOURWANTES. 77

des pivots, qui, d’après ces mêmes expériences , est proportionnelle à une fonction delà pression.]

Lorsque ces expériences sont faites, dans le vide, on peut employer un corps moins pesant et d’une forme quelconque; les résultats seront identiques. '

Dans d’autres expériences , Coulomb courba une tringle de cuivre de 9 pouces de long; les branches parallèles étaient distantes l’une de l’autre de 24 lig^^es : la partie de la tringle , courbée en demicercle^ qui joignait les deux branches avait 3 pouces de longueur , et ces deux branches avaient également 3 pouces de longueur.

A l’extrémité de chaque branche verticale était attachée, avec de la cire, une pièce de métal , et au milieu de la partie concave de la tringle, était fixé par le même moyen , un petit plan , parfaitement poli, d’une substance quelconque, qu’on pouvait ainsi remplacer successivement par d’autres plans , également bien polis , de différentes matières. Ces plans avaient pour destination de rece-r voir la pointe du pivot dont on voulait connaître le frottement. Eu faisant va-, lier le poids des pièces de métal atta-

nS DU FROTTEMEMT .

chées , avec de la cire , à rextréinitë des branches verticales , on faisait varier à volonté la pression sur le pivot.

Enfin , au sommet d’un support était adaptée une aiguille d’acier trempé qu’on pouvait également changer pour avoir une pointe plus ou moins aiguë , arrondie ou obtuse, suivant la nature du plan dont on voulait déterminer le frottement , et la pression qu’on exerçait sur le pivot.

La tringle recourbée était alors placée , les deux branches verticales .pendantes, sur la pointe de l’aiguille qui supportait ainsi tout l’appareil, en frottant contre le petit plan.

La pointe de la première aiguille employée par Coulomb, lui parut, examinée au microscope , former ua angle conique de i 8 à 20 degrés. Il fit avec elle successivement des expériences sur des plans bien polis de grenat , d’agathe , de cristal de roche , de verre et d’acier trempé ; et , prenant pour chaque expérience la quantité moyenne représentée

par (quantité qu’il avait constatée

ne varier que dans des limites très-

étroites ) il obtint , pour résultat , la va- leur du frottement de la pointe d*aiguille contre les plans de grénat , d*agathe , etc. , etc. , successivement. Le rapport qu’il reconnut entre les valeurs de ces divers frottemens, est représenté par le rapport entre les fractions

suivantes :

• de sorte que, si Ton représente, par

l’unité le frottement sur le plan de grénat , nous aurons , pour valeur du frottement de rotation spécifique des autres substances , les nombres suivans :

Frottement du grenat i . ooo.

de l’agatbe i.2i4*

du cristal de roche. . i • 3 1 3.

du verre ^*777-

de l’acier trempé ... 2 . 2 . 5 '] .

Pendant ces expériences , Coulomb chercha à déterminer la forme plus ou moins aiguë qu’il convient de donner à la pointe des pivots. Il arrondit successivement des pointes d’aiguilles en cônes plus ou moins aigus , pour reconnaître si le changement de figure avait quela«e influence sur le frottement.

8o DU FROT'XEMEKT

U constata , par exemple , que , sous une certaine pression , la pointe du pivot formant un angle de 46 degrés , la

quantité était, pour le grénat , de •A.

i pour Tagathe, de ; pour le de ; pour l’acier trempé.

verre

de

aooo

Coulomb donna ensuite à la pointe de l’aiguille , une forme plus aiguë , l’angle du cône qui la terminait n’ayant pas plus de 6 à 7 degrés , et U‘ constata qu’en conservant la pression des expé—

l’iences precedentes, la quantité — ^ était, pourTagathe, Qqq. l pour le verre.

-4—: pour l’acier trempé , — î — •

Comparant, d’après ces expériences et quelques autres, la valeur du frotte;?ment de rotation d’un plan d’agathe

DÈS SDHFACES TOtJllK antes. 8i contre la pointe de difFérens pivots , il

constata que la quantité — qui varie

comme cette valeur , était pour une pointe dont l’angle avait 45 degrés ,

i pour une pointe de i5 degrés,

’> pour une pointe de 6 degrés ,

Après ces expériences , Coulomb fit varier le poids des pièces métalliques adaptées aux deux branches verticales de la tringle courbe de cuivre , et détermina la valeur des frottemens des pivota sous différentes pressions. . .. .

Mais, sans entrer dans aucun détail sur celte nouvelle et nombreuse série d’expériences , nous allons indiquer ci- ' dessous les principes ge'néraux qu’il en déduisit.

I®. Le frottement des pivots est indépendantde la vitesse, et est seulement proportionnel à une fonction de la pression.

St. du frottement, etc.

a". Le frottement des pivots sur le jjrénat , est moindre que sur le verre.

3°. La forme de la pointe des pivots , ainsi que sa plus ou moins grande finesse affecte ou modifie la quantité de frottement ; de sorte que , lorsqu’on fait tourner, sur la pointe d’une aiguille, jun corps pesant plus de 5 ou 6 gros , l’angle le plus avantageux qu’oii pourrait donner à ’cette pointe serait ae 3o à 45 degrés. Sous une pression moindre, l’aiigle pourrait être proportionnellement diminué ou plus aigu, sans que le frottement augmentât sensiblement. On peut, sans inconvénient , réduire une pointe de bon acier à un angle de lo ou 12 degrés , lorsque la pression n’excède pas 100 grains, considération importante, lorsqu’on a à suspendre des corps légers sur des pivots.

Ces principes peuvent être très-utiles aux horlogers.

Dï LA RIGIDITÉ, ET€. J? 85