DE LA RIGIDITE, OU DE LA RAIDEUR DES CORDES

(22) Ew examinant Tes effets et Tusage des cordes, dans notre second Traité, nous avons supposé que ces cordes^ étaient, dans tous les cas , parfaitement flexibles. '

" Toutes les fois qu’on fait des expé riences sur une petite échelle , avec des poids légers et des tensions modérées',on peut employer des fils de soie ou • même de la ficelle très-fine , sans' aVôir*^ égard à leur raîdeiit^’ parce que, dans ce cas, leur flexibilité esft trop grande pour que leur raideur puisse produire un effet sensible.

Mais , dans beaucoup de circonstances qui se rencontrent dans la pratique

84' tj DE EiV RIGIDIIÉ ,

lorsqu’on ade grandes résistancesâ vaîn— cre ou des poids considérables à élever , on emploie des cordes dont l’épaisseur et la force produisent une très-grande raideuv; et , si nous voulons connaître la puissance réelle et pratique de la machine que nous employons, il est nécessaire que nous puissions déterminer les effets produits par la raideur des cordes dônt on fait usage.

Bien que la théorie de la rigidité des cordes soit beaucoup plus satisfaisante et plus conforme aux résultats de l’expérience que tout ce qu’on a imaginé sur le frottement , il est beaucoup plus dif-?

ficile dçl’expliquer , d’une manière à la fois sbnple., claire et populaire.

La raideur d’une corde dépend d’élé- ■ mens qui la déterminent d’une manière “ très- facile à expliquer/ aux personnes farnUières ayecles élémens de l’algèbre, mais qu’on ne peut rendre que très -difficilement, en langage ordinaire.: -i ^ Pour donnei’ une idée à nos lecteurs de la manière dont la raideur d’une •' corde met obstacle à l’action dhme machine , nous supposerons que des poids égaux A et B , //g-. 5 , pl. l-ll , sont attachés aux deux extrémités d’une corde '

ou DE LA RAIDEUR DES CORDES.. 85 «

A C D B, passant sur une poulie fixe O.

En augmentant un peu le poids A , on ferait tourner la poulie dans la direction D K G, ^

Cette partie de la corde qui a été pliquée sur le demi-cercle D K C , a , en laison de sa raideur, une tendance à conserver la forme courbée, et à résis- / ter , plus ou moins , à un effort quelconque , qui tendrait à lui faire quitter cette forme. '

Supposons qu'elle conserve, en effet, cette forme pendant lin petit mouvement de la poulie ; la portion D K C de la corde , continuera à rester appliquée à la poulie, mais les points C et D auront pris lesipositions C' et D\ ■

Par la 'même raison que la portion Ti K G de la corde, tend à conserver la’ forme courbée-, les portions D B et C A de cette iinême corde , tèndent à conserver leur forme rectiligne ou en ligne droite, ainsi que leurs positions ,■ par rapport à la portion D G K. *

Supposons encore que , pendant le petit mouvement dont nous avons parlé, ces trois portions de la corde conservent à-la-fois leur forme et leur position rela- ‘ tive, et que , par conséquent, à la fin de

ce mouvement, la corde et les poidsaient pris la position A! C' D' B' ; position qu'ils prendraient en effet, si la * corde était parfaitement rigide^ et si son frottement sur la poulie était suffisant pour Tempêcher de glisser dans la gorge de cette poulie.

Dans cette position, le poids ajouté à au lieu d’agir contre le poids B avec un bras de levier , C O égal au sien , n’agit plus qu’avec le bras de levier EO , contre ce même poids B qui lui résiste avec un bras de levier augmente F O ( les lignes A' E et B' F étant perpendiculaires à la ligue G D et à son prolongement ). , '

Il résulte donc, de ce que nous venons de dire, que , si la corde était par- faitement rigide, une .puissance quelconque, qui aurait commencé à faire tourner la poulie, placerait bientôt l’appareil dans une position telle que la résistance agissant sur un bras de levier qui augmenterait constamment, tandis que la puissance motrice agirait sur un bras de levier qui diminuerait de même, la machine se mettrait! ; en- r«quilibre et qu’il n’y anrait plus de : mouvement de produit. - '

ou DE LA RAIDEUR DES CORDES. 87

Maintenant^ supposons, ce qui est généralement vrai , que la corde , sans être absolument et parfaitement rigide , a un certain degré de raideur: si l’on fait tourner un peu la poulie, comme dans l’expérience précédente, les poids A' et B' agissant sm des portions de corde A' C C' et B' D' dont la flexibilité n’ést pas parfaite, leur feront prendre la forme de courbes , comme le représente la Jig, 6 , pl. I-II.

Des points A' et B', comme dans l’exemple précédent, tirons les lignes perpendiculaires A' E et B' F, et nous reconnaîtrons qu’il est évident que le

Ï toids ajouté à A' agit :ayec un bras de evier diminué E tandis que le poids B' agit avec un bras de levier augmenté F O. Si le poids ajouté à A' et multiplié , par le bras de levier E O, n’est pas plus grand qne le poids B' multiplié parle bras de levier F O,, Une prodiiim aucun mouvement. ?•. <- r

Une autre conséquence 'de; ce. fait , c’est qu’une poulie fixe peut être cbargée de poids inégaux, et cependant conser-j ver l’équilibre. ■;-ij . ji .r .D»

Si nous examinons les effets que les poids A' et B' produisent sur la corde *

pendant que la poulie tourne , nous trouverons que ces effets sont très-différens entre eux.

Le poids B' courbe continuellement la portion de corde, de manière à lui faire prendre , en D, une courbure égale à celle de la gorge de la poulie. D’un autre côté, le poids A est employé à détruire cette courbure que la corde a prise sur la gorge de la poulie, et même à lui faire prendre une oourbure dans une autre direction.

La tendance que la corde a, dans 'ce cas, à conserver la courbure en C , a

Ï mur résultat, de diminuer le bras de evier avec lequel le poids A' agit ; mais l’effet que produit le poids k! en donnant à la corde une autre courbure dans

une direction opposée au-dessous de G', diminue ce résultat et tend à augmenter le bras de levier avec lequel agit le poids A'. La différence entre ces deux effets' est la mesure de la diminution du bras de levier de A'.

D’un autre côté , la résistance que la porlion de corde B' D oppose à la flexion, contrarie aussi l’effet de B, et cette résistance qui n’est contrebalancée par aucune autre cause, est entièrement em-

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ou DE LA RAIDEUR DES CORDES. 89

ployée à augmenter le br|isde levier avec lequel agit le poids B'.

Il en résulte donc que Taugmentation D F du bras de levier, avec lequel agit le poids B' , est beaucoup plus grande que la diminution G £ du bras de levier de A'.

Cet effet, qui est toujours le résultat de Texpérience, est d’une grande importance , en ce qu’il simplifie la théorie de la rigidité des cordes.

En effet, on reconnaît généralement .

que l’efï’et du poids A' sur la corde est si considérable, et que la diminiUion G E de son bras de levier, produite par la raideur de la corde, du côté G, est si peu de chose, qu’on peut la négliger entièrement, et, que dans nos recherches ultérieures, nous pouvons, sans erreur sensible, considérer le poids A' comme agissant à l’extrémité du bras de levier O G ou du rayon de la poulie.

Au contraire , et . d’après les raisons que nous venons d’exposer, l’augmentation D F , du bras de levier de B' , produite par la raideur de la corde t) B' est considérable, et forme un élément important dans la détermination des effets de la rigidité.

Maintenant, si nous désignons par x le poids quUl faut ajoutera A! pour que la poulie commence à se mouvoir , nous aurons, diaprés les principes de la théorie du levier, que nous avons établis dans notre second Traité :

équation dans laquelle rdésigne le rayon de la poulie , et ^ = D F.

Par conséquent :

Mais, puisque

éliminant ces deux quantités égales des deux membres de Féquation , nous trouvons :

Ainsi , si b est connu , l’effet de la rigidité, correspondant à un poids ou à une pression donnée , sera aussi connu.

11 en résulte également que, pour déterminer l’effet de la rigidité des cordes, dans une machine quelconque, il c&t

ou DEL ROIDEUR DES CORDES. 9I

seulement nécessaire de supposer que le bras de levier, avec lequel agit la résistance , est plus grand . qu’il ne l’est eu effet, d’ une certaine quantité.

Pour compléter la théorie de la rigidité des cordes, il est nécessaire que nous donnions les moyens de déterminer cette quantité b. Mais cette explication nous forcera à faire usage de principes et de signes algébriques , avec lesquels la plu-

f iart de nos lecteurs ne sont pas famiiers. Ils acquerront très-facilement cette connaissance importante , en étudiant avec soin le Traité cV Arithmétique et à' Algèbre qui fait partie de cette Collection.

La quantité b dépend évidemment et entièrement de la courbure de la corde fis- 6, et il est facile de déterminer les élémens dont cette courbure dépend.

Ces élémens sont :

I®. La tension de la corde ou le poids B' qui détermine cette tension; appelons w ce poids ou cette tension.

2 ®. Les matières mêmes qui composent la corde, et la manière dont celle-ci a été confectionnée; appelons a la quan-

tité dont ces deux élémens affectent ou modifient la raideur de la corde.

3*. Le diamètre de la corde , que nous appellerons d.

4®. Enfin le rayon de la poulie que nous désignerons par r.

Dans ce cas , la mrmule empirique

représente la valeur de x ; les lettres m et n représentent des nombres indéterminés , dont les valeurs, aussi bien que celle de a ne peuvent être trouvées que par l’expérience. *'

Po^r déterminer ces valeurs, supposons qu’on ait quatre poulies dont les rayons soient r, r , r'' et r’i' ; qu’on place successivement, sur ces poulies, la corde dont on veut connaître la raideur; qu’on tende cette corde, avec des poids égaux, ■vv, w', w" et w'" J et qu’entin les poids

(*) On appelle en algèbre, formule empirique , une formule imaginée ou conçue sans démonstration analytic^ue, et dont la vérité, ou seul.^ment la probabilité , ne s’établit qu’eu montrant qu’elle est vérifiée par l’expérience.

ou DE LA raideur DES CORDES. g3

nécessaires pour faire commencer le mouvement de ces poulies soient représentés par X, x' , x" et x"\

Si l’on substitue ces valeurs à celles de la formule citée plus haut , on obtiendra :

( a -f- m ivii)

De trois quelconques de ces quatre équations, on peut déduire les valeurs de «, de m et de n. Ces valeurs étant connues on a

d’où 0 =

g4 DE LA RIGIDITÉ, ETC.

Par là on peut déterminer Taugmentation du bras de levier qu’il est nécessaire d’allouer à la résistance, lorsque le diamètre de la corde et sa tension sont connus.

Pour vérifier la formule empirique, ci-dessus mentionnée , ou pour en prouver la vérité autant qu’il est possible de le faire, il suffit d’éliminer les quantités a, m et ndans les quatre équations (A); et, si le résultat est une identité, c’està-dire une équation dont les membres sont exactement les mêmes, les quatre équations sont d’accord. ' ,

On peut fortifier cette espèce de preuve, eu multipliant les expériences, et en employant différentes valeurs de x, de w, et de r .* et si on élimine les valeurs a, m et n de chaque combinaison des quatre équations, la certitude de la preuve sera égale à celle d’une démonstration.]