CII.U'ITRE IV

rapiiorlmis les forées du système à trois axes rectangulaires. Soit M (fig. 20) le point d’application de la force P, x, y, z les coordonnées de ce point, et «, p, ■/ les angles que fait la foi-cc P avec les trois axes ; les trois composantes /), p', p' de P sont P cos a, P cos Peosy; mais la force p peut être transportée parallèlement à elle-nièmc au point n, moyennant un couple représenté par p X -Mil ou îP cosse renfermé dans un plan parallèle nu plan des XZ (commenccinent du N” ô2) et par conséquent dans le plan inênic des .\Z. Cette même force p appliquée au point B peut ensuite être transportée parallèlement à elle-même dans l’axe des X on au point A, en introduisant un couple exprimé par pBE ou y P cos a et renfermé dans le plan dos XY. Si l'on transporte de la même manière les forces p' et p" à l'origine A , on obtiendra dans ctiaquc plan coordonné deux couples l'cpréscntés par iPcos^ et yPeosa pour .XY, xPeosy et zPcosa jMiur .XZ et t/Pcosy, zPcosp pour YZ. En réunissant ceux qui sont renfermés dans le même plan, et prenant positivement celui <|ui tend à faire tourner la figure autour de l'axe des ,X dans le sens YZ, autour de l'axe des A’ dans le sens Z.X, autour de l’axe des Z dans le sens XA', c’est-è-dire ceux qui ont pour axes, les axes positifs des X, A', Z, et négativement ceux qui agissent en sens inverse, tous les couples se réduiront à trois, dont les moments seront j-Pcosp — i/Pcosa, zP eos a — jP eos y , yP cos y — zP cos p.

Tels sont les moments des trois couples qu’il faut introduire dans les trois plans coordonnés, lorsqu’on transporte la force P nu scs trois composantes p, p', p" du jioiiit M au jioint A parallèlement îi ellcinéine.

Observons que, d’après ce ipi’on a vu au X° 15, le moment de la forée P par rapport à l’axe des Z est égal à la somme des moments de p,p'et p", somme qui est visiblement iP eos ^ — yPeosa. On rcconnait de la même manière que les moments de P jmr rapport aux deux autres axes sont zPcosa — jPcosy cl i/Peosy — zPcos^; d’où il suit qu'««e force appliiiiiée eii un point quelconque de l'espace peut être remplacée par trois forces dirigées suivant les axes et trois roupies renfermés dans les trois plans coordonnés, les forces étant égales aux projections de la force de l'espace sur les axes; et les moments des couples étant égaux aux moments de la force de l’espace par rapport aux trois axes.

Il suit de là que si par un point quelconque considéré comme lié au reste du système, on mène trois axes rectangulaires, on pourra

SIATigUE.

trniisportcr toutes les forces parallèlement à elles-mêmes en ce point et si l’on représente par xyz , x'y'z', etc. les coordonnées des points

d'appliculion des forces P, P' et par «Sy, les angles que

celles-ci forment avec les axes, toutes les forces de rcspace seront remplacées par trois forces X, Y, Z renfermées dans les trois axes et données jwr les équations

X = P cos a -t- P’cos a' -t- etc., Y = P eos p -4- P' cos jj' -t- etc.,

Z = P eos y -i- P' cos y' etc.

et par trois couples L, M et X renfermés dans les trois plans coordonnés et donnés par

N = xPeos P — yPeos « -t- x'P' cos p’ — y'P'cos a' etc.

L = i/Pcos y — zPcos p y'P'cos y' — r'P'cos V -i- etc.

M = iP cos a — xP cos y z’P’ cos a' — x'P' cos y' -r- etc.

Or les trois forces .\, Y, Z peuvent être remplacées par une résultante H égale à j/X’ -*- Y* -t- Z* faisant uvee les trois axes des angles a, b et c déterminés par

coso = -, cos6=— , cosc = — ;

d’un autre côté, les trois couples sont épuivaicnts à un couple unique W = j/l*

et formant avec les plans coordonnes des angles t, m cl n donnés par

cos / = — , cos m = , cos « i

toutes les forces seront donc remplacées par cette force unique R cl ce couple W.

D'après ce qu’on vient de voir, L, M et N représentent évidemment les sommes des moments des forces par rap|iort aux trois axes.

On peut conclure des résultats précédents que la farci' uiiiifiie à laquelle est réductible un système de farces queleanques en nombre n, est éyale à n fois la droite menée du centre des moyennes distances des points d'application des forces au centre des moyennes distances de leurs extrémités et lui est parallèle. Celte proposition se démontre eu suivant une marche analogue à celle qui a été indiquée à la fin du N" 1 1 .

CIIAI'ITRK IV.

Ô4. Inclinaiaun île la force unique .sur le couple. Couple principiil. — En iTpri'sentmit jnir à r»n^le fornié par 1« jilaii du runpic W avrr la force R cl en oliscrsanl que cet angle est eoniplémcnt de celui que forme la force avec une normale an plan, on irouvc

si II (?= eos a co.s I -i- eos b cos m -t- cos c cos n

cl (lar conséquent ,

. , XL H YM 4- ZN

sin O = — .

Cüinnie l’origine des coordonnées est arliilraire , le système d’un couple et il’une force nniipie (lassanl par l’origine, qu’on sulisliluc aux forces données, est indéterminé; mais il y en a un qui est unique cl par conséqiicnl délemiiné, c’est celui on le plan du couple est |>crpendiculaire A la force. Pour le trouver, transportons la résultante R ou hicn ses trois composantes X, Y, Z, parallèlement à elle-même en un point ayant pour coordonuccs x,, i/„ z/, il faudra pour cela introduire trois couples (*;

Y:, - 7jj, , Zj, — X*, . ^<J. —

qui devront être joints à L , M cl X, de sorte que le système sera ramené à une force unique R ap|iliquée en x, ÿ, r, cl à trois couples

L 1 Yi, — Zy,= L', M i Z.r, — Xi,= M’, N i .\y, — Yx, = X'.

Le couple résultant de L', M', N” fait avec la force R un angle J donné par

. , XL' + YM'-v-Z.Y

Sin » =-■ -- z::

Pour que cet angle soit droit, les coordonnées x, , s, doivent satisfaire à l’équation

/X* I Y* -4 Z'^ |/Ï7^+ .M^ X^== XL' O YM' a- ZX qn’ou peut mettre sous la forme

(X.M' — YL')* (YX' — ZM )* -I- (ZI/ — XX')» = 0

(') Si In force It était traiKportéc du point x, y. à l’origine, les trois couples à introduire seraient d’après ce qu’on a vu , Zy, — Yr, etc. Ici la force est transportée de l’origine au point x, y.z,; les couples doivent donc être les memes, mais de signes contraire"..

STATIQI'E.

Cl qui SC décompose en trois

XM' — YL' = 0 , YN — ZM' = 0 , ZI/ — XN = 0

dont l’une est \isildemcnt comprise dans les deux autres. Elles devicn nent en remplaçant L', .M' et X' par leur valeur,