P':P:R = AD:BD:AB

ce qui apprend que chacune des trois forces est encore proportionnelle à la droite gui sépare les deux autres, coiniuc dans le cas où les forces P et P' agissaient dans le même sens.

18. Couples. — Si les forces P et P' étaient égales entre elles, il Tiendrait

R = ü et AD=i;

on voit donc que la résultante est alors une force nulle appliquée à une distance infinie; ce résultat symboliipie indique qu’un semblable système compose de deux forces égales, parallèles et agissant en sens inverse ne peut avoir une résultante, c’est-à-dire, qu’il ne peut être remplacé par une foiTC unique; et en effet si l’on pouvait admettre rcxistence d’une résultante dirigée suivant une certaine droite, comme on pourrait, à cause de la symétrie de la figure, trouver une autre droite placée de la même manière que la première, il n’y aurait pas de motif pour que la résultante fut plutôt dirigée suivant l’une de ces droites que suivant l’autre.

Le système de deux forces parallèles, égales et agissant en sens inverse se noininc couple.

19. nésultante d'un système de forces parallèles. — La détermination de la résultante d’un nombre quelconque de forces jiarallèlcs

P, P', P", P"' ajipliquées à des [loints liés invariablement entre

eux, est une conséquence de ce qu’on tient de voir; en effet on peut trouver la résultante des deux forces P et P’, laquelle est égale à leur

STATIQUE

somme ou à leur différence selon qu’elles sont dirigées dans le même sens ou en sens opposé; on composera ensuite cette résultante partielle avec la force P" cl la nouvelle résultante, qui est aussi celle de P, P' et P", sera encore égale à la somme ou à la différence de ses composantes. Apres avoir étendu cette opération à toutes les forces du système , on eonnaiira de grandeur et de position la résultante finale. Il résulte évidcininenl de ce qu’on vient de voir que la résultante d’un système de forces parallèles est égale à la somme de toutes les forces qui agissent dans un sens moins I.i somme des forces qui agissent en sens inverse, ou plutôt en considérant ces dernières comme négatives, la résiiltaiite est égale ù la somme algébrique des composatUes.

La position du point d’application O de la résultante que l'on détermine imr des iqiérations successives, est indépendante de la direction des forces; car on n'a pas eu égard à cette direction dans les constructions qui y ont conduit; c’est pourquoi on lui a donné le nom de centre des forces parallèles.

20. Théorème sur le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un plan. — La rcclicrchc du centre d’un système de forces parallèles est facilitée par la considération des moments. On appelle moment d'une force par rapport à un plan, le produit de la force par la perpendiculaire abaissée de son point d’aiqilication sur ce plan; si donc P cl P' sont des forces parallèles appliquées aux points A et B (fig. 19) et B/i, Au îles pcrpeudieulaires abaissées sur le plan .MX, P. Aa et P'. 111/ sont les moments de P cl P' par rapport au plan MX. Il existe entre les moments de forces parallèles et le moment de la résultante une relation très simple; soit R la résultante de P et P'; si on inultijilic les deux membres de l’équation

par Aa, il vient

R. A« == P. .4(1 -H P'. Au ; mais on a la proportion

R : P' = AB : AC = W : Ce' d’où R. Ce' = P'. Bù',en ajoutant celle é()uution à la précédente membre à membre, il vient R. Cc = P. A(t -t- P', üb

ce qui apprend que le moment de la résultante pur rapport au plan )(X est égal ù la somme des moments des composantes.

CIIAPITHK II.

Si les (leux cimi|H)santes ngissaient en sens inverse, on ferait usage de l'équation R = P — P' et on trouverait que le niunient de la résultante est égal .à la dilTércnee des nioiiicnts des eoniposantcs.

Si le plan MN passait entre les points A et B, de manière que les perpendiculaires Dh et A« fussent jilacées des deux cotés du ]ilau .MM, en suivant la inéme marelic que plus haut, un trouverait jiour le cas où les coiu|iosantes sont dirigées dans le même sens, que le moment de la résullante est égal à la dilTérciice des moments des eoinposantes et enfin , le plan conservant la même position, si les forces P cl P' agissaient en sens inverse, le niuiiient de la résultante serait égal à la somme des moments des rum|iosantes.

On peut résumer en une règle générale la loi que suit le changement de signes des inuiuents; car si on considère les forces P, P' comme appliquées aux extrémités des droites Aa et Bù fixées perpendiculairement au plan M.N, il est visible que dans les dilîérentes équations ipii précèdent, les moments jiositifs correspondront aux cas où CCS forces lendeni à renverser le plan MN de gauche à droite et les moments négatifs aux cas où les forces tendent à le renverser du cùté opposé. On pourrait donc énoncer le théorème des moments de cette manière : le moment de la résultante de deux forces purallides par rapport à un plan est égal éi la somme des moments des composantes, en regardant comme positifs les moments des forces gui tendent à renverser le plan du côté de la résultante, et comme négatifs ceux gui tendent à le renverser du côté opposé.

Les dilTérents cas peuvent encore être renfermés dans une même éqiiation comme il suit : représentons par x, x', r les perpendiculaires abaissées des points A, B et C sur le plan MN; l’équation des inomcnts deviendra

Br = Px -+■ PV

et si l’on considère x, x', r comme des coordonnées ordinaires, c’est-àdire, eoiiime changeant de signe lorsque le point passe d’un cùté à l’autre du plan .MM, et si l’on prend P et P' positifs ou négatifs selon qu’elles agissent dans un sens ou ilaus l’autre, il est facile de s’assurer que les seuls ehangcincnts de signe des forces et des coordonnées suBiront pour rendre l’équation des moments applicable à tous les cas possibles.

21. Moment de la résultante d'un système de forces parallèles. — Le théorème des moments démontré pour deux forces peut cire étendu à un nombre quelconque de forces; en effet, P, P’, P'', P"'....

STATIQUE

étant les forces parallèles, xyz, x^y'z' , x"y'^' les coordonnées de

leurs points d’application , si on désigne par R' la résultante de P, P', par R" la résultante de R', P" ou de P, P', P", par R'" la résultante de R", P"’ ou de P, P', P", P’" etc., et enfin par R la résultante de

toutes les forces et par abc, a'b'e’, a'h"c" les coordonnées des

points d’application de R, R', R" on aura cette suite d’égalités,

R'a' = Px P'x' , R7/ = Pv-+- P 'y', R’c' = I'î V z' ,

R" = R' -4- P" = P -E- P' P", R"a" = R'o' -4- P"x" = Px + 1>'x'm- P"x ', R'7)" = etc. R''c" = etc.

R"'a'"=R'Vi"-4- P"'r"'.= Px-t- PV-4- P"x" -4- P'"i"', R’"6"t= etc. R'"c" = etc.

et enfin

R = P -t- P' -4 P'' -4- etc.

Rn == Px -4- P’x' -4- etc.

\\f> = Py .4- P'y' -4- etc.

Rc = Pi -4- P'î' + etc.

C’est-à-dire que la résultante est égale à la somme algébrique des composantes et que le moment de la résultante par rapport à l’un des trois plans coordonnés est égal à la somme des moments des composantes.

22. Détermination analytique de la résultante d'un système de forces parallèles. — Ces équations fournissent un moyen de déterminer immédiatement le point d’application de la résultante, ou le centre des forces parallèles; car on en tire

Px -4- P'x' -4- etc.

" ^ ’P -4- P' i etc. ■

I Py -4- P'y’ -4- etc.

P -4- P' -4- etc.

Pi -4- P'i' -4- etc.

^p'V P^êicr' '

Ces valeurs sont remarquables en ce qu'elles ne dépendent ipie de la grandeur des forces composantes et de leurs points d’ap|)lication et nullement de la direction commune de ces forces, de sorte que si, sans changer les intensités et les points d’application , 011 faisait varier

CIIAHTIIK II.

leur (liiTction eiiiiiniiine , la positiuii <lii point d’applicalion tic la iionvrllc l•c.sultantc i-cslcrail la nicme , ainsi qu’on l’a déjà reconnu (N“ 1!)).

Si toutes les forces avaient leurs points d'a|iplieation placés dans un niénie plan, en jirenant celui-ci |)our plan des XY, tous les z seraient nuis et par conséquent r, ce qui apprend que le centre des forces parallèles serait liii-inéine renfenné tlans ce plan et les deux premières équations siilliraicnt pour déterminer la position du rentre.

Si toutes les forces parallèles étaient appliquées à une même droite, une seule équation sullirait pour déterminer le point il’apidiration de la résultante, car en prenant cette droite pour axe des X, les y et les Z seraient nuis et par conséquent b et c; il suflirait donc de poser

Px -4- P'x' -4- etc.

P -4- P' -4- etc.

23. Efjiiilibre de forces parallèles. — Proposons-nous de trouver les conditions d’éqiiililirc d’nn svstème de forces P, P', P".... parallèles

et ajipliqiiées aux points xyz, x*jz , x'y'z' liés invariablement

entre eux. .Si l’on détermine la résultante IV de toutes les forces qui agissent ilans un sens et la résultante H" de toutes celles qui agissent en sens contraire, il est visible qu'il faut pour l'équilibre <iuc ces deux résultantes partielles soient égales et directement opposées. La première rundilion exige que la somme des forces (pii agissent dans un sens soit égale à la somme des forces qui agissent du cété opposé, ou plutôt que la somme totale soit nulle, en prenant négativement les forces qui agissent en sens inverse des forces positives; e’cst-à-4lirc qu’on doit avoir

P .4. P' P" -4- etc. = 0.

Pour exprimer la seconde condition, supposons les plans des XZ et des YZ parallèles à la direction eomtnune des forces; en représentant par {a'b’r') les coordonnées du point d’a])plication de la résultante partielle R’ et par {a"b"c") celles de lu résultante partielle R’', on sait que l’on a

, Px -4- etc. , , P« -4- etc.

P'x' -4- etc.

îr ’

etc.

et pour ipie les deux forces R' et R" soient direelcnient o|iposées, il faut et il suRit que les deux points d’application soient renfermés dans

STATigllK.

une même droile panillèlc il l'axe des Z, eo nui exige que «' cl b' soient égiiux à o" et b", e’esl-ù-tlii'C (lu'oii doit avoir

Px -t- etc. P'x' -I- etc. 1*1/ etc. P'y' -+- etc.

' ”ir “ ir ’ U' ir

et en observant que R' et R'' sont égaux cl de signe contraire, ces deux équations reviennent à

Px -f- l’V -4- etc. == 0 , Pÿ -4- P'y' -4- etc. = 0.

On voit que pour l’équilibre de forces parallèles, il faut que la soiniuc algébrique de toutes les forces soit nulle ainsi que la somme algébrique des mouients par rapport aux plans des XZ et des YZ menés parallèlement à lu direction des forces.

Comme ces dernières équations n’ont servi qu’à exprimer que les points d’application des deux résultantes partielles sont renfermés dans une même droite parallèle aux forces, il est visible que les plans des XZ et des YZ ne doivent pas être perpendiculaires entre eux cl qu’il sulTit ipic la soinnic des moments des forces soit nulle par rapport à deux plans quelconques parallèles à la direction commune des forces, pourvu que ees [dans ne soient pas parallèles entre eux.

Si cette dernière condition n’était pas satisfaite, les deux résultantes partielles R’ et R" ne seraient pus directement opposées cl le système se réduirait à un couple.

CIIAPITKK III.

Moment il'iin couple. — Tniii>rorma{jon îles couples. ~ Composition cldéeninposition des couples renfermés dans des plans parallèles. — Composition et décorapositinn des couples renfermés dans des plans quelconques. — Théorème général sur la eomposilinu des couples Tétraèdre des couples. — Composition el décomposition des couples dans l'espace. — Couple résultant. Condition d’équilibre d’un système de roupies. — Théorèmes sur la composition d’un (roupie et d’une force.

24. Moment d'un couple. — Comme les roupies duivciit jouer un rôle important dans le reste de la statique, nous examinerons les difTcrentcs transformations qu’on peut leur faire subir, afin d’en déduire les lois de leur composition et les conditions de leur équilibre.

Nous avons appelé couple le système de deux forces parallèles (P, — P) égales et agissant en sens inverse; la perpendiculaire commune aux deux forces ou leur plus courte distance forme son ftro,s cl le produit de ce bras par Tune des forces se nomme le moment du couple. Si, sans changer le bras, on applique les deux forces en .sens inverse , le moment restera le môme , mais les deux coujdcs seront essentiellement différents, puisque l’un tend visiblement à faire tourner dans un sens le système auquel il est appliqué, tandis que l’autre tend à le faire tourner en sens inverse. II importe done de distinguer le sens dan.s lequel tujit un couple.

25. Transformation des couples. — Un coujilc dont les deux forces sont représentées par deux cétés opposés d’un parallélogramme, peut cire remplacé par un autre couple dont les forces sont représentées par les deux autres ciUés opposés du même parallélogramme.

-STATigl'i;.

'iit

|ioui'vii que ce dernier couple tende à agir dans le même sens que le premier; en elTct BA et DC (fig. 20) représentant les deux forces égales — P et P , on peut appliquer suivant AD et BC deux forces Q et — Q, (jf et — q égales doux à deux et directement opposées, représentées les unes par AD et les autres par BC cl si on détermine les résultantes R' et R" de — P et — Q d’une part, cl de P et q d'une autre part, en constriiisanl les parallélogrammes Aaa'a et Ccc'c cvidemuicnt égaux à ABCD, il est visible que le couple (P, — P) sera remplacé par les quatre forces R' et R", Q et — q et comme les deux j)rcraières sont visiblement égales et direcleincnl opposées, on pourra les supprimer et le couple (P, — P) sera remplacé par le couple (Q, — q) ce qui vérifie la proposition énoncée.

11 résulte de celle transformation qu’un couple peut être remplacé par un autre couple quelconque renfermé dans le même plan, pourvu que les deux moments soient égaux et qu’ils agissent tous deux dans le même sens; car si (P, — P) est le couple, donné et qu’on prolonge les directions des forces jusqu’à la rencontre de deux droites parallèles quelconques aà et cd (fig. 21), on formera un parallélogramme abdc dans lequel les côtés ca et bd peuvent représenter les forces P et — P; le couple peut donc être remplacé par un couiilc formé de ab cl de que nous désignerons par (Q, — Q) ayant CD pour bras et comme on a visiblement

oc. AB = a6. CD ou P. AB = y. CD,

le nouveau couple situé d’une manière quelconque dans le plan du premier, est seulement assujetti à avoir le même moment.

Puisque les couples renfermés dans le même plan qui ont le même moment et qui agissent dans le même sens sont équivalents, on conclut de là qu’un couple est déterminé par son moment, par son plan et par le sens de son action.

Un couple peut aussi être remplacé dans son plan par trois forces représentées par les trois cêvtés d’un triangle quelconque dont l'aire est la moitié du moment du coiqile, pourvu que ces trois forces tendent à faire tourner le triangle dans le même sens (lue le couple; en effet si ABC (fig. 22) est ce triangle et P, P', P" les trois forces, en prenant BE égal à AB ou P et construisant le parallélogramme BCFE, on remplacera les trois forces P, P', P ' par les deux forces P" ou CA et BF qui forment un couple dont le moment est CA. BD é(|uivalenl au double de l’aire du triangle.

r.ll.U>>THb III.

TiO

Celle pi’(i]iosiliuii n’csl qu’un eas |iiirlieulicr tl’iiii Ihéorènic licaueoup plus général qu’un peut énoneer de celle manière : un xij.stème de forces représentées par les côtés d’un polygone plan et tendant toutes à faire tourner celui-ci dans le niénie sens, est éguimlent à un couple ayant un moment égal au double de l’aire du polygone. On le déinmilre en déeumposanl le polygone en Iriangles.

II suit de là ipi’iin couple peut être Iransporlé parloiil où l'on veut dans un plan parallèle et invarialdcinenl allnclié au sien; car si on le Iransforinc d’abord en un syslème triangulaire P, P', P” ou ABC (lig. tlâ), que l'un construise sur ce triangle un prisme Iriaiiguluire quelconque AB(i A'H'C' cl que dans la direction de cliaquc arête latérale on applique les forces égales et opposées deux à deux ((Jet — (J, (J' et (J', Q" et — ()") représentées par la longueur de ces arêtes, les forces tj" et — (J formeront un couple représenté par les cùlés CC' cl .A'A du parallélogramme ,\C' ; ce couple peut par conséquent être remplacé par un autre couple dont les deux forces seront représentées d'une part par AC qui détruit P” et par C'A' ou De même le couple ((J', — (J ') peut être remplacé par deux forces CB et B'C, la première égale et opposée à P' cl la seconde représentée |iar B'C ou p'. Kn faisant la même transformation sur le couple ((J, — Q ) on trouve (]ue les forces dirigées suivant les .arê^s parallèles dis|»araissenl et ipic les forces triangulaii'es P, P', P” remplacées par les forces p, p', p" formant un triangle A'B’C' égal au premier et que par conséquent le. couple auquel on a .substitué le syslème .\BC peut être remplacé par un couple de même moment et renfermé dans la buse supérieure du prisme, c’est-à-dire, dans un jilan parallèle quelconque.

20. Composition et décomposition des couples renfermés dans des plans purullèles. — Ce qui précède comluil immédiatement aux lois de la composition et de la décum|iosilion des couples renfermés dans un même plan ou dans des plans parallèles. .Stip|iosons qu’ils agissent tous dans le même sens, et représentons par M, .M', M" etc., leurs moments. On pourra les transporter dans un même plan et faire eu sorte qu’ils aient tous un bras égal à p\ alors les forces de ces couples

■M M' yr .... , ,

seront — , — , — et .si on dispose les nouveaux couidcs de manière

à ce qu’ils ayent un bras commun p, il est visible ipie ees diirércntcs forces devront s’ajouter et formeront un couple résultant ayant |ioiir

bras p et iiour forces — i- 1 .

PP p

le mumciit du cou|dc

sTATiyri;.

TA

iTSultant sera iloiu' ('gai à M M' -t- M" -4- cto. Si qiiclijues-ims des

couples composants aaissaicnt en sens inverse, les lorccs — , — , — •••■

n’agiraient pas toutes dans le nicnie sens à rextréinité du levier p cl il faudrait retranelier celles qui agiraient en sens inveisie et par conséquent dans rexpression du couple résultant, les nininenls de ceux-ci seront négatifs, c’est-à-dire que le moment du couple résultant est égal à la somme des momeuts des couples qui agissent dans un sens, iliminuéc de la somme des moments de ceux qui agissent en sens inverse. En considérant les jiremiers comme positifs et les derniers comme négatifs, on pourra énoncer celte proposition de celle manière : le couple résultant d'un système de couples renfermés dans un même plan ou dans des plans parallèles, est parallèle aux couples composants et a pour moment la somme alyébritjue de leurs moments.

27. Composition et décomposition des couples renfermés dans des plans (luelcoiujues Considérons maintenant deux couples renfer-

més dans deux plans non parallèles; on peut transporter ces eoujiles dans leurs plans respectifs de manière a leur donner un liras commun .\ll (fig. 24) placé dans l’intersection de leurs plans AK et AC. Ces couples sc composent des forces P et — P, P' cl — P' représentées par les droites .Ao et Ba', Ah et Blé perpendiculaires aux extrémités A et B de l’arête d’intersection AB. Or, si on détermine lu résultante Ac ou R' des deux forces Au et Ab et qu’on fasse de même iiour les forces Ba' cl B6', les deux résultantes partielles Ac et Bc' ou R cl R" seront évidemment égales et parallèles, et par conséquent formeront un couple qui sera le couple résultant des deux couples donnés.

La valeur du moment du couple résultant s’obtient en remarquant que si on désigne par a l’angle DAE des deux plans, par L et V les moments des deux couples composants et par p le bras commun

AB, les valeurs des deux forces Aa et Ab seront -^el — ; le parallé-

logramme Aacb donne donc

/L* -H 1.'*^ 2I.L'eosa cl le moment M du couple (R', R") représenté par W'.p sera

.M = |/Li -t- I,'» -H 2 LL' eos a.

CIIU'ITHK Ml.

La jiosilion du jilaii qui coiiticiil ce couple rcsulUint, peut cire lixée au mojcn de l’angle c\a qu’il forme avec le plan AC du couple L et la valeur de cet angle s’obtient en remarquant que dans le triangle a\c un a

UC : Ac = sin «Ae : sin \ac,

d'oi'i l’on tire, attendu que les angles Aac cl aAh ont le même sinus,

sin hAc = sin a = M

L' sin a

2 LL' eos 1

Il résulte de la pro|)ûrlion précédente qu’il existe cuire les trois couples places autour du bras commun AB et dont l’un est le couple résultant des deux autres, celte relation que le niomeul de chacun d’eux est proportionnel au sinus deranglcfurmé parle plan desdeux autres. Cette proiiorlion analogue à celle (|ue l'on a trouvée pour les simples forces, sert à décomposer un couple donné en deux autres renfermés dans deux plans donnés AC et AK, pourvu que l’inlcrseclion de ceux-ci soit parallèle nu plan du couple donne; car on peut par l’intersection AB faire passer un jilan parallèle au couple, que l’on y transportera de manière à lui donner In position (R', B") et en désignant comme plus haut, jiar a l'angle DAE des deux plans et par p l’angle D.AR' formé par le plan dn couple donné avec le |)lun AC, la proportion que l’on vient d’indiquer entre les moments des trois coiq)les et les sinus des angles que forment leurs plans, conduit aux valeurs suivantes des deux couples composants (P, — P)»(P’5 — P')»

sin (o« — P) sin a

sin P sin a.

Si l’angle D.\E que forment les deux plans est droit, les moinciils des couples composants (P, — P) et (P', — P’) deviennent

M cos P cl M sin p.

Dans les formules précédentes nous avons désigne par a l’angle formé par les plans de deux couples; mais rien n’indique que a est l’angle aigu ou son complément, et ce n’est qu’après avoir disposé les couples comme on l’a fait dans la ligure 21«, que toute incertitude cesse d’exister. On peut sans construire la figure, fixer la nature de l’angle U en remarquant que l’inclinaison de deux plans ayant pour

STAUQUE.

mesure l’angle forme par deux perpendiculaires élevees sur ces plans, il suflil d'élever res perpendiculaires sur le plan de chaque couple, en elioisissuut 1a face , de manière que ces deux couples paraissent tendre à ])i'uduire autour d’elles un mouvement de rotation dans un même sens quand ou place l’ueil en un point do cette perpendiculaire. On reconnaît sans peine qu’alors l’angle formé par ces deux perpendiculaires |)rolongécs indéliniiiienl , que l’on nunimc axe des rnuples, n’est autre que l’angle a qu’il convient d’introduire dans nos formules.

Ce qui précède permet de dclerinincr géométriquement le couple résultant d’un système de couples I., L', L", I/", etc. renfermés dans des plans quelconques; à cet cITct on composera d’nhord les couples L et L' comme on l’a vu au commencement de ce numéro ; puis on composera le couple résultant avec L" et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on soit arrivé à un couple unique.

28. Théorème général sur la composition des couples. Tétraèdre des roupies. — • On. peut déterminer la grandeur et la position du couple résultant sans passer par toutes ces opérations successives, en SC fondant sur le théorème suivant : te couple résultant de trois roupies dont les moments sont représentés par tes aires de trois /aces d'un tétraèdre est représenté par Taire de la quatrième face du même tétraèdre, pourvu que les axes des couples composants soient dirigés tous trois vers l’intérieur ou tous trois vers l'extérieur du tétraèdre, celui du couple résultant devant être dirigé vers l'extérieur dans le premier cas et vers l’intérieur dans le second.

En effet on a vu (N“ 2.*i) que trois forces P, P', P'' représcnU'cs par les trois côtés du triangle ABC (fig. 25) tiennent lieu d’un couple dont le moment est double de l’aire de ce triangle. Or si au couple triangtdairc ABC on ajoute des forces égales et opposées deux à deux Q et — Q , Q' et ^Q', Q" cl — Q" représentées [mr les arêtes Bl), CD, AD il'uiie pyramide triangulaire ABCD ayant ABC pour hase, il est visible que toutes les forces de la figure, y compris celles de 1a base, pourront se décomposer en trois groupes Q', P, — Q d’une part, Q, P', — Q", d’autre part, et enfin Q'', P", — Q' rcpiaiscntés ebacun par les trois côtés des triangles qui forment les trois faces latérales du tétraèdre, ce qui vérifie la proposition. Il est h remarquer qu’un œil place dans l’intérieur du tétraèdre verrait le couple triangulaire de la base tourner de droite à gauche, tandis que les couples latéraux sembleraient tourner de gauche à droite ainsi que le porte l’énoncé.

ciru’iTiiü III.

:2!l. CompoHition et tiénmposilion des amples dans l'espace. — Ce IliéortMiie qui est pour les couples ce qu’est pour les l'orees le théorème (lu paralléli|)ipèdc des forces, permet <le délermiiier le couple résiiltnnt de trois roupies donnés, reiifermés dans trois plans donnes; car ceux-ci en sc cnupanl forineront huit angles Irièdres parmi lesquels on choisira celui pour lequel les trois axes des couples sont dirigés tous trois vers l’intérieur ou vers rextérieur, et il siiflira de déterminer les longueurs des trois arêtes de manière que les aires des trois triangles qu'ils forment soient égales ii la moitié des immienls L, M et N des couples. Or, si on désigne par t, m, n les angles formés par CCS arêtes prises deux à deux et par x, y, z leurs longueurs ineonniies, on aura pour conditions, attendu que l’aire d’un triangle sc mesure jiar la moitié du |iroduil de deux côtés par le sinus de l’angle compris,

XI/ sin « — N , XI sin m = >1 , i/i sin / = I. ,

qui siidisenl |iour déterminer les valeurs de x, y, i. I.e triangle formé par les extrémités des trois arêtes fera eoiinailre le couple résultant.

Lorsque les trois plans des couples composaiiLs forment un système de plans l'eelangulaires .\0C, .\OB et COB (fig. 5!C), il existe entre le moment du couple résultant représenté par le triangle ACB et les nioments des trois rou|des runiposants représentés |iar les aires des triangles AOC, BOC et AOB, une relation très simple; chacun de ces derniei-s forme la projection orthogoualc de l’aire ABC sur chacun des trois |dans, de sorte que si on désigne par W le muinent du couple iTsultanl ou l’aire du triangle ABC et par a, fi et 7 les angles formés par le plan .\BC avec chacun des trois |daus rectangulaires ou ce qui revient au même, les angles formés par l’axe du cou|dc résultant avec les axes des couples composants, ipii se confondent avec les axes des .\, des Y et des Z, les moments de ceux-ci seront donnés respectivement par (') NV cos a, NV cos ^ et NV cos 7.

Il suit de là qu’un couple situé dans l’espace peut être remplacé par trois couples ri'iifermés dans trois plans rectangulaires, car on peut toujours mener un plan parallèle à celui du coui)lc de manière

(’) La proposition diml on fait usage ici sc üémoiilre en mnarquant que si CH est la iiauloiir ilu Irianglo ABC, (U* sera aussi la hauteur du triangle AOH et l’aire

de eelui-ei sera repri'-entée par ^ .\B. 01) ou ^ AB. Cl), cos CDO, e’esl-i-dirc,

NV cos 7.

STATlyUB.

ÔH

il l'orincr un Iriiingle ARC éijuivalenl à la moitié de son moment \V, et rcin|dacer jiar eoiiséijiient le eouple par un système triangulaire AI!C, le(|uel à son tour est décomposaldc en trois couples \V eus a, AV eus \V cos y.

ün voit aussi (|u'cn désignant ces couples composants par L, M et N, on aura

\N = |/I.* -1- M- -I- N*, cosœ= — , cosp=— , Cüsy=— ,

à cause de la relation

cos *a -4- cos -t- cos *y = i .

Ces équations serviront à déterminer le couple résultant W et son inclinaison sur les trois plans rectangulaires, lorsque les trois couples composants L , M , N seront donnés. Il est à remarquer cpic les couples composants L , Al et N ont les signes de cos a, cos 15, cos y et tendent en effet à faire tourner dans un sens ou dans l’autre, suivant que CCS angles sont aigus ou obtus.

30. Couple réstillant. — Ce qui précède |)ermet de trouver la valeur et la position du couple résultant d'un système de couples donné; ear si l’on mène trois plans coordonnés rectangulaires et qu’on rapporte les |)ositions des couples ii ecs plans, on pourra décomposer cliaquc couple en trois autres renfermés dans les trois plans coordonnés, et les réduire tous à trois couples L, M, N, renfermés dans ces

plans. En désignant par l’/i, l’’//, les moments des couples donnés

et par (a, (5, y), {a, [5’, y') leurs inclinaisons sur les plans coor-

donnes, on aura

I, -= !’;) cos t -I- P/»' cos a' etc.

M = Vp cos 5 -4- P'yi' cos p' -4- etc.

.N = P^ cos y -4- P'/j' cos y' -4- etc.

cl si Hr est le couple résultant et ) , p, v, les angles qui y correspondent, il viendra

Rr = .M‘ -4- N*

cos A = , COS ft = — , COS > = — •

Hc Rr Rr

51. CoinlitiotiH il'êquililtre d'un siislème de couples. — Les eondilioiis d’équilibre d’un système de couples sont faciles à déduire de ce

CIIAPITIIË III.

qui précède; en effet, il est évident qu’il faut, pour l'équilibre de deux couples, qu’ils soient renfermés dans un iiiènie plan, qu’ils nient le même moment et qu’ils soient de signes contraires, puisqu’on peut alors, en leur donnant le même bras de levier, les disposer de manière que les forces se détruisent deux à deux. D’où il suit que pour qu’il y ait équilibre dans un système de rioiiplcs quelconque , il faut que l’un des couples soit égal et directement contraire au couple résultant de tous les autres cl par conséquent, que les trois projections d’un couple quelconque sur trois plans rectangulaires soient égales et contraires aux trois projections de ce couple résultant; ou [diitôt, il faut que la somme algébrique des (irojcctions de ces deux coti|des soit nulle dans chaque plan coordonné; il est donc nécessaire pour l'cqiiilibre que la soininc algébrique des projections de tous les couples de l’aspacc sur trois plans rectangulaires, soit nulle, c’est-à-dire, qu’on doit avoir

P;j cos * -1- P';)' eus a' -r- etc. = 0 P P cos P -1- P'p' eos P' -I etc. — O P/j cos V -V- P'p' cos ■/ -I- etc. — 0

ou bien

Ce résultat est d’ailleurs confirmé par la remarque que, pour l’équilibre, il faut que le couple résultant Rr soit nul, ce qui conduit à l’équation

laquelle se décompose dans les trois qui précèdent.

52. Théorèmes sur la composition d'un roupie et d'une force. — • La combinaison d’un couple avec une force donne lieu à plusieurs tliéorèmes qui seront utiles |iar la suite. L’n couple et une force P renfermés dans un même plan ou dans des plans parallèles, peuvent toujours être remplacés par une force unique égale et parallèle à P (lig. 27) ; car on peut toujours transformer le couple donné eu un autre dont les forces P' et P" soient égales à P et placer celui-ci de manière que l’iine P' des deux forces détruise P. Dans celle position, l’autre force P" du couple sera la résultante du système qui est visiblemciit égal et parallèle à P.

Uéciproqucincnl une force P" aji|iliquée eu B peut toujours être remplacée par une force égale et parallèle P, appliquée en un point

•STATIQl'E.

«luelconqui- A lié au promipr, et par uii couple égal au produit de P par la distance de P" à P; car en appliquant en A deux forces P et P' opposées cuire elles, parallèles et égales a P", le système pourra être ronsidéré coniinc composé d’une force unique P égale et parallèle à P" et d’un couple (P’, P”).

l’ti eou])lc (P, — P) et une force Q non renfermés dans des plans parallèles, peuvent être remplacés d’une infinité de manières par deux forces non renfermées dans un même jilan; car le couple peut être transporté |)arallèlcment à lui-même, de manière que l’iinc — P de ses forces vienne rencontrer la force Q et la résultante R des deux foives — P et Q formera avec P le système des deux forces indiqué. On pourrait même assujettir l'une des deux forces à passer par un point donné ; il siiflirait pour cela de transporter le couple dans un plan parallèle passant par ce point et d’y dis[»oser le couple de manière (|uc riiiie des forces passât par le point donné et que l’autre vint couper lu force donnée. Ces systèmes en nonilire inlini de deux foriTs R et P qu’on peut substituer au couiilc (P, — P) et

Q » jouissent d’une propriété curieuse que nous déiuontrcruns au .V 37.

Réciproquement deux forces P et Q non renfermées dans un même plan peuvent être remplacées d’une infinité de manières par nn couple et une force non renfermée dans le plan de rclui-ei ; en effet, l’une des deux forces Q peut être décomposée en deux autres, dont l'une soit égale et parallèle à P et forme avec celle-ci un couple. La seconde composante, jointe à ce cou|ilc, remplacera donc les deux forces données. On vient de voir que ce dernier système peut être remplacé d’une infinitei de manières par deux forces non renfermées dans un même plan et que l’une des deux peut être assujettie à passer par un point donné. Il suit de là qu’un système de deux forces ))cut être remjdacé d’une infinité de manières par d'autres systèmes équivalents de deux forces et que l'une des deux peut être assujettie à passer par un point donné.

l'n système de deux forces P et P' non renfermées dans un même plan ne peut avoir une résultante; en effet, si R était cette résultante (lig. 28), en inlroiluisant dans le système un axe fixe Aü, l’effet de celle résultante devrait être le même que celui des deux coin|iosantes; or cela n’est pas possible, car si on mène cet axe AD de manière qu’il rencontre P cl P’ sans rencontrer R, ce qui est toujours possible quanil les trois forces ne sont p.is dans un même plan, 1a

CIUPITIIE III. ST.\T1QCE.

(brcp H ne sera pas détruite par la rcsistanee de l’axe et produira un certain effet, tandis que les composantes P et P' sont détruites.

Les forces quelconques P et P' ne peuvent pas non plus être en cqiiililire, à moins qu’elles ne soient toutes deux uullcs; car riiiie des deux devrait être égale cl ojiposéc à l’autre.

Il suit de là qu’un sysicine composé d’une force et d’un couple non rciifcniiés dans des plans parallèles ne saurait avoir une résultante iiiii(|uu, puisipi’il peut être remplacé par deux forces non situées dans le même plan et que ces dernières ne sont en équilibre que si elles .sont toutes deux milles, ce qui exige que la force uiii(|uc et le couple soient nuis séparément pour que l'équilibre soit possible.

Eiiliu il résulte de ce qui précède que trois forces non renrermées deux à deux dans un même plan ne sauraient être en équilibre , à moins d’èire toutes trois milles; car l’une d'elles devrait être égale cl opposée à la résullantc des deux autres (N° 4.4“), résultante qui n’exislc pas puisque ces dernières ne sont pas dans un même plan.

<;iiAi>mii-: iv.

(’omposition «los forcos clans IVspaoc. Rrilurtinn à une forte unique et à un roupie. — Keprrsenlatioii "éoinélriqiie tic celte force unique. — Inclinaison de la force unique sur Icc couple, roupie principal. Force unique principale. — Comlilion pour qu’il y oit une résullaute. Tliéori'iuc sur le nionient de celle rcsultanic. — Autre lliéorcme sur les inonieuls. .\xc du plus j;roud inomenl passant par un point. Axe du plus petit iiiomcnt alisolu. — Propriété d’un systi'ine composé d’une force unique cl d’un couple ou de deu.x forces non renfermées dans un même plan. — Composition des forces renfermées dans un tuéiue plan. — Conditions d’i-quililire d’un systcune de forces.

.■jr!. Composition des forces dans l'espace. lièduetioH à une force uniipie et ri un couple. — Cüiisidi'ron.s un systi'inc de forces ap|diqtiées il diiïéfents jioints liés invm'inldeiiieiit eiilre eux; il résiille de ce i|ii‘cin II XII n In lin du 52, que l’on peul traiisporler toutes les forces en un inèiiie |)oint, en inlrodiiisanl aiiUint de cou|ilcs qu'il y a de forces; or tonies les forces apiiliqiiécs en un inéinc point, ont une résultante uniipic et tous les couples sont aii.ssi .susccplihies d’un eoiqilc résultant; d’où il suit, 1" i|u’un système de forces peut en général être remplacé par une force unique et par un couple; 2" que pour qu’un syslèine soit en éqiiililtre, il faut ipic cette force unique et ce couple soient nuis séparément (fin du N" 52); ô" que le système ne sera pas susceptifile en général il’avoir une résullaute uni(|ue, à moins que le couple et la force uiiitpie ne .soient renfermés dans des plans iiarallcles; 4“ qu’un système tic forces est réductible d’une infinité tic manières à deux forces qui en général ne sc reticonlrent pas (N“ 52). Pour trouver l’expression analytique de la force unique cl tlii couple,