CHAPITRE XXIII
leur quelconque du rapport -ou n. Si on suppose l’orifice a très petit
relativement à (o , 1 exposant de — sera un très grand nombre et comme
— est inférieur à l’unité , ce terme sera négligeable devant l’unité; on pourra donc poser
. / ^ dA
dt= — j/ — 2n — 1
d’où l’on tire
En substituant cette valeur dans la première intégrale réduite ù
= -jr — - |/2ÿA ,
on trouve
(/ ‘in* — 2» — 1 ( 2 (/ 2/1* — 2/i — 1
qu’on peut réduire ù la valeur suivante
parce que n éUint très grand , 2/»* — 2/i — 1 diffère peu de 2/i*.
Le temps <’ nécessaire pour vider le vase est donné par
Jaudt = 11(0
qui exprime que le volume du liquide écoulé est égal à la capacité du vase. On tire de IA en remplaçant u parla valeur précédente et intégrant,
237. CoiUraclion de la veine fluide. — Les formules fournies par cette lliéoric ne donnent pas toujours des résultats conformes à l’cxpc-
UYNAMIQUK.
riencc. On a reconnu que si l’ouverture est évasée vers l’intérieur, c'est-à-dire si le vase se trouve dans le cas prévu aux N°‘ 229 à 234, la théorie s’accorde assez exactement avec l’expérience; mais si, comme dans le N“ 23.’>, l’orifice oo' est percé dans une surface plane AB, la quantité d’eau écoulée ou la dépense pratique ne forme plus qu’une fraction de celle que donne la théorie; la première n’est souvent que les 0,62 de celle-ci. Cette différence s’explique par la circonstance que dans ce qui précède l’on a supposé parallèles les vitesses des molécules au sortir du vase, tandis que l’expérience, d’accord en cela avec le raisonnement, fait voir qu’elles sont convergentes vers l’orifice, et cette convergence fait que la veine fluide ne forme pas comme dans le premier cas, un jet cylindrique d’une section égale à celle de l’orifice d’écoulement, mais un jet contracté et conique dont la section n’est qu’une fraction n de l’orifice. Ce phénomène est connu sous le nom de contraction de la veine fluide. En remplaçant dans les formules, l’orilice d’écoulement a par la section de la veine contractée «a, la dépense théorique se rapproche beaucoup de la dépense pratique. Le facteur n se nomme coefficient de la contraction de la veine et doit être déterminé par expérience.
258. Ecoulement d’un fluide élastique par un orifice. — Lorsque le fluide est élastique, on a vu (N° 210) que si les forces accélératrices qui agissent sur lui se font équilibre, la différence de pression en deux points du vase est donnée par
P — p’ = J" f (Xdx -4- Zdz) ,
la somme étant prise entre les deux points. Or, si on suppose le fluide en mouvement, on sait qu’aux forces accélératrices X, Y, Z il faut ajouter les forces d’inertie; la pression est donc alors encore donnée par la formule précédente, pourvu qu’on remplace X, Y, Z par d*i d'y d'z
^-dT''
p—p= + fp(Xdx + Ydy+ Zdz) — ^ 0 ^ ^ ’
les intégrales étant prises depuis le point p’ jusqu’au point p.
Si la gravité est la seule force qui agisse sur le fluide, on pourra, comme on l’a fait pour les fluides incompressibles, donner à cette expression générale la forme suivante
p~p’ = gff’dz — ^ pv dt ,
CtlAPITllK VXlll.
OU l)icii, en remarquant que d’après la loi de Marioltc , la densité p peut être remplacée par^ ;>, k étant un cocITicient qui dépend de la nature du fluide et de la température ,
’ SI Si
En dilTérentiant par rapport aux coordonnées du point p, p' reste constant et comme les deux intégrales se rapportent à ces coordonnées, il vient
= gdz — V
dl.
Si on suppose la température uniforme, k sera constant et on aura en intégrant depuis le point où la pression est p jusqu’à celui où la pression est p', h étant la différence de niveau ,
ou bien
= —fv(dv).
où (dv) est l’accroissement de vitesse de chaque molécule dans le temps
dl, c’est-à-dire raccroissement (juc prend v quand t augmente de dt et
que X, y, Z qui entrent dans f, croissent de dx, dy, dz ou plutùl de
dx , dy , dz , , „ . .
— (/t, -~dt,-^dt, attendu que x, y, z sont fonctions du temps.
259. Hypothèse du parallélisme des tranehes. Cas où le réservoir est dans un état permanent. — Si l’on adopte l'hypothèse du parallélisme des tranches, r sera la vitesse d’une certaine tranche et comme ccllc-ci change avec le temps et avec la position , {dv) est la différentielle de e prise par rapport au temps et par rapport à sa distance x à l’origine, tandis que l’intégrale se rapporte à l’ordonnée seulement;
on ne peut donc ici comme nu N“ 228, prendre en général — pour
l’intégrale de v {dv), à moins que le fluide ne soit arrivé dans le vase à un étal permanent , c’est-à-dire à moins que les vitesses ne restent constamment les mêmes dans chaque endroit ; car dans ce cas o ne changera plus avec le temps et ne sera fonction que de x. En
OYNAJIIQUK.
rcjjrcsenlaiit par u i-t u' les vitesses des tranches passant par les points où les pressions sont p et p', et en supposant le réservoir et le tuyau évases, (dr) sera une dillérenticlle prise par rapport aux dimensions du vase, et il viendra
Comme par hypothèse, le réservoir est arrivé à un étal permanent, la quantité de fluide qui passe par une section quelconque dans un même temps doit être partout la niéiiie. Or « et étant les aires des sections placées aux points où les vitesses sont n et u', les volumes de fluide qui s’écoulent pendant l’unité de temps sont mh, m'u' et les masses sont p<ou, p’tü’u' ; on a donc partout
B'jiu = p'w'ti'
ou hicii , attendu que les densités sont proportionnelles aux pressions,
pr,tii = p'w'i/'.
Kn reiuplaçaiit ti' par sa valeur dans l'intégrale trouvée plus haut, celle-ci devient
Cette équation fait connaitre la vitesse d’écoulement w d’un fluide élasli(iuc qui sort d'un réservoir K (fig. l^Ü) par un orifice A dont la section est w ; car si on [ilacc p' en BC et p en A et qu'on représente pur fo' la surface du piston BC, p' sera sa charge pour l’unité de surface y compris la pression de l’air, p la pression en A qui ordinairement se réduit à celle de l’air atmosphérique et A lu dilférencc de niveau entre BC et A. On trouve pour la vitesse d’écoulement
, iqh — 2A log -
valeur qu’on peut réduire à
oi.uMTnK .\\m.
log ^7 = »
1 r du
' dt
'‘“SdT^^-
parce que Ügh csl le plus souvent très petit relativement au seeoiul terme.
240. Cas où l'i'tat du réservoir varie à chaque instant. — Si le réservoir n’était pas dans un état permanent, la vitesse v d’une même tranche changerait avec le temps et avec l’ordonnée i, de sorte que le
(de) se composerait des <ieux dilTérenticlles partielles dt -4- dx et l’équation qui termine le N“ 2ô8 deviendrait
ou bien
parce que vdt est l’espace dx parcouru par la tranche et que
r -- dx est la diiïérenlicllc dc-(e* — »'*) prise par rapport à x. X cette
équation doit eu être jointe une seconde dite de continuité du fluide et qui s’obtient de cette manière : o) étant l’aire d’une seetion du réservoir placée à une prorondeur x, la masse de fluide qui y passe dans le temps dt est pvcodl. La section placée a une distance dx de la première livre passage à la même masse augmentée de sa dilTérenticlle
par rapport à x ou pvcudl ■+■ dx . dt-, on voit donc que la tranche
de l’épaisseur dx perd en passant par ces deux sections, c’est-à-dire
d (pr<o)
dans le temps dt, une musse égale ù — ^ — - dxdt, ou en divisant par
le volume wdx, une densité égale à mais cet aecroisscinent
<â)dx
dû ,
de densité est aussi exprimé par -^dt; on a donc à cha(|ue instant et dans toutes les tranches
dp
lit"
ou, eu remplaçant ko |>ar p, dp d (pi'iii) dp
dl wlx dl
d (prw) wlx
dv dp
10 dx
l)V>AMigUK.
Celle équation jointe à la iirécédciite, après qu’on a dérivé celle-ci par rapport à i, en négligeant le poids du gaz, qui est en effet sans iniluence, c’est-à-dire ajirès qu'on lui a donné la forme
suffit pour déterminer p et t’ en fonction de x et de t, quand on
({(ti
connaîtra w et— en fonction de x; la solution complète de la question ax
dépend donc de l’intégrution d’un système de deux équations linéaires simultanées, aux dérivées partielles, ün pourra séparer les variables/) et V en les éliminant entre ces équations et leurs équations dérivées; il restera alors à intégrer deux équations aux dérivée.s partielles d’une seule variable dépendante cbaeunc. Si le réservoir est dans un état permanent, ou si la pression, la vitesse et la densité restent constamment les mêmes dans chaque section , les dérivées par rapport au
dp f/v ,, , , , . , , .
temps et — sont milles et les deux équations se réduisent aux
suivan tes
/,' log ^ = o/i
r'*), 'jipf = cüiist.
ce qui s'accorde avec ce qu’on a vu plus haut.
241. Résislunce den fluides. Action d'une veine fluide sur un plan. — On appelle résistance d'un fluide, l'effort nécessaire pour mettre un corps en mouvement dans un fluide en repus ou, ce qui est 1a niéine chose, l’effort nécessaire pour maintenir en repos un corps cx|iosé a l’action d’un fluide eu mouvement. Supposons le fluide incompressible et réduit d’abord à une veine fluide .4BCD (lig. 150) qui s’écoule par un orifice .411 et à laquelle on oppose un plan indéfini en tout sens EF, incliné d’une manière quelconque sur Taxe de la veine. Considérons la masse fluide inconijiressibic qui dans l’unité de temps est venue à une époque quelconque frapper la surface. On sait qu’il doit à chaque instant y avoir équilibre dans cette niasse entre les forces motrices cxléricnrcs, les forces d’inertie cl les forces intérieures. Ces dernières disparaissent de l’équation quand le fluide est incompressible et si on le suppose .sans pesanteur, les forces nioirices extérieures se réduisent à la résistance du plan incliné et la force d’inertie est égale (N" 104)
r.llAPlTRK XXlll.
à lu qnanlité de inoàvcmciil perdue ou gagnée pendant runité de teiups. Puisque res forces se font éqiiililire, les cmnposuiiles estimées suivant une même droite suivant la normale au plan, par cxemple, doivent être égales. .Soit R la résistance du plan, e la vitesse d’éeonlement, « la section de la veine, n le coclficicnt de la contraction et e l’inclinaison de lu veine sur le plan ; la masse liquide qui vient frapper la surface pendant l’unité de temps est sa
quantité de mouvement quand elle atteint le plan, est iimv^ ou plutdt ni>av(v -H r'), en désignant par e' la vitesse acquise par une molécule de la veine depuis sa sortie de rorilice jusqu’au moment où elle frappe le plan. En désignant ]>ar /i la hauteur du liquide dans le vase et par h' la difTércnce de niveau de l’orifice et du point du plan où s’opère le choc, cette quantité de mouvement est aussi représentée par ‘2ng 6a(A -f- (//lA') et sa composante normale nu plan est «Me(iM-r') sin £ ou "2ngça (A -4- |/ÂA') sin £. Pour avoir la force d'inertie ou la quantité de mouvement perdue normalement au plan, il faut retrancher de cette dernière quantité la composante suivant In normale, de la quantité de mouvement qui reste à cette même niasse après que la veine a frappé le plan, composante qui ici est nulle, parce qu'on suppose le plan sunisuminent grand pour que la veine après l’avoir atteint, se disperse tangcntiellemcnt en tout sens en formant une nappe d’eau (ih qui ne consene aucune vitesse norniaie au plan; un a donc
R = npaf (o r') sin £ = 2»ije,9. (A -i- [/TP) sin £.
Comme le liquide est pesant, il faut aux composantes des forces motrices ou R, joindre la composante normale du poids /< de la nap|ic liquide ab qui presse le plan et qui déjiend de son étendue et de sa forme. Cette composante est ;> cos s, o' étant l'inclinaison du plan sur l'horizon ; la résistance est donc
R ^ n<MV [v e') sin s + p cos
C>uand le plan est placé normalement à la direction de la veine lliiide, cette force se réduit à «oar (c ■+■ r’), notv (r -t- v') -t- p, tionv (r-t- t’’j — p
suivant que l’on a <f= — a- , <î = 0 , J = c’cslii-dire suivant que la
direction de la veine est horizontale , verticale cl dirigée vers le has ou verticale et dirigée vers le haut. Si la distance entre le jilan et roiifice est peu considérable , ces valeurs se réduisent sensiblement à
nV.N.VMUJUK. 4SI
iiMii’- -1- J), iip'jcv* — p. Ces iliiréi"cuts résultats sont coiilirmcs [»ar rexpérience.
24!2. néiiistuitce d'un lùiuide indéfini. — Cherclioiis inaiiiteiiuiit lu résistance qu’oppose une surface de forme et de grandeur doimccs, au déplaretiieul d'un liquide indérmi dont toutes les molécules sc meuveul parallcicincnt à une droite donnée que nous su|)poseroiis horizontule. Pour cela on considérera la masse liquide comme com- * posée de filets iuriniment minces, parallèles entre eux. Chacun produira son action sur la surface, et la rcsistanec cherchée sera égale à la résultante de toutes ces actions. Or si l’on prend l'axe des Z parallèle au courant de l'eau, un des lilelsauru pour section le rectangle dxdy, et ■/ étant l'angle formé par sa direction avec la normale à la surface au point où le filet lu rencontre, lu résistance normale opposée par rélément superficiel eorrespondunl sera , en faisant « == 1 parce qu’ici il n’y a pus de contraction ,
odxdyv"^ sin (!'* — '/) = r.dxdyv* cos 7 ,
dont les trois composantes suivant les axes sont
odxdyv* eos a cos 7, r>dxdyv‘‘ cos 7 cos S, pdxdyv* cos* 7,
«, p, 7 étant les angles formés par la normale à la surface avec les axes; les trois composantes de la résistance totale de lu surface sont donc
* cos ydxdy, cos 7 cos pdxd y , eos* ydxdy
ou plutôt, en rcinplucant cos *, cos p et eus 7 par leurs valeurs connues (N“ 127 du traité de calcul dilfércntiel),
pdxd y
rplxdy
dxdy
Les valeurs de p et q, ou -7- et sont tirées de l'équation donnée dx dy
de la surface et les intégrales doivent être étendues à la surface entière qui o|)pose la résistance, surface qui évidcmincnl est limitée par un cylindre enveloppe dont les génératrices sont parallèles au courant. La résultante de ces trois forces, donnée par la théorie des moments, sera la résistance cherchée.
243. Uésisliuice opposée pur un corps de révultilion, — .Si la surface
CUAIMTIIË XXIII.
est de révolution autour d'une droite parallèle au courant ou à l’axe des Z, les deux premières intégrales devront évideiiiuient être iiulles r
à cause de la symétrie de la surface autour de l’axe des Z et la résistance totale sera parallèle à ecl axe et se réduira à la troisième intégrale. On donne à ccllc-ei une forme plus simple en remarquant que si
z = fr
est l’équation de la courbe génératrice, le cosinus de l’angle formé
par une normale avec l’axe des Z est représenté par — —
c'est-à-dire que l’on a
d’un autre cèlé, au lien de prendre ilrdy pour la section d’une veine
fluide, on peut prendre dsdr, ds étant un arc infiniment petit du ^
cercle décrit autour de l'axe par le point de la courbe génératrice
sur lequel agit la veine, et dr étant raccroissement du rayon r de ce
cercle. La résistance du corps de révolution devient alors
puisque l’intégrale par rapport à s doit être étendue à la circonférence entière qui a pour rayon r et que par conséquent l’intégrale de du est 5!sr. « l’intégrale par rapport à r, elle doit être prise depuis
r = 0 jusqu’à la plus grande valeur de r. Si le corps de révolution est un cylindre horizontal terminé par un cercle de ravon o, l’équalion de la limite génératrice sera
r const.,
d’où l’on lire
It = 07zirv\
DYNAMlyi'E. 483
Si lii surface est une sphère du rayon a, on aura pour c<|uatiun du cercle générateur,
cl la résistance totale devient
— pau^V'.
On voit qu’elle est la moitié de celle (|u’opposcrait un grand cercle de cette sphère, c’est-à-dire une surface plane égale à tth*. Si la surface résistante est un cône de révolution ayant pour hase un cercle de rayon a, l’équation de la droite génératrice sera
Z = r lang «
dans laquelle oc est l’angle au sommet du cône et il viendra R = p7re*u* cos* ot.
244. Autre théorie lie la résistance des liiiuides. — Cette théorie de la résistance des liquides indéfinis, duc à Newton, conduit à des valeurs numériques essentiellement dilTércntcs de celles que donne l’cxpcrience. Le setd résultat que celle-ci confirme est lu proportionnalité de lu résistance au carré de la vitesse. Ces divergences qui vont quelijucfois jusqu'à la moitié de la valeur, doivent provenir de ce qu’on a supjtosé que chaque filet liquide produit son action indépendamment des filets voisins et comme s’il était isolé, hypothèse qui en effet est inadmissible. Pour établir cette théorie d’une manière plus rigoureuse, il faudrait connaitre toutes les modifications que snhit le mouvement des différents filets au moment de leur rencontre avec le corps et tenir compte du frottement qu’ils exercent contre sa surface et du choc qui s’exerce entre eux ; mais ces modifications sont trop compliquées pour qu’on puisse les analyser et les soumettre au calcul ; ou préfère se fonder sur une autre hypothèse qui paraît plus conforme à la réalité que la première et qui consiste en ce que, si un corps de révolution CABA'C' (fig. 131) est frappé par un liquide se mouvant dans le sens de l’axe Bü, le cylindre de liquide DED'E', après avoir agi sur la surface ABA', continue son mouvement avec la même vitesse et en formant une nappe conique EFE'F' dont l'inclinaison sur l’axe BO change avec la nature de la courbe génératrice BA. Soit J cet angle
ciiai’Urf: XXIII.
corrcNpomIaiit à une cüiirbf donnée HA et H la résislaiiee du eorps dirigée évideramenl dans le ]irnlongemenl de OH. Isolons par la pensée la niasse liquide DED'E' qui vient frapper le corps pendant riiiiité de temps. Puisqu’il y a équilibre à chaque instant entre la résistance R et la force d’inertie de ce liquide mesurée par la quantité de inomement perdue par elle |iendant l’unité de temps, il faudra égaler R à cette quantité de moiivcnient estimée dans le sens OH. Or, la vitesse étant i’ et la section AA' du cylindre étant m, la niasse qui atteint le corps pendant riinité de temps est o'ov et la quantité de inoiivenient, f/or*. Ea vitesse et par conséquent la quantité de moiivenient reste la même par bvpotlièse après le choc; mais comme la direction des filets est inclinée de l’angle f sur OR , sa composante dans le sens OH est cos ^ et la perte de quantité de mouvement dans ce sens est — pfoi;* eus O ; on a par eoiiscqucnt
R = (I — eos o) «p'.ir*,
ce qui apjirciid que cette résistance est représentée par «ar* multiplie par un certain facteur incoiinu 1 — eos J = « dont la valeur dépend de la nature de la surface de ré\olutioii et qu’il faudra déterminer par des expériences directes.
Si le corps n’était pas de révolution, les dilférents filets dont se eoni|)osc le cylindre liquide EFE’F' foriucraicnt encore une iiapiie colloïdale, mais elle ne serait plus de révolution et )iar conséquent Finclinaison o ne serait plus la même jmur chaque filet. On conçoit qu'il faudra dans ce cas rem]daecr o' par une certaine inclinaison y comprise entre la |)lus grande et la plus jietile et l’on aura encore
R = pou'* (I — eos y) ^ /ipou'*,
« étant un eoelficicnt inconnu dont la valeur devra être donnée par expéricnee.
