CHAPITRE XXIll

Pour 1 très petit, on a, comme on l’a a’u plus liant.

et par conséquent,

ou plutôt, parce que a est très petit,

et en désignant par H la valeur initiale de h ,

2 wa* / ^

Le temps nécessaire pour vider l’entonnoir ou pour rendre h nul est donc

234. Pression tonlre la paroi du réservoir qui se vide. — La valeur générale de p — p' fait aussi connaître la pression exercée en un point de la paroi placé à une profondeur h' au-dessous du niveau; en cfTct, p étant celte pression, s la section placée à son niveau, p l’in-

tégrale j -— prise depuis la surface lilirc «o du liquide jusqu’à la section s, p' la pression à la surface libre, on a (fin du N" 229),

, du

et comme on connaît les valeurs de u et de — en fonction du temps, la

valeur dep sera déterminée pour cliaqiic instant. Il est visible que p' est la pression atmosphérique. Si l’orilice a est fort petit, la valeur

DYNAMIQUE

de U ne varie que par degrés insensibles et est nul comme pour

le cas où récouicnient est dans un état permanent; la valeur precedente SC réduit alors à la suivante

ou bien, en remplaeunt t< par sa valeur,

255. Cas où le réservoir nest pas évasé. — Nous avons supposé dans ce qui précède, que chaque Irauclie horizontale ne différait de la précédente que d’une différentielle, c’est-à-dire qu’il n’y avait pas de changement brusque de grandeur dans l’étendue des tranches horizontales successives et par conséquent dans les vitesses qui leur correspondent, puisque jusqu’ici les accroissements de vitesse ont été représentés par la différentielle dv. Cette circonstance s’exprime en disant que le réservoir était évasé; cela n’aurait plus lieu s’il était terminé par une surface plane et horizontale AB (fig. 128) percée d’une petite ouverture oo'; la différence de vitesse entre la tranche AB et la tranche suivante oo’ qui sort du vase, ne serait plus alors une différentielle; cependant comme la valeur générale

p—p' = pgft — p^v(^£^ dt,

de la différence de pression en oo' et en CD contient la somme des vdo pour toutes les tranches, il faudra prendre la somme des vdv au moyen du calcul intégral depuis la tranche supérieure Jusqu’à la tranche AB et pour compléter la somme des vdv , on ajoutera à cette intégrale le vdv qui correspond à la tranche oo', c’cst-à-<lire le produit de sa vitesse par l’accroissement de vitesse qu’elle a pris dans le temps dl. En représentant par o la section AB et par v' la vitesse dans cette section , il suffira pour avoir l’intégrale prise depuis CD jusqu’à AB, de changer a en o et » en v' dans la valeur de l’intégrale du N° 229 , qui deviendra

CIIAPITHE XXIII.

que l’on peut transformer en

tl» 1 , J / 1 1 N

en observant que l’incomprcssibiliU^ du fluide donne au = ov',

d ou a -T- = O -r- '

dt dt

Quant au vdv correspondant à la dernière tranche oo', remarquons que comme v est la vitesse de la tranche AB et u celle de la même tranche quand elle s’écoule en oo', l’accroissement de vitesse est U — e' et le terme à ajouter est u (u — e') ou bien , comme v'o est

égal

sgal à au, au’ f- — c’est-à^lire qu’il faut prendre pour \“ V

\ t’ l — ) dt la valeur suivante

3 \dlj

du a’u’ n j £

dt 2 \0* ta’ a’ ao J

du a*H*ri 1 /I lyi

et l’équation générale devient

- P' = pgh - paa ^ - 1 pu’ 1^1 L, -H (l - ! J

dont on fera usage comme au N" 230, pour déterminer la vitesse d'écou- Icincnt quand le vase reste constauiincnt plein. Un trouve ainsi que, lorsque la vitesse est devenue constante, elle est égale à

En remplaçant dt par sa valeur — — — donnée au N® 23o, il vient

au

p-p’^ pgh p.V^- [' - 5 -îj]

qui devra être employée lorsque le réservoir se vide.

L’orifice a été supposé placé au fond du vase; mais ici comme au

DYNAMIQUE

N° 250, on pourrail le supposer placé latéralement dans une position quelconque, pourvu qu’il fût très petit et considérer alors le plan horizontal passant par cet orifice ou plulèt par le centre de cet orifice comme étant le fond du vase. L’expérience prouve en clTct que le reste du fluide demeure sensiblement immobile.

236. Ecoulement hors d’un vase cylindrique qui se vide. — Si le vase CABD est cylindrique et que récoulemcnt ait lieu dans l’air, les pressions p et p', représentant les jiressions atmosphériques sur la surface supérieure du fluide et à l’orifice d’écoulement, seront sensiblement égales et u étant l’aire de la base du cylindre, on fera

L’équation précédente devient en substituant, et en représentant par n le rapport — ,

, h udu

et l’on trouve en intégrant et en représentant par H la hauteur primitive du fluide dans le vase, correspondant à l’instant où la vitesse était nulle.

Cette équation fait connaître la vitesse d’écoulement correspondant à une hauteur h du fluide. Pour avoir la A’aleur de h en fonction du temps, on fera usage de l’équation

. M dh

dt=

et il viendra

dt = — p^2«* — 2« — 1

Cette dilTércntielic n’est pas intégrable sous forme finie pour une va-