Q.OO' = Q.O'R
c’est-à-dire
d’où l’on conclut que réclicllc se construit en portant sur O'C à partir du point O' des divisions égales à OA et en les marquant des nuiiibres 1, 2, â....; car si l’on prend encore Q pour unité des poids, celte équation apprend que P est égal h I, 2, 3.... quand O'Il est égal à 0.\, est double de OA, etc.
73. Théorie des pesons. — Le peson se compose d’un levier coudé à angle droit BOA (fig. 54), mobile autour d’un axe horizontal en O et porté par un pied vertical OC. Le bras OB porte en F un poids constant Q et à rexlrcinitc A est suspendu un plateau portant l'objet P que l’on veut peser. Il est clair que dans une certaine position, les deux poids P et Q se feront équilibre el qu’alors le bras OB approchera d’autant plus de riiorizuntale OD que P sera plus grand. On peut donc juger de la valeur de P par l’angle BOE dans la position d’équilibre et à chaque valeur de l’angle BOE répond une valeur de P que l’on pourra marquer d’avance sur un quart de cercle fixe DE. Pour construire celte graduation, remarquons que si le levier et le plateau \idc étaient sans pesanteur, le poids Q cntraincrail OB dans la position verticale OE et si on place ensuite un corps P >lans le plateau, comiiie les nioiiiciils de P cl Q doivent être égaux par rajiport au point O, un aura
y. Fh = P. An ou bien Q. FO. sin BOE = P. OA sin AOE
(|iii (Icvieiil
STATUJIÎK.
K ri
Q. FO. taiig BÜF = 1'. OA,
parrc que Faillie BOA .csl droit par liypothrsr. On lire de là
et en donnant sneeessivement à P le.s valeurs l, 2, 3.... kilogrammes, on connaîtra les valeurs correspondantes de l’angle BOK que l’on portera sur le quart de cercle F.D en indiquant en B la valeur du poids P. Mais les choses ne se passent pas ainsi en réalité; le poids du bras de lc\ ier OA et du plateau vide écarte OB de la position verticale OE et le place, à vide, dans une position Od que l’on marquera sur le limbe Eü. On peut concevoir cet effet comme obtenu par un certain poids P suspendu en A et faire abstraction de la pesanteur du bras OA ; alors si ou désigne para l’angle connu dOE, il viendra, en remplaçant P par p,
P OA . , l’O
tang a = — d ou p=^Q— tang a.
et lorsqu’un corps P sera placé dans le plateau, il faudra considérer celui-ci comme portant en réalité la charge P p, de sorte que l’on aura
tang BOE =-
p OA ■ FO '
P OA 'q'hï
tang a.
celte équation fait connaître la loi de la graduation du limbe DE et conduit à une construction géométrique très simple. Si on la met sous la forme
tang BOE — tang a i O.V P Q üf’
comme le second membre est constant, on voit que tang BOE — tang a est proportionnel au |>oids P et que par conséquent, en prenant OE pour rayon des tables irigonométriqucs, ce ou tang BOE — tanga est jiroporlionncl au poids P; d’où il suit que si l’on marque sur la tangente Eli les points c et </ corrcsponilanls à une charge nulle et à une charge d'un kilogramme, les points correspondants à des charges de 2, .3.... kilogrammes se trouveront en portant à la suite de rg des
IA
CIIAPITKK VIII.
itiri
longueurs égales à aj. La graduation du linilie s’elTeftiie en joignant le rentre O à ces dilférents points de division.
70. Equilibre des imulies. — On appelle poulie une roue traversée par un axe fixe autour dmpiel elle a la liberté de tourner et dont la circonlérenre est creusée en gorge pour re^•e^oir un cordon aux extrémités duquel sont appliquées la puissance et la résistance dans un plan perpendiculaire à l’axe. Lliiand 1a poulie est immobile, on peut la réduire à un levier coudé AOIl (llg. 33) dont les deux bras sont égaux et aux extrémités desquels les deux forces P cl Q agiraient normalcmenl; car on peut, sans troubler l’équilibre, considérer les parties extrêmes du cordon comme fixées aux points de contact A et B, puis supprimer toutes les parties de la poulie qui ne coniribuent pas imfttédiatement à l’équilibre et ne conserver par la pensée que les deux rayons qui aboutissent à ces points. Comme les moments par rapport au point O, P. AO et Q.BO sont égaux quand il y a équilibre, on voit que les forces P et Q doivent être l'galcs. Si la poulie n’était pas circulaire, l’égalité des deux forces serait encore nécessaire pour l’équilibre, pourvu que l’on lit abstraction du frottement qu’exerce la corde dans la gorge; car les forces étant inégales, il est évident que la plus grande des deux entrainerait le cordon en le faisant glisser. L’égalité des forces est donc nécessaire autant que l’égalité des moments. D’où il suit que l’équilibre d’une poulie non circulaire n’est possible ([uc dans les positions où les cordons sont h égale distance de l’axe. La pression que supporte l’axe O est représentée par la résultante de ces deux forces, résultante qui divise l’angle .VCB en deux parties égales cl est égale à
l/p* Q- a- 2PQ cos a = V[/i (1 -i- cos «) = 2P cos - «= — ■ P,
eu représentant par a l’angle formé par les directions de P et Q. .Si les cordons sont parallèles, « est nul et la pression devient ;2P.
77. Poulie mobile. — Dans la poulie proiiremcnt dite, l’axe c.st fixe. Quand l’axe est lui-même mobile, on obtient une autre machine dite poulie mobile dans laquelle 1a puissance et la résistance sont disposées d’un autre manière. \ Taxe O (lig. îiti) de la iioiilie est appli. (|uée la résistance K par rintermédiaire d’une pièce 00' appelée rliuppe. L’une des extrémités du cordon est lixée en A cl à l’autre extrémité est appliquée la puissance P de manière que les deux cordons et la résistance soient renfermés dans un meme plan. Pour
STATlyUE.
trouver les cuiulilions il'éqiiilihre, mniirquuns ()iie si lu niaeliiiie est immobile, ou [icul suis troubler l'équilibre rendre Taxe o lixe et substituer nu jioint fixe A une foree Q équivalente à lu pression qu’éprouve ce point. Dans cette hypothèse la machine devient une poulie fixe dont l’uxe suiiporle une pression représentée [lur R; or, l’on a vu (X" 7(i) 1” que les forces P cl Q sont égales, 2“ que la direction de K divise en deux parties égales l’uiigle formé par Pu cl Qa' et enfin ô“ que R est donné par
R = 21* cos i a = — P ;
2 uo
d’où il suit que l’on a
P : R = uo : oo',
e’esl-ù-dire que dans la poulie mobile, 1" /u ptiissuitce est à la ré- ■fistaiice comme le rayon de la poulie est à la sous-lendanle de l'arc de la poulie emiirassé par le cordon et 2“ la tension supportée par le point fixe A est éyule à la puissance P.
On construit des machines composées de plusieurs poulies mobiles, réagissant les unes sur les autres comme l’indique la ligure 57, Kn dcsignaul par f, t' les tensions des cordons ao' et do", la première poulie mobile o sera en équilibre sous raclion des forces P cl t, la seconde o', sous l’action de t et l' et la troisième o", sous l’action de t' et Q; on a donc les proportions
P ; ( = (il) ; au l ; t' = de ; do’ t':Q = ijh : yo‘, 1 .
d’où l’on tire, en inultijilianl termes à terincs ,
P : Q == nb . f/p . y h : ao.do'. i/o".
Cette proportion apprend que dans une semblable machine, lu puissance est ù la résistance comme-le produit des soustendantes des arcs embrassés par les cordons est an produit des rayons des poulies.
ün déiluit aussi îles proportions précédentes les valeurs des tensions t et’S^lcs cordons et uar conséquent des efforts auxqnelsTcs points fixes c,pel k doivent /insister. Si les cordons sont |tarallèles, les soustendantes deviennent des diamètres et la proportion précédente devient
lOK
ciiAPiTlii': vm.
ou gKiicraloiiu'iil, ii élan! le nonilirc de jwulirs moltilcs,
78. Jùiuitibre du moufle. — On appelle moufle (lig. 58) un svstèmc de plusieurs poulies ayant un a\c eoniniiin ou ayant leurs axes portes par la nièine e!iu|>)>e. Les inaeliines dans la composition des quelles entre le nioude, en eonticnnent ordinairement deux, dont l'un est attaelié à un point fixe et l’autre est mobile, l’n meme cordon fixé par l'nne de .ses extrémités à l’une des chappes passe alternativement dans la gorge de l’une des poulies fixes et de l'une des poulies mobiles; à l’autre extrémité est appliquée la résistance Q destinée à faire équilibre à une puissance P appliquée à la chappc mobile Pour trouver les conditions d'équilibre, il suffit de remarquer que d’une part, le cordon étant unique doit être également tendu dans toutes ses parties et que d’un autre coté, la machine étant immobile, on peut sans troubler l’équilibre, considérer les poulies mobiles eoiumc attachées à leur ebappe commune; alors la force P sera tenue en é(juilibrc par les tensions de tous les cordons qui aboutissent à cette ebappe; si donc on suppose ces cordons parullèlc.s entre eux et en nond>re «, comme lu tension commune est Q , la résultante des tensions agissant parallèlement sur la ebappe mobile sera »Q et l’on aura
P = nQ ou Q ; P = 1 : «
c’est-à-dire, <|ue dans le moufle, ta puissauce est à la résistance comme ruiiilé est au nombre de cordons qui aboutissent à la cliappe mobile.
7!>. Equilibre du treuil. — Le tour ou treuil est un appareil composé d’un cylindre ordinairement bori/.onlal AB (fig. 5!l), mobile autour de son axe dont les extrémités se nomment tourillons, et d’une grande poulie Cl) ayant son cenin; )dacé dans l’axe du cylindre et son plan perpendiculaire à cet axe. Dans la gorge de cette poulie, a laquelle ou donne le nom de roue, est fixé un cordon à l’extrémité duquel on appliipie la résistance t). .Sur le cylindre, qu’on nomme arbre, s’enroule en sens inverse un antre cordon portant un poids P qui tient lieu de puis.sance et faisant avec .\B un angle droit. Pour trouver le rapport entre P et Q nécessaire pour l’équilibre, remarquons que cet aiq)arcil étant un corps solide mobile autour d’un axe, il résulte du N” 45 que les moments des forces qui tendent à le faire tourner en sens inverse doivent être égaux; on a donc pour condition d’éijuilibre
Q.oE = P.oT ou P ; Q = oE : o’F
STATUtI F,.
c’cst-ù-ilirc, que la piitSHance est à lu résistance comme le rayon île la roue est au rayon de l'arbre.
Les pressions que suppurleiil les deux luurillons A et B se déterminent en remanjimnt que les l’oi-ees P et Q peuvent être trunsportées parnllèlement à elles-mèines en P' et Q', en introduisant deux couples P.o'F et Q.oK pcrpendicnluircs à l’axe, couples qui sont égaux et de signes contraires quand il y a équilibre. L’axe n’éprouve donc d’autre pression que celle qui provient de P’ et de Q' agissant en o' et o. Décomposons ehacunc de ces deux forces en deux antres parallèles et appliquées en A et B; les résultantes des deux composantes qui agissent sur eliacun de ces points seront les pressions des tourillons.
Si les cordes qui s’enroulent sur l’arbre et sur la roue avaient des diaiuclres sensibles, il faudrait aux rayons de l’arbre et de la roue ajouter le rayon de la corde alin de réduire eelle-ei à son axe.
La résistance n’est pas toujours transmise à la machine au moyen d’une corde qui s’enroule sur la roue; souvent cette force est appli- «luée à un levier encastré dans l’arbre et figurant un rayon de celte l'oue. Loreque 1a force est perpendiculaire à ec levier et renfermée ilans un plan perpendiculaire à l’arbre, la proportion précédente doit être maintenue; dans le cas contraire, la résistance Q est la composante estimée normalement à l’axe et la plus courte distance de celte force à l’axe tient lieu de levier.
80. Kfjuilibre d'un système de treuils. — La condition d’équilibre <run appareil composé d’un système de treuils réagissant les uns sur les autres comme l’indique la figure (iO, s’(tblienl en remarquant que l'éipiilibre doit exister dans chaque treuil en particulier; si donc un désigne par t et t' les tensions des cordons ce et fh, les forces P et t, t et t', l' et Q devront se faire é<iuilibrc autour de chaque treuil, ce qui exige que l’on ail
