P : Q = OB.O'C.O "D : OA.O'B.O' C

c’est-à-dire, que la puisaance est à la résistance comme le produit des brus de levier placés du côté de la résistance est au produit des bras de levier placés du côté de la puissance.

F.es proportions précédentes donnent aussi les valeurs des pressions t et

t'ijuilibre d'un système de roues dentées. — On appelle roue dentée un cercle matériel d’une certaine épaisseur, mobile autour de son axe cl ayant sa cireonl'ércnce garnie de filets saillants ou dents disposés régulièrement de manière à engrener avec les filets ou dents d’une roue juxla-posée. Ordinairement une roue dentée fait corps avec une seconde roue eoneenlriqiic et d'un rayon plus petit appelée piejnun. Considérons l'aiiparcil représenté par la figure f>2, dans Icipiel la première roue dentée est remplacée par une grande poulie dans la gorge de laquelle est enroulé un cordon tiré par la résistance Q. Le dernier |>ignon est aussi remplacé par un arbre autour duquel est enroulé un autre cordon portant un poids P ou la puissance. Le rapport nécessaire entre P cl Q pour qu’il y ail équilibre, se trouve en remarquant qne si l'on supprime par la pensée toutes les parties nialérielles qui ne servent pas immédiatement à maintenir l’équilibre, l’appareil se réduit à un système de leviers ««’, o'o", a''a” droits on coudés, ayant leurs points d’appui en c, c', c" cl réagissant les uns sur les autres comme an N“ 81. On a donc la proportion

P : (J = uc.a'c'.a”c" ; ca' .c'a" .c'a'''

STATIQI’E.

(■.Vsl-à-(liro «jiic daiiü un systèiiip dp rmips dcntpps rn pqiiililirp, /« puissanre vxt à la ré.si.slaner ranime le praihiit ile$ rayons îles roues est au produit des rayons des pignons.

S."), liriiiilibre dans le cric. — Le cric ([lie l'on eiiipinie pour soulever de grands fardeaux, est composé d’une barre de fer AB (fig. 05) garnie de dents epii engrènent avec eellifil’un pignon F tournant autour d’un axe F au moyen d’une mani^elle G. La barre et le pignon sont ordinairement renfermés dans une boite ou chasse (’.D. Le fardeau ou la puissance P se place sur la tète A de la barre ou sur le erorbet B situé à l’autre extrémité cl le ])ignon en tournant avec la manivelle à laquelle on appliijuc la résistance Q, soulève la barre et par suite le fardeau. On trouve le rapport de la puissance à la résistance pour l’équilibre, en remarquant que le fardeau agit sur le pignon de la même manière que s’il était suspendu à l’extréinité d’un cordon enroulé sur ce pignon, et la puissance appliquée à la manivelle peut être considérée eonime agissant tangentiellemenl à une roue ayant GF pour rayon. De cette manière, le cric se trouve transformé en un tour et le rapport de la puissance à la résistance est donné par le rapport du rayon de la roue ou de la manivelle au rayon du pignon.

On «btnne plus do puis.sance a celle machine, en plaçant entre le pignon de la manivelle et la barre, une roue dentée munie de son pignon. La machine <|ui prend alors le nom de cric comyawé(lig. t>4) peut être romparéc à un système de roues dentées, et il est visible que le rapport de la puissance à la résistance est égal au rapport du produit <lcs rayons de la roue et de la manivelle, au produit des rayons des deux pignons.

84. EguiUhre des coriles. — Une corde mathématique est une ligne inextensible, parfailemcnt ilexihie en tout sens, sans épaisseur et sans pesanteur. Pour qu’une corde devienne une machine dans l’acception donnée à ce mol(N" 71), il faut que l’un de se.s points soit rendu fixe nu du moins, soit géné pur un obstacle. Soit donc O un point fixe aii- (|uel est lié la corde B.4G (lig. 6îi) au moyen de la corde AO. Aux points B et C sont appliquées la puissance P cl la résistanre Q. Pour qu’il y ail équilibre, il faut qu’en désignant par t la tension du rordon AO, les trois forces P, Q et t se fassent équilibre autour du point A, ce qui exige que l’on ait ^

P : 0 : t = sin GAO : siii B.\0 : sin B.\G.

Gelle double proporliou fait connaitre la tension t et le ra|qiorl de P à Q.

Si In corde BAC, nu lieu J’èlre nllneliéc à la eorde AO nu point A, nvail la lilierlé de glisser dans un nniienii ou dans un nœud A, les proportions pr«‘eédentes ne sulliraient i)lus |)our assurer l'équilibre; il faudrait en outre que les forces I’ et Q fussent égales pour que 1a eorde ne glissât pas dans l'anneau. Cette double proportion apprend qii'alors la droite AO divise l'angle BAC en deux parties égales cl que la tension f est égale â P multiplié par le rapport du sinus de BAC ou a au sinus de la moitié de eet angle, c'est-à-dire que t est égal à

à 2P cos - a.

8’i. Pt oblèiiies. • — Ce (jui pi-écède donne iinniédialenient la solution du problème suivant, ipii n'est (pi'iin ras particulier de la théorie du polygone funiculaire auquel on donne aussi le nom de machine funiculaire. l’ue carde eut atlachée aux deux points fixes A et B et en un point C de cette corde est suspendu un poids P. On demande (a position d'éc/uiHhre ainsi /]ue les tensions l et t' (lig. lili) <ju éprouvent les rordes AC et BC, c'est-à-dire les pressions des points de suspension A et B. Comme les tensions t et t' font équilibre à P, ces trois forces, c'est-à-dire les deux cordons cl P doivent se trouver dans un même plan, lequel est vertical puisque P est un poids. Cela posé , si dans ce plan on mène la verticale AY et riiorizonlalc .\X, la forme d'équilibre sera donnée par l'angle BAX, ]inisqite le triangle ABC est donné par ses trois câlés et eet angle est connu puisqu'on donne les coordonnées du point de suspension B. (jnant aux tensions t et t’, comme on doit pour l'éipiilibre avoir les pnqiortions

/ : P = sin PCB ; sin ACB f : P = sin PCA : siu ACB,

celles-ci donneront les valeurs de t et t\ car l'angle ACB se déduit du triangle ABC, l'angle PCA est égal à l'angle connu CAX angincnlé d'un angle droit et l'angle PCB est le supplément à quatre angles droits , des angles connus PCA et ACB.

Si le poids P au lieu d'étre attaebé au point C de la corde ACB , était suspendu à un anneau ayant la liberté de glisser sur cette corde, il faudrait, comme on l'a vu, ajouter aux deux proportions la condition que les forces t et t’ sont égales ou que la droite CP divise l'angle ACB en deux parties égales. La position du point C sera ainsi complclement déterminée, car si on désigne par x, y scs coordonnées

STATIQUE

rapportées à l’iiorizoïitiiie A.\ et à la verticale .\Y, et par a, h les coordonnées connues de D, on aura jioiir exprimer que la corde ACB a une longueur invariable /,

j/ï’ -I- ÿ* •+• ^ {x — uj* -+- (ÿ — II)* = l

et pour exprimer que la verticale CP divise l’angle ACB en deux parties égales ou que les droites AC et CB font avec l’axe des Y des angles égaux ,

Ces deux équations résolues par rapport à x et y feront connaître la position du point C.

Il est à remarquer que ce point, lorsqu’il se déplace, décrit une ellipse qui a A et B |iour foyers et AC et BC pour rayons vecteurs. Comme la verticale CP divise l’angle ACB des rayons vecteurs en deux parties égales, cette verticale est une normale h l’ellipse et par conséquent la tangente en C est horizontale. On voit donc que le poids s’arrêtera au point le plus bas possible.

Appliquons encore la théorie de l’équilibre des cordes, à la solution du problème suivant : une corde ABCD (fig. 07) est attachée en A et D et porte deux poids P et P' suspendus aux mruds B et C. Trouver sa forme d’équilibre.

Désignons par /, /’, l" les longueurs des trois cordons, par a, u\ a" leurs inclinaisons sur une verticale et |iar m et « 1a distance horizontale .VD' des |)oints A et D cl leur différence de niveau DU'. Un a vu (N“ 05) (|uc le polygone est renfermé dans nn plan vertical. De plus comme la somme ahjébriiiue des projections horizontales et verticales des cordons est égale îi AD' et à DD', on a

/ sin a 1 T sin a' -t- l" sin a’’ = m l cos « -1- /' cos a' 1" cos a" = n.

Kn outre les conditions d’eiquilibre des nœuds B et C fournissent les proportions suivantes, ( étant la tension du cordon BC,

P : t = sin (n' — a) : sin a

/ : P' = sin a" : sin (o" — «').