CHAPITRE VIII

Ces quatre équations feront connaître les valeurs de ( et a, a', u" qui détcrinincnt la forme du polygone. Les proportions

Q : t = sin II' : sin a, Q' : t == siii a' : sin a"

feront ensuite connniire les tensions Q et Q' des cordons extrêmes B.\ et CD.

Si le poids P' était inconnu et qu’on demandât 1a valeur qu’il devrait avoir pour que le cordon BC eut une inclinaison donnée, fut horizontal par exemple, on ferait a' égal à ^et les quatre équations étant ré-

solues donneraient les valeurs de a, a", t et P'.

Si BC était une droite rigide portant en E un poids R, on décomposerait R en deux poids P et P' appliqués en B et C, savoir

et en suhstitiiant leur valeur dans les quatre équations précédentes, on déduirait de eelles-ri les valeurs des quatre ineonniics a, a', a" et f.

Enfin si l’on demandait de déterminer la position que doit avoir Ic point E sur la droite rigide BC pour que cette droite ait une inelinaison donnée, pour qu’elle soit horizontale pur cxcniplc, on ferait n' égal à un angle droit et en remplaeanl P et P' par les valeurs données plus haut, la distance BE deviendrait la quatrième ineonmic.

80. Équilibre mr un plan incliné. — La machine à laquelle on donne le nom de plan incliné sc compose d’un [dan sur lequel est appuyé un corps soumis à l’action de deux forces qui se font équilibre. Si le corps n’est appuyé qu’en un seul de ses [mints, il faut cvidcniinent et il suffit pour l’équilifire que la résultante des deux forces soit normale au [dan au point d'a[q)ui, et tende à [iresser le coiqis contre le [ilan, ce i|ui exige 1" que les deux forces et la normale élevée sur le [dan nu [loiiit d’appui soient reufermées dans un même plan, 2" que le point de reneonlre des deux forces soit renfermé dans la iiornialc et ,■>“ que les uiomcnls des deux forces soient égaux [lar rapport nu [loint irn[)[iui qui doit être un des [loints do la résultante. Il suit delà que si AB (fig. 08) représente le plan incliné, P cl Q les deux forces et C le point d’appui, le plan de la figure étant celui qui eoiiticnt les deux forces et la normale CD au plan AB, on doit avoir [loiir l’équilibre

P.Cp = Q.Cq

ou bien, en désignant par a cl § les inclinaisons de P et Q sur la nor-

STATIQUE. llli

male CD cl remplaçant C;> cl Cf/ par leur valeur Urée des triangles rectangles DC/j et DCq,

P sin a = ^ sin p.

Cette équation de condition de rdquilibre entre la puissance P cl la résistance Q exprime évidemment que ces forces estimées parallèlement au plan sont égales cl directement opposées. La pression que supporte le plan est la résultante de P et Q dirigée suivant CD. Cette résultante peut s’obtenir en décomposant P et Q respectivement en deux forces dirigées suivant DC et It' ; la somme des composantes suivant DC ou

P cos a -t- Q cos P

représente la pression , tandis que les deux autres se détruisent. Onlinaircincnl l’une des deux forces, la résistance Q (fig. G'J) par exemple, est le poids meme du corps appliqué à son centre de gravité G; alors le plan AB devient un plan incliné sur l'borizon AH et les conditions d’équilibre peuvent se modifier de la manière suivante : I" la puissance P et le centre de gravité G doivent être renfermés dans un plan vertical perpendiculaire au plan incliné, on, ce ipii rcNient au incine, le plan qui contient la force P et le centre de gravité doit être perpendiculaire à rinlersection A du plan incliné et dn plan horizontal. 2“ Le point de rencontre de P cl de la verticale Q passant jiar le centre de gravité doit être contenu dans la normale élevée siale plan au point d’ap|ini C et 5" on doit avoir

P sin a = Q sin |î

a et |9 étant les inclinaisons de P et de Q sur la normale CD. 11 est visible ipie ^ est aussi l’inclinaison A du plan sur l'borizon.

Si on suppose successiveincnl la jniissance P borizonlale cl parallèle au plan incliné, l’angle a devient eoinidémenlaire de (3 dans le premier cas cl droit dans le second; la troisième condition d’équilibre prend donc l’nne ou faiitre des deux formes

Peosj3 = Qsin^ ou P =■ Q sin

En construisant le triangle rectangle ABU dans lequel AB, AH cl BH SC noniincnt loiiijneur, Imac cl hauteur du plan incliné, ces équations deviennent en remplaçant p par sa valeur tirée de ce triangle,

P im «Il Q~"AH’ Q“ÂB

CIIAPITIIb VIII.

c’cst-à-dirc, que dans le premier cas, la puissance est à la résistance ou an poids, comme la hauteur du plan incliné est d sa hase. Dans le second, ta puissance est au poids comme la hauteur est à la lonejueur.

Lorsque le corps, au lieu d’être appuyé par un seul jioint contre le plan incliné, l’est par |ilusicurs points ou par une hase d'une certaine élcmliie, il faut et il suflit pour l’éqiiililire que la puissance et la résistance nient une résultante normale au plan et que celle-ci tombe dans rinléiieiir de la base. Si la résistance est le poids même du corps, la (ircmière condition exige que la puissance et le centre de gravité soient renfermés dans un plan perpendiculaire à rintersection A du plan incliné et de riiorizon. La seconde condition exige que la normale abaissée sur le plan du point de rencontre de 1’ et de Q tombe dans rintérieur de la base. La proportion entre le poids et la force P reste la même que ci-dessus.

Si un point matériel pesant m ayant un poids Q ne pouvait que glisser le long d’une courbe donnée AB (lig. 70) et qu’il fut retenu en équilibre par une force P, il faudrait pour l’équilibre que la résultante de y et P fut normale à la courbe et )>ar conséquent à sa tangente tt' au point m, c’est-à-dire ipic les composantes de Q et de P dans le sens de la tangente fussent égales et opposées (N* 43), condition (pii peut servir à trouver les rapports de grandeur et de position de la force I’ et du poids (J. Dans l’Iiypotlièse où P serait renfermé dans le plan vertical passant par la tangente tt’, les conditions d’équilibre seraient celles qui ont été trouvées nu commencement de cet article, et en désignant comme plus haut |iar ^ l’inelinaison de tt’ sur riiorizon, on aurait

P = g sin fl ou P = g lang p

selon que P est parallèle à W ou dirigé horizontalement.

87. Equilibre dans la vis. — Passons à la recherche des conditions d’équilibre dans la vis. La vis, considérée comme machine, se compose d’une vis pnqirement dite et de son écrou. La première est ordinairement rendue lixe par une de ses extrémités et une pression est exercée sur l’écrou parallèlement à l’axe de la vis. Cette pression tend à déplacer l’écrou en le faisant tourner autour de la vis ; une seconde force est donc nécessaire pour empêcher l’iVrou de tourner et c’est le rapport entre ces deux forces (pi’il s’agit de déterminer. Avant de le chercher, rappelons-nous ipie la vis proprement

.sTAiigit.

dite SC compose d’un cylindre à Iwse circulaire revèlu d’un filet saillant adhérant à la surlaue et tourné en hélice, dont la construction peut SC concevoir de cette manière : on trace sur la surface convexe une hélice (voir le calcul différentiel, N" 1 12) et l’on fait glisser un polygone le long de cette eourlie, de manière ipic l’un des sommets y élant appuyé cl le cèle adjacent restant applicpié contre la surface, le plan du |)olygoiie passe constamment par l’axe du cylindre. Ce polygone, qui est ordinairement un recUingle ou itn triangle, engendre ainsi le filet saillant. Le pas de vis est l’intervalle entre deux filets consécutifs.

On nomme écrou un corps de forme quelconque percé d’un orifice circulaire de même diamètre que le cylindre , et dont la i)aroi intérieure jiorte en creux une rainure dans laquelle s’adapte exactement le filet saillant de la vis, de sorte que l’écrou ne peut avancer qu’en tournant autour du cylindre. Pour étahlir les conditions d’éipiilihrc, supposons la vis verticale et remarquons que si un point matériel pesant m est placé sur la face supérieure du filet et assujetti soit par un fil horizontal Om soit de toute autre manière, à rester à la même distance de l’axe 00', ce point m glissera en vertu de son poids Q le long de la face du filet, en décrivant une hélice AmB ayant le même jias que l’hélice primitive tracée sur le cylindre. Pour empêcher ce glissement le long de la courbe AmB, l’intervention d’une force P sera nécessaire et si on suppose celle-ci dirigée horizontalement et perpendiculairement au rayon Om, un devra avoir pour l’équilibre (voir le N“ 8(i)

P : Q = tang a : 1 ,

a étant l’angle formé par la verticale Q avec une normale à lu courbe AB et renfermée dans le plan de P et Q, ou, ce qui revient au même, a étant l’angle constant formé par les tangentes de l’hélice AB avec la base du cylindre; un a donc en désignant par p le pas île riiélicc et par r le rayon du cylindre sur lequel se trouve tracé AB (voir le calcul différentiel, N” 112),

I* : Q = /) : Hrrr.

Si le point matériel jicsant m au lieu d’être retenu directement par une force P, était appuyé contre un lev ier horizontal Ot; ayant son point d’appui dans l’axe en O, et qu’une puissance P’ parallèle à P fut appliquée à l’extrémité de ce levier en C, en désignant jiar P la

I 18 CIlAPITItK VIII.

pression horizontale du point m contre le levier, on aurait d'une part

P : Q = ;j ; 2rr

cl d’un autre cdlc ,

P':P = r;OC; d’où l’on tire en multipliant ,

P' : Q = /).r : 2:r.r.OC.

Dans cette proportion , r disparait et il vient en désignant par t le levier OC ,

c’est-à-dire, que la puissance est d la résistance comme le pas Je la vis est à la circonférence qui a le levier pour rayon.

Considérons mainlennnt une vis avec son écrou. Supposons la vis verticale cl sur l’écrou jilaçons un poids ou une résistance Q, et adaptons y un levier oC prolongé par la pensée jusqu’à l’axe du cylindre en o. Le poids que nous supposerons réduit à un point matériel, peut être transporté en un point quelconque de l’écrou; car on sait qu’on peut circcluer celle translation en inlroiliiisanl un certain couple dont le plan est ici vertical et par conséquent parallèle à Taxe oo' du cylindre; ce couple peut donc être trans|)orté dans un plan passant par cet axe Cxc contre lequel les Idrccs viennent se détruire. Cela posé, si on transporte le poids Q (llg. 72) en un point <lc l’écrou placé verticalement au-dessus du point a où le levier rencontre la surface du cvlindre, on pourra faire ahstraction de l’écrou et considérer le poids comme remjilacé par un jioint matériel pesant a assujetti à glisser sur l'hélice a/i, tandis qu’une force 1’ agissant horizoïilalemenl à rextrémité du levier onC s’oppose à ce glissement. Or, on vient de voir que l’on a la proportion

d’où il résulte que dans la vis , ta puissance est d la résistance dans le rapport du pas de la vis d la circonférence ayant le levier pour ruqon. Le plus souvent le poids Q est remplacé par une pression exercée par l’écrou sur un corjis placé entre lui et le plan fixe AH. Cette pression tient alors lieu de résistance. .Si l’écrou an lieu d’être mobile, était rendu fixe, cl ipie fou lit tourner la vis au mo\en d’un levier encastré, il est visible que ce raiiporl ne serait pas changé.

STATIQUE

Il!t

88. Vis sans /in. — La vis sans /in sc compose d’une vi.s sans écrou AD (fi^. 75) portant un Ilict saillant en hélice et inohilc aniour de deux tourillons A et D; elle est munie d'une manivelle sur laquelle agit la puissance P. Contre la vis et dans le plan de son axe est placée une roue dentée fixe dont les dents viennent s’appuyer contre le lilcl saillant de lavis qui ne peut tourner sans que le filet ne fasse avancer la dent en la pressant et par conséquent ne fasse tourner la roue; de sorte que si on adapte à celle-ci un arbre horizontal bc et qu'un poids Q soit suspendu à une corde s'enroulant sur l’arbre, la rotation de la manivelle déterminera l’ascension du jioids (J. On trouve le rapport entre P et Q en remaniuant que si P' est la pression exercée en o par la dent contre le filet de la vis parallèlement à son axe, p le pas de la vis, l le rayon de la inaniAclIe, R cl r les rayons de la roue et de l’arbre, on a par suite de l’équilibre de la vis,

et par suite de l’équilibre du treuil,

d’où l’on tire en multipliant,

P : Q = pr : 2r/R.

8!l. Effuilibre dans te coin. — On appelle coin un prisme triangulaire que l’on introduit au inoven d’une force appliquée à l’une de scs faces, entre les deux parties d’un corps que l’on veut écarter. Les instruments tranchants sont donc de véritables coins. Soit MN (fig. 74) un corps quelconque, BEC une ouverture ou une fente, dans laquelle on introduit le prisme ou coin abc. l’ne force P agissant en un point A de la face ac ou tète du coin déterminera en B cl C des pressions Q et tj' normales aux faces ou côtés ab et bc, qui tendront à écarter les jiarties BM cl C\ du corps. Pour trouver les valeurs de CCS pressions cl les positions que doivent avoir les points A, B et C, remarquons que les trois foiws P, Q, Q' devant sc faire équilibre sur le coin, doivent être renfermées dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du coin puisqu’il contient trois normales aux trois faces et doivent passer par un même point I). Il faut donc que les points d’appui B, C et le point d’ap|)licalion A soient renfermés dans un semblable plan et soient les pieds des [icrpendiculaires abaissées

CIIAPITHK VIII

STATIQUE

(l’iin même point I) .sur les trois fêtés du triangle a, b, r. Comme fhacnne des trois forces est proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres et que ees angles sont les suppléments des trois angles a, b, c, ce qui résulte de la considération des quadrilatères RDCfe, ,\l)Cc, ADBn dans lesquels <lcnx angles sont droits, on a la jiroportion

P : Q : Q’ = sin 6 : sin c : sin n

cl par conséquent

P ; Q : Q' ne : ab : bc

qui fait connaître les deux pressions. On voit qu’elles sont d'autant pins considérables que la tète ne est plus petite ou que l’angle b est plus aigu.