CII.VPITIIE XIII
inovcniie proportionnelle entre le diamètre MC et le segment adjaeent Ma ; d’où il suit que l'on a
Ma
"mc'
ee qui conduit a la valeur de /"trouvée plus haut.
119. Appticaliun au nwuveinent parabolii/ue d'un point matériel pesant. Après avoir donne les princip&s généraux du iiiouveiiieiil curviligne, nous appliquerons nos formules à quelques exemples. Considérons en premier lieu le mouvement curviligne d'un point matériel pesant m lancé dans l’espace supposé vide , avec une vitesse initiale donnée; la force inutriec duc à la pesanteur étant mg , si a, y rejiréseiitcnt les angles formés par 1a direction de cette force , ou 1a verticale, avec les trois axes pris du cèté positif, scs trois composantes seront mg eos a, mg eos ,9, mg cos y et les équations du niouvement deviendront
m — = 7ng eos « , ^ = «»</ cos p , »« ^ == ”'3 cos y,
il’où l’on tire
gtestsa-h C, ^ eos p -4- C', gt cosy -t- C",
ar = - ÿt* cos a -I- C/ -1- D, g = -gt‘ cos ^ -h Ct -t- 1)',
Z = -^gf^ cos y -t- C"t -+- D".
Les trois premières font connaître les vitesses dans le sens des trois axes et leur résultante e„st la vitesse dans l’espace à une époque quelconque l. Les constantes arbitraires C, C', C" sont évidemment les vitesses initiales suivant les axes, ou lorsque ( = 0; si doue k est la vitesse initiale et a, ù, c les angles que forme sa direction avec les axes, on dcvi’a faire
C = A‘ cos a , C = k cos b, C" = k cos c.
Les valeurs de x,y, z font connaitre à chaque instant la position du |)oint inaUM’icl. Les constantes I), D', D" sont les valeurs de x, g, z lorsque < = 0, c’est-à-dire que ce sont les enordonnees à l’époijuc initiale. Kn éliininant successivement t entre deux de ecs trois équations, on obtient des i-elations entre x et y , y cti, x et i qui sont les
DYNAMigfE.
oqualioiis des projections de la trajectoire sur les jdans coordonnés.
Remarquons que puisque sont constants, les dérivées ~ , . -- sont milles; d’on il suit qu’elles rendent idcnliqiic
d(5 dt^
l’éqnation de condition suivante :
{d'yd^z — d^zdhj) dx + (d^zd^x — d^xd^z) dy {d-xiV'y — dhjd^i) dz = O,
qu’on peut mettre sous la forme
^d*y dH d'z d^y'^ dx ^ (£x ^
dl* dl^ dt* dO
dO dl^ dt* dt^J dl
/d*x d’y d^ dz ^ \dt*lf^~'di* dlO dt
et qui exprime (voir le traité d’analyse X" IH) <iuc la cmirlie de l’espace est plane; et en effet, si l’on prend pour origine le point de départ du point matériel , pour axe des Y la verticale dirigée vers le liant et pour plan des XY celui qui contient la direction de la vitesse de projection ou de la vitesse intialc , il faudra faire
ee qni réduit les inU'gralcs précédentes à
j^ = kcosa, ^== — gt -I- fcsina, =
x=kt cos a, »/ = — - gt* -H A't sin « , r = O.
La dernière fait voir que la trajectoire est enlicrcnicnt renfermée dans le plan des XY. En éliminant l , on trouve pour son équation ,
1/ = X tang a — x
2 k* eos* «
qui appartient à une parabole. En faisant g = <1, on est (fig. 8!>) eonduit il
AR = 2 — sin a eos a = — sin 2n.
l'Mi
