CHAPITRE XIII
uii |iliil()t sa projection dans le plan XY, tandis ipic mm' est son déplacement effectif dans l’espace. Cette aire est dite pour ee motif projection de l’aire apparente décrite par le rayon vecteur et l’intégrale de jc'di/' — y’d.x' est la somme de ces aires apparentes décrites par le rayon vecteur dans chaque instant dt qui sépare les deux limites de l’intégrale, c’est-à-dire, la projection de l'aire apparente totale.
Quand on connaît les mouvements absolus du point matériel mobile m et de l’origine mobile 0, il est facile de trouver toutes les circonstances du mouvement relatif ; car si l’origine est elle-même un point matériel mobile m' dont le mouvement absolu est dû aux forces motrices A, B, C et si X, Y, Z sont les forces motrices qui déterminent le mouvement absolu du point m, les équations des mouvements des deux points seront
dt
dhj
dt*
d’où l’on déduit en divisant par m et m’ et retranebant membre à membre ,
dt* m m’’ dt* m m' dt* m m' '
à cause des valeurs trouvées plus haut pour x', ty', z'. Ces équations sont celles du inouvement relatif, parce qu’elles donnent, étant inté-
orées, les valeurs des coordonnées relatives x', i/', et-— — ■ — -etc.,
sont appelées forcen accélératrices relatives. Si l’origine mobile, au
lieu d’être un point materiel soumis à l’action d’une force, était un
point géométrique ayant dans l’espace un mouvement connu, a, b, c
seraient des fonctions connues y, y', f" du temps t, c’cstrîi-dirc que
l’on aura
o^d*v dV, dW d*c d*?' T/F^df*’ dF^dF’ dt-~llF
et en les retrunebant des équations (I) du mouvement absolu du
DYNAHIgllE.
, d*x il*a <l*x' , .
poinl m cl rcni plaça n t *"* conilml
aux équations suivantes du mouvement relatif,
^X^y IÜ?L
</t* m rff* ’ rfl* m dt* ’ dl^ m dt*
qui, étant intégrées, feront connaître les coordonnées relatives x', y', z'.
llü. Loi des aires dans les mouvements relatifs. — En combinant deux à deux les équations (2) d’abord, puis les équations (3) eoniiiie au N" 113, on est conduit dans le premier cas, aux suivantes. ...(!•)
dt* dt* y»»i m'J \m m'
" dt* dt* \ni m'J \m m'J
X' = . Y- - - V xY-
dt* dt* \ni m' J \m m'J
et dans le second cas, à celles-ci
f/l* dt* dt* J \m dl*J
./ 'Ü£ .'!üy’ - CL __ -YI ‘Ll\
■' dt* " dt* dt* J ' \m dt* J
* dt* ^ dt* * \m dt* J * \m dt* )'
Si lu force relative du point m est constamment dirigée vers l’origine mobile O, les seconds membres dans les C équations sont nuis, puisqu’ils représentent les moments de cette force par rapport aux axes mobiles et l’on a
^ ~jfi — y ^77 = '*’
En nuiltipliant ces équations (!>) par dt et intégrant deux fois comme au N° 113, on trouve
I'(x'dif — y'dx') — etc., etc (li)
i:ll.\l>ITUË Mil.
Les trois intégrales premières imillipliécs respeeliveiiient par a:', y' et ndiiitioiiiiées ensuite dümieiil aussi
(V I Cy -4- C'V = tl.
('.elle dernière éipintion ipii est linéaire par rapport aiiN coordonnées relatives x’, y', ~ exprime que la Irajceloire relative dn point matériel est lin plan passant par l’origine mobile ou, en d’antres termes, que la Irajeeloire dn point matériel est runstaniment renrermée dans un plan passant par l’origine mobile et eonservant une position invariable par rapport aux axes mobiles. Les trois intégrales premières signilienl que les moments de la vitesse rclatiic on u|)parentc par rapport aux trois axes mobiles sont invariables et enfin si on se rapporte à ee qui a été dit an commenrement du X" ll’j, il est visible que les trois intégrales secondes expriment que les projections de l’aire apparente décrite par le rayon xeeteur du ])oint matériel mené à l'origine midnle sont priqiortionnelles an temps employé a la décrire. Si on désigne par ), ees trois projections et par I. l’aire elle-même, comme cette dernière est plane, on a aussi
l’aire apparente décrite par le rayon vecteur c.st donc aussi proportionnelle au temps.
Héciiiroqiiement , si la loi des aires apparentes s’observe dans le mouvement relatif d’un point matériel, on doit en conclure que la force relative est dirigée vers l’origine mobile des coordonnées, car en dérivant deux fois les trois équations (ti) qui expriment cette propriété, on retrouve les équations (5) et par conséiiuent les seconds membres des équations (4) doivent être nuis , ce qui indique (|uc la force relative passe par l’origine, puisqu’ils en sont les moments par rapport aux axes.
L’Iiypotlicse que nous avons faite sur la force relative supposée eonstamment dirigée vers l’origine mobile, se réalise dans dilférents cas. Cette cireonstanee se présente évidemment lorsque la force qui agit sur cliaeun des deux points matériels est dirigée vers l’autre |u)int et que run des deux est pris pour origine mobile, comme cela n lieu quand on clierelic le inoiivement relatif d'un point par rapport .'i l’autre, les deux points n’étant soumis qu’à des attractions mntiielles. L’hypothèse se vérilie encore lorsqu’un point matériel m est soumis à l’action d’une force (.\Y7.) eonstamim'iit dirigée vers l’origine mobile.
pourvu que cette origine ait dans l’espace un inouvcmenl rectiligne
. -, , , (l« <lf> .
et uuilornie, car alors les composantes -p > -pi -p «le sa vitesse
dt dt dt
seront constantes, les (icri\ées
dJ*’
dl*'
di*
dy
IF
seront nulles et les forces relatives m
\m dt*J
etc., etc.
se réduiront à la force motrice (XYZ) qui passe par l’origine mobile.
Il résulte de ce qui |iréccdc que lorsqu’un point matériel mobile est soumis d l’action d'une force constummenl dirigée vers une origine aijant dans l’espace un mouvement rectiligne et uniforme, lu trajectoire relative du point matériel est une courbe plane, l'aire relative décrite par le ragnn vecteur est proportionnelle au temps employé <1 la décrire et les projections de ces aires sur les plans coordonnés sont proportionnelles au temps. Les mêmes propriétés subsistent lorsque deux points matériels sont soumis à leurs actions mutuelles et que l’un des deux tient lieu d’origine des coonlon nées.
Dans ce dernier cas, si ruiic «les forces est la réaction de l’autre, les forces motrices A et X , H et Y , I’. et 7. sont égales et de signes contraires et les équations du mouvement relatif (2) du N” llb deviennent
d-x m -H w' ^ d-g' in -¥ m' d^z' m -+- «//* mm' ’ dt^ mm' ’ «/<* mm'
ou plutcil, en désignant par K la force qui agit entre les deux points,
X* il' z'
par r leur distance et par conséquent |>nr R — j U— > R — les coin-
posantes de la force suivant les aves,... .(7)
ot-y-= — , R,
m -h Ui y
dH' ‘ dt*
’"-"'".iR.
il7. Eejuatiou des forces vives dans les mouvements relatifs. En niulli|iliunl respectivement par 2«/x', '2dy', ~2dz', les trois é«piations du niouveincnt relatif (2) N" 115, il vient
\ dt*
dx' -t- 2 -J Y d II' ■ dt* ■’
dt*
dx' y'dg' 7,'dz')
dans laquelle X', Y', 71 sont les etimposanles «le la force motrice rela
IIH)
CIIAI’ITIIK xm.
tivc ou m
f— ) , etc. etc. Son intéeralion conduit à la suivante
ym ni/
|(ï)’ - CD’ * (Dl -
où le premier membre est le carré de la vilesse relative multipliée par la masse cl si l’on prend l’intégrale depuis le moment où elle est vJ Jusqu’à relui où elle est v', on trouve
— »ir.'* = 2 f(\'dx' -4- YWi/' + Z’dz’).
Cette équation des forces vives relatives est de même forme que celle des forces vives absolues et exprime des propriétés analogues. Ainsi -1° la vitesse relative restera invariablement la mémo, si les forces relatives sont nullcs; 2“ la vitesse relative variable reprendra la même valeur toutes les fois que le point matériel repassera par la même position relative, pourvu que le trinôme différentiel soit la différentielle exacte d’une fonction des trois variables x', y', z' considérées comme indépendantes, ce qui a toujours lieu lorsque la force relative est dirigée vers l’origine mobile et est fonction de la distance à ce point. S’il s’agit, par exemple, du mouvement relatif de deux points materiels, soumis à des attractions mutuelles, dont l'une est la réaction de l’autre, on a vu au numéro précédent que X', Y', Z' sont égaux
, ni -H w' x' „ , ... , .
a ; R, etc. etc. et I équation des forces vives devient
mu'* — mu„'* '
2x'rfx' -I- 2y'rfy' -+- 2i'f/i'
ou plutôt, à cause de r’ = x'*-+-y'* s'*,
ni u'* — nii’o'* :
/Rrfr
et l’intégration sera possible si R est fonction du rayon vecteur r.
118. Force tangentielle. Force infléchissante. Force d'inertie tangentielle. Force centrifuge. — Si, à une époque quelconque du mouvement curviligne d’un point matériel , on décompose la force qui agit sur lui, en deux autres, l’une dirigée suivant la tangente à la trajectoire et l’aiilrc perpendiculaire à cette direction, la première composante nommée force tangentielle tend à accélérer le mouvement du point matériel dans le sens de la courbe, la seconde n’a d’autre effet que de
UY.NAMigi'E.
fiiirc dévier à chaque instant le point matériel de lu direction rectiligne cl a été noniinéc par quelques auteurs, force iujlèclnssante, mais est plus généralement connue sous le nom de force centripète.
La force de réaction duc à l’inertie du point matériel donne lieu à la même décomposition; la première composante est la réaction tangentielle cl la seconde est connue sous le nom de force ou réaction centrifuge. Celle dernière représente l'elTorl que fait le point matériel en vertu de sou inertie , pour conserver le mouvement rectiligne dans le sens de la tangente, Umdis que la réaction tangentielle représente l’effort que fait le point matériel pour conserver un mouvemeul uniforme suivant la tangente.
Nous ne nous arrêterons pas à cherclicr les valeurs de la force tangentielle cl de la force centripète; nous nous bornerons à déterminer les réactions de ces deux com|iosantes, e’csl-à-dirc , la réaction tangentielle et la force centrifuge ; pour cela, observons que puisque (Ix dg dz , . ,
-7-> et -r sont les eosinus des angles que fait une tangente a la O.S (is d»
trajectoire avec les trois axes , on a pour la somme des coinporf*x d*z
saules (le m —i tangente, ou pour la
réaction tangentielle ,
d^x dx d*ij dii d*z dz
'I = m -H in -+- ni -j— -r
dl- ds dt* ds dt- ds
qui se réduit à
d-.s dv
dt* dt
en observant que l'équation
ds* = dx* + dg* + dz* donne par la différentiation ,
dsd*s = dxd*x -+- dgd*g -t- dzd*z.
Celle valeur s’accorde avec ce (ju’on a vu (N" 104), qu'une force de réaction est, en général, représentée par le produit de la masse par la dérivée de la vitesse par rapport au temps , et l'on voit (jne celte valeur subsiste encore dans le mouvcmeiil curviligne.
Quant à la force centrifuge, en la représentant par /'et par ), /*, v, les angles qu’elle fuit avec les axes, si l’on observe que la réaction
1U2 ClIAMTItb XIII.
Uingcnticllc cl In réaction ou la force centrifuge tiécomposées :>nivunt
d^x dh/
les trois axes doixent reproduire les forces de réaction m dH
m-r-if on aura :
dt*
dl*
dl-
dï^
d*s dx
"> ~r dl* ds
d^y d*s dtj
f cos l, m J- ^ m - -j-+f cos p ,
d*z d^s dz ,
m -j-r= m -;-r t OOS 1
,//i tlli //v '
</(* ds
Pour tirer de là les xaleiirs de /", i, p et v, on mettra ces étjualions sous In forme
et si on les additionne inemlirc à memlire, apres les avoir élevées au carré , en reinunpinnt que
cos* X -H cos* P cos* ï = 1 ,
on trouvera
On sait qu’on a pour expression du rayon de courbure (traité d’analyse N“ 106)
v-W^H-îf
la valeur de / devient donc
DV.NAMIVtUK.
l'jr.
(liiiis li)i|iiL'llc V est la vitesse du point inntériel. On voit que la foia;e ou rêaclion eentril'iigc en un point quelconque de lu trajectoire est rcprcscntcc par la l’orce vive du point inaU'riel divisée par le rayon de eouriturc de la courbe. Si on reinploce / par sa valeur, on trouve pour déterminer )., p et v,
Ces valeurs sont celles des cosinus des angles que fait le rayon de courbure de la trajectoire avec les axes ; lu force centrifuge est donc dirigée dans le sens du rayon de courbure. C'est celte propriété qui lui a fait donner son nom, parce qu’elle parait tendre a éloigner le point matériel du centre de l'are qu’il décrit.
On peut arriver à cette expression de la force centrifuge, ou plut<'>t (le la force centripète qui lui est égale cl opposée, d'une manière fort simple en observant que le point matériel tend par son inertie à continuer à se mouvoir suivant la tangente MT (lig. 88), prolongement de l’élémenl m.M de la trajectoire, tandis que, par l'cITcL des forces motrices, il décrit Tare MM' = tis dans le tcuijis dl ; si donc par la tangente MT et Télémcnl .M.M', c'est-à-dire ]iar deux éléments consécutifs de la courbe, on fait passer un plan , ce plan sera le plan usculateur, une normale MO à la tangente MT renfermée dans ce plan, donnera la direction du rayoti de courbure et la force centripète aura pour effet d’écarter le point .M de la direction rectiligne .MT qu’il avait au point M, ou ce qui revient au même, de le déplacer dans le sens du rayon de courbure MO, d’une quantité Ma que Ton obticul en menant M'a parallèlement à .MT; or si pendant le temps <ll la force motrice qtti fait parcourir l’espace Ma est supposée eonslante, on sait (voir N” 1 10) que l’espace parcouru est égal à la moitié de la force
accélératrice — multipliée par le carré du temps, c’est-à-dire que Ton a
d'où Ton lire
