AU A
AD= — sinocos(i=-- » CD — — siiro.
Transporlons l’origine des roordonnées au ]inint C, ce qui se fera en
reinplaeant a' el u par .t -r sin aensa cl 1/ h siii^n; l’équalioii
devieni alors
ou, en eliangeant la direction de l’axe des Y,
Ou voit par cette éqiialion que la Irajeeloire décrite par ou point inalériel pesant lancé dans le vide, esl une pnrniiole dont l'axe esl vertical.
On peut déduire de l’aniplilude AU = /, la vitesse de projeelion , connaissant l’angle île projection a ou TAU; car on a
Ai = —
sin "2(1
On voil aussi ipi’avee la inéine vitesse de projection, on peut atteindre
la inènic amplitude sous deux indinaisons dilfércntes « et «' de la xitessc de (intjeetion; car il suHit que l’on ait
sin tJn = sin 2ii',
ee qui exige que
= K — '2u' ou
e’est-à-dire, que les deux iueliuaisuiis (jui douiient la iiièiue aui|di(ude sont eom|iléiueu(aires.
Si l’on voulait eouuaitrc l'auglc sous lequel le poiiil matériel doit être lancé avec une vitesse déterminée k, pour alleindre un but connu F. , il suflirait de remarquer que les coordonnées x'y' de ec jioint doivent satisfaire à l’équation de la trajectoire, ce qui donne
y’ = x' tang « —
2 k* eus* a
d'où il faudra tirer la valeur de a.
On aura l’enveloppe de toutes les trajectoires obtenues en lançant le point matériel en A sons tontes les inclinaisons possibles et avec une vitesse initiale constante, en prenant la dérivée de l’équation générale des trajeeptires par rapport à a et éliminant eette quantité entre la dérivée et réqualion primitive. Ou trouve ainsi pour l’éapialion de celle enveloppe.
éipialion ipii forme la limite des points qu’il est possible d'atteindre avec une vitesse de projection constante k. Cette équation appartient à une parabole dont l’axe se confond avec l'axe des Y et dont le foyer est placé à l’origitie
120. Applicaliuii au mouvement elliptiffue. — Pour seconde ai)plicalion, nous elierclierons le mouvement d’un point matériel attiré par un point fixe .M avec une intensité ipii varie dans le rapport inverse du carré de la distance à .M.
En prenant le point fixe pour origine des coordonnées et repré.sentant par x, y, : les trois coordonnées du point matériel à nne épo(]ue (pieleonque t et par r sa distance à l'origine, l'inlensilé de l’attraction
sur l’unité de masse est ^ (N“ !)ft), cl comme celle droite r fait avec
2ti
CIIU'ITIIK \lll.
U's axes clos analrs iloni les eosimis sont - j - cl - > les trois conino-
santés de la foiTC aceclératriee dirigée vers l’origine sont exprimées
AMar AMi/ AMi . , . ,
a donc pour les ecpialions du
par —
AMi/ ^ et
AMi
mouvement, en remarquant (pie r — y/x* -h 1/* savoir :
il*x AM.C
-f it = s ’
■ zr
<r>/ A My d*z
AMx
Aucune de ees équalioiis n’esl intégrable isolément; ce n’est qu’en les eonibinnnt d’une manière eonvenablc (]uc l’on parvient à trouver leurs intégrales. La eoinbinaison ([ui a ronduit à la loi des aires donne eoniine on devait s’y attendre ,
~~dî^^ ' 'dï^~^ d?
d’où l’on lire, en mullipliant part/l cl en intégrant ensuite cbaque lerme par parties,
'Il
di
dx dz
dt dl
(pii foriuenl les trois intégrales premières. Elles ne sont autres (pie celles fournies jiar le [iriiieipe des aires, (pii devait évideinnienl se vérilicr dans cet exemple. On di^duil aussi de c.cs inti'grales l'éipialion du plan dans Icipiel est renrermée la trajectoire, éipiation qui est
Cx -t- C'y C"z = 0.
La position de ce plan fixée pur les valeurs de C, C', C" se détermine par la condition que le point matériel placé priinitivcinent au point («, b, c), ait reçu une vitesse d’impulsion p dirigée suivant une droite faisant avec les axes des angles a, |3, y; comme les valeurs
initiales de
dx
dy dz -f cl — ,
dl dt
■omposantes de la vitesse suivant les axes.
sont i* vos et, P cos P, P cos 7, on a
«P eos 6 — Ap eos a = C", bu cos 7 — ru cos (i=C, rp cos a — ap cos 7 = C,
nY.NAMII.irK.
et l’éqiiiilioii (1(1 |il(iii (lc\ienl
H {z tos — IJ eus ■/) + I) (x eos 7 — z eus it) +c {j eos * — x ros — O.
On vient de vnir (]uc la irajertuire Un point matériel est plane; celle eireonslanee permet de réduire à deux les éqnations du niun\eiiie((l en prenant pour plan des (X, Y) le jdan même de la trajectoire. Il vient alors , puisque le z est eonslainment nul ,
rf*x
AMx
(X* -4- jr
fJ!.'/
dF'
