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animés à chaque instant de vitesses égales et parallèles.

Si les positions AB, A'B' de cette trajectoire correspondent aux instants qui terminent les temps / et / -|- dt, et si M et N sont les points où le mobile se trouve sur sa trajectoire relative aux mé- 'iTies instants, MN' sera le déplacement absolu de ce mobile dans l’espace pendant le temps dL Soient v la vitesse absolue de ce mobile lorsqu’il est en M, et dv sa vitesse lorsqu’il est en la vitesse commune aux différents points de la trajectoire relative, à la fin du temps f, et r' -)- dv' ce que devient cette vitesse, à la fin du temps t -\-dt; enfin r" la vitesse du mobile sur sa trajectoire relative, lorsqu’il y occupe la position M, à la fin du temps et v" dr" sa vitesse relative, lorsqu’il se trouve au point N de cette trajectoire relative, à la fin du temps t -j- dL A la fin du temps t, la vitesse absolue r du mobile, qui est alors en M, est la résultante de la vitesse d’entraînement v' du point M, et de la vitesse relative v". A la fin du temps t -|- dt,, la vitesse absolue du mobile est de môme la résultante de la vitesse d’entraînement v’ -|- dv' du point N', et de la vitesse relative v" -|- dv".

Cela posé, menons par un point quelconque D, fig. 48j une

or. LIVRE I. CLNÉMATigUE.

droite Cl) éjrale et parallèle ii la vitesse r'; puis par le point 1) une droite DK égale et parallèle à la vitesse t" : la ligne CK représentera la vitesse v en grandeur et en direction. Si d’un autre

côté nous menons CK égale et parallèle à la vitesse r' -|- dv'y puis KG égale et parallèle à r" -{- dv", la ligne CG représentera la vitesse v + en grandeur et en direction. La ligne KG sera donc égale et parallèle à la vitesse ac(iuise élémentaire du mobile dans son mouvement absolu. Mais, si nous traçons KH égale et parallèle à DK, et que nous joignions le point II aux points K, G, nous pourrons dire (pie la vitesse infiniment petite KG est la résultante des deux vitesse Eli, HG. D’ailleurs KH, égal et parallèle à DK, est évidemment la vitesse acquise élémentaire dans le mouvement d’entraînement du point M de la trajectoire relative; et HG est de même la vitesse acquise élémentaire dans 1e mouvement relatif : donc la vitesse acquise éléftiientaire dans le mouvement absolu et la résultante des vitesses Vq>iises élémentaires correspondantes dans le mouvement d’entraînement et dans le mouvement relatif. On en conclut nécessairement que l’accélération totale, dans le mouvement absolu, s’obtient en composant les accélérations totales dans le mouvement d’entraînement et dans le mouvement relatif, d’après la règle du parallélogramme des vitesses.

Si un point mobile est regardé comme animé à la fois de plus de deux mouvements, et que les divers mouvements composants qui jouent le rôle de mouvement d’entraînement (§ il) soient tous des mouvements de translation, il est clair que l’accélération totale du mouvement résultant se trouvera en composant les accélérations totales des divers mouvements composants, d’après la règle du polygone des vitesses.

§ 80. Voyons maintenant comment l’accélération totale, dans le mouvement absolu d’un point que l’on regarde comme animé à la fois d’un mouvement d’entraînement et d’un mouvement re-

ACCÉLÉRATION DANS LE MOU VEMENT ;D’UN POINT. ü7

lalif, peut se déduire des circonstances que présentent ces deux mouvements composants, dans le cas où le mouvement d’entraînement. ne se réduit pas à une translation.

Considérons encore les deux positions AB, A'B', pg. 49, que la trajectoire relative du mobile occupe à la fin des temps t et et supposons qu’aux mêmes instants le mobile se trouve aux points M, N de celle ligne.

Nous savons que la courbe AB peut être amenée à la position A'B' par un mouvement de translation égal au déplacement infiniment petit MM' du pointM, suivi d’un mouvement de rotation autour d’un axe CD passant par le point M' (§ 28). Soit A, B, la position qu’elle prend ainsi, après avoir reçu seulement le mouvement de translation dont il vient d’être question. Le point N, pour aller en N', parcourra d’abord un chemin NN, égal et parallèle à MM', en vertu de la translation, puis un arc de cercle N, N' en vertu de la rotation autour de l’axe CD.

Menons en M la tangente à la trajectoire MM' que décrit ce point M supposé lié invariablement aux axes mobiles, et aussi la tangente à la trajectoire relative AB du mobile que l’on considère; puis portons sur ces tangentes des longueurs MB, MS respectivement égales aux produits de la vitesse d’entraînement v' du point M, et de la vitesse relative v”, par le temps en sorte qu’on ait

MB = v'dt, MS = vdt.

La diagonale MT du parallélogramme construit sur les lignes MR, MS, sera liée à la vitesse absolue. r du mobile, par la relation de même forme

MT = rdt;

et, de plus, celte diagonale sera tangente en M à la trajectoire

i)8 LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

absolue de ce point nmobilc. Il suit de là que, si Ton joint le point T au point N' où le mobile se trouve réellement à la fin du temps la ligne TN' aura la direction de l’accélération

totale du mouvement absolu, et que la grandeur de cette accé-

léralion totale s’obtiendra en multipliant TN' par ^(§

Mais si l’on joint le point S au point N, que par le point T on mène TU égale et parallèle à SN, puis qu’on joigne le point U au point N,, on aura un polygone TUN,N', dont la ligne TN joint les deux extrémités. Si, de plus, on imagine un polygone semblable à celui-là, ayant ses cotés respectivement parallèles à

ceux de ce premier polygone, et égaux à ces mêmes côtés mul-

tipliés tous par — > la ligne correspondante à TN' dans ce nouveau polygone sera précisément l’accélération totale j du mobile dans son mouvement absolu : donc cette accélération totale peut être regardée comme étant la résultante de trois accélérations dont les grandeurs sont