LIVRE I. — CINÉMATIQUE
près la règle du polygone des vitesses, l’accélération résultante que l’on obtiendra sera l’accélération totale dans le mouvement absolu du point considéré.
§ 81 . — Pour donner un exemple de l’application des théories précédentes, considérons un cercle qui se meut dans son plan en roulant uniformément sur une ligne droite XY, fig, 5(), et cherchons l’accélération totale du mouvement dont est animé le point M lié au cercle mobile.
Pour passer de la position actuelle à une position infiniment voisine, le cercle va tourner âutour du point de contact A, qui est son centre instantané de rotation. Soit w la vitesse angulaire dont il est animé dans cette rotation instantanée ; w est supposé constant. Désignons par r le rayon OA du cercle, par p la distance AM du point M au centre instantané A, et par a l’angle MAO. La vitesse v du point M est liée à la vitesse angulaire &> par la relation
r = pw.
Pendant le temps d/, le point M décrit un arc MM' égal à pwdL En même temps le point 0 marche de rwdf; et, comme le point de contact k du cercle avec la droite se déplace précisément de la même quantité que le centre O du cercle, il en résulte que la distance AA' des deux positions successives de ce point de contact est égale à r^dt. Les deux lignes MA, M'A' sont deux normales infiniment voisines de la trajectoire du point M ; donc leur point de rencontre G est le centre de courbure de cette trajectoire. Si l’on décrit du point C comme centre, avec GA pour rayon, l’arc de cercle infiniment petit AB, on trouvera le rayon de courbure MG, ou p, au moyen de la proportion suivante,
qui donne
P MM' 'ptùdt
P — P AB rw cos tt di ’
P — rcosa
D’après cela, on aura • 1® pour l’accélération tangentielle du point M,
dv
di
(jp^ 1^
dt ~ dt ~
tù^r sin a =
0)2 xOD;
2° pour l’accélération centripète du même point,
— = (p — r cos a) = ft)2 X MD.
On en conclut facilement que l’accélération totale du point M est dirigée suivant MO, et qu’elle est égale à w- xMO.
Ce résultat simple peut être obtenu d’une autre manière, en observant que le mouvement du cercle qui roule équivaut à la coexistence d’un mouvement de rotation autour du point 0 avec la vitesse angulaire w, et d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme de ce point 0 parallèlement à la droite XY avec la vitesse rw. Ce dernier mouvement étant considéré comme mouvement d’entraînement, et le premier comme mouvement relatif, l’accélération totale du point mobile M s’obtiendra par la composition des accélérations totales des mouvements composants (§ 79). Mais l’accélération dans ce mouvement d’entraînement est nulle, puisqu’il est rectiligne et uniforme : donc l’accélération totale dans le mouvement résultant se réduit à celle du mouvement de rotation autour du point 0. Or, cette accélération du point M, dans sa rotation uniforme autour du point 0, a pour valeur le carré de sa vitesse w x OM, divisé par le rayon OM du cercle qu’il décrit : donc elle est égale a w~xOM.
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