POINT MATÉRIEL

§ 82. Ce qu’on entend par point matériel. — Quand on parle du mouvement d’un corps, il arrive très-souvent que l’on fait abstraction des dimensions de ce corps, et qu’on l’assimile à un simple point dans lequel toute sa matière serait condensée. C’est ainsi que, quand on dit qu’un boulet lancé dans l’espace décrit une li^jne courbe, on conçoit implicitement que le boulet soit réduit à son centre; il en est encore de même de la terre et des planètes, quand on dit que ces corps décrivent des ellipses autour du soleil. Un pareil point, dans lequel on imagine que toute la matière d’un corps soit condensée, constitue ce que nous nommerons un point matériel. Il faut bien observer que la petitesse des dimensions du corps n’est nullement une condition nécessaire pour qu’on puisse le réduire, par la pensée, à un point matériel.

HH LIVRE n. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

Nous allons entrer dans l’élude du mouvement des corps, sous l’action des forces qui leur sont appliquées, en les supposant d’abord réduits à de simples points matériels; c’est-à-dire que nous commencerons par faire abstraction de leurs dimensions. Ensuite, lorsque nous aurons acquis des notions nettes et précises sur la question du mouvement ainsi simplifiée, nous reviendrons à la réalité, en considérant les corps tels qu’ils existent dans la nature.

Nous retrouverons encore plusieurs fois, dans la suite, cette manière de procéder, qui consiste à faire abstraction tout d’abord d’une partie des circonstances qui compliquent les questions dont on s’occupe, et à les ramener ainsi à un certain état de simplicité idéale, pour les aborder ensuite dans toute leur réalité. Celle marche est indispensable pour que nous puissions attaquer la question si complexe du mouvement des corps naturels et arriver à la connaissance des lois d’après lesquelles ce mouvement s’effectue.

§ 83. Premier principe. — inertie de la matière. — Les lois de la dynamique n’ont pu être établies qu’en partant d’un certain nombre de principrSy ou vérités fondamentales, dont la connaissance a été puisée dans l’observation des faits. Ces principes, qui sont au nombre de quatre, et que nous énoncerons successivement dans ce chapitre, ne sont pas d’une évidence absolue; il a fallu des hommes de génie pour les démêler dans les phénomènes qui s’accomplissent sur la terre et dans Punivers. Aussi la vérité de ces principes ne peut-elle pas être reconnue d’une manière complète à priori; on ne peut que faire concevoir leur existence, au moyen de certains exemples de phénomènes dans lesquels chacun d’eux se manifeste d’une manière spéciale. Mais leur exactitude est rendue incontestable par l’exactitude des conséquences qu’on en déduit au moyen d’une suite de raisonnements rigoureux. La plus grande preuve de cette exactitude se trouve dans l’accord des mouvements des corps célestes avec les lois Ihéoriciues de ces mouvements, obtenues en se fondant sur les principes dont il s’agit.

Le premier principe dont nous parlerons est celui qui est

connu SOUS le nom de Principe de Vinertie de la matière. En voici l’énoncé :

Un point mcUériel ne peut passer de lui-même de Vélat de repos à Vélat de mouvement. Une fois en mouvement, il ne peut modifier de lui-même son état de mouvement; en sorte que, si aucune cause extérieure n’agit sur lui^ sa vitesse sera constamment la même en grandeur et en direction, (fest-à-dire que son mouvement sera rectiligne et uniforme.

§ 84. Forces. — Pour qu’un point matériel passe de l’état de repos à l’état de mouvement, il faut qu’il soit soumis à l’action d’une certaine cause. Pour qu’un point matériel, déjà en mouvement, ne continue pas à se mouvoir uniformément et en

. ligne droite, il faut également qu’il soit soumis à l’action d’une

certaine cause qui modifie les circonstances de son mouvement. Cette cause de mouvement ou de modification de mouvement, quelle qu’elle soit, on la nomme force.

Les mouvements que nous observons autour de nous, sur la terre, nous manifestent l’existence de diverses espèces de forces. La chute des corps que l’on abandonne à eux-mémes, à une certaine distance au-dessus de la surfoce du sol, est due à l’action d’une force qu’on nomme la pesanteur. Lorsqu’on déforme une lame d’acier, et qu’ensuite on l’abandonne à ellemême, scs diverses parties prennent un mouvement de vibration, qui est produit par l’action de ce (ju’on nomme les forces moléculaires. Les mouvements des corps électrisés ou aimantés, qui s’approchent ou s’éloignent les uns des autres, sont le résultat de l’action de certaines forces d’une nature partilière, qu’on nomme forces électriques, forces magnétiques. Les êtres animés, par la contraction de leurs muscles, peuvent exercer une action sur les corps qu’ils touchent, de manière à les mettre en mouvement ou à modifier le mouvement qu’ils possèdent déjà.

Une force appliquée à un point matériel ne détermine pas ^ toujours le mouvement de ce point. Si un obstacle s’oppose à ce mouvement, la force donne lieu à une pression ou à une tension. L’action de la pesanteur sur un corps qui repose sur

lue ’ LIVIIE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

une table détermine une pression exercée sur la table; si le corps est suspendu à une corde dont l’extrémité supérieure est fixe, cette action de la pesanteur détermine une tension de la corde. Ces deux exemples suffisent pour faire comprendre en général ce qu’on entend par la pression ou la tension résultant de l’action d’une force sur un point matériel qui ne peut pas céder à cette action.

g 85. Poids des corps. — Lorqu’uii corps n’est soumis qu’à l’action de la pesanteur, et qu’un obstacle l’empêche de tomber sous cette action, la pression ou la tension qui en résulte se nomme le jioids du corps. Le poids d’un corps produit toujours une déformation de l’obstacle qui s’oppose à la chute du corps; cette déformation, qui est souvent insensible à l’œil, est quelquefois au contraire extrêmement marquée, comme par exemple dans le cas où le corps est suspendu à un appareil formé de lames de ressort présentant une certaine flexibilité. On comprend que la grandeur de la déformation produite par le poids d’un corps, dans un appareil de ce genre, peut senir à constater l’énergie de ce poids.

On dit que les poids de deux corps sont égaux, lorsque ces deux corps, suspendus successivement à un môme appareil à ressort, le font fléchir d’une même quantité. Deux corps de même poids étant réunis ensemble pour ne former qu’un seul corps, on dit que le poids de ce corps unique est double de chacun des deux poids primitifs. De même, en réunissant ensemble trois, quatre, cinq, corps de même poids, on a un

corps unique dont le poids est triple, quadruple, quintuple,

de chacun des premiers.

On conçoit d’après cela qu’il suffit de choisir à volonté un corps A, dont on prendra le poids pour unité, pour pouvoir évaluer en nombre le poids d’un corps quelconque B. Car, au

moyen de l’appareil à ressort, on pourra se procurer autant de corps que l’on voudra ayant tous môme poids que le corps A; puis on pourra chercher combien on doit suspendre de ces corps ensemble au môme appareil à ressort, pour déterminer la même déformation que le corps B suspendu seul à cet appareil : le

poids du corps B sera représenté par le nombre de ces corps que l’on aura dû suspendre ensemble pour produire sur l’appareil à ressort le môme effet que le corps B seul.

On a adopté en France, pour unité de poids, le poids d’un centimètre cube d’eau pure, prise à la température de -i“, l ; et on lui a donné le nom de gramme. On se sert souvent aussi d’une autre unité de poids, le kilogramme, qui vaut mille içrammes,' et qui est par conséquent le poids d’un litre d’eau pure, prise à la température de 4", 1. Le poids d’un corps quelconque peut s’évaluer en grammes ou en kilogrammes, par le moyen qui vient d’ôtrc indiqué.

§ 80. É«alnation des forces en nombres. — 11 est naturel de prendre le poids d’un corps pour mesure de l’intensité de la force qui tend à faire tomber ce corps. La force de la pesanteur agissant sur un corps sera donc représentée par un certain nombre de grammes ou de kilogrammes.

Une force quelconque étant appliquée à un point matériel, et tendant à le mettre en mouvement, on conçoit qu’on peut s’opposer au mouvement du point en l’attachant à un appareil à ressort; cet appareil éprouvera une tension qui le fera fléchir d’une certaine quantité. La force que l’on considère pourra être regardée comme égale à l’action de la pesanteur sur le corps qui, étant suspendu à l’appareil à ressort, le fléchirait exactement de la même quantité : le poids de ce corps servira donc de mesure à la force. Ainsi, une force quelconque peut toujours être mesurée par un poids, et en conséquence évaluée en nombre au moyen de l’unité de poids. Le plus habituellement, c’est en kilogrammes que l’on évalue les intensité des forces.

Un appareil à ressort, destiné à comparer l’intensité d’une force à celle de l’action de la pesanteur sur un corps, par la déformation que CCS forces lui font éprouver, se nomme en général un (Ignamomèlre. 11 en existe de diverses formes. Nous ne les décrirons pas ici. Nous nous contenterons d’avoir expliqué le principe de leur emploi, en ojoutant seulement qu’au moyen dhine graduation qu’on 'leur adapte ordinairement, on reconnaît de suite quelle est la valeur numérique d’une force

d’après la grandeur de la déformation que celte force a occasionnée.

L’observation indiquant que l’intensité de la pesanteur varie d’un point à un autre de la surface de la terre, le poids d’un litre d’eau pure n’est pas le même partout : ce poids ferait inégalement fléchir un même dynamomètre auquel on le suspendrait, si l’on faisait successivement l’expérience dans divers lieux. Pour que le kilogramme, que nous prenons pour unité de force, soit complètement défini, il est nécessaire d’ajouter dans quel lieu on en détermine la valeur; on peut dire, par exemple, que le kilogramme est le poids d’un litre d’eau pure, à Paris, cette eau étant prise à la température de i®,l. Un dynamomètre, gradué à Paris, de manière à faire connaître immédiatement la valeur d’une force en kilogrammes, pourra ensuite être employé dans un lieu quelconque, sans que l’unité de .sa graduation cesse d’être exactement la meme. On peut ajouter cependant que, dans les applications de la mécanique aux machines, on n’a pas besoin de se préoccuper de ce que le kilogramme n’aurait pas la meme valeur, suivant qu’on le déterminerait en un lieu ou en un autre; la différence est trop faible pour qu’elle puisse avoir la moindre importance dans ce cas.

§ 87. Direction et sens d’une force. — Lorsqu’une foi'ce agit sur un point matériel, on peut concevoir que l’on maintienne ce point en repos pendant quelque temps, puis qu’on l’abandonne en lui laissant la liberté de se mettre en mouvement sous l’action de la force, sans qu’aucun obstacle le gêne dans -ce mouvement : la direction suivant laquelle il commencera à se déplacer est ce qu’on nomme la direclion la foi'ce à laquelle il est soumis. On regarde également la force comme agissant dans le sens dans lequel le point matériel se déplacera suivant cette direclion.

§ 88. Deuxième principe. — Ég;alité de ractlon et de la réaction. — Après avoir établi, dans ce qui précède, des notions générales sur l’intensité, la direclion et le sens d’une force, nous sommes en mesure d’énoncer un deuxième principe de la dynamique, qui est connu sous le nom de Principe de

Végalilé de Vaction et de la réaction. Voici en quoi il consiste :

Toute force, appliquée à un point matériel A, émane d’un autre point matériel B situé à une distance quelconque du premier; en même temps, le point B est soumis à l’action d’une autre force émanant du point A. Ces deux forces (action et réaction) sont égales entre elles, dirigées suivant la droite AB et en sens contraire l'une de l’autre.

L’opposition de sens des deux forces auxquelles les deux points matériels A, B sont soumis, ne suppose rien sur le sens de chacune d’elles prise isolément. Il peut se faire que la force qui agit sur le point A tende à le rapprocher du point B ; et alors la force qui agit sur le point B tend également à le rapprocher du point A ; dans ce cas, les deux forces sont dites attractives. Si les deux forces agissent au contraire en tendant à éloigner les deux points A et B l’un de l’autre, on dit qu’elles sont répulsives.

§ 89. Troisième PRINXIPE. — Indépendanee de reflet d’une force et du mouvement antérieurement acquis par le point matériel sur lequel elle a^it. — Après avoir été conduits à la définition des forces par le premier principe que nous avons énoncé (§ 83), et avoir établi par le second principe (§ 88) la manière dont elles existent dans la nature, il nous reste à poser les bases de leur mode d’action pour produire le mouvement des corps auxquels elles sont appliquées : tel est l’objet des deux autres principes que nous avons encore à énoncer. Le premier des deux consiste en ce que :

L’effet produit par une force sur un point matériel est indépendant du mouvement antérieurement acquis par ce point.

Pour bien comprendre la signification de ce principe, il faut concevoir que l’on rapporte les positions successives du point matériel dont on s’occupe, à un système d’axes animé d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme, dans lequel la vitesse ait la môme grandeur et la même direction que la vitesse

ilO LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

du point matériel à un instant quelconque de son mouvement. Si, à partir de cet instant, le point matériel n’était soumis à l’action d’aucune force, son mouvement serait rectiligne et uniforme, en vertu du principe de l’inertie; et en conséquence, il con.serverait toujours la même position par rapport aux axes mobiles dont on vient de parler, l^e nouveau principe qui vient d’ôtre énoncé signifie que, sous l’action de la force qui lui est appliquée, le point matériel prend, par rapport aux axes mobiles, et à partir du même instant, un mouvement qui est exactement le même que le mouvement absolu tiue cette force lui communiquerait s’il partait du repos; en sorte qu’il suffira de composer ce. mouvement du point par rapport aux axes mobiles, avec le mouvement des axes eux-mêmes, pour avoir le mouvement absolu du point matériel dans l’espace.

1)0. ]IVIouTement cl’an point matériel .soumis ù. Faction d’une force de {grandeur et de direction constantes. — Le

principe de l’indépendance de l’effet d’une force et du mouvement antérieurement acquis par le point matériel sur lequel elle agit, va nous permettre de déterminer immédiatement le mouvement que prend un point matériel sous l’action d’une force constante en grandeur et en direction. Considérons d’abord le cas où le point matériel se met en mouvement, sous l’action de cette force, sans avoir reçu de vitesse initiale.

Pour faciliter la recherche du mouvement produit par la force, concevons que le temps pendant lequel nous voulons étudier son action soit divisé en un nombre quelconque de parties égales ; et supposons que la force, au lieu d’agir d’une manière continue, n’agisse que par intermittence, au commencement de chacun des intervalles de temps partiels dont nous venons de parler. Entre deux actions consécutives de cette force', le point matériel aura nécessairement un mouvement rectiligne et uniforme; et c’est la succession des mouvements de ce genre qu’il possédera après chacune des actions instantanées de la force, qui constituera son mouvement pendant un temps quelconque. Après la première de ces actions successives de la force, le point matériel est animé d’une certaine vitesse, dont la direction et le sens

sont précisément la direction et le sens de la force elle-même (§ 87). Pour avoir la vitesse dont le point est animé apres la seconde action de la force, il faut composer la vitesse qu’il possédait après la première action, avec une vitesse de même i,^randcur, de même direction et de même sens, produite par la nouvelle action qu’il a éprouvée de la part de la force : la résultante de ces deux vitesses sera double de chacune d’elles, et elle aura la même direction et le même sens que les composantes. On verra de même que, après une troisième action de la force, la vitesse du point matériel aura encore la même direction et le même sens qu’avant celte action, et que cette vitesse sera triple de celle dont il était animé après la première action de la force; et ainsi de suite. Le mouvement du point, pendant un temps quelconque, s’effectuera donc le long d’une ligne droite de même direction que la force, et dans le sens dans lequel elle agit : et la vitesse dont ce point sera animé à un instant quelconque sera proportionnelle au nombre total des actions qu’il aura éprouvées de la part de la force avant cet instant.

Si l’on conçoit que les intervalles de temps égaux compris entre les actions successives de la force deviennent de plus en plus petits, on se rapprochera de plus en plus du cas où la force agirait d’une manière continue, et le mouvement qui se produirait dans ce cas est évidemment la limite vers laquelle tend le mouvement que nous venons d’obtenir, lorsque ces intervalles de temps sont supposés décroître indéfiniment jusqu’à devenir nuis. Il résulte de là que, si un point matériel primitivement en repos est mis en mouvement par Taction d’une force constante en grandeur et en direction, la trajectoire du point sera une ligne droite de même direction que la force, et sa vitesse croîtra proportionnellement au temps compté à partir du commencement du mouvement; en un mot, ce mouvement sera rectiligne et uniformément accéléré (§11).

Désignons par j l’accélération de ce mouvement (§ 69), par l le temps compté à partir de l’instant où le point matériel se met en mouvement, et par x la distance comprise entre son point

1i2 LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIERE PARTIE.

de départ et la position qu’il occupe à la fin du temps l. L’équation du mouvement sera simplement

dx

car X et — doivent être nuis tous deux pour ^ = 0. dt

On trouve un exemple de ce mouvement dans la chute des corps pesants qu’on laisse tomber librement dans le vide, sans vitesse initiale. L’accélération étant désignée par g, dans ce cas, on a pour l’équation du mouvement

X = \ (jt-.

L’expérience montre que ce mouvement s’effectue bien suivant la loi indiquée par la théorie. A Paris, l’accélération g a pour valeur

le mètre étant pris pour unité de longueur, et la seconde de

temps moyen pour unité de temps. Dans ce mouvement, la vitesse à un instant quelconque, a pour valeur

v = gt;

et si l’on élimine t entre cette équation et la précédente, on trouve

t'2 = 2gXy

relation qui permet de calculer la vitesse v, connaissant la hauteur de chute x, ou inversement.

§ 91. Supposons maintenant que le point matériel se mette en mouvement avec une cçrtaine vitesse initiale Vq de même direction que la force qui lui est appliquée. Si cette vitesse initiale est de même sens que la force, on obtiendra le mouvement du point matérie^^ en composant le mouvement rectiligne et uniforme dont l’équatj^ est

X — t'üL

avec un mouvement rectiligne uniformément accéléré, dé même direction et de même sens que le précédent, ayant pour équation

Le mouvement résultant sera rectiligne; sa direction sera la même que celle de chacun des mouvements composants, et son équation sera

X = + 'JtK

Le mouvement d’un point matériel, soumis à l’action d’une force constante en grandeur et en direction, et animé d’une vitesse initiale de même direction et de môme sens que la force, est donc encore un mouvement rectiligne uniformément accéléré. La vitesse, qui a pour valeur

r = Po +iL

est toujours dirigée dans le même sens, et va constamment en croissant.

Si la vitesse initiale i\ est dirigée en sens contraire de la force, ou trouvera facilement, en opérant comme nous venons de le faire, que le mouvement du point matériel est encore rectiligne, et que sa distance v à son point de départ, comptée dans le sens de la vitesse est fournie par l’équation

La vitesse, à un instant quelconque, a pour valeur

V = Vq —jt.

Elle est d’abord positive, et va en décroissant, jusqu’à devenir nulle pour

puis elle devient négative, et augmente dès lors indéfiniment. Le mouvement est donc d’abord dirigé dans le sens de la vitesse initiale r„;il se ralentit de plus en plus; puis il change de sens, et, à partir de là, il s’accélère constamment. Ce mouvement est uniformément varié; pendant quelque temps il est uniformément retardé, puis il devient umformément accéléré, en changeant de sens.

lU LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

Un corps pesant, lancé verticalement, de haut en bas ou de bas en haut, se meut conformément à ce qui vient d’être dit;, l’accélération g de son mouvement est la même que s’il n’avait pas reçu de vitesse initiale (§ 00). S’il est lancé de bas en haut avec une vitesse Pq, il monte jus(fu’à ce que le temps t soit égal à

~ . En substituant cette valeur de t dans l’équation du mouveîf

ment, qui est

X = — I fjt\

on trouve pour la hauteur à laquelle il s’élève

On voit que cette hauteur est précisément celle dont il devrait tomber sans vitesse initiale, pour acquérir la vitesse (§ 90).

§ 92. Considérons enfin le cas où le point matériel se met en mouvement, avec une vitesse initiale dirigée d’une manière quelconque relativement à la direction de la force qui agit sur lui.

Soient 0,fig. 51 , le point de départ du mobile, OA la direction de sa vitesse initiale que nous désignerons toujours par et OB une ligne à laquelle la direction de la force reste constamment parallèle. D’après le principe du § 89, nous trouverons le mouvement qui se produit dans ces circonstances, en supposant que le mobile prenne sur la ligne OB le mouvement que la force lui communiquerait s’il n’avait pas de vitesse initiale, et qu’en même temps cette ligne se transporte parallèlement à elle-même, de manière que le point O parcoure uniformément la ligne OA avec la vitesse Vq. Si nous représentons toujours par j l’accélération du mouvement que la force

communiquerait au point matériel, dans le cas où il se mouvrait sans vitesse initiale, nous aurons

pour la distance OC qu’il parcourra sur la ligne OB, pendant le temps ty compté à partir de l’instant où il commence à se mouvoir. Mais, pendant ce même temps, la ligne OB sera venue prendre la position DE tel que l’on ait

01) = rj.

Si l’on prend, sur cette ligne DE,. une longueur DM égale à OC, le point M ainsi obtenu sera la position qu’occupera réellement le point matériel à la fin du temps t.

On peut se faire une idée nette du mouvement qui se produit dans ces circonstances, en rapportant les positions successives du mobile à deux axes coordonnés OX, OY dirigés suivant les lignes OA et OB. D’après ce qui vient d’être dit, les équations du mouvement sont :

a? = ro^ y =

Si l’on élimine t entre ces deux équations, on trouve

pour l’équation de la trajectoire. Cette courbe est une parabole, dont l’axe est parallèle à l’axe des y, et qui est tangente à l’axe des a;, au point 0.

Le mouvement d’un corps pesant, lancé obliquement dans le vide, fournit un exemple du mouvement parabolique auquel nous venons de parvenir.

§ 93. Quatrième principe. — indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur un même point

matériel. — Le dernier principe que nous avons à énoncer, se rapporte à la manière dont un point matériel se met en mouvement, lorsqu’il est soumis à la fois à l’action de plusieurs forces. Voici en quoi il consiste :

Lorsque plusieurs forces agissent simultanément stir un même

point matériel^ chacune d'elles produit le même effet que si elle agissait seule.

En d’autres termes, si un point matériel est soumis à la fois à l’action de plusieurs forces, on trouvera le mouvement qu’il prend à partir d’un instant quelconque, en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse qu’il possède à cet instant, avec les divers mouvements que chacune des forces lui communiquerait, si elle agissait seule sur lui et qu’il partît du repos. Dans cette composition de mouvements, on regardera tous les mouvements composants qui jouent le rôle de mouvements d’entraînement, comme étant des mouvements de translation.

§ 04. Proportionnalité des forces aux accélérations qu'elles produisent. — Supposons qu’un point matériel se mette en mouvement, sans vitesse initiale, sous l’action d’une force F de grandeur et de direction constantes; et désignons par j l’accélération de son mouvement, qui sera rectiligne et uniformément accéléré (§ 90). Soit de meme f l’accélération du mouvement que prendrait ce point matériel, s’il était soumis, dans les mêmes circonstances, à l’action d’une autre force F'. Le principe de l’indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur un môme point matériel, montre que les forces F, F' sont entre elles dans le même rapport que les accélérations 7, /.

Pour établir cette proportionnalité des forces aux accélérations qu’elles produisent, admettons que les deux forces F,F' soient entre elles dans le rapport des nombres entiers w, w'; en sorte qu’on ait :

F = nF„ F' = n'F„

Fl désignant une certaine force qui sert de commune mesure aux forces F, F'. D’après la manière dont les poids, et par suite les forces, sont évalués en nombres (§§ 85 et 8G), il est clair que la force F, agissant sur le point matériel dont on s’occupe, équivaut à l’ensemble de n forces égales à Fi, agissant toutes en même temps sur ce point matériel, dans la même direction et dans le même sens que la force F. Soit;, l’accélération du mou-

vement que chacune des forces F,, agissant seule, communiquerait au même point matériel.. Le mouvement que ce point prendra sous l’action simultanée des w* forces Fj de môme direction et de même sens, s’obtiendra par la composition des divers mouvements rectilignes et uniformément accélérés que chacune d’elles lui donnerait séparément (§ 93) ; et l’accélération, dans le mouvement résultant, sera la résultante des accélérations dans les mouvements composants (§ 79) : donc l’accélération y, produite par l’action de la force F équivalente à l’ensemble des « forces F,, sera égale àî?y,. On verra de même que l’accélération j\ produite par l’action de la force F'- sur le même point matériel, est égale à n'j^ ; puisque cette force F' est équivalente à l’ensemble de n' forces égales à F et agissant toutes dans la même direction et dans le même sens qu’elle. Les deux égalités

montrent que les accélérations j, f sont entre elles dans le même rapport que les nombres w, w'; et par conséquent aussi dans le même rapport que les forces F, F'.

§ 95. Lorsqu’une force de grandeur et de direction constantes agit sur un point matériel qui est déjà animé d’une certaine vitesse, le mouvement de ce point s’obtient par la composition du mouvement rectiligne et uniforme correspondant à sa vitesse initiale, avec le mouvement rectiligne uniformément accéléré que la force lui communiquerait s’il partait du repos (§§ 91 et 92). Or, l’accélération dans le mouvement résultant est la résultante des accélérations dans les mouve-

ments composants (§ 79); et l’accélération, dans un mouvement rectiligne et uniforme,* est égale à zéro : donc l’accélération, dans le mouvement rectiligne ou parabolique qu’un point matériel animé d’une vitesse initiale prend sous l’action d’une force constante en grandeur et en direction est exactement la même que celle que lui communiquerait la force, si sa vitesse initiale était nulle. Il résulte de là que deux forces de grandeurs et de directions constantes, que l’on fait agir sépa-

Fément sur un même point matériel, sont entre elles comme les accélérations qu’elles communiquent à ce point, quelle que soit la vitesse qu’il possè’de à l’instant où chacune des forces commence à agir sur lui.

Lorsqu’un point matériel est soumis à l’action d’une force qui ne satisfait pas à la double condition d’avoir à la fois une grandeur et une direction constantes, l’accélération totale de ce point, correspondant à un instant quelconque de son mouvement, n’est autre chose que l’accélération que cette force lui communiquerait, si, à partir de cet instant, elle conservait constamment la môme grandeur et la même direction. Car celte accélération totale se déduit des circonstances que présente le mouvement, pendant un intervalle de temps infiniment petit; et le mouvement qui a lieu pendant ce temps peut être regardé comme un élément du mouvement que le point matériel prendrait, si la grandeur et la direction de la force cessaient de varier à partir du commencement de cet intervalle de temps. D’après cela, on peut dire, que si l’on considère le mou- , vement qu’un point matériel prend sous l’action d’une force quelconque, et qu’qn le compare au mouvement que le même point matériel prend sous l’action d’une autre force aussi quelconque, les intensités de ces deux forces, prises chacune à un instant déterminé, sont entre elles comme les accélérations totales correspondant aux mêmes instants, dans les mouvements qu’elles produisent. Les directions des deux forces sont d’ailleurs évidemment les mêmes que celles de ces accélérations totales.

§ 9t). Définition de la niasse d’un point matériel. —

Les corps, que nous supposons toujours réduits à de simples points matériels, ne doivent pas être regardés comme identiques les uns avec les autres, au point de vue des effets qu’ils éprouvent de la part des forces qui leur sont appliquées. Une même force, agissant successivement sur différents points matériels, ne leur communiquera pas à tous une même accélération. Il existe donc dans les corps une certaine qualité, d’après laquelle ils cèdent plus ou moins facilement à l’actioii des forces, et dont on recon-

FORCES APPLIQUÉES A UN* POINT MATÉRIEL. lll>

naît l’existence par l’accélération plus ou moins grande qu’ils éprouvent de' la part d’une même force : cette qualité, par laquelle les corps diffèrent les uns des autres, sous ce point de vue, est désignée sous le nom de masse.

On dit que deux points matériels ont même masse, lorsque, étant soumis à iVclion d’une même force, ils en reçoivent une même accélération. Un point matériel, formé par la réunion de deux points matériels de même masse, est dit avoir une masse double de celle de chacun d’eux. De même, en réunissant trois, quatre, cinq,... points matériels dont les masses sont égales, on forme un point matériel dont la masse est triple, (|uadruplc, quintuple, de celle de chacun des points matériels compo-

sants. On conçoit par là comment la masse d’un point matériel pourra être évaluée en nombre, quand on aura choisi arbitrairement un corps dont la masse sera prise pour unité de masse. Il suffira de suivre une marche analogue à celle qui a déjà été indiquée pour évaluer en nombre le poids d’un corps quelconque (§ 85). *

§ 97. Proportionnalité des forces aux niasses des points matériels auxquels elles donnent une même accélération.

— Soient F, F', deux forces qui, en agissant sur deux points matériels de masses m, m\ leur communiquent une môme accélération. Supposons (jue les forces F, F' soient entre elles dans le rapport des nombres entiers «, w', en sorte qu’on ait

F = aK„ F = nV,;

et considérons les deux points matériels comme résultant, le premier de la réunion de ti points matériels ayant tous même masse le second de la réunion de n' points matériels ayant tous pour masse m\, ce qui fait qu’on aura

Si la force F, agissait, sans changer de grandeur ni de direction, sur un point matériel de masse m, partant du repos, elle lui donnerait un mouvement rectiligne uniformément accéléré, dans lequel l’accélération aurait une certaine valeur dépendant de l’intensité de la*force F, et de la grandeur de la masse m^.

120 LIVRE II. — DyjS’AMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

Concevons que n points matériels, ayant tous la même masse m , , se trouvent à côté les uns des autres, et qu’il? «e mettent tous en mouvement à un même instant, sous l’action' de forces appliquées à chacun d’eux; si ces forces sont toutes égales à F,, et agissent toutes suivant la même direction et dans le même sens, les n points matériels prendront tous le même mouvement rectiligne et .uniformément accéléré, suivant la même direction, et, en conséquence, ils ne cesseront pas de se trouver à côté les uns des autres, comme avant leur départ. On comprend d’après cela que rien ne changera dans le mouvement de l’ensemble de ces points matériels, si on les suppose liés entre eux de manière à ne pouvoir se séparer pendant le mouvement, puisqu’ils ne se séparaient pas lorsqu’ils avaient la liberté de le faire. Mais alors on n’aura plus qu’un point matériel unique dont la masse sera égale à nm^ (§ 9G), ou à m; et les n forces Fj, égales, de même direction et de même sens, qui agiront sur ce point matériel unique, pourront être remplacées par une seule force égale à wF,, ou à F. Donc la force F agissant sur un point matériel de masse m qui part du repos, lui donnera un mouvement qui sera identiquement le même que celui^ que la force F^ communiquerait à un point matériel de- masse m,, partant également du repos; et, en conséquence, l’accélération communiquée par la force F au point matériel de masse m est la même que l’accélération communiquée par la force F, au point matériel de masse m,.

On verra de la même manière que les accélérations communiquées respectivement aux points matériels de masse w', w',, par les forces F', Fi, sont exactement les mêmes.

Mais, par hypothèse, les forces F, F' communiquent une même accélération aux points matériels de masses m, m'. Donc la force F,, appliquée successivement aux deux points matériels de masses w',, leur communique une même accélération, et, en conséquence, ces deux njasses Wj, m',, sont égales (§ 90), c’est-à-dire qiTe les masses w; m' sont entre 'elles dans le rapport des nombres w, n\

Il résulte de là que les deux forces F, F' sont entre elles dans le même rapport que les masses m, w' des, deux points maté-

FORCES APPLIQUÉES A UN POINT MATÉRIEL, riels auxquels elles communiquent une même accélération.

§ 98. Relalion entre une foree, la masse du point matériel sur lequel elle ai^it, et Taoeélération qui résulte de eette action. — Soient F, F' (Icux* forces quelconques; w, m', les masses de deux points matériels auxquels ces forces sont respectivement appliquées; et 7, f les accélérations qu’éprouvent les points matériels par suite de l’action de ces forces. Pour établir une relation entre ces six quantités, considérons une force F" telle que, si elle agissait sur le point matériel de masse î«, elle lui donnerait une accélération /. Les deux forces F, F" donnant les accélérations j, / à un même point matériel, leur rapport est le même que celui des accélérations qu’elles produisent (§ 94), en sorte qu’on a :

D’une autre part, les deux forces F", F' donnant une même accélération f aux deux points matériels de masses w, m', auxquels elles sont respectivement appliquées, on a entre elles la proportion

Si l’on multiplie membre à membre les deux égalités auxquelles on vient de parvenir, on trouve

F mj f mj

Donc les forces sont entre elles comme les produits des masses des points matériels sur lesquelles elles agissent par les accélérations qu’elles leur communiquent.

L’unité de masse n’a pas été définie jusqu’à présent. Supposons donc que nous choisissions pour unité la masse d’un point matériel qui, sous l’action d’une force égale à 1, prendrait une accélération égale à 1. L’unité de masse étant choisie d’c cette manière, il en résulte que, si l’on suppose F' = 1 et/ = 1, on aura m' = 1 , et, par conséquent, la relalion qui vient d’être établie se réduit à

m LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

F = mj.

Soit P le poids d’un corps, c’ost-à-dirc la force qui dclermine la chute duTorp^, lorsqu’on rabandonne à lui-môme (§ 80). La force P, en agissant sur le corps, dont nous désignerons la masse par m, lui communique un mouvement dans lequel l’accérération est g (§ 90). On doit donc avoir

P = mg,

d’après ce qui vient d’être établi. On en déduit

ce qui fournit un moyen très-simple d’évaluer numériquement la masse d’un corps, dans le cas où l’unité de masse est celle que nous venons de définir.

§ 00. CompoKitlon des forces aippliqiiées tV iiii meme point materiel. — Lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel, suivant des directions quelconques, ce point prend un certain mouvement dans l’espace. On comprend que le même mouvement pourrait lui être communiqué par l’action d’une force unique, dont la grandeur et la direction dépendent des circonstances (jue présente ce mouvement. Cette force unique, capable de donner au point matériel le mouvement qu’il prend sous l’action des diverses forces qui lui sont appliquées simultanément, est ce qu’on nomme la résultante de ces forces. Les forces dont elle peut tenir lieu se nomment ses composantes. La composition des forces a pour objet la détermination de la résultante lorsqu’on connaît les composantes.

Le principe de l’indépendance des effets des forces qui agissent .simultanément sur un même point matériel (§ 03) conduit directement à la règle de la composition des forces appliquées à un point. D’après ce principe, le mouvement d’un point matériel soumis à la fois aux actions de plusieurs forces, s’obtient en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse qu’il possède à un instant quelconque, avec les divers mouvements que chacune des forces lui communiquerait si

FORCES APPLIQUÉES A UN POINT MATÉRIEL. m

elle agissait seule sur lui et qu’il partît du repos ; et dans cette composition, on doit regarder tous les mouvements composants qui jouent le rôle de mouvements d’entraînement comme étant des mouvements de translation. Or, nous savons que, dans ce cas, on trouve l’accélération totale du mouvement résultant en composant les accélérations totales des mouvements composants d’après les règles de la composition des vitesses (§ 79). Nous savons en outre que les forces sont proportionnelles aux accélérations totales des mouvements qu’un même point matériel prend sous l’action de chacune d’elles, et que les directions des forces sont les memes que celles de ces accélérations (§ 05). Nous pouvons en conclure immédiatement que, si l’on représente les forces par des droites dont les longueurs soient proportionnelles à leurs intensités, et dont les directions soient celles suivant lesquelles elles agissent, la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point s’ob- ^

tiendra au moyen des composantes, par une construction entièrement pareille à celle qui donne la résultante de plusieurs vitesses au moyen des vitesses composantes.

Quand on n’aura que deux forces F, F' à composer en une seule, on construira un parallélogramme sur les deux lignes AB,

AC qui les représentent, fig, 52 , et la diagonale AD de ce parallélogramme représentera leur résultante. Cette construction constitue ce qu’on nomme le parallélogramme des forces.

Quand on aura à composer un nombre quelconque de forces F, F', F", F'", appliquées à un même point A, fig, 53, on tracera les lignes x\B, AC, AD, AE qui les représentent; puis on construira le polygone ABGIIK,*dont les côtés AB, BG, GH, HK,

sont respectivement égaux et parallèles à ces diverses lignes : la droite AK, qui joint le point A à l’extrémité K du polygone ainsi obtenu, représentera en grandeur et en direction la résultante des forces données F, F', F", F'". On donne à cette construction le nom de polygone des forces.

Enfin, quand les forces composantes seront au nombre de trois, et que leurs directions ne seront pas comprises dans un même plan, le polygone des forces données pourra être remplacé par le parallélipipède des forces : c’est-à-dire que la droite qui représentera la résultante des forces données sera la diagonale du parallélipipède ayant pour arêtes les droites qui représentent les composantes.

Une force étant donnée, on pourra la décomposer en deux ou en trois composantes suivant des directions déterminées, en opérant exactement de la même manière que s’il s’agissait de décomposer une vitesse (§ 45).

§ 100. Projections des forces sur un plan fixe ou sur une droite fixe. — Une force étant représentée par une ligne droite, conformément à ce qui vient d’être dit (§ 99), si l’on projette cette droite sur un plan fixe, la projection pourra être regardée comme représentant une autre force qui agit dans ce plan : cette autre force est ce qu’on nomme la projection de la première force sur le plan fixe. De même, si l’on projette sur une droite fixe la ligne qui représente une force quelconque, la projection représente une autre force que l’on dit être la projection de la première.

Si l’on a construit le polygone qui sert à trouver la résultante d’un système quelconque de forces appliquées à un même point matériel, et que l’on projette la figure tout entière sur un plan fixe, on obtiendra un autre polygone situé dans ce plan : la considération de ce second polygone montre que la projection de la résultante des forces sur le plan fixe est la résultante des projections des forces elles-mêmes sur ce plan.

On trouve exactement de la même manière que, si plusieurs forces agissent sur un même point matériel, la projection de leur résultante sur une droite fixe est Ta résultante des projections

(les forces sur celte droite, résultante qui, dans ce cas, se réduit à la somme algébrique des composantes.

Si par le point d’application d’une force on mène trois droites non situées dans un môme plan, et qu’on décompose la force en trois composantes dirigées suivant ces trois droites, chaque composante peut être regardée comme la projection de la force sur la droite correspondante, cette projection étant effectuée parallèlement au plan des deux autres droites. D’après cela, on voit que la force est la résultante de ses projections sur les tfois droites. 11 en est de même lorsqu’une force se trouve décomposée en deux autres suivant deux droites dont le plan passe par la direction de la force : chaque composante est la projection de la force sur la droite correspondante, celte projection étant effectuée parallèlement à l’autre droite; et par suite la force est la résultante de ses projections sur les deux droites.

Les propositions qui précèdent sont vraies de quelque manière que s’effectuent les projections, et, par conséquent aussi, dans le cas particulier où ces projections sont orthogonales. Toutes les fois que nous aurons occasion de les appliquer, et que nous ne spécifierons paslana- , ture des projections, on devra toujours entendre qu’il s’agit de projections orthogonales.

§ 101. Théorie des uiomenfs , dans le cas des forees appliquées ù. un même point matériel. —

Soit 0 un point quelconque pris sur le plan des deux forces F, F' appliquées à un même point A, fig 54. Construisons le parallélogramme ABGD, sur les lignes AB, AC,

qui représentent les forces S Fig. 54.

F, F' ; la diagonale AD représentera leur résultante. Si nous joignons le point 0 aux quatre

'•vM

m LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

sommets A, B, G, D de ce parallélogramme, nous formerons trois triangles ABO, ACO, ADO, dont le dernier ADO est égal à la somme des deux premiers ABO, ACO. En effet, on peut regarder ces trois triangles comme ayant pour base commune A O,

et pour hauteurs les distances des points B, C, D à cette base : or, ces hauteurs sont évidemment les projections orthogonales des lignes AB, AC, AD sur la ligne AM menée perpendiculairement à AO, et la projection de AD sur AM est égale à la somme des projections de AB et BD sur cette même ligne, c’est-à-dire égale à la somme des projeciions de AB et AC : donc aussi la sui^ face du triangle ADO est égale à la somme des ‘Surfaces des triangles ABO, ACO. Mais nous pouvons évaluer les surfaces de ces triangles en les regardant comme ayant pour bases AB, AC, AD, et pour hauteurs les perpendiculaires OP, OQ, OR abaissées du point O sur ces bases : nous aurons donc

Al) X OR = AR X OP + AC X OQ.

Chacun des trois termes qui entrent dans celte équation est le produit d’une force parla distance du point O à sa direction; un pareil produit se nomme le moment de la force par rapport au point 0. Il résulte donc de ce que nous venons de dire que, si , l’on considère deux forces appliquées à un même point matériel et la résultante de ces deux forces, le moment de la résultante, par rapport à un point 0 pris dans le plan des forces, est égal à la somme des moments des composantes par rapport au môme point 0.

Pour que ce théorème soit vrai, de quelque manière que le point 0 soit situé dans le plan des forces AB, AC, AD, il est nécessaire d’attribuer un signe au moment de chacune d’elles^ d’après la position qu’elle occupe par rapport au point 0; voici comment ce signe se détermine. On conçoit que chaque force soit appliquée seule à une figure plane matérielle, contenue dans le plan dont il s’agit, et ne pouvant que tourner autour du point 0 ; sous l’action de cette force, la figure prendra un mouvement de rotation autour du point 0, dans un certain sens facile à trouver d’après le sens dans lequel la force agit : on

regarde comme positif le moment de toute force qui tend ainsi à faire tourner la ligure mobile dans un sens déterminé, que l’on choisit d’ailleurs à volonté, et comme négatif le moment de toute force qui tend à faire tourner cette figure dans le sens opposé.

Si l’on reprend ce qui a été dit au commencement de ce paragraphe, en donnant successivement au point O diverses positions dans le plan des forces F, F', et qu’on attribue au moment de chacune de'ces forces et à celui de leur résultante les signes qu’ils doivent avoir dans chaque cas, on reconnaîtra que le moment de la résultante, par rapport au point O, est toujours égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point.

§ 10:2. Si nous considérons un nombre quelconque de forces

F, F', F", F'", appliquées à un même point matériel, et

dirigées toutes' dans un même plan, nous pourrons étendre sans peine à ce système de forces le théorème qui vient d’être établi pour le cas de deux forces seulement.

Composons d’abord les deux forces F, F' entre elles, et nous trouverons une résultante partielle dont le moment, par rapport à un point quelconque 0 pris dans le plan des forces, sera égal à la somme des moments des forces F, F' par rapport à ce point. Si nous composons ensuite cette résultante partielle avec la force F", nous aurons une deuxième résultante partielle dont le moment, par rapportai! point O, sera égal à la somme des moments de F" et de la première résultante partielle par rapport au même point : le moment de cette deuxième résultante partielle sera donc égal à la somme des moments des trois forces F, F', F*'. En composant la deuxième résultante partielle avec F'", on trouvera une troisième résultante partielle dont le moment sera de même égal à la somme des moments des quatre forces F, F', F", F'". En continuant ainsi, on finira par arriver à la résultante de toutes les forces données, et l’on trouvera que le moment de cette force, par rapport au point O, est égal à la» somme des moments de ses composanles, par rapport à ce point.

§ 103. Dans le cas où un point matériel est soumis à l’action d’un nombre quelconque de forces non dirigées dans un même plan, nous ne pouvons plus arriver à un résultat simple en ap-

m LIVRE IL — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

pliquant le théorème du § 101 aux diverses compositions successives que nous venons de considérer, et qui conduisent à trouver la résultante définitive du système de forces, parce que ces compositions successives ne s’effectuent pas dans un même plan. Mais, en suivant une autre marche, nous parviendrons à généraliser le résultat que nous avons obtenu (§ 10:2), de manière à d’étendre au cas général dont nous nous occupons maintenant.

Soient AB, fig. ô.'), une force appliquée au point A, 'et OP une

droite dirigée d’une manière quelconque par rapport à cette force. On donne le nom de moment de la force AB, par rapport à la droite OP, au produit de la plus courte distance des lignes AB, OP, par la projection de la force AB sur un plan MN perpendiculaire à OP. Il est aisé de voir que la plus courte distance RS des droites AB, OP est parallèle au plan MN, et que, par conséquent, elle se projette en vraie grandeur sur ce plan : de plus, la projection OT de cette plus courte distance est perpendiculaire à la projection ab de la force AB ; donc ce que nous nommons le moment de la force AB, par rapport à la droite OP, n’est autre chose que le moment de la projection de cette force sur le planMN, par rapport au point O où ce plan est percé par la ligne OP.

Cela posé, concevons que nous projetions sur un plan quelconque les diverses forces qui agissent sur un même point matériel, ainsi que la résultante de ces forces. Nous savons que la projection de la résultante est la résultante des projections des 'forces (§ 100); et comme toutes ces projections sont dirigées dans un môme plan, nous pouvons dire (§ 102) que le moment de la résultante projetée, par rapport à un point quelconque 0 du plan de projection, est égal à la somme des moments des composantes projetées, par rapport au même point. Rem-

plaçons, dans cet énoncé, le moment de chaque force projetée par rapport au point O, par le moment de la force de l’espace par rapport à la perpendiculaire au plan de projection menée par le point O, et nous arriverons ainsi à la proposition suivante : Lorsque plusieurs forces agissent sur un même point matériel, dans diverses directions, le moment de la résultante de ces forces par rapport à une droite quelconque, est égal à la somme * des moments des composantes, par rapport à la même droite.

Pour que ce' théorème soit toujours vrai, il est nécessaire de regarder le moment d’une force par rapport à une droite comme •étant une quantité positive ou négative, suivant les cas. Ce moment n’étant autre chose que le moment de la projection de la f(iTce sur un pl^ perpendiculaire à la droite, par rapport au point où ce plan est percé par la droite, il est naturel de lui donner le signe de ce dernier moment : le moment d’une force, par rapport à une droite, sera donc positif ou négatif, suivant que cette force tendra à faire tourner dans un sens ou dans l’autre, un corps auquel elle serait appliquée, et qui ne pour- • fait que tourner autour de la droite.

ClIAriTlU: il

KQUILIRKE ET MOUVEMENT d’uN POINT MATÉRIEL LIBRE.

lOL Équilibre d'un point matériel. — Lorsqu’un point matériel, que nous supposerons primitivement en repos, vient à être soumis aux actions simultanées de diverses forces, il peut arriver que ces forces se contre-balancent mutuellement, de telle manière qu’il reste en repos malgré l’action des forces. Dans ce cas, on dit que le point matériel est en équilibre : on dit aussi que les forces se font équilibre sur le point matériel.

Il est aisé de voir à quelle condition les forces doivent satisfaire, pour que le point matériel sur lequel elles agissent soit en équilibre. Ces forces, quelles que soient leurs grandeurs et leurs directions, peuvent être remplacées par leur résultante (§ 00). Le point matériel, soumis à l’action de cette résultante seule, doit donc rester à l’état de repos, tout aussi bien que lorsqu’il est soumis aux aclions simultanées des composantes. Or, cela ne peut évidemment avoir lieu qu’autant que la résultante est nulle : donc, pour qu’un point matériel soit en équilibre sous l’action de plusieurs forces, il faut que la résultante de ces forces soit nulle. D’ailleurs, il est bien clair que cette condition est suffisante pour que le point matériel, primitivement en repos, ne se mette pas en mouvement sous l’action des forces qui lui sont appliquées, puisque ces forces peuvent toujours être remplacées par leur résultante, et que, celle-ci étant nulle.

ÉQ. ET MOrV. D’UN POINT MATÉRIEL LIBRE.

• le point matériel se trouve dans le môme cas que s’il n’était soumis à l’action d’aucune force.

Si plusieurs forces, agissant sur un point matériel en mouvement, ont une résultante nulle, on dit encore qu’elles se font équilibre. Dans le cas où le point matériel serait soumis à ces forces seules, il se trouverait dans les mêmes conditions que si aucune force ne lui était appliquée, et par suite son mouvement serait rectiligne et uniforme.

Lorsque plusieurs forces appliquées à un même point matériel se font équilibre, il est clair qu’une quelconque d’entre elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

Soient F, F', F",.-- diverses forces qui agissent sur un même point matériel. Menons, par un point quelconque de l’espace, trois axes coordonnés rectangulaires, et décompo.sons cbacune des forces F, F', F",... en trois composantes dirigées parallèlement à ces axes. Soient X, Y, Z, les composantes de la force F; X', Y', Z', les composantes de la force F', etc. La projection de la résultante des forces F, F', F",.-, sur l’axe des x 1(K)) est égale à