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si l’on y remplace les diverses lignes par leurs valeurs, et qu’on résolve ensuite par rapport à la vitesse r du point matériel, on en déduit

résultat conforme à ce que nous avions trouvé précédemment.

§ 1-il. ülouvement relatif d’nn pointf matériel. — La théorie exposée* daDs le § 139, montre que tout mouvement relatif d’un point matériel peut être traité comme un mouvement absolu, à la condition de joindre aux forces qui agissent réellement sur le point matériel, les deux forces apparentes dont nous avons défini la grandeur, la direction et le sens. Tous les théorèmes qui ont été établis, pour le mouvement absolu d’un point matériel libre, sont donc applicables au mouvement relatif, en tenant compte de ces deux forces apparentes. Il est complètement inutile que nous passions en revue ces divers théorèmes, pour faire voir ce qu’ils deviennent quand on les applique à un mouvement relatif. Nous nous contenterons de dire que, dans le cas du théorème des forces vives (§§116 et 119), la force centrifuge composée disparaîtra toujours d’elle-même, et on pourra raisonner sans en tenir aucun compte ; parce que, cette force étant dirigée perpendiculairement à la direction de la vitesse relative du point mobile, son travail sera toujours nul

Les théorèmes établis pour le mouvement absolu d’un point materiel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une sur-

ÉlillIL. ET MOUV. RELATIFS D’UN POINT MATÉRIEL. 209

lace fixe, sont également applicables au mouvement relatif d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface; à la condition de joindre les forces apparentes ci-dessus indiquées aux forces qui agissent réellement sur ce point; mais il faut pour cela que la courbe et la surface dont il s’agit soient fixes relativement aux axes mobiles auxquels on rapporte les diverses positions du point matériel, c’est-à-dire qu’elles participent au mouvement dont ces axes sont animés.

Considérons en particulier le mouvement d’un point matériel libre par rapport à des axes qui sont animés d’un mouvement de translation dans l’espace. D’après la nature du mouvement des axes mobiles, la vitesse angulaire m qui entre dans l’expression de la force centrifuge composée, est égale à zéro : cette force centrifuge composée est donc nulle, et des deux forces apparentes, qu’on doit joindre aux forces réelles pour pouvoir traiter le mouvement relatif comme un mouvement absolu, il ne reste que la force d’inertie correspondant au mouvement d’entraînement Soient les coordonnées de l’origine

des axes mobiles, rapportées à un système d’axes fixes auxquels ces axes mobiles restent constamment parallèles. L’accélération totale, dans le mouvement d’entraînement, a évidemment pour composantes parallèles aux axes, les quantités

UF" IfF' ~dF'

en sorte que les composantes de la force d’inertie du point matériel de masse m, dans ce mouvement d’entraînement, fïont

tlh

Si l’on désigne par -, les coordonnées du point matériel par rapport aux axes mobiles, et par X, Y, Z, les composantes suivant ces axes, de la résultante des forces qui sont appliquées à ce point, on aura (§ 121) les équations différentielles suivantes, pour déterminer son mouvement relatif :

djl

(It^

dH

df^

dP

dp'

d~d\ dt^ ’

dV- '

On aurait pu trouver immédiatement ces équations différentielles, sans s’appuyer sur la théorie des forces apparentes dans les mouvements relatifs, en partant des équations différentielles du mouvement absolu (§ 121), et remarquant que les coordonnées absolues x,y, du point mobile sont respectivement égales à ? -f- d?,, Vî 4" î/i, ^ + -t*

Si les axes mobiles, auxquels on rapporte les positions successives du point matériel, sont animés d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme, non-seulement la force centrifuge composée est nulle, mais il en est de même de la force d’inertie correspondant îiu mouvement d’entraînement; puisque, dans un mouvement rectiligne et uniforme, l’accélération totale est constamment nulle. Il n’y a, dans ce cas, aucune force apparente à joindre aux forces réelles, pour que le mouvement relatif puisse être traité comme un mouvement absolu. Les équations différentielles sont les mêmes, qu’il s’agisse du mouvement absolu ou du mouvement relatif.

§ 142. [Mouvement relatif de deux points matériels qui ne sont soumis qn'tk leurs actions mutuelles. — DCUX points

matériels A, B, en mouvement, n’étant soumis qu’aux actions égales et contraires qu’ils exercent l’un sur l’autre, concevons que le point B soit rapporté à un système d’axes coordonnés qui SC meuvent parallèlement à eux-mêmes de manière à passer constamment par le point A : nous allons nous proposer de déterminer le mouvement du point B par rapport à ces axes mobiles. Soient m la masse du point A, m' celle du point B, F la force à laquelle le point B est soumis et qui émane du point A, r la distance des deux points, et H, v;, ?, les coordonnées du point B par rapport aux axes mobiles. La force F est dirigée suivant la

ligne droite qui joint le point A au point B; nous supposerons d’ailleurs qu’elle est attractive, c’est-à-dire qu’elle tend à rapprocher le point B du point A ; il suffirait de changer son signe dans les équations que nous allons établir, pour que ces équations convinssent au cas où elle serait répulsive.

Les composantes de la force F suivant les axes coordonnés sont

A ces composantes de la force qui agit réellement sur le point B, nous devons ajouter les composantes de la force d’inertie de c e point dans son mouvement d’entraînement. Or, la force qui agit sur le point A est égale et contraire à celle qui agit sur le point B ; en sorte que ses composantes suivant les axes sont

L’accélération totale du mouvement absolu du point A est donc la résultante de trois accélérations dirigées suivant les axes et ayant pour valeurs

Celte accélération totale étant celle du mouvement d’entraînement du point B, les composantes de sa force d’inertie dans ce mouvement d’entraînement seront