P’ F VL Y

D’après cela, les équations différentielles du mouvement relatif du point B seront

iJH

(ir^

(it^

Lorsque l’on connaîtra la loi suivant laquelle la force F varie avec la position que le point B occupe par rapport au point A, on n’aura plus qu’à intégrer les équations différentielles qu’on vient d’obtenir, pour avoir sous forme finie les équations du mouvement relatif du point B.

Il est aisé de voir que ce mouvement relatif du point B est de même nature que le mouvement absolu dont il serait animé s’il était soumis à la même force attractive F émanant d’un point fixe. En effet, si l’on mène trois axes coordonnés par ce point fixe, et qu’on désigne par y, -, les coordonnées du point B par rapport à ces axes, et par r la distance qui le sépare de l’origine, on aura les équations différentielles suivantes, pour déterminer son mouvement absolu :

dl- m y

dV^ ~ m y

I^es équations différentielles ne diffèrent de celles qui déterminent le mouvement relatif du point B, par rapport aux axes

mobiles passant par le point A, qu’en ce que le facteur constant 1 1

multiplie les composantes de la force F, y est remplacé par le factenr-j^, . Les intégrales de ces deux systèmes

d’équations différentielles s’obtiendront donc de la même manière, et auront exactement la même forme.

Considérons en particulier le cas où la force F varie en raison inverse du carré de la distance des deux points A et B. Le mouvement relatif du point B par rapport à des axes de direction constante menés par le point A sera de même nature que celui que nous avions étudié dans le § ll2i. Dans ce mouvement relatif, le point B ne sortira pas d’un plan mené par la direction de

ÉQUIL. ET MOrV. RELATIFS D’t'N l'ÔlNT MATÉRIEL.

S.T vitesse relative initiale et par le point A ; et il décrira dans ce plan une section conique ayant le point A pour foyer.

§ 143. Lois de Képler; gravitation nniverselle. — L’étude approfondie du mouvement des planètes autour du soleil a conduit Képler à reconnaître que ce mouvement s’effectue d’après les lois suivantes :

Première loi. Les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont cet astre occupe un des foyers.

Deuxième loi. Les aires des portions d’ellipse parcourues successivement par le rayon vecteur qui joint une planète au soleil, sont entre elles comme les temps employés à les parcourir.

Troisième loi. Les carrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

C’est en partant de ces lois que Newton est arrivé à la découverte de la gravitation universelle. Nous allons voir comment cette grande loi de la nature peut se déduire de celles que Képler avait fait connaître.

Dans le système de Copernic, que les lois de Képler n’ont fait que compléter, on regardait le soleil comme fixe. Le mouvement des planètes autour du soleil, tel qu’il est défini par les lois de Képler, était donc considéré comme un mouvement absolu. Plaçons-nous d’abord à ce point de vue, et voyons quelles sont les conséquences qu’on peut en tirer. De ce que l’orbite de chaque planète est contenue tout entière dans un plan passant par le soleil et de ce que les aires décrites par le rayon vecteur qui joint la planète au soleil sont proportionnelles aux temps employés à les décrire, nous pouvons conclure immédiatement que la planète se meut sous l’action d’une force qui est constamment dirigée vers le soleil (§ 115). Chaque planète décrivant une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, il en résulte nécessairement : 1" que la force qui lui est appliquée tend à la rapprocher du soleil, puisque la concavité de sa trajectoire est tournée vers cet astre; *2“ que cette force varie en raison inverse du carré de la distance de la planète au soleil (§ 124). Enfin,

si nous désignons par T la durée de la révolution d’une planète autour du soleil, et par F la force qui détermine son mouvement ; et si, en outre, nous adoptons les notations du § 124, nous aurons

d’où

et par suite

mui fn

-jr--fT- • fi’

mais, d’après la troisième loi de Kepler, — a la môme valeur

pour les diverses planètes : donc, si toutes les planètes étaient ramenées à la même distance du soleil, les forces telles que F qui tendent à les rapprocher du soleil seraient proportionnelles à leurs masses. On peut résumer ces différents résultats, en disant que les forces qui déterminent le mouvement des planètes sont : 1® dirigées vers le soleil; 2"* proportionnelles aux masses des planètes; 3® inversement proportionnelles aux carrés des distances qui existent entre elles et le soleil.

Le mouvement de révolution de la lune autour de la terre, et celui des satellites de Jupiter, de Saturne, d’Uranus et de Neptune autour des planètes dont ils dépendent, montrent que ces diverses planètes exercent sur leurs satellites des actions analogues à celles que le soleil exerce sur les planètes ; elles peuvent donc attirer le soleil, tout aussi bien qu’elles sont attirées par lui, et aussi elles peuvent s’attirer mutuellement. On est conduit par là à l’idée d’une attraction s’exerçant d’une manière générale entre deux quelconques des corps qui font partie de notre système planétaire, et il est naturel d’admettre que cette attraction suit les lois que nous avons trouvées pour les actions exercées par le soleil sur les planètes.

Il est vrai que, dès que l’on admet que le soleil est attiré par

ÉQUIL. ET MOUV. HELATIFS D’GN POINT MATÉRIEL. 215

4es planètes qui rentourciit, on ne peut plus le regarder comme •fixe; il doit se mouvoir par suite des actions qu’il en éprouve, •et par conséquent les lois de Kepler se rapportent, non pas au ■mouvement absolu des planètes, mais à leur mouvement par rapport à des axes de direction constante menés par le soleil. Les déductions que nous avons tirées de ces lois, en regardant 'le soleil comme fixe, ne doivent donc pas être considérées •comme rigoureuses. Observons cependant que le mouvement relatif d’une planète par rapport au soleil, dans le cas où ces deux corps ne seraient soumis qu’à leurs actions mutuelles, doit s’effectuer suivant les mêmes lois que le mouvement absolu dont la planète serait animée si le soleil était fixe et qu’il exerçât sur elle la même force attractive (§ 11:2); en sorte que, si ce mouvement relatif satisfait aux deux premières lois que Képler a trouvées, il en serait de même du mouvement absolu dont il vient d’être question; et, par suite, on est en droit de • tirer de ces deux premières lois, reconnues vraies dans le mouvement relatif d’une planète autour du soleil, les conséquences •qu’on en a déduites en admettant que le soleil était fixe et que <*es lois s’appliquaient au mouvement absolu de la planète.

L’existence de plusieurs planètes autour du soleil fait que cette dernière considération ne peut pas être appliquée en toute rigueur, puisqu’on ne peut pas admettre que le soleil se meuve sous l’action d’une planète, sans céder en même temps aux .actions de toutes les autres. D’après cela, si les lois de Képler étaient rigoureusement vraies, les conséquences que nous en avons déduites en regardant le soleil comme fixe, ne seraient }>as exactes, et auraient besoin d’être modifiées. Mais il n’en est pas ainsi, et c’est précisément le contraire qui a lieu; les résultats auxquels nous avons été conduits, relativement aux forces d’attraction que le soleil exerce sur les planètes, sont exacts, tandis que les lois de Képler, qui nous ont servi de point ■ de départ pour arriver à ces résultats, ne sont qu’approchées. Voici l’idée qu’on doit se faire de la manière dont s’effectuent les mouvements des divers corps qui font partie de notre système .planétaire.

Deux portions quelconques de matière, appartenant à ce système, exercent l’une sur l’autre des actions attractives égales et contraires, dont l’intensité peut être représentée par

fmm

m et m’ étant les masses de ces deux portions de matière, r la distance qui les sépare, et f une quantité constante qui est l’attraction de l’unité de masse sur l’unité de masse à l’unité de distance; c’est en cela que consiste la loi de la gravitation universelle. Les dimensions du soleil. et des divers corps qui circulent autour de lui sont tellement petites par rapport à leurs distances mutuelles, qu’on peut les assimiler à autant de points matériels agissant les uns sur les autres, conformément à la loi que nous venons- d'énoncer : ce n’est guère que quand on s’occupe de la forme des planètes, et des phénomènes qui se passent à leur surface, (ju’il y a lieu de regarder ces corps comme formés par la réunion d’un grand nombre de parties entre lesquelles s’exercent des actions attractives satisfaisant à la même loi. Le mouvement de chacun des points matériels auxquels nous réduisons ainsi le soleil, les planètes et leurs satellites, est déterminé par la résultante des actions qu’il éprouve de la part de tous les autres; et par conséquent ce mouvement doit être très-complexe, en raison du grand nombre des points matériels qu’on a ainsi à considérer, et du changement continuel de leurs positions relatives. Mais la masse du soleil étant extrêmement grande par rapport aux masses de tous les autres corps, il s’ensuit que, d’une part, cet astre se déplace très-peu sous l’action des forces qui lui sont appliquées, de sorte que les choses se passent à peu près comme s’il était complètement immobile ; d’une autre part, la résultante de toutes les forces auxquelles une planète quelconque est soumise, ne diffère pas beaucoup de l’attraction qu’elle éprouve de la part du soleil, de sorte que la planète se meut à très-peu près de même que si le soleil agissait seul sur elle. C’est celte circonstance qui fait que Képler a pu trouver les lois qui portent son nom, lois qui seraient exactes si le soleil

était immobile et que .chaque planète ne fiit attirée que par cet aslre, mais qui ne sont qu’approchées, en raison du déplacement continuel du soleil, et des actions que chaque planète éprouve de la part de toutes les autres.

§ 144. La lune, satellite de la terre, étant beaucoup plus rapprochée de cette planète que du soleil, il en résulte que l’attraction qu’elle éprouve de la part de la terre n’est pas petite par rapport à celle qu’elle éprouve de la part du soleil; la petitesse de la masse de la terre, comparée à la masse du soleil, est en grande partie compensée par la grande promixité de la lune et de la terre. C’est ce qui fait que le mouvement de la lune autour du soleil est loin de satisfaire aux deux premières lois de Képler. Mais ce qu’il nous importe de connaître, c'est le mouvement de la lune autour de la terre, c’est-à-dire le mouvemenl relatif de ce satellite rapporté à des axes de direction constante passant par le centre du globe terrestre. Pour étudier ce mouvement relatif, on peut le traiter comme un mouvement absolu, pourvu qu’aux forces réelles qui agissent sur la lune on joigne la force d’inertie correspondant au mouvement d’entraînement (§ lil). Soient m, m\m\ lésinasses du soleil, delà terre et de la lune, d la distance du soleil à la terre, d' la distance du soleil à la lune, et s“ r la distance de la lune à la *

terre. La lune L, fig. 09, est soumise : 1" à l’attraction de la

terre T, dirigée suivant LT et égale — ; ^2° à l’attraction

... . fïrnïi"

du soleil S, dirigée suivant LS, et égale à - . La terre ï étant

, . fmm! fin'm" ,

soumise aux deux forces — dirigées respectivement

suivant les lignes TS, TL, l’accélération totale de son mouvement absolu est la résultante des accélérations di-

rigées suivant ces droites TS, TL; donc la force d’inertie de la lune, dans son mouvement d’entraînement, est la résultante de

deux autres forces qui sont : 1® une force égale à-^- — et diriez-

suivant la ligne LX parallèle à ST; 2® une force égale à

-Y- et dirigée suivant la ligne LT. Les forces, tant apparentes

que réelles, dont on doit tenir comi)te pour pouvoir traiter le mouvement relatif de la lune comme un mouvement absolu, .sont donc au nombre de quatre, savoir : 1® deu.v forces égales à

fm'm" fm"- , , . r m />

dirigées toutes deux suivant L1 ; 2” une force

•égale — , dirigée suivant LS; enfin une force égale à

fnim"

— , dirigée suivant LN. La distance LT ou r de la lune à

la terre étant environ quatre cents fois plus petite que la dis- •tancc TS ou d de la terre au soleil, il s’ensuit que les deux dernières forces n’ont jamais entre elles qu’une différence très-fai- ;blc, et que les directions de ces forces ne s’éloignent jamais lieaucoup d’être opposées l’iiiie à l’autre ; la résultante de ces lieux dernières forces est donc toujours très-petite, de sorte que la lune se meut à peu près comme si elle n’était soumise qu’aux deux premières forces. Or, il est aisé de voir que, si l’on ne tient •compte que de ces deux premières forces, on trouvera précisément le mouvement relatif dont la lune serait animée autour de Ja terre, si ces deux corps n’étaient soumis qu’à leurs actions mutuelles; et par conséquent ce mouvement s’elîectnera con-’ formément aux deux premières lois de Kepler (§ 142). La résultante des deux autres forces, dont on néglige ainsi l’action dans une première approximation, constitue ce qu’on nomme la force perturbatrice du mouvement de la lune; elle a pour effet de faire prendre à la lune un mouvement un peu différent du mouvement elliptique dont elle serait animée sans cela, par rapport aux axes de direction constante mené par le centre de la terre.

Dans ce qui précède, nous n’avons pas tenu compte des actions que la lune et la terre éprouvent de la part des planètes autres que la terre. A la rigueur, on doit en tenir compte, et cela ne présente pas plus de difficulté que ce que nous avons fait en ne

ÉQl’lL ET MOUV. RELATIFS DXN POINT MATÉRIEL. 219

considérant que les actions du soleil sur ces deux corps; mais il n’en résulte qu’une modification peu importante de la force perturbatrice du mouvement de la lune.

Le mouvement relatif de la lune autour de la terre s’effectuant à peu près de la meme manière que si ces deux corps n’étaient soumis qu’à leurs actions mutuelles, et la masse m" de la lune ■<Uant petite par rapport à la masse m' de la terre, puisque leur .

în" 1

.rapport— y est égal à—, on peut regarder l’accélération totale

‘M oo

dans le mouvement relatif de la lune comme sensiblement égale à

Cette accélération n’est donc autre chose que celle qui est

ilue à l’attraction de la terre sur un corps placé à la distance o se trouve la lune. Or, la lune emploie 27^,321001 ou 2300502 secondes, à faire un tour entier autour de la terre ; si l’on regarde .son mouvement comme circulaire et uniforme, ce qui n’est pas 'très-loin de la vérité, et qu’on prenne le rayon de son orbite égal à 00 fois le rayon de la terre, on en déduit que sa vitesse est de 1010™, 7 par seconde; en divisant le carré de cette vitesse par le rayon de l’orbite, on a 0™, 0027001 pour l’accélération du mouvement lunaire : il suffit dès lors de multiplier ce dernier nombre par le carré de 00, pour avoir l’accélération produite par l’attraction de la terre sur un corps placé près de sa surface. Le résultat de cette multiplication est 0™,7i21, qui ne diffère pas beaucoup de l’accélération g due à l’action de la pesanteur dont la valeur est 9™, 8088. Si l’on observe que nous avons raisonné en ne tenant pas compte de l’effet produit par la force perturbatrice due au soleil, en négligeant la masse de la lune par rapport à celle de la terre, et en regardant le mouvement de la lune <iomme circulaire et uniforme, on comprendra que cela peut suffire pour expliquer la différence entre les deux nombres que nous venons de comparer. On reconnaît en effet que, si l’on a égard aux causes d’erreur que nous signalons et à quelques autres dont nous avons parlé, il y a identité complète entre l’accélération g des corps qui tombent près de la surface de la terre, et la valeur que l’on trouve pour cette accélération en la

déduisant du mouvement de la lune d’après la loi de la gravitation universelle. La pesanteur à la surface de la terre n’est donc qu’un cas particulier de cette gravitation universelle à la connais.sance de laquelle Newton a été conduit en parlant de.s lois de Képlcr.

§ 145. On comprend très-bien que l’on puisse négliger les dimensions du soleil et des planètes, et assimiler les divers corps à de simples points matériels, quand on ne considère que les attractions qu’ils exercent les uns sur les autres, parce que leur.'^ distances mutuelles sont très-grandes par rapport à leurs dimensions; on comprend encore qu’on puisse agir ainsi quand on s'occupe de l’attraction de la terre sur la lune ; mais quand ou en vient à considérer l’allraction que la masse entière de la terre exerce sur un corps placé h sa surface, comme nous l’avon.^i fait il n’y a qu’un instant, il n’est évidemment plus permis de faire abstraction des dimensions de la terre. Nous allons voir cependant qu’on est en droit de raisonner, même dans ce dernier cas, comme si toute la masse de la terre était réunie en son centre. Pour cela nous allons déterminer la résultante des attractions que les diverses parties d’un corps sphérique homogène, ou formé de couches sphéri([ues concentriques homogènes, exercent sur un point matériel.

Considérons d’abord une couche sphérique homogène C,

fig. 70, et supposons que lépoint matériel .attiré A soit en dehors de celte couche. Nous raisonnerons comme si la matière existait d’une manièn*continue dans la totalité du volume occupé par la couche C, sans qu’aucun espace vide existe entre les diverses parties matérielles qui la constituent; et eu décomposant cette couche en éléments de dimensions infiniment petites dans tous les sens, nous regarderons ces divers^ éléments comme autant de points matériels dont les masses sont proportionnelles à leurs volumes. Soient U le rayon e.xtérieur de la couche, R' son ravon intérieur, a la distance de son centre (b

ÉyUlL. ET MOi:V. RELATIFS D’UN POINT MATÉRIEL. 221

au point A, V la distance d’un point quelconque M au point 0, 0 l’angle MOA, f l’angle que le plan MOA fait avec un plan fixe mené par AO, m la masse du point matériel A, et la masse de la matière contenue dans l’unité de volume de la couche C. Un élément de volume, correspondant aux variations dr, dOy des trois coordonnées polaires du point M, est représenté par

r- siii 6 dr dô dv ;

la masse de la matière que cet élément de volume renferme est donc égale à

pr- sin 6 dr d(t dv ;

d’après cela, on a pour l’expression de l’attraction que cet élément matériel exerce sur le point A (§ 143)

/>«pr" sinO dr d^ d<f a- + r- — cos 6

Décomposons cette force en deux composantes dirigées, l’une suivant AO, l’autre suivant une ligne AB perpendiculaire à AO; si nous désignons l’angle MAO par «, nous aurons

fnifr- sin 0 cos a dr d<i (i- + — 2«r cos 6

pour la première de ces deux composantes. En raison de la symétrie du système par rapport à la ligne AO, il est clair que la résulüinte des attractions que toutes les parties matérielles de la couche C exercent sur le point A, sera dirigée suivant cette ligne AO, et qu’en conséquence elle sera égale à la somme des composantes, telles que celle dont nous venons d’écrire la valeur : toutes les autres composantes dirigées perpendiculairement à AO, se détruiront mutuellement, en sorte que MOUS n’avons pas besoin de nous en occuper. Nous aurons donc, pour l’attraction totale F exercée par la couche C sur le point matériel A,

fiir^r- sin fl cos a do n- + r- —

Effectuons d’abord l’intégration relative à (}j, et nous aurons, en observant que f, m et,o sont constants,

r- siii 6 cos a rfô a- + r- — 2ar cos 0

Pour faire une seconde intégration, dans laquelle ;• sera regardé comme constant, substituons à 0 une autre variable u représentant la distance AM. Nous aurons

et par suite

«2 — ^ f.2 — <2nt' cos 0,

sia 6d0

7/ (lu

on a d’ailleurs

a — ?• cos 0 cos a =

de sorte que, si nous observons que les valeurs de u correspondantes aux limites de 0 sont a — 7’ et a -|- nous pourronsmettre la valeur de F sous la forme

L’intégration relative à u étant effectuée, on aura

et enfin, en intégrant par rapport à r, on trouvera

•iTr/^wp (H^— IP)

valeur qui se réduit à

ÉQLIL. ET MOUV. KELATIFS D’UN POINT MATÉIUEL.

si l’on désigne par M la masse de la couche attirante, car cette masse est évidemment égale à

On voit par là que la résultante des attractions exercées sur le point matériel A, par les diverses parties matérielles qui composent la couche C, est exactement la même que l’attraction' que ce point A éprouverait de la part d’un point matériel qui se trouverait en O et dont la masse serait égale à celle de la couche C.

Si le point attiré A était à l’intérieur de la couche attirante C, le calcul de l’attraction de la couche sur le point A se ferait exactement de la même manière; seulement, quand on en viendrait à l’intégration relative à «, on devrait prendre r — a et r -j- a pour les limites des valeurs de cette variable, au lieu de rt — r et a r que nous avons pris précédemment : il s’ensuit que le résultat est très- différent, et que l’on trouve

Les actions que les diverses parties matérielles de la couche C exercent sur un point matériel situé à son intérieur se font donc équilibre, et ce point se trouve dans les mêmes conditions que si ces parties matérielles dont- la couche C est formée n’exerçaient aucune attraction sur lui.

Supposons maintenant que le corps attirant soit formé de couches sphériques concentriques et homogènes, la densité pouvant d’ailleurs varier d’une manière quelconque d’une couche à une autre. Nous pouvons dire de suite que : 1° si le point attiré n’est pas situé à l’intérieur de la surface du corps attirant, l’attraction qu’il éprouvera sera la même que si toute la masse de ce corps était concentrée en son centre de figure, puisque cela a lieu pour chacune des couches dont le corps se compose ; 2® si le point attiré est situé à l’intérieur de la surface du corps attirant, les couches qui l’environnent n’auront aucune action sur lui, et l’attraction totale à laquelle il sera soumis sera la

même que si ces couches extérieures étaient supprimées et que le reste du corps fût concentré à son centre de figure.

La terre ayant à peu près la forme d’une sphère, et les .matières qui la composent étant probablement distribuées à son intérieur, de manière à former à peu près des couches sphériques concentriques homogènes, on voit qu’on est en droit, jusqu’à un certain point, de regarder l’attraction qu’un point matériel éprouve de la part de la terre comme étant la même que si toute la masse de la terre était réunie en son centre. C’est ce que nous avons fait, lorsque nous avons cherché à reconnaître si la pesanteur terrestre n’était pas un effet particulier de cette gravitation universelle, à laquelle sont dus les mouvements des divers corps de notre système planétaire (§ 144). Cependant le défaut de sphéricité parfaite des couches homogènes dont on peut concevoir que la terre est formée; fait que les choses ne se passent pas tout à fait ainsi : l’intensité et la direction de l’attraction totale qu’un point matériel éprouve de la part de la terre, sont réellement un peu différentes de ce qu’elles seraient si la masse entière de la terre était concentrée en son centre.

§ Équilibre eC mouvement des corps A la sur-

lace de la terre. — ün corps qui nous paraît en repos à la surface de la terre, n’est qu’en équilibre relatif, puisque la terre se meut dans l’espace. De même, lorsqu’un corps nous paraît se tléplacer par rapport aux objets terrestres qui nous environnent et que nous jugeons immobiles, le mouvement du corps, tel que nous le voyons, n’est qu’un mouvement relatif. Cherchons à nous rendre compte du rôle que jouent dans ce cas les forces apparentes que l’on doit joindre aux forces réelles, pour que l’équilibre et le mouvement relatifs dont il s’agit puissent être traités comme un équilibre et un mouvement absolus.

Nous supposerons d’abord que la terre ne soit animée que de son mouvement de rotation autour de la ligne des pôles; nous verrons ensuite comment les résultats que nous allons obtenir dans cette hypothèse, doivent être modifiés, pour tenir compte du déplacement du centre de la terre dans l’espace.

Lorsqu’un corps, que nous réduisons toujours par la pensée à

un point matériel, repose sur une table ou sur le sol, il doit y avoir équilibre entre toutes les forces qui lui sont appliquées, y compris la force apparente qu’on doit joindre aux forces réelles* pour que l’équilibre relatif puisse être assimilé à un équilibre absolu (§ 140). Le mouvement d’entraînement du corps, dû à la rotation de la terre autour de son axe, est un mouvement circulaire et uniforme; la force apparente dont il s’agit se réduit donc à la force centrifuge correspondante à ce mouvement, et a pour valeur

moih',

en désignant par m la masse du corps, par w la vitesse angulaire de la terre dans son mouvement autour de la ligne des pôles, et par r la distance du corps que l’on considère à cette ligne. Quant aux forces réelles qui -agissent sur ce corps, ce sont : 1® l’attraction qu’il éprouve de la part de la terre ; 2® la pression qui est exercée sur lui de bas en haut par la table ou le sol qui le supporte. Ces deux forces réelles et la force centrifuge nioi^r se faisant équilibre, on en conclut que la pression exercée par la table ou le sol sur le corps est égale et directement opposée à la résultante de la force centrifuge et de l’attraction qu'il éprouve de la part de la terre. Cette résultante n’est donc autre chose que ce que nous nommons le poids du corps. Ainsi on ne doit pas confondre le poids d’un corps avec l’attraction que ce corps éprouve de la part de la terre; le poids s’obtient en composant cette attraction avec la force cen trifuge due à la rotation de la terre.

Les mêmes considérations s’appliquent à l’équilibre relatif d’un corps suspendu à l’extrémité inférieure d’un fil dont l’extrémité supérieure est fixe. La direction du fil à plomh, c’est-à-dire ce qu’on nomme la verticale^ est précisément la direction de cette résultante de l’attraction de la terre et de la force centrifuge. La force centrifuge est dirigée suivant le prolongement du rayon du cercle que le corps décrit autour de l’axe du monde, en vertu de la rotation delà terre; elle fait donc en général un

angle plus ou moins grand avec l’altraclion de la terre sur le

corps, puisque cette 'attraction est à peu près dirigée vers le ' centre du globe terrestre ; il s’ensuit que la résultante de ces deu.\ forces a généralement une direction différente de celle de chacune des composantes. La verticale d’un lieu quelconque de la surface de la terre n’a donc pas la même direction que si la terre était immobile : ce n’est qu’aux pôles et tout du long de l’équateur que la direction de la verticale n’est pas changée par l’effet de la rotation de la terre.

La terre employant 8G1C4 secondes (durée du jour sidéral) à faire un tour entier autour de son axe, on a

Stt

“ “ 8ÏÏÏÏÎ4

D’après la valeur du rayon de la terre exprimé en mètres, l’accélération due à la force centrifuge a pour valeur, à

l’équateur,

Si l’on compare cette accélération à celle qui est due au poids du corps, et que nous désignons habituellement par la lettre on trouve qu’elle est environ 289 fois plus petite que cette dernière accélération. La force centrifuge, qui est plus grande à l’équateur qu’en tout autre point de la terre, n’est donc qu’une petite fraction du poids du corps, c’est-à-dire de la force qu’on obtient en composant cette force centrifuge avec l’attraction de la terre sur le corps. On en conclut nécessairement que la force centrifuge est également trè.s-pctite par rapport à cette attraction ; en sorte que la rotation de la terre n’a qu’une influence assez faible sur l’intensité de la pesanteur et sur la direction de la verticale. Observons à cette occasion que, 289 étant le carré de 17, il suffirait que la terre tournât environ 17 fois plus vile, pour que la force centrifuge développée sur un corps quelconque, à l’équateur, fût égale à l’attraction que la terre exerce sur lui, c’est-à-dire pour que le poids de ce corps se réduisît à zéro.

§ 147. Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu’on laisse

Î.Q\:il. ET MOUV. RELATIFS D’UN POINT MATÉRIEL. 227

tomber un corps à la surface de la terre, sans lui donner de vitesse initiale. Nous allons voir que ce corps commence à se mouvoir suivant la verticale menée par son point de départ, et qu’ensuite il s’en écarte peu à peu, à mesure que sa vitesse iiugmente.

Pour traiter le mouvement du corps comme un mouvement 4ibsolu, nous devons joindre à la force qui agit réellement sur lui, c’est-à-dire à l’attraction qu’il éprouve de la part de la terre, deux forces apparentes qui sont : 1“ la force centrifuge correspondant au mouvement circulaire et uniforme dont le corps serait animé s’il restait immobile par rapport à la terre, dans la position qu’il occupe à l’instant que l’on considère ; 2® la force eentrifuge composée. L’expression de celte dernière force contenant la vitesse relative du mobile en facteur, on voit qu’elle est nulle au départ de ce mobile, et qu’elle prend ensuite une valeur de plus en plus grande à mesure que la vitesse du mobile croît. Au commencement, le mouvement semble donc produit par la résultante de l’attraction de la terre sur le corps, et de la force centrifuge due à la rotation de la terre ; c’est la force que nous désignons sous le nom de poids du corps, et dont la direction est indiquée par le fd à plomb (§ 146), qui se manifeste seule dans les circonstances que présente le mouvement à son origine. D’après cela, le corps commence à tomber suivant la verticale de son point de départ, et l’accélération g qu’il reçoit tout d’abord dans sa chute apparente, est celle qu’une force égale à son poids P lui communiquerait. Ainsi le poids P, qui n’est pas la force réellement appliquée au corps, est lié à l’accélération g de son mouvement apparent, par la relation

= mg.

Cette relation avait été établie tout d’abord dans l’hypothèse de l’immobilité delà terre (§98). Il était nécessaire démontrer qu’elle est encore vraie lorsqu’on rentre dans la réalité, quoique P ne soit pas la force qui agit réellement sur le corps, et que g ne soit pas l’accélération de son mouvement absolu. Mais il faut observer que, pour qu’il en soit ainsi, on doit prendre pour g l’accélération qui

se présente clans les premiers instants de la chute apparente du corps.

. Lorsque le corps qui tombe est déjà en mouvement, la force centrifuge composée n’est pas nulle : elle dérange le corps de la verticale suivant laquelle il a commencé à se mouvoir. Pour nous rendre compte de l’effet qu’elle produit, et que l’on a pu constater par l’expérience, malgré sa petitesse, nous déterminerons la grandeur et la direction de cette force centrifuge composée, comme si le mouvement apparent du corps était rigoureusement un mouvement rectiligne et uniformément accéléré, s’effectuant suivant la verticale menée par son point de départ. Soit M, fig. 71, la position qu’occupe le corps à un instant quelconque, après être tombé de la hauteur AM. Menons par le point M une droite MP parallèle à l’axe du monde. Nouspouvons regarder la rotation élémentaire de la terre, pendant un élément de temps compté à partir de l’instant que nous considérons, comme résultant de la composition d’une rotation élémentaire égale et de même sens autour de la ligne MP, et d’une translation ayant môme grandeur, même direction et même sens que le déplacement élémentaire du point M, supposé invariablement lié à la terre. Si nous observons que la vitesse apparente du corps en M est égale à gt {t étant le temps compté à partir de l’origine du mouvement), et que l’angle formé par la direction MN de cette vitesse avec l’axe de rotation MP est le complément de la latitude ). du lieu auquel correspond la verticale AM, nous verrons que la force centrifuge composée a pour valeur

'inuogt cos X ;

si nous observons de plus que le plan PMN est le méridien du lieu, et que, dans la rotation élémentaire du globe terrestre autour de MP, l’extrémité N de la ligne MN qui représente la vitesse apparente du mobile marche vers l’ouest, nous en conclu-

l’ons que cette force centrifuge composée est dirigée suivant la perpendiculaire au méridien du lieu, et qu’elle tend à entraîner le mobile vers l’est (§139). La force dont il s’agit doit donc déranger le corps du mouvement qu’il a commencé à prendre suivant la verticale de son point de départ; elle doit produire une déviation vers l’est : nous allons calculer la grandeur de cette déviation. Pour cela, considérons la projection du mouvement du corps sur un plan horizontal; la projection de la force totale qui produit le mouvement apparent du corps sera précisément la force centrifuge composée, et le déplacement que celte force projetée communiquerait, pendant tout le temps de la chute, à un point matériel partant du repos et ayant môme masse que le corps, sera égal à la déviation clierchée (§ li l). L’équation ditférenlielle de ce mouvement projeté est

dt^

"ioigt cos X.

Si l’on intègre et qu’on détermine les constantes de telle manière que X et ^ soient nuis pour t = ü, on trouve

* n - X = - tùgP cos A.

Liifin, si l’on remplace le temps t par sa valeur en fonciioii ue la hauteur h dont le corps est tombé, valeur qui est

on a pour l’expression de la déviation vers l’est

cos X.

Appliquons cette formule à des expériences qui ont été faites par M. Reich, dans un puits de mine, à Freyberg. La hauteur de chute h était de 158"*, 5; la latitude X du lieu était de 51®; en introduisant ces nombres dans la formule précédente, ainsi que la valeur connue de g (§ 90) et celle de que nous avons donnée précédemment (§ 146), on trouve 0***,027G pour la déviation x; .l’expérience, répétée un grand nombre de fois, a donné pour

cette déviation, en moyenne, 0“‘,0283 qui diffère à peine du résultat fourni par la théorie.

Le calcul de la déviation vers l’est, due à la force centrifuge composée, dans le mouvement d’un corps qui tombe sans vitesse initiale, vient de nous montrer que Feffet de cette force esl très-faible, même lorsque lé corps tombe d’une grande hauteur. Nous pouvons observer d’une manière générale que, dans le mouvement apparent d’un corps à la surface de la terre, la force centrifuge composée a pour valeur

' ^ ■ . 2//iwr siii

en désignant par m la masse du corps, par v sa vitesse apparente et par « l’angle que la direction de cette vitesse fait avec l’axe du monde; qu’en conséquence cette force, au plus égale à ne pourrait devenir égale à la force centrifuge wiwV due à la rotation de la terre, en un point situé à l’équateur, qu’autant que la vitesse v surpasserait -wr, qui est la moitié de la vitesse d’un point de l'équateur terrestre en vertu de la rotation du globe, c’est-à-dire qu’autant que la vitesse v serait de plus de 230 mètres par seconde : on voit donc que, généralement, la force centrifuge composée pourra être négligée dans l’étude du mouvement d’un corps à la surface de la terre, à moins que la vitesse apparente de ce corps ne soit extrêmement grande.

§148. Appliquons encore la .théorie des forces apparentes dans le mouvement relatif, à l’étude du mouvement d’un pendule conique à la surface de la terre, en supposant toujours que le globe terrestre n’est animé que d’un mouvement de rotation autour de la ligne des pôles.

Le corps qui termine le pendule peut être regardé comme étant un point matériel assujetti à rester sur la surface, d’une sphère. Rapportons son mouvement à trois axes coordonnés rectangulaires menés par le centre de cette sphère, et comptons les Z verticalement et de haut en bas, les $ suivant la trace horizontale du plan méridien et du nord au sud, enfin les y suivant une direction horizontale perpendiculaire à la précédente et de l’ouest à l’est. Les forces dont nous devons tenir compte, pouç

ÉQüIL. ET MOUV. RELATIFS D’UN POINT MATÉRIEL. 231

assimiler le mouvement apparent du point matériel qui termine le pendule à un mouvement absolu, sont au nombre de quatre savoir : 1® deux forces réelles, qui sont l’attraction de la terçe, et la tension du fil ; 2® deux forces apparentes, qui sont la force centrifuge due à la rotation de la terre, et la force centrifuge composée. L’attraction de la terre, et la force centrifuge due à la rotation de la terre, ont pour résultante le poids du corps, qui est dirigé verticalement et égal à mg. Les forces que nous devrons introduire dans les équations différentielles du mouvement du point mobile se réduisent donc à trois, savoir : 1® le poids mg^ qui agit dans le sens des z positifs ; 2® la tension du fil, que nous désignerons par N, et dont les composantes parallèles aux axes sont .

3® enfin, la force centrifuge composée qui a pour valeur 2mwî; sin a, et dont nous allons chercher les composantes parallèles aux axes.

Soient n, c, les angles que cette force centrifuge composée fait avec les axes des ar, des y et des z ; iiy iti, les projections de la vitesse v du mobile sur ces axes; et X, la latitude du lieu. La force centrifuge composée devant être perpendiculaire à la direction de la vitesse r, il s’ensuit qu’on a

n cos a Vi cos b + ?/, cos c = 0 ;

cette force devant également être perpendiculaire à la direction de l’axe du monde, qui fait avec les axes des r, des y cl des Zy

des angles respectivement égaux à X, 0, — X, on a encore

cos X cos a + sin X cos c = 0 ;

enfin on a toujours, entre les cosinus des angles qu’une droite fait avec trois axes rectangulaires, la relation

COS" a 4- cos- b + cos- r = 1 .

En résolvant ces trois équations par rapport à cos a, cos b, cos c, on trouve

sinX

+ («2 COS X — U sin X)-

, «ocosx — «sinX

cos 0 = -- ^ ■ . -■->

V w,- + («2C0SX — î<siiix)-

— U. cos X

cos c = — - - -

V + (»2 cos X — « sin X)-

Le signe du radical qui entre dans ces trois cosinus doit être déterminé d'après le sens dans lequel agit la force centrifuge composée. Pour y arriver simplement, supposons que la vitesse v du mobile soit dirigée parallèlement à Taxe des x et dans le sens des x positifs : w, et seront nuis, et u sera positif. Or, il est aisé de voir, d’après le sens dans lequel s’effectue la rotation de la terre, que, dans ce cas, la force centrifuge composée doit être dirigée vers l’ouest, c’est-à-dire dans le sens des tj négatifs : cos a et cos c doivent donc être nuis, et cos b doit être égal à — 1, ce qui exige que le radical soit pris avec le signe +.

D’un autre côté, l’angle « que la vitesse v du mobile fait avec l’axe du monde, est déterminé par la relation

cos 7. = - cos X H — sin a ; V V

on en déduit

V sin a = -f cos X — u sin X)-,

D’après cela, les trois composantes de la force centrifuge composée suivant les axes coordonnés sont

ÜWü-ît, sin X, (wj cos X — « sin x), — cos X.

Il résulte de tout ce qui précède que les équations différentielles du mouvement du point matériel qui termine le pendule sont lès suivantes :

On doit observer que les quantités m, w,, sont respeclive-

. . , , dx dydz

ment ^ ^ ^ ♦ ^intégration de ces équations dif-

l'érenlielles, auxquelles on devra joindre l’équation

fera connaître le mouvement apparent du pendule conique.

Les équations différentielles auxquelles, nous venons de parvenir, vont nous permettre d’expliquer la rotation du plan d’oscillation du pendule, telle qu’on l’observe dans la belle expérience de M. Foucault. Pour cela, éliminons N entre les deux premières équations, et nous trouverons, en remplaçant u, «,,^2, par leurs valeurs.

d^ff

!/ -^ = + 2(0 sin X .

+ 2tocosX.o;

Le dernier terme de cette équation, contenant cos > en facteur, est nul aux pôles de la terre; en tout autre point de la surface du globe, il peut être négligé, si les oscillations du pendule n’ont

iju’une petite amplitude, à cause du facteur qui est très-petit :

tvlf

après la suppression de ce terme, l’équation est immédiatement intégrable et donne

dæ

= — (0 sin X {x- + y^) -H C,

en désignant par C une constante arbitraire. Le pendule ayant été mis en mouvement de manière qu’à chaque oscillation il vienne coïncider avec la verticale de son point de suspension, on voit que la constante C doit être nulle, puisque l’équation qui ia renferme doit être satisfaite quand on y suppose x = 0 et y = 0. Remplaçons les coordonnées rectangulaires x et y par ies coordonnées polaires r" et ô liées aux premières par les relations

Æ = rcosO, »/=prsin6, et l’équation dont il s’agit se réduit à