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Si l’on remplace la force F par les deux composantes dont oit vient de parler, la première de ces composantes sera détruite par la force F' qui est déjà appliquée au point B en sens contraire, et il ne restera plus que la force F — F' appliquée au point C : cette dernière force est donc la résultante des deux forces données F, F'.

Ainsi deux forces parallèles et de sens contraires, appliquées à un solide invariable, ont une résultante égale à leur différence, dirigée dans leur plan, parallèlement à chacune d’elles, et agissant dans le sens de la plus grande des deux composantes; et, si l’on observe que, de la proportion écrite ci-dessus, on déduit cette autre proportion

CA F cil “ F ’

on peut dire que le point d’application G de cette résultante est situé sur le prolongement de la droite AB, du côté du point d’application A de la plus grande composante, et qu’il est éloigné des points A et B de quantités inversement porportionnelles aux forces qui sont appliquées à ces points.

Il est aisé de voir que ce que nous venons de dire, relativement à la composition de deux forces parallèles et de sens contraires, suppose essentiellement que ces deux forces sont inégales. Si l’on voulait passer de là au cas particulier où les deux forces sont égales, en supposant que la plus grande des deux décroît progressivement jusqu’à devenir égale à la plus petite, on trouverait que, dans ce cas particulier, la résultante est nulle et a son point d’application à une distance infinie des points d’application des deux composantes : cela signifie évidemment que les systèmes de deux forces égales, appliquées à un solide invariable, suivant des directions parallèles, et en sens contraire l’uiie de l’autre , ne peut pas être remplacé par une force unique, c’est-à-dire que ces deux forces n’ont pas de résultante. Un pareil système de forces constitue ce qu’on nomme un couple.

§ 157. Considérons maintenant un nombre quelconque de forces parallèles, appliquées en différents points d’un solide invariable, e*t cherchons à déterminer la résultante de toutes ces forces, s’il y en a une.

Si toutes les forces parallèles dont il s’agit sont dirigées dans un même sens, on trouvera leur résultante en opérant de la manière suivante. On composera d’abord deux des forces données, F et F', par exemple, fig. 77, en une seule force R,, qui sera égale à F -f- F', et dont le point d’application Lj divisera la ligne

AB en deux parties inversement poportionnelles aux forces F et F'; puis on composera cette résultante partielle Rj avec une troisième des forces données, avec F'' par exemple, ce qui donnera une deuxième résultante partielle R^ égale à Rj -f- F" ou bien à F F' -|- F'', et appliquée en un point L, tel que Lj, et CL^ soient inversement proportionnels à R, et F^ ; ensuite on composera la deuxième résultante partielle R, avec une quatrième force F'"; et ainsi de suite. Il est clair que, en continuant de cette manière, on arrivera toujours à une force unique R qui pourra tenir lieu de toutes les forces données, et qui sera • par conséquent la résultante de ce système de forces. Cette résultante R sera égale à la somme des composantes F, F', F'',..., parallèle à chacune d’elles, et dirigée dans le même sens; son point d’application se déduira de la série des opérations qui déterminent successivement les divers points d’application L,, L,,.,. des résultantes partielles R,, Rj...

Si les diverses forces parallèles qu’on se propose de composer entre elles ne sont pas dirigées toutes dans le meme sens, on les partagera en deux groupes formés, l’un de celles qui agissent dans tiii seiis, Taulre de celles qui agissent dans le sens opposé. Toutes les forces du premier groupe pourront être remplacées, d’après ce que nous venons de dire, par une force unique R' égale à leur somme, dirigée parallèlement à chacune d’elles, et dans le même sens; il en sera de même des forces du second groupe, auxquelles ont pourra substituer une force R'" égale à leur somme, parallèle à leur direction commune, et de même •sens qu’elles. Ces deux résultantes partielles R', R", qui peuvent remplacer l’ensemble des forces données, et qui sont parallèles

’ et de sens contraires, peuvent en général se composer à leur

tour en une 'seule force R égale à leur différence, agissant parallèlement à chacune d’elles, et dans le sens de la plus grande des deux (§ 156) : la force R ainsi obtenue est la résultante de toutes les forces données. Dans le cas particulier où les résultantes partielles R', R" seraient égales entres elles, sans agir suivant' la même ligne droite, on ne pourrait pas les remplacer par une force unique, et alors le système des forces données

se réduirait à un couple formé par les deux forces R', R". Si les deux forces R', R" étaient égales et agissaient suivant la même ligne droite, comme elles sont de sens contraires, elles se détruiraient mutuellement, ce qui revient à dire qu’elles auraient une résultante nulle : le svstème des forces données aurait donc

une résultante nulle.

§ 158. lliéorème des moments d*un système de forces parallèles par rapport à un plan. — * NouS avons VU (§ 103) que le moment de la résultante de deux forces appliquées à un point, par rapport à une droite quelconque, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à la même droite. Celte proposition est d’ailleurs applicable au cas de deux forces appliquées en deux points différents d’un solide invariable, suivant des directions concourantes (§ 154); et par suite on peut l’appliquer au cas de deux forces parallèles et lie même sens, qui est compris comme cas particulier dans le précédent (§ 155).

• Supposons que nous choisissions la droite D, par rapport. à laquelle nous prenons les moments de deux forces parallèles et de môme sens F, F', et de leur résultante R, de telle manière que sa direction fasse un angle droit avec celle des forces; imaginons en outre que nous menions par cette droite D un plan P parallèle aux directions des forces F, F', R. 11 est aisé de voir que le moment de l’une quelconque de ces forces, de ,1a force F par exemple, par rapport à la droite D, n’est autre chose que le produit de la force F par la distance de sa direction au plan P : -t'.e produit est ce qu’on nomme le moment de la force F par rapport au plan P. On peut donc dire, d’après la proposition qui a été rappelée ci-dessus, que le moment de la résultante R par rapport au plan P est égal à la somme des moments des composantes F, F', par rapport à ce plan. C’est en cela que consiste le théorème des moments par rapport à un plan, pour le cas de deux forces parallèles et de même sens. Ce théorème est vrai, quelle que soit la position du plan P relativement aux droites suivant lesquelles agissent les forces F, F', R, et auxquelles il <ist parallèle, pourvu qu’on attribue un signe convenable au mo-

ment de cliacune des forces par rapport à ce plan. La manière dont ce signe doit être déterminé, résulte de ce qui a été dit (§ 103) relativement au signe qu’on doit attribuer au moment d’une force par rapport à une droite : il est aisé de voir que le moment d’une force par rapport à un plan parallèle à sa direction doit être affecté du signe -|- ou du signe — , suivant que la force est placée d’un côté ou de l’autre du plan.

Après avoir établi le théorème qui précède, dans le cas de deu.x forces parallèles et de même sens, nous allons l’étendre au cas d’un système quelconque de forces parallèles. Pour cela nous considérerons d’abord le cas de deux forces parallèles et de sens contraires F, F', fig. 70 (page ^iO). Nous savons que la résultante K de ces deux forces s’obtient en décomposant la force F, que nous supposons plus grande que F', en deux composantes parallèles et de môme sens, dont l’une, égale à F', soit appliquée au point B, et l’autre soit appliquée en un point G convenablement choisi sur le prolongement de la ligne BA : cette seconde composante de la force F est précisément la résultante cherchée R. Nous pouvons donc dire que le moment de la force donnée F, parrap^port à un plan quelconque P parallèle à sa direction, est égal au moment de la résultante R par rapport à ce plan P augmenté du moment d’une force égale et directement opposée à la seconde force donnée F' par rapport au même plan ; ou en d’autres termes, le moment de la résultante R, par rapport au plan P, est égal au moment de la force F par rapport à ce plan, diminué du moment d’une force égale et contraire à la force F', par rapport à ce plan P. Mais si nous convenons de regarder les moments de deux forces de même direction et de sens opposés, par rapport à un même plan parallèle à leur direction commune, comme étant de signes contraires, nous pourrons modifier ce dernier énoncé, et dire que le moment de la résultante R par rapport au plan P, est égal à la somme des moments de ses deux composantes F, F' par rapport à ce plan. Le théorème établi pour le cas de deux forces parallèles et de même sens se trouve donc vrai aussi dans le cas de deux forces parallèles et de sens contraires, au moyen de la convention que nous venons de faire

relalivcment aux signes des moments des forces qui agissent dans des sens opposés.

Le moment de la résultante de deux forces parallèles, par rapport à un plan parallèle à leur direction, étant toujours égal à la somme des moments des composantes par rapport à ce plan, soit que les composantes agissent dans un même sens, soit qu’elles agissent dans des sens contraires, on en conclut nécessairement que le moment de la résultante d’un système quelconque de forces parallèles, par rapport à un plan quelconque parallèle à leur direction, e.st égal à la somme des moments des diverses composantes, par rapport à ce plan. 11 suffit pour cela d’observer que l’on trouve la résultante d’un pareil système de forces en effectuant successivement, et un nombre convenable de fois, la composition de deux forces parallèles de même sens ou de sens contraires (§ 157), et d’appliquer le théorème des moments, établi précédemment, à chacune de ces compositions successives.

Pour donner aux moments de diverses forces parallèles de même sens ou de sens contraires, par rapport à un plan P parallèle à leur direction, les signes qu’on doit leur attribuer d’après les conventions établies, on peut opérer de la manière suivante. On considérera la distance de la direction d’une force au plan P, auquel cette force est parallèle, comme étant positive ou négative, suivant que cette direction est d’un côté ou de l’autre du plan ; on considérera en outre la force elle-même comme étant positive ou négative, suivant qu’elle agit dans un sens ou dans le sens opposé; le produit de la force par la distance de sa direction au plan P se trouvera par là -aflecté du signe -|- ou du signe — , suivant les cas, et il est aisé de s’assurer que son signe sera toujours celui qu’il doit avoir, d’après^ les conventions établies précédemment.

§ 159. Réduction d’un système quelconque de forces À deux forces. — , Un système . quelconque de forces, appliquées à un solide invariable, peut toujours être remplacé par deux forces seulement, dont une agit sur un point choisi à volonté.