CHAPITRE PREMIER

§ i50. Constitution molêcnlaire des corps. — Tout llOUS porte à regarder les corps comme des assemblages de molécules, placées à distance les unes des autres, et exerçant les unes sur les autres des actions attractives ou répulsives, suivant les cas. Aucune expérience, aucun phénomène n’a pu jusqu’à présent nous fournir la moindre notion sur les dimensions des molécules dont les corps sont formés; tout ce que nous pouvons dire, c’est que ces dimensions sont nécessairement d’une extrême petitesse.

Quelque petit que soit un corps, on ne peut le regarder comme étant un simple point matériel, qu’autant qu’on fait abstraction de ses dimensions; En assimilant les molécules des corps à des points matériels, comme nous le ferons toujours dans ce qui suit, nous sortirons donc de la réalité, pour jentrer dans le domaine de l’abstraction; mais nous devons dire de suite que la

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comparaison des résultats auxquels on est panenu ainsi' avec les phénomènes naturels, n’a jamais pu montrer qu’il y eût la moindre erreur produite par cette manière d’envisager les choses : on n’a pas trouvé jusqu’à présent qu’il fût nécessaire de tenir compte des dimensions des molécules, dans l’étude des diverses circonstances que présente le mouvement des corps, de quelque nature qu’ils soient. Les systèmes matériels, qui seront l’ohjet desthéories dont nous allons nous occuper, seront donc toujours, des systèmes de points matériels. Dans cette seconde partie de la dynamique, nous les considérerons à l’état d’équilibre, c’està-dire que nous supposerons que chacun des points matériels dont ils sont formés est en équilibre sous l’action des diverses forces qui lui sont appliquées (§ lOi); la troisième partie de la dynamique sera consacrée à l’étude des lois de leur mouvement.

Les corps se présentent à nous, dans la nature, sous trois états différents : ils sont solides, liquides ou gazeux. Les solides sont des corps dans lesquels les molécules ont des positions déterminées les unes par rapport aux autres; on ne peut changer ces positions relatives des molécules qu’en fai.sant agir sur elles des forces plus ou moins grandes, et si la déformation qu’on a ainsi fait subir au corps ne dépasse pas certaines limites, les molécules reviennent à leur disposition primitive, dès que lés forces qui les ont dérangées cessent d’exercer leur action. Dans les liquides et les gaz, au contraire, les molécules sont extrêmement mobiles; la moindre cause les dérange des positions qu’elles occupent les unes par rapport aux autres, et quelque petit que soit le dérangement qu’elles éprouvent ainsi, il ne tend pas à disparaître en même temps que la cause qui l’a produit : c’est cette propriété, commune aux liquides et aux gaz, qui fait qu’on les désigne collectivement sous le nom de fluides. Nous aurons à considérer successivement l’application des théories de l’équilibre et du mouvement à chacun de ces deux espèces très-distinctes de corps naturels.

§ 151. Force» intérieures, forces extérieures. — NouS • avons dit (§ 88) que toute force, appliquée à un point matériel A, émane d’un autre point matériel B situé à une distance quel-

FORCES APPLIQUÉES A UN SO LIRE I N VARIABLE. âil

conque du premier. Supposons que le point matériel A soit un de ceux qui composent le système matériel dont nous étudions, • soit l’équilibre, soit le mouvement. Si le second point B appartient également à ce système matériel, la force qui agit sur le point A, et qui émane du point B, est une force intérieure. Si le point B ne fait pas partie du système matériel dont nous ‘ nous occupons, cette force, qui émane du point B, et qui est appliquée au point A, est une force extéi'ieure.

. Il est clair, d’après le principe de l’égalité de l’action et de la réaction, que si l’on prend, parmi les forces qtii agissent sur les divers points d’un système matériel, toutes celles qui sont des forces intérieures, ces forces sont égales deux à deux et directement opposées.

Une même force peut jouer, tantôt le rôle de force intérieure, tantôt le rôle de force extérieure, suivant les cas. Si l’on considère, par exemple, le mouvement d’un corps qui tombe à la surface de la terre, l’attraction qu’une des molécules de ce corps éprouve de la part d’une molécule quelconque de la terre est une force extérieure; si au contraire on considère le mouvement d’un système matériel formé de la terre tout entière et des divers corps qui se trouvent à sa surface ou dans son voisinage, la même attraction devient une force intérieure.

§ 15^. Ce <|u’on cniend par solide invariab!e. —

Avant de nous occuper d’une manière générale de l’étude de l’équilibre d’un système matériel quelconque, nous considérerons d’abord un cas idéal et simple, auquel on peut très-souvent ramener les questions d’équilibre qu’on a à traiter. Nous supposerons que le système matériel, dont nous voulons étudier l’équilibre, soit de forme invariable, c’est-à-dire que les divers points matériels qui le composent ne puissent en aucune manière se rapprocher ou s’éloigner lés uns des autres ; c’est à un pareil système matériel que nous donnons le nom de solide invariable.

Cette invariabilité absolue de forme d’un système materiel ne se rencontre nulle part dans la nature. Il existe, il est vrai, un. grand nombre de corps solides qui semblent ne pas éprouver de changement de forme, de quelque manière qu’on cherche à les

déformer, pourvu toutefois que les forces qu’on leur applique ne dépassent pas certaines limites; mais, si ces corps paraissent conserver la forme qu’ils avaient tout d’abord, malgré l’action des forces qui tendent à la leur faire perdre, c’est uniquement parce que la déformation qu’ils éprouvent est trop faible pour être aperçue : cette déformation n’en existe pas moins, quelque petites que soient les forces qui tendent à la produire. Pour distinguer les corps solides qui existent dans la nature, et qui sont toujours plus ou moins déformables sous l’action des forces qui leur sont appliquées, des systèmes matériels auxquels nous attribuons une invariabilité absolue de forme, nous désignerons les premiers sous le nom de solides naturels.

Les théories que nous allons exposer dans ce chapitre et dans les deux suivants, se rapportent exclusivement aux solides invariables, considérés à l’état d’équilibre.

§ 153. ITnc force peut t^tre appliquée en un point «luclconque de sa direction, sans que son effet soit

changé. — Pour établir cette proposition, nous admettrons comme évident que deux forces égales, qui sont appliquées en deux points différents d’un même solide invariable, suivant la ligne droite qui joint ces deux points, et en sens contraire l’une de l’autre, se font équilibre; en sorte que, si le corps dont

s'agit est en repos avant que ces forces lui soient appliquées, les actions simultanées de ces deux forces ne le feront pas sortir de son état de repos.

Cela posé, soit M, fig. 7:2, un solide invariable en équilibre sous l’action de diverses forces. Considérons en particulier une de ces forces, F, appliquée au point A. Prenons un point B sur la direction de celte force F, et appliquons-y deux forces F', F", égales à F, et agissant en sens contraire l’une de l’autre, suivant la direction AB ; ces deux nouvelles forces, se faisant évidemment équilibre, ne troubleront pas l’état d’équilibre dans lequel se

Fig. 72.

FORCES APPLIQUÉES A UN SOLIDE INYARIARLE. ii3

trouvait le corps M avant leur application. Mais les deux forces F, F", qui sont ég^ales et qui agissent en sens contraire Tune de l’autre, suivant la droite AB menée par leurs points d’application, se font aussi équilibre, d’après ce que nous avons admis il n’y a qu’un instant : on peut donc les supprimer sans que le corps M cesse d’être en équilibre. Des trois forces F, F', F", il ne reste plus dès lors que la force F', qui se trouve ainsi substituée à la force F que nous avions considérée tout d’abord. On voit donc qu’une force, qui agit sur un point d’un solide invariable en équilibre, peut être appliquée en un autre point pris «iir sa direction, sans que son effet cesse d’être le même, puisque l’équilibre du corps n’est pas troublé par ce changement du point d’application de la force.

Dans le raisonnement que nous venons de faire, nous avons .supposé que le point B, pris sur la direction de la force F, faisait partie du corps M. Mais cela n’est pas nécessaire. La force F peut ctre appliquée en un point quelconque de sa direction, appartenant au corps M, ou situé en dehors de ce corps, pourvu que, dans ce dernier cas, le point sur lequel on transporte l’action de la force F soit lié invariablement au corps M.

§ 1«)4. Coiuposition des forces concourantes. — Lorsque, parmi les forces qui agissent sur un solide invariable en équilibre, il y en a plusieurs F, F', F",.** fiQ- "d, dont les directions concourent en un même point O, ces forces F, F', F",... peuvent être remplacées par une force unique qui est ileur résultante. En effet, chacune de ces forces peut être transportée, du point sur lequel elle agit, au point O pris sur sa <lirection (§ 153); et alors ces diverses forces, agissant sur un même point O, peuvent être composées en une seule, au moyen du parallélog:ramme des forces, ou du parallélipipède des forces, ou bien encore du polygone des forces, suivant les cas (§ 99). La résultante B, ainsi obtenue, peut d’ailleurs être appliquée en un point quel-

Fijj. 73.

2W LIVRE III. — DY.XAMIQl'E. DEIXIÈME RARTIE.

conque L de sa direction. La force R, appliquée au point L, peut donc remplacer complètement les forces F, F', F", appliquées aux points A, B, C

Il n’est pas nécessaire que le point O, par lequel vont passer les directions des forces F, F', F",... fasse partie du solide invariable soumis à l’action de ces forces, pour qifon puisse leur substituer la force U. On coiH^oit en effet que, pour faire le raisonnement qui précède, on peut supposer que le point 0 soit invariablement lié au corps; mais que, dès qu’on a trouvé ainsi une force R, qui, en agissant sur un point L du corps, peut tenir lieu des forces F, F', F",,., appliquées aux points A, B, (1,... on n’a plus besoin de se préoccuper de l’hypothèse qu’on a faite sur le point O pour y arriver ; la liaison qu’on avait admise entre ce point O et le corps peut être supprimée, sans que les forces F, F', F",... et R cessent d’exercer leur action dans les mêmes conditions, et par conséquent sans que la dernière de ces forces cesse de pouvoir remplacer les autres. Nous devons observer cependant que la substitution de la force R aux forces F, F', F",... ne peut se faire d’une manière absolue qu’autant que la direction de cette force R vient à passer par quelqu’un des points du corps auquel les forces F, F', F",... sont appliquées; s’il n’en est pas ainsi, ou ne peut regarder la force R comme pouvant tenir lieu des forces F, F', F",... qu’en admettant que le point L de sa direction auquel on la suppose appliquée est lié invariablement à ce corps.

D’après la manière dont la résultante R a été obtenue au moyen des composantes F, F', F',.** R est clair que toutes les propositions établies précédemment (§§ 100 à 103), pour les forces appliquées à un même point, sont vraies pour un système de forces concourantes appliquées à un solide invariable en équilibre.

§ 155. Composition des forces parallèles. — Rour arriver à la composition, de deux forces appliquées à un solide invariable, suivant des directions parallèles, et dans le même sens, considérons deux forces F, F', fig. 7i, appliquées à deux points A et R d’un pareil solide, suivant des ilirections concourantes.

On trouve la résultante R de ces deux forces F, F', en construisant le parallclogranimc OCDE sur les deux lignes OC, OD qui les représentent. Supposons que les directions des forces F, F' changent peu à peu, en passant toujours •par les points A et B, de telle manière que ces directions, toujours comprises dans un même plan, s’approchent de plus en plus de devenir parallèles; le parallélogramme OCDE se déformera en même temps, et la résultante R, qui est représentée par la diagonale OE, se modifiera en conséquence. Il est clair d’après cela que, lors- «jiie les directions des forces F, F' seront parallèles, la résultante R sera égale à la somme de ces deux forces, et en outre sa direction sera parallèle à celle de chacune des composantes. Observons de plus que, d’après le théorème des moments relatif au cas de deux forces appliquées à un même point (§ 101), la somme des moments des forces F, F', par rapport au point d’application L de leur résultante, est égale h zéro, puisque le moment de la résultante R par rapport à ce point est nul; on en déduit immédiatement que les distances du point L aux directions des deux forces F, F', sont inversement proportionnelles aux grandeurs de ces forces, proposition qui subsistera encore, sans aucune modification, lorsque les forces F, F' seront devenues parallèles.

On conclut de ce qui précède que deux forces parallèles et de même sens F, F', appliquées à deux points A et B d’un solide invariable,^^. 75, ont une résultante R égale à leur somme, et dirigée dans leur plan parallèlement à chacune d’elles, et dans le même sens; de plus les distances LM, LN du point d’application L de cette résultante aux directions des deux forces F, F', sont inversement proportionnelles aux grandeurs de ces forces.

La force R peut être appliquée au point G, où sa direction rencontre la ligne AR; et comme le rapport de CA à CB est l(v même que celui de LM à LN, on peut dire encore que le point d’application de la résultante des deux forces F, F' est situé sur la droite AR qui joint les points d’application des composantes^ et qu’il divise cette droite en deux parties inversement proportionnelles aux grandeurs de ces composantes.

§ 150. Lorsque deux forces F, F', /q/. 70, sont appliquées à

deux points A et B d’un solide invariable, suivant des directions parallèles et en sens contraire l’une do l’autre, ces forces ont une résultante que l’on obtient de la manière suivante. Soit F la plus grande des deux forces données. On peut regarder cette force F comme résultant de la composition de deux forces parallèles et do même .sens, dont l’une, égale à F', soit appliquée au point B, et l’autre, égale F — F', soit appliquée à un point C convenablement choisi sur le prolongement de la ligne BA ; on devra avoir pour cela