-PU
Mais, si nous représentons par m la masse de la molécule dont le poids est p, et par M la masse totale du corps, nous pourrons remplacer p par mg^ et P par M^; en supprimant alors le facteur g commun aux deux termes de chacune des fractions précédentes, nous arriverons aux formules
•^1 - Ui - -I - -3,-’
qui sont celles dont on se sert habituellement pour déterminer les coordonnées du centre de gravité.
Nous observerons que ces dernières formules ne renferment plus de traces de l’action de la pesanteur, que nous avions considérée pour arriver à la notion du centré de gravité. La restriction que nous avions faite tout d’abord, en admettant que les dimensions du corps étaient très-petites par rapport à celles de la terre, peut donc être mise de côté : les formules que nous venons d’obtenir peuvent être considérées comme définissant la position du centre de gravité d’un solide invariable, quelles que soient les dimensions de ce solide.
§ 164. Détermination du centre de gravité d*un «olide invariable. — Il arrive quelquefois qu’on a à déterminer le centre de gravité d’un solide formé par la réunion de plusieurs autres solides dont les centres de gravité sont connus. Pour
262 LIVUE 111. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME DAUTIE.
y arriver, ou imaginera que les divers centres de gravité des solides partiels soient les points d’application de forces parallèles entre elles et proportionnelles aux masses de ces solides partiels; le centre de ce système de forces parallèles sera le centre de gravité du solide total. Il suffit de se reporter à la définition du centre de gravité pour se rendre compte de cette manière d’opérer.
Pour trouver le centre de gravité d’un solide invariable constitué comme les corps naturels, c’est-à-dire consistant en un assemblage d’un très-grand nombre de mplécules placées à distance les unes des autres, on conçoit que la matière qui compose ce solide soit répandue dans la totalité de l’espace représenté par son volume apparent; on suppose que la matière de chaque molécule se trouve étalée dans l’espace que celte molécule occupe réellement et dans une partie de celui qui existe entre elle et les molécules voisines : de sorte qu’aucune portion de l’espace contenu à l’intérieur de la surface apparente du solide ne soit vide de matière. Dès lors, si l’on décompose le volume apparent du corps en une infinité d’éléments, chacun de ces éléments sera complètement rempli de matière; cl, dans la recherche des coordonnées du centre de gravité du solide , on peut substituer ces éléments matériels aux molécules dont le solide est formé. Prenons pour élément de volume de parallélipipède rectangle qui a pour arêtes les différentielles d.i-, dfj , dz des coordonnées Xf y, Z d’un point quelconque du solide, et représentons par pdxdydz la masse de l’élément matériel correspondant; p sera la masse qu’aurait l’unité de volume du corps, si tous les éléments matériels, de volume égal à dcdydz, dont cette unité de volume se compose, avaient la même masse que celui que nous considérons en particulier nous désignerons cette quantité p sous le nom de masse spécifique du solide au point dont les coordonnées sont jp, y, z (*). Par la substitution des éléments
(') On attribue souvent le nom de densité à la (juantité que nous représentons ici par ?, et qui n’est autre chose que la masse de l’unité de volume du corps, dans le cas où ce corps est homogène. On donne d’ailleurs le nom de poids spécifique au poids <le l’imité de volume d'un corps supposé également
CENTRES DE GRAVITE
malériels aux molécules dont le corps est formé, chacune des sommes
xwt.r, xmÿ, '^niz, . .
qui entre dans les expressions des coordonnées y,, z^ du centre de gravité, sera remplacée par une intégrale triple dont les limites seront fournies par la forme de la surface du corps, et l’on aura
fj‘J\xdæ(h)dz ^ ff f^zdædffdz
La niasse lolale M du corps a d’ailleurs pour valeur
-M = r I \\dxdijdz.
les limites de cette dernière intégrale triple étant les mêmes que celles des intégrales qui entrent dans les valeurs de a?, , iJu 2^. lia masse spécifique p varie en général d’un point à un autre da solide; il faut que cette quantité soit connue en fonction des coordonnées ,r, j, du point auquel elle se rapporte, pour qu’on puisse effectuer le calcul des valeurs de r,, y,,
§ 165. Dans le cas particulier où p est constant, c’est-à-dire où le solide est homogène, les expressions (jui déterminent Vu •‘>6 simplifient. Si l’on représente par V le volume total du corps, on a d’ahord
M = ? fj'jtixdydz = pV,
«•t par suite.
f I f xdxdgdz __ f f I udxdfidz ^ I | / zdxdydz
homogène. Il nous paraît plus convenable de réserver le mot densité pour désigner une qualité des corps dont la représentation numérique soit indépendante du choix arbitraire de l’unité de masse et de l’unité de poids; et d’appeler densité d’un corps supposé homogène, le rapport du poids de ce • corps au poids d’un égal volume d’eau. Et alors, de même que le poids de l’unité de volume de ce corps se nomme son poids spécifique^ on peut attritmer à la masse de Tnnité de volume du corps le nom de masse spécifique^
2«i LIVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.
Dans ce cas, la position du centre de gravité du solide ne dépend absolument que de la forme de la surface qui le termine de toutes parts : la détermination de ce centre de gravité n’est plus qu’une question de géométrie.
11 existe certaines régies au moyen desquelles on peut souvent simplifier beaucoup la recherche du centre de gravité d’un solide homogène; nous allons les faire connaître.
1® Toutes les fois que la surface du corps est symétrique par rapport à un plan, le centre de gravité est situé sur ce plan de symétrie. — Pour démontrer cette règle, imaginons que nous tracions sur le plan de symétrie P un système de droites parallèles infiniment voisines les unes des autres, puis un autre système de droites parallèles, infiniment voisines, dirigées à angle droit par rapport aux premières; concevons 'en outre que nous fassions passer par toutes ces droites des plans perpendiculaires au plan de symétrie P : le solide se trouvera divisé par là en une infinité de prismes droits situés de part et d’autre du plan P, et ayant pour bases des rectangles infiniment petits placés sur ce plan. Imaginons enfin que nous coupions tous ceux de ces prismes qui sont d’un coté du plan P, par une série de plans parallèles à ce plan et infiniment rapprochés les uns des autres; puis que nous en fassions autant pour les prismes situés de l’autre côté, en menant une autre série de plans symétriques des précédents par rapport au plan P. En opérant ainsi, nous aurons décomposé le solide en éléments qui sont tous deux à deux, par rapport au plan P. Cela étant nous
considérons deux éléments symétriques l’un de l’autre, ils auront même volume, et par suite môme poids, en admettant que le solide soit soumis à l’action de la pesanteur; la résultante de ces deux poids égaux aura donc son point d’application au milieu de la droite qui joint les deux éléments, c’est-à-dire en un point du plan de symétrie P; en composant ainsi, deux à deux, les poids des éléments symétriques dans lesquels le solide total a été décomposé, on trouvera une série de résultantes partielles ayant toutes leurs points d’application sur le plan P; et par conséquent le point d’application de la résultante de toutes ces
CENTRES DE GRAVITÉ
résultantes partielles, c’est-à-dire le centre de gravité du solide, sera également situé sur ce plan P.
2“ Toutes les fois que la surface du corps a un plan diamétral, le centre de gravité se trouve sur ce plan diamétral. — Un plan diamétral d’une surface est un plan qui passe par les milieux de toutes les cordes de la surface qui sont parallèles à une direction donnée. Il ne diffère du plan de symétrie qu’en ce que les cordes, qu’il divise en deux parties égales, lui sont obliques au lieu de lui être perpendiculaires. Il est aisé de voir dès lors que la démonstration de cette seconde règle se fera exactement de même que celle de la première. Il n’y aura quV remplacer les prismes droits, dans lesquels le solide avait été divisé d’abord, par des prismes obliques ayant leurs arêtes parallèles aux cordes que le plan diamétral coupe en deux parties égales; en partageant ensuite ces prismes obliques en éléments, au moyeu d’une série de plans parallèles au plan diamétral et symétriques deux à deux par rapport à ce plan, ou parviendra de même à décomposer le solide en éléments qui, deux à deux, auront même volume et en conséquence même poids, et seront situés aux extrémités d’une droite ayant son milieu sur le plan diamétral.
3® Toutes les fois que la surface du corps a un axe de symétrie, le centre de gravité se trouve sur cet axe. — Un axe de symétrie d’une surface est une droite telle que tous les points de * la ^^ace sont placés, deux à deux, symétriquement, par rapporiH'cette droite. Imaginons qu’on mène par Taxe de symétrie A, et tout autour de lui, une infinité de plans comprenant entre eux des angles dièdres infiniment petits, chacun de ces plan.s s’étendant de part et d’autre de l’axe A; puis qu’on mène une infinité de plans perpendiculaires à cet axe A, et infiniment rapprochés les uns des autres; enfin qu’on décrive autour de la droite A, comme axe commun, une infinité de surfaces cylindriques de révolution infiniment voisines les unes des autres. Le corps se trouvera ainsi décomposé en éléments, qui seront, deux à deux, de même poids et placés symétriquement par rapport à Taxe A; la résultante des poids de deux éléments symétriques
:266 LIVRE III. — DY.NAMIQüE. DEUXIÈME PARTIE.
Tim de l’antre aura donc son point d’application sur cet axC; et, par conséquent, il en sera de même de la résultante générale des poids de tous les éléments, c’est-à-dire du centre de gravité du corps.
•4“ Toutes les fois que la surface du corps a un centre de figure, le centre de gravité coïncide avec ce centre de figure. — Concevons qu’au tour du centre de figure C de la surface, comme centre commun, on décrive une infinité de surfaces sphériques infiniment voisines les unes des autres; puis qu’après avoir divisé un hémisphère appartenant à l’une tle ces surfaces sphériques *eu éléments infiniment petits, en y traçant par exemple une infinité de méridiens et de parallèles, on prenne tous ces éléments pour bases de cônes, ayant le point C pour sommet commun; et qu’enfin on considère les deux nappes opposées de chacun de ces cônes. Les surfaces de ces cônes et de ces sphères décomposent le solide en éléments, qui sont deux à deux de même poids et placés symétriquement par rapport au point C. La résultante (les poids de deux éléments symétriques a donc le point G pour point d’application, et par conséquent, le centre de gravité du solide est en ce point C.
Nous ferons incessamment des applications de ces diverses règles.
§ 1G6. Centre de gravité d’une snrface. — SuppOSOllS qu’uu solide s’étende suivant un plan ou suivant une surface courbe d’une forme quelconque, et qu’il ne présente partout qu’une^aisseur extrêmement petite, dans le sens de la normale au plan ou à la surface; on pourra faire abstraction de cette épaisseur, et concevoir que toute la matière, dont le solide est formé, se trouve située sur la surface plane ou courbe dont il s’agit. C’est ainsi qu’on est conduit à considérer une surface comme étant matérielle, et par conséquent, comme ayant un centre de gravité.
Si la matière était répartie d’une manière quelconque sur toute l’étendue de la surface, il faudrait que l’on connût la loi de cette répartition, pour qu’on pût trouver la position de son centre de gravité. Mais on suppose habituellement que la surface est
CENTRES DE GRAVITÉ
homogène, c’esl-à-dire que tous les éléments de même étendue, dans lesquels on peut la décomposer, contiennent la meme masse de matière; la position du centre de gravité ne dépend plus alors que de la forme de la surface, et sa détermination rentre dans ce que nous avons dit (§ 105) relativement aux solides homogènes.
S’il s’agit en particulier d’une surface plane limitée à un contour donné, il est clair que le centre de gravité de cette surface sera dans son plan; en sorte que ce point sera entièrement connu, dès qu’on aura ses deux coordonnées rapportées à des axes tracés dans ce plan. Soit B l’aire de la surface ; on aura
l’intégrale s’étendant à tous les éléments situés à l’intérieur du contour donné. Si l’on observe que, en raison de l’homogénéité de la surface, les masses des divers éléments qui la composent sont proportionnelles à leurs aires, on aura, pour déterminer les coordonnées .r,, de son centre de gravité, les formules
I I xd.rdif
' Â ffnd.rdu
dans lesquelles les intégrales s’étendent aux mêmes limites que celle qui fournit la valeur de A. On pourra d’ailleurs, quand l’occasion s’en présentera, profiler des règles qui ont été établies (§ 105) pour simplifier la recherche du centre de gravité d’un solide homogène dans certains cas : on reconnaît, en effet, sans difficulté, (jue ces règles sont applicables à la détermination du centre de gravité d’une surface plane homogène.
Lorsque la surface dont on veut trouver le centre de gravité,-, et que l’on suppose homogène, n’a pas tous ses points situés dans un même plan, on rapporte son centre de gravité à trois axes; et,, si l’on désigne encore par A faire totale de cette surface,. aire qui a pour valeur
on a pour déterminer les coordonnées ,r,, y,, - du centre de ffravité
Les quantités
dz dz dæ dy ’
qui entrent dans ces formules, sont les
dérivées partielles de z, par rapport à .x? et à y, déduites de l’équation de la surface ; et les intégrales doubles s’étendent ü toute la partie du plan des yx, sur laquelle la surface se projette. Nous devons remarquer ici que, pour trouver le centre de gravité d’une surface homogène, dont tous les points ne sont pas situés dans un même plan, on ne peut faire usage que de trois des quatre règles qui ont été données pour simplifier, dans certains cas, la recherche du centre de gravité d’un solide homogène (§ 1G5); la seconde, celle qui se rapporte à un plan diamétral, doit être mise de côté : il est aisé de voir, en effet, que, si une surface a un plan diamétral, si l’on prend les deux éléments suivant lesquels elle est coupée par un prisme ayant pour base un rectangle infiniment petit, tracé sur le plan diamétral, et pour arêtes, des parallèles aux cordes que ce plan divise en deux parties égales, il arrivera généralement que ces deux éléments de surface n’auront pas des aires égales, et, par conséquent, n’auront pas même masse.
§ 167. Centre de gravité d’ane ligne. — Des Considérations analogues à celles que nous avons indiquées dans le pa-
CENTRES I)E GRAVITÉ
ragraphe précédent, ont conduit à regarder une ligne, droite ou courbe, comme étant matérielle, et, par suite, comme ayant un centre de gravité. On suppose ordinairement que la ligne est homogène, c’est-à-dire que les divers éléments de même longueur, dans lesquels on peut la décomposer, renferment la même masse de matière. Dans ce cas, les règles qui ont été données (§ 165) relativement à la détermination du centre de gravité d’un solide homogène, peuvent être employées, à l’exception de la seconde, sur laquelle nous pourrions faire une observation entièrement analogue à celle que nous avons déjà faite à l’occasion du centre de gravité d’une surface dont tous les points ne sont pas situés dans un môme plan (§ 166).
Si la ligne dont on veut trouver le centre de gravité est rapportée à trois axes rectangulaires, et si l’on désigne par S la longueur totale de cette ligne, on aura
~ et ^ étant' les dérivées de y et de J, par rapport à ,r, déiijc djc
duites des équations de la ligne dont il s’agit, et l’intégrale s’étendant à toutes les parties de la projection de cette ligne sur l’axe des x. Les masses des divers éléments de la ligne, supposée homogène, étant proportionnelles à leurs longueurs, on trouvera les coordonnées ,r,, y,, de son centre de gravité au moyen des formules
dans lesquelles les limites des intégrales sont les mêmes que^ dans la valeur de S.
Si la ligne dont on s’occupe est plane, il est clair que son centre de gravité est situé dans son plan. Dans ce cas, les coordonnées j[*,, î/i, du centre de gravité, rapportées à deux axes rectangulaires tracés dans le plan de la ligne, sont déterminées par les deux premières des formules précédentes, en y supposant
— égal a zéro.
dx
§ i08. E:iLcmple!« divers de centres de gravité. — LigUl'
droite. — Le centre de gravité d’une ligne droite, de longueur donnée, est évidemment au milieu de sa longueur.
Ligne brisée. — Pour obtenir le centre de gravité d’une ligne brisée, dont les côtés sont situés ou non dans un même plan, il faut imaginer qu’on applique aux milieux de ses divers côtés des forces parallèles, dirigées dans le même sens et proportionnelles aux longueurs de ces côtés : le centre de ces forces parallèles, obtenu, soit par la composition successive des forces (§ 157), soit par les formules qui déterminent ses coordonnées (§ 162), sera le centre de gravité cherché.
Contour d’un triangle. — Considérons, en particulier, le
cas d’une ligne brisée qui forme le contour d’un triangle AB(^, fig. 82. Nous devons appliquer aux points A', B', G', milieux de BC, AC, .\B, des forces parallèles, de même sens, et proportionnelles aux longueurs de ces côtés. Composons les deux forces appliquées en A' et B', et soit D le point d’application de leur résultante; nous n’aurons plus qu’à composer la résultante partielle ainsi obtenue avec la force appliquée en C', pour avoir la résultante définitive des trois forces appliquées en A’, B', C’ : donc le centre de gravité du contour du triangle ABC se trouve sur la ligne C'D. Observons maintenant que, d’après la manière dont le point D a été obtenu, on a la proportion
CENTRES RE CR A VITE
iMi “ ne’
puisque les forces appliquées en A' et B' sont proportionnelles aux côtes BC, AC; mais la ligne A'C', qui joint les milieux des côtés BC, BA, est égale à la moitié de AC, et, de même, la ligne B'C' est égale à la moitié de BC, de sorte qu’on a aussi
A I) Aïr .
\\'\) ta: ‘
donc la ligne C'D, qui contient le centre de gravité du contour du triangle ABC, divise l’angle A'C'B', en deux parties égales. On verrait de même que ce centre de gravité se trouve sur la bissectrice de l’angle B'A'C', et aussi sur celle de l’angle A'B'C' : on peut donc dire que le centre de gravité du contour d’un triangle est le centre du cercle inscrit dans un autre triangle, que l’on obtient en Joignant deux à deux les* milieux des côtés du premier triangle.
Arc de cercle. — Un arc de cercle étant symétrique par rapport au rayon qui passe par son milieu, son centre de gravité se trouve sur ce rayon. Pour trouver en quel point de ce rayon il est placé, rapportons l’arc de cercle à des axes coordonnés rectangulaires tracés dans son plan et passant par le centre du cercle dont il fait partie, et prenons le rayon dont on vient de parler, pour axe des æ.
Si nous désignons par / la longueur de l’arc dont il s’agit, par c sa corde, par a la distance du centre à cette corde, et par r le rayon du cercle, nous aurons pour l’abscisse .r, du centre de gravité cherché
L’intégrale doit s’étendre aux projections de tous les éléments de l’arc, situés soit au-dessus, soit au-dessous de l’axe des x : nous pouvons ne l’étendre qu’aux projections de la moitié de
cet arc qui est située au-dessus de l’axe des .r, pourvu que nous doublions le résultat, nous aurons donc
T'* xdx ^
Fig. M.
§ 109. Parallélogramme, — Un parallélogramme a un centre tle figure, qui est le point de rencontre de ses diagonales : donc son centre de gravité est en ce point.
Triangle. — Le centre de gravité de la surface d’un triangle ABC, fig. 83, est situé sur la ligne AD qui joint le sommet A au
milieu D du côté BG. En effet, si l’on mène par cette ligne un plan perpendiculaire au plan du triangle, on a un plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à BC; ce plan contient 4lonc le centre de gravité, et, par conséquent, son intersection AD avec le plan du triangle le contient également. On verrait de même que le centre de gravité du triangle se trouve sur la ligne BE qui joint le sommet B au milieu E du côté opposé AC ; donc il est situé au point G, où se coupent les deux lignes AD, BE. La ligne DE, qui joint les milieux des côtés AC, BC, est parallèle à AB ; les deux triangles AGB, EGD sont donc semblables ; et comme AB est double de DE, AG est également double de GD : donc le centre de gravité du triangle ABC est sur la ligne qui joint le sommet A au milieu de la base BC, et au tiers de cette ligne à partir de la base.
On peut remarquer que le centre de gravité d’un triangle est le même que celui de trois points matériels de même masse, placés aux sommets de ce triangle, et supposés liés invariablement entre eux. En elfet, si nous considérons ces trois points matériels placés en A, B, C, fig. 83, comme soumis à l’action de la pesanteur, les points des deux poids B, C se composeront en une force double de chacun «l’eux et appliquée au point D, milieu
CKNTRES DE GRAVITÉ.
de la droite BC; celte force se composera à son tour avec le poids du point A, et il en résultera une force unique appliquée en un point de la ligne AD tel que sa distance au point A soit double de sa distance au point D : c’est donc en G que sera appliquée cette résullante définitive, ce qui démontre la proposition énoncée. Au lieu de trois points matériels placés en A, B, G, on peut supposer qu’il s’agisse de trois corps de même masse et de formes quelconques, liés entre eux d’une manière invariable, et ayant leurs centres de gravité respectifs en ces points ; le centre de gravité de l’ensemble de ces trois corps sera encore le même que celui du triangle ABC.
Polygone. — Un polygone peut être décomposé en triangles, au moyen de diagonales, partant par exemple d’un même sommet. Si l’on regarde les centres de gravité de ces triangles comme les points d’application d’autant de forces parallèles, dirigées dans le même sens, et proportionnelles aux surfaces de ces triangles, on n’aura plus qu’à chercher le centre de ces forces parallèles, pour avoir le centre de gravité du polygone.
Trapèze. — Le centre de gravité d’un trapèze ABCD, fig. 8 i, peut s’obtenir en appliquant ce qui vient d’être dit pour un po-
Fig. SÜ.
'lygone quelconque. Si l’on mène la diagonale AD, on décompose le trapèze en deux triangles [ADB, ACD; le centre de gravité G, du premier triangle est situé sur la ligne DE, menée du sommet D au milieu E de la base AB, et au tiers de cette ligne à partir du point E; le sens de gravité G^ du second triangle se trouve placé de la même manière, sur la ligne qui joint le point A au
milieu F du côté CD : le point G, qui divise la ligne G fi ., en
deux parlies GG,, GGo, inversement proportionnelles aux surfaces des triangles ADB, ACD, ou bien à leurs bases AB, CD, est le centre de gravité du trapèze. La détermination de ce point peut être simplifiée, en remarquant que le plan mené, par la ligne EF, perpendiculairement au plan du trapèze, est un plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à AB ou à CD : le centre de gravité G du trapèze se trouve donc sur la ligne EF, et par conséquent il sera fourni par Fintersection de cette ligne EF avec la ligne GiG^.
Nous pouvons encore chercher les distances .r, æ' du point G aux deux bases AB, CD du trapèze, en appliquant le théorème des moments (§ 158) au système des forces parallèles qui représentent les poids^ des deux triangles ADB, ACD, et qui agissent aux points G,,G2. Supposons que ces forces soient dirigées perpendiculairement au plan du trapèze, et prenons leurs moments successivement par rapport à chacun des deux plans qu’on peut mener parallèlement à leur direction par les côtés AB, CD. Si nous désignons la hauteur du trapèze par h; si, de plus, nous remplaçons les forces appliquées en G,, G^, et leur résultante, par les lignes AB, CD, AB -|- CD, qui leur sont proportionnelles, nous aurons les deux équations
(;\li+Cl))a* = AB.|-fCü.^.
