AB + CD) X = AB. + CI
Il «5
En les divisant membre à membre, on en déduit
.T AB4-2CD a*'“^2AB+Cü'
Ce résultat montre que l’on peut trouver le centre de gravité du trapèze en prolongeant le côté BA d’une quantité AU égale à CD, puis le côté CD d’une quantité DK égale à AB, et en prenant ensuite le point de rencontre G de la ligne IIK avec la ligne EF. En effet, les triangles EGH, FGK, ainsi formés, sont semblables, et donnent
CENTRES DE GRAVITÉ. 275
GK Eli i AD+Q) AB+-2C1).
GK ~ FK “ AB+ ^CÜ “ IVB+GD’
et comme les distances a?, x' de ce point G, aux côtés AB, CD, sont proportionnelles aux lignes GE, GF, il s’ensuit que ce point G est bien le centre de gravité cherché, puisque nous savions déjà qu’il devait être situé sur la ligne EF.
Quadrilatère. — Pour trouver le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque, ABCD, fig. 85, on le décompose en deux triangles au moyen de la diagonale AC ; on joint les points B, D, au milieu E de la diagonale; on prend les points G,, Go situés sur les lignes BE, DE, et au tiers de chacune d’elles, à partir du point E; et, enfin, on divise la ligne GjGg en deux parties GG,,
GGo inversement proportionnelles aux surfaces des ABC, ADC. Si l’on observe que les surfaces de ces
Fig. SS.
triangles triangles
sont entre elles comme les distances des sommets B, D à la diagonale AC, et, par conséquent, comme les lignes BH, DH ; et que, de plus, la ligne GjGj est parallèle à BD, on verra qu’il suffit de prendre DK=BH, et de joindre le point K au point E, pour diviser la ligne G, G, dans le rapport voulu : en sorte que le point G, situé à la rencontre de la ligne GjGj avec la ligne EK, est le centre de gravité du quadrilatère.
Secteur et segment de cei'cle. — Pour déterminer le centre de gravité du secteur circulaire AOB, fig. 8G, on peut concevoir que l’arc AB soit partagé en une infinité d’éléments égaux, et que le secteur AOB soit décomposé en secteurs infiniment petits correspondant à ces divers éléments d’arcs. Chacun de ces secteurs élémentaires peut être regardé comme étant un triangle, et,. en coii-
séquence, son centre de gravité se trouve sur Tare de cercle CD, décrit du point O comme centre avec un rayon OC égal aux I de OA ; le centre de gravité G du secteur AOB sera donc le point d’application de la résultante d’une infinité de forces parallèles et. égales agissant sur des points régulièrement distribués le long de l’arc CD, c’est-à-dire qu’il sera le même que le centre de gravité de l’arc CD. Si l’on désigne par r le rayon OA, par l la longueur de l’arc AB, et par c la corde de cet arc, on aura, d’après ce qu’on a vu précédemment (§ 108),
le point G est d’ailleurs situé sur la ligne OE qui divise l’angle AOB en deux parties égales.
Le secteur AOB est égal à la somme du triangle AOB et du segment AEB. Les surfaces du secteur, du triangle et du segment ont respectivement pour valeurs
5 W, I ac, I (rl — ac)y
en désignant par a la distance OF ; les centres de gravité de ces trois surfaces sont tous situés sur la ligne OE, et les distances des deux premiers au point O sont
rc
en sorte que, si l’on désigne par x la distance du point O au centre de gravité du segment AEB, on aura, d’après le théorème des moments (§ 158),
On en tire
rc
{rl. 1-J- — Ï 3 « +s 0’^ — oc) . X.
^ rl — ac
i)(rl — ac)
ce qui fait connaître la position du centre de gravité du seg ment AEB.<
CENTRES DE GRAVITÉ
Zone sphérique. — Le centre de gravité d’une zone sphérique à deux bases est situé sur le diamètre de la sphère qui passe par les centres de ces deux bases; car ce diamètre est un axe de symétrie de la zone. Pour trouver la position que le centre de gravité occupe sur ce diamètre, imaginons que l’on ait divisé la hauteur de la zone en une infinité de parties égales, et que, par les points de division, on ait mené >des plans parallèles aux plans des deux bases ; la zone se trouvera ainsi partagée en une infinité de zones ayant toutes une même hauteur infiniment petite, et, par conséquent, une même surface : on trouvera donc le centre de gravité de la zone totale, en cherchant le point d’application de la résultante d’une infinité de forces parallèles et égales, régulièrement réparties le long de la droite qui joint les centres de ces deux bases, c’est-à-dire qu’il est situé précisément au milieu de cette droite.
§ 170. Parallélipipède. — Le centre de gravité d’un parallélipipède se trouve au point de rencontre de scs diagonales, point qui est un centre de figure pour la surfiice de ce corps.
Prisme. — Le plan qui passe par les milieux M, N, P des arêtes AD, BE, CF d’un prisme triangulaire, fig. 87, est un plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à ces arêtes; et, par conséquent, il renferme le centre de gravité de ce prisme. Le plan mené par AD et par le milieu Q de l’arêle BC est également un plan diamétral correspondant aux cordes parallèles à BC, et il en est de même du plan mené par BE et par le milieu B de l’arête AC : donc le centre de gravité du prisme se trouve sur l’intersection de ces deux plans, c’est-à-dire sur la parallèle à l’arête AD menée par le centre de gravité G, du triangle ABC. Ainsi, c’est à l’intersection de cette dernière ligne avec JÈ plan MNP, qu’est situé le centre de gravité G du prisme friangulairè ABCDEF. Il est clair, d’après cela, qu’on peut dire que le centre de gravité d’un prisme triangulaire est au milieu de la droite qui
