II

ce qui montre que la force R, agit suivant la droite qui joint son point d’application à celui de la force R,. Ainsi, de ce que les forces F, F', F",.... satisfont aux six équations (a), il resuite que les deux forces Ri,R,, par lesquelles 011 peut remplacer les forces données F, F', F",.---> sont égales et directement opposées : donc les six équations (a) suffisent pour exprimer que le solide soumis aux actions de ces forces F, F', F",.--- est en équilibre.

R est bon de remarquer que, si l’on supprimait une quelconque des six équations (a), les cinq équations restantes ne suffiraient plus pour exprimer l’équilibre. Il est facile en effet de trouver un système de forces qui satisfasse à ces cinq équations, sans que l’équilibre existe. Si c’est, par exemple,

xX = 0

qu’on a supprimée, on verra qu’une force unique appliquée au solide suivant l’axe OX salisferait bien aux cinq équations restantes; si c’est l’équation

un couple (§ 150) dirigé dans le plan YOZ satisferait de même aux cinq équations conservées; cependant le solide ne serait en équilibre, ni sous l’action de la force dont on a parlé dans le premier de ces deux cas, ni sous l’action du couple, dans le se- . cond cas.

Une considération d’un autre genre permet encore de montrer que les six équations (a) suffisent pour exprimer l’équilibre . du solide, en établissant que toutes les équations en nombre infini que l’on peut trouver par l’application du théorème du

travail virtuel sont des conséquences de ces équations (a). Nous savons qu’un mouvement infiniment petit quelconque du solide peut toujours se décomposer en trois translations parallèles aux axes OX, OY, ÜZ, et en trois rotations autour de ces axes (§ 58). Il est aisé de voir en outre que, si le déplacement infiniment petit du point d’application d’une force résulte de la composition de plusieurs autres déplacements infiniment petits, le travail de la force correspondant au mouvement résultant est égal à la somme des travaux de cette force correspondant aux divers mouvements correspondants : car la projection du déplacement résultant sur la direction de la force est égale à la somme des projections des déplacements composants sur la même direction. D’après cela, si nous attribuons au solide un mouvement virtuel quelconque, et que nous décomposions ce mouvement en trois translations s, i suivant les axes, et en trois rotations 0, 0', 0" autour de ces axes, nous aurons

Xe + + Ze" + (Zÿ— Y^,)6 + (X3 — Zar)6' + (Yj- — Xv/V/

pour le travail virtuel de la force F; et en exprimant que la somme des travaux virtuels des diverses forces F, F', F",.... est égale à zéro, nous trouverons l’équation

evX s'vY + e“vz I

+ 6X (Zy — \z) + 6'v {\z — Ix) + 6"x {\x - \ll) i “ ’

qui est évidemment satisfaite, quels que soient s, s", 0, 0', 0", si les équations (a) le sont.

D’après la signification des équations (a), il est clair que l’on peut dire que, pour qu’un solide invariable soit en équilibre sous l’action d’un système de forces F, F' F",.*-) il est nécessaire et suffisant que la somme des projections de ces forces sur une droite quelconque soit nulle, et que la somme des moments de ces forces par rapport à une droite quelconque soit également nulle.

Dans tout ce qui précède, nous avons toujours supposé que les forces F, F', F",... étaient appliquées à un solide invariable primitivement en repos, et nous avons cherché les conditions

ÉQUII.IBRE D’UN SOLIDE INVARIABLE. ‘ 297 •

auxquelles ces forces devaient satisfaire pour que le solide restât 'Cil repos malgré leur action; c’est-à-dire que nous nous sommes occupés d’établir les conditions d’équilibre du solide. Nous avons vu que ces conditions d’équilibre sont complètement exprimées par les six équations (a). Il peut arriver qu’un solide invariable en mouvement soit soumis à des forces qui satisfassent à ces six équations. Dans ce cas, le solide - n’est • pas en équilibre ; mais on dit toujours que les forces se font équilibre sur ce solide.

§ 179. Le système des six équations (a) se simplifie dans diverses circonstances, ainsi que nous allons le voir.

Supposons d’abord que toutes les forces F, F', F",..-- appliquées au solide invariable soient parallèles entre elles. Si nous choisissons les axes auxquels nous rapportons le solide , de telle manière que l’axe OZ soit parallèle à ces forces, les composantes X et Y de chacune d’elles seront nuUes, et la composante Z sera égale à la force elle-même. D’après cela, trois des six équations (a) se réduiront à des identités, et il ne restera plus que les trois autres qui deviendront

xF = 0, iFæ = 0, xK// = 0.

Ces trois équations , nécessaires et suffisantes pour exprimer l’équilibre d’un solide invariable soumis à un système de forces parallèles, peuvent s’énoncer ainsi : 1® la somme des forces doit être nulle; 2® les sommes des moments de ces forces, par rapport à deux plans rectangulaires menés parallèlement à leur direction (158), doivent être nulles chacune séparément. Cette seconde condition, correspondant aux deux dernières équations, peut encore être énoncée d’une autre manière , en disant que la somme des moments des forces par rapport à un plan quelconque parallèle à leur direction doit être nulle.

Considérons encore le cas où toutes les forces F, F", F",....

seraient dirigées dans un même plan. Si nous prenons ce plan

pour plan des .ry, la composante Z de^ chacune des forces sera

nulle, et il en sera de même de la coordonnée de chacun de

leurs points d’application. Les six équations (a) se réduiront donc encore à trois, qui seront^'

■ *iî»8

2X = 0, V Y = 0, Yj: — X^) = 0.

(^cs trois équations peuvent s’énoncer en disant que : 1® les

sommes des projections des forces F, F', F", sur deux

droites rectangulaires, prises à volonté dans le plan de ces forces , doivent être nulles chacune séparément ; 2® que la somme des moments de ces forces par rapport à un point quelconque du plan doit être aussi nulle. La première de ces deux conditions, qui correspond aux deux premières des équations précédentes, peut être remplacée par celle-ci : la somme des projections des forces F, F', F",.... sur une droite quelconque située dans leur plan, doit être nulle.

Enfin, si nous supposons que tous les points d’application lies diverses forces F, F', F",.... coïncident, les coordonnées .r, y, Z, étant les mêmes pour tous ces points, pourront sortir des signes x dans les trois dernières équations (a) : dès lors, il est clair que ces trois dernières équations ne sont que des conséquences des trois premières, en sorte que le système des équations (rt) se réduit à ces trois premières équations. Dans ce cas, les équations auxquelles les forces h’, F', F",.... doivent satisfaire, pour que le solide soit en équilibre, sont exactement les memes que celles que nous avons trouvées précédemment pour exprimer l’équilibre d’un simple point matériel (§ 104) ; et c’est en effet ce qui doit évidemment avoir lieu.

§ 180. IÈ(|uivaleiice de deux systèmes de forces. — Un

système de forces S est dit équivalent à un autre système de forces S', lorsque ces deux systèmes, considérés comme agissant sur un solide invariable, peuvent être mis en équilibre chacun séparément par un même troisième système de forces S". Il est aisé, d’après cela, d’établir les conditions d’équivalence des deux systèmes S, S', en se fondant sur les conditions d’équilibre que nous avons étudiées précédemment.

Pour que le système S et le système S" se fassent équilibre, il faut et il suffit que la somme des projections des forces de ces deux systèmes sur une droite quelconque soit nulle, et aussi que la somme des moments de toutes ces forces, par rapport à une

droite quelconque, soit également nulle (§ 178). Les mêmes conditions devant être remplies pour que le système S' et le système S" se fassent équilibre, on en conclut nécessairement que, pour que les systèmes S et S' soient équivalents, il faut et il suffit : 1" que la somme des projections des forces du système S sur une droite quelconque soit égale à la somme des projections des forces du système S' sur la même droite ; 2“ que la somme des moments des forces du système S, par rapport à une droite quelconque, soit égale à la somme des moments des forces du système S' par rapport à celte droite.

Pour exprimer l’équivalence des deux systèmes S et S', il suffira d’écrire que cette égalité des sommes de projections et des sommes de moments a lieu pour chacun des trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, auxquels on rapporte les directions des diverses forces, ainsi (juc les positions de leurs points d’application, ce qui «lonnera les six équations

XX = xX', xY = xY', xZ = xZ',

X(Zi/-Y3) = (xZy-YV),

X (Xr — Z./) = (X X'-' — Z'x)y x(Y.r-Xi/) = (xYV-XV),

dans lesquelles les premiers membres se rapportent au système S, et les seconds au système S'.

Par les diverses transformations que nous avons fait subir à un système quelconque de forces F, F', F",.**, pour le réduire à deux forces seulement R,, R, (§ 150), nous n’avons fait que remplacer le système primitif successivement par divers autres systèmes de forces tous équivalents les uns aux autres jusqu’à ce que nous fussions conduits à n’avoir plus que les deux forces Rj, R^, formant à elles seules un système équivalent à tous les précédents, et par conséquent aussi équivalent au système primitif.

§ 181. Théorie de» conpie». — Un cüuple est, comme on sait, le système de deux forces égales, parallèles et de sens contraires (§ 150). On donne le nom de bras de levier du couple.

à une droite quelconque menée perpendiculairement au.\ directions de ses deux forces, et terminée aux points où elle rencontre ces directions; on suppose souvent que les deux forces d’un couple sont apj)liquées aux extrémités memes de son bras de levier. Si l’on prend la somme des moments des deux forces d’un couple, par rapport à un point quelconque de sou plan, on trouve toujours que cette somme de moments est égale au produit de l’une des deux forces du couple par la longueur de son bras de levier : ce produit est ce que l’on nomme le moment du couple. On peut remarquer (fue le moment d’un couple a la môme valeur numérique que la surface du parallélogramme dont les droites qui représente les forces du couple formeraient deux côtés opposés.

Si l’on projette un couple sur un plan quelconque, la projection sera encore un couple; le moment du couple projeté s’obtiendra en multipliant le moment du premier couple par le cosinus de l’angle formé par son plan avec le plan de projection : cette proposition se démontre facilement, en substituant au moment du couple le parallélogramme dont il vient d’être question.

La somme des moments des deux forces d’un couple, par rapport à une droite quelconque, est égale au moment du couple suivant lequel le couple donné se projette sur un plan perpendiculaire à la droite. Il s’ensuit que la somme des moments des deux forces d’un couple, par rapport à une droite, est la même que la somme des moments de ces deux forces, par rapport à une autre droite quelconque, parallèle à la première. Cette somme de moments est nulle, si la droite à laquelle les moments se rapportent est parallèle au plan du couple; elle est maximum si la droite est perpendiculaire à ce plan.

Deux couples sont équivalents (§ 180) lorsque leurs plans sont parallèles ou coïncident, que leurs moments sont égaux, cl qu’ils tendent à. faire tourner leurs bras de levier dans le même sens. On voit, en effet, que, d’une part, la somme des projections des deux forces du premier couple, sur une droite quelconque, est égale à la somme des projections des deux forces du second couple sur la même droite, puisque chacune de ces

Oeux sommes est nulle ; et que, d’une autre part, la somme des moments des deux forces du premier couple, par rapport à une droite quelconque, est égale à la somme des moments des deux forces du second couple, par rapport à la même droite, ainsi que cela résullc des propositions qui viennent d’être établies. Deux couples qui ne satisferaient pas aux conditions énoncées ici ne seraient évidemment pas équivalents : la somme des moments des forces du premier couple, par rapport à une droite, ne serait pas égale à la somme des moments des forces du second couple, par rapport à la même droite, quelle que fût la position de cette droite dans l’espace.

Il résulte de là qu’un couple appliqué à un solide invariable en équilibre peut être transporté parallèlement à lui-même, comme on voudra, dans son plan ou dans un plan parallèle; qu’on peut le faire tourner comme on voudra, dans son plan, après qu’on l’a ainsi transporté ; qu’on peut même changer la grandeur commune de ses deux forces, en faisant varier en même temps son bras de levier dans un rapport inverse, sans qu’il cesse d’être équivalent à ce qu’il était primitivement. Si l’on se reporte à la définition qui a été donnée précédeniment (§ 101) du moment résultant d’un système quelconque de forces, par rapport à un point, on verra que, dans le cas où le système de forces consiste simplement en un couple, ce moment résultant est toujours le meme, quel que soit le point auquel on le rapporte, et a pour valeur le moment même du couple : en effet, on peut toujours transporter le couple parallèlement à lui-même, de manière que le point d’application de l’une de scs deux forces vienne coïncider avec le point par rapport auquel on veut évaluer son moment résultant; de sorte que ce moment résultant est égal au produit de la seconde force du couple par sa distance au point d’application de la première.

Si l’on considère un système quelconque de couples appliqués à un solide invariable en équilibre, les forces qui composent ces couples peuvent toujours être remplacées par deux forces seulement, R,, Ro (§ lôO). Ces deux forces R,, R. forment nécessairement un couple; car elles constituent un système équivalent au

système des couples donnés, el, par conséquent, la somme de leurs projections sur une droite quelconque doit être nulle comme la somme des projections des forces de ces couples donnés sur la même droite (§ 180), ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elles sont égales, parallèles et de sens contraires. Ainsi un système quelconque de couples peut toujours être remplacé par un couple unique auquel on donne le nom de couple l'ésulfant ; par opposition, les couples auxquels il peut être substitué sont souvent désignés sous le nom de couples composants. Pour trouver le couple résultant K d’un système de

couples donnés C, C', G", , transportons ces couples donnés

parallèlement à eux-mêmes, de manière que le point d’application de l’une des forces de chacun d’eux coïncide avec un certain point 0; imaginons, en outre, que le couple cherché K soit dans une position analogue, c’est-à-dire que l’une de ses deux forces ait également son point d’application en O ; enfin appliquons au système des couples C, C', C”, , pris dans cette posi-

tion, le théorème établi précédemment (§ 161) relativement à la composition des moments d’un système quelconque de forces par rapport à un point, et considérons les moments des forces des couples C, C', P‘Vr rapport au point 0 : en effec-

tuant une construction analogue au polygone des forces sur les

axes des moments des forces de C, G', G", qui n’agissent pas

sur le point 0, on trouvera l’axe du moment de la force K. qqi n’est pas appliquée à ce point O, et par conséquent on aura à la fois la direction du plan du couple résultant K, la grandeur de son moment, et le sens dans lequel il tend à h^ire tourner sou bras de levier.

Lorsqu’on prend ainsi le moment de l’une des deux forces d’un couple, par rapport au point d’application de l’autre force’, et qu’on détermine l’axe qui représente ce moment (§ 160), on a ce qu’on nomme Yaxe du couple. Get axe, qu’on peut mener par un point quelconque de l’espace, suffit pour représenter complètement le couple auquel il correspond ; il fait connaître la direction du plan du couple, la grandeur du moment de ce couple, et le sens dans lequel il agit. On voit, par ce qui précède, que,

pour composer un système quelconque de couples, on n’a qu’à considérer les axes de ces couples menés par un même point de l’espace, et à composer ces axes entre eux comme si c’étaient des forces : l’axe résultant de cette composition est l’axe du couple résultant cherché.

§ 182. l'snge de la théorie des coaples, pour la eom position des forces appliquées d un solide invariable. — Lite

force F appliquée en un point A d’un solide invariable, fig. 01, peut être transportée parallèlement à ellc-inéme en un autre point B du meme solide, pourvu qu’on lui adjoigne un couple situé dans le plan FAB et ayant pour moment le produit de la force F par la distance du point B à sa direction primitive. En effet, si l’on applique en B deux forces F', F", toutes deux égales à F, suivant une même droite parallèle à la direction de la force F, et en sens contraires l’une de l’autre, ces deux forces se feront équilibre ; et, par conséquent, le système des trois forces F, F',

F" sera équivalent à la force F : or ce système peut être regardé comme se composant de la force F' et du couphî formé par les deux forces F, F", ce qui est conforme à la proposition énoncée.

Considérons un système quelconque de forces appliquées à un solide invariable. D’après ce que nous venons de voir, chacune de ces forces peut être transportée parallèlement à elle-même en un point 0, pris à volonté dans le solide ou lié invariablement avec lui, pourvu qu’eà la force ainsi transportée on joigne le couple dû à cette translation ; le système des forces données peut donc toujours être remplacé par un système de forces égales et parallèles aux premières, et appliquées au point 0, joint à un système de couples. Toutes les forces appliquées au point 0 peuvent se composer en une seule force; tous les couples peuvent également se composer en un seul couple (§ 181) : donc le système donné se trouvera remplacé par une force unique appliquée au point 0 et un couple unique. On peut toujours supposer que le point d’application de l’une

:]ui LIVRE III. — DYNAMIQUE. DEUXIEME PARTIE.

lies deux forces du couple coïncide avec le point 0; dès lors, deux des trois forces auxquelles le système vient d’ètrc réduit sont appliquées au incnic point 0, et peuvent se composer en une seule agissant également sur ce point : donc le système des Idrces données se trouve, en définitive, remplacé par deux forces dont une agit sur un point 0 choisi à volonté. Nous retomi)ons ainsi sur un résultat que nous avions déjà obtenu par d’autres considérations (§ 150).

§ i8d. Application «les théories précé«lcntcs à l’équilibre (l’un système matériel «luclconciuc. — Nous ne devonS pas oublier que tout ce qui a été dit dans ce chapitre et dans les <leux précédents se rapporte à un solide invariable considéré à rétat d’équilibre. Voyons comment les théories que nous avons établies dans ces trois chapitres peuvent s’appliquer à un système matériel quelconque.

Nous observerons d’abord qu’il existe dans la nature un grand nombre de corps solides qui ne se déforment que de quantités tout à fait inappréciables, sous l’action des forces qui leur sont habituellement appliquées : tels sont la plupart des matériaux qui entrent dans les constructions et dans les machines. On peut donc appliquer approximativement, à ces solides naturels, ce qui a été dit dans le cas des solides invariables; il n’en résultera qu’une erreur extrêmement faible, et d’autant plus faible que ces solides naturels se rapprocheront plus de la rigidité absolue des solides invariables.

D’un autre côté, lorsqu’un .système matériel est en équilibre, quelle que soit d’ailleurs sa nature, on peut évidemment supposer qu’il soit rendu invariable de forme sans que l’équilibre soit troublé : dès lors, les forces qui sont appliquées aux diverses parties du système matériel, et qui se font équilibre sur ce système transformé en un solide invariable, doivent satisfaire aux conditions d’équilibre que nous avons trouvées précédemment. Les six équations que nous avons obtenues pour exprimer cet équilibre (§ 177), et qui étaient suffisantes dans le cas d’un solide invariable, subsistent donc encore dans le cas de Téquilibre d’un système matériel quelconque. Quoi-

qu’elles ne suffisent plus pour exprimer complètement l’équilibre dans ce cas, on n’en est pas moins en droit de s’en servir pour en tirer les valeurs de quelques-unes des forces qui y entrent comme inconnues; et les résultats auxquels on arrive ainsi sont rigoureusement exacts, tout aussi bien que si le système matériel était réellement un solide invariable ayant la forme de ce système pris à l’état d’équilibre. D’après cela, quand il ne s’agit que d’arriver à ces six équations d’équilibre, ou bien à des relations qui en soient des conséquences nécessaires, on peut appliquer, aux forces qui agissent sur un système matériel quelconque en équilibre, tout ce qui a été 'dit relativement à la composition des forces appliquées à un solide invariable et au remplacement d’un système de forces par un autre système équivalent; mais cette composition des forces, et en général la substitution d’un système de forces à un autre, ne doivent pas être considérées comme pouvant s’effectuer réellement, sans que l’état* d’équilibre du système matériel soit changé, à moins cependant que les forces dont il s’agit ne soient appliquées à un même point du système matériel.