CHAPITRE IV

§ 184. Théorème du travail virtuel, pour un ftjastème matériel quelconque. — NouS avonS VU (§ 104) quC, pour qu’un point matériel soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées soit nulle. Nous pouvons évidemment exprimer cette condition en disant que le travail virtuel (§ 1 70) de la résultante est nul, pour tout déplacement infiniment petit attribué au point matériel : car, si cette résultante est nulle, son travail est aussi nul, quel que soit le déplacement de son point d’application; et réciproquement, si le travail de cette force est nul pour tout déplacement infiniment petit attribué au point sur lequel elle agit, elle est nécessairement nulle ellemême. Mais nous savons que le travail de la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point est égal à la somme des travaux des composantes (§ 117) : donc on peut dire que, pour qu’un point matériel soit èn équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui lui sont appliquées soit nulle pour tout déplacement infiniment petit attribué à ce point.

Nous pouvons remarquer que la proposition qui vient d’être établie est comprise, comme cas particulier, dans le théorème du travail virtuel que nous avons démontré précédemment pour un solide invariable; car un point matériel peut être regardé <‘-omme étant un solide invîtriable dont toutes les dimensions sont nulles.

Considérons maintenant un système quelconque de points matériels, soumis aux actions de diverces forces, tant intérieures qu’extérieures (§ 151). Si un pareil système est en équilibre, •c’est-à-dire reste en repos malgré l’action des forces qui lui sont Appliquées, chacun des points matériels qui le composent est iui-méme en équilibre ; la somme des travaux virtuels des forces qui agissent sur chaque point est donc nulle, pour tout déplacement infiniment petit attribué à ce point. Il résulte de là que la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui agissent sur les divers points matériels du système est égale à zéro, quels que soient les déplacements infiniment petits et indépendants les uns des autres que l’on imagine être pris en même temps par ces différents points. Uéciproquemeiit, si la somme des travaux virtuels de toutes les forces appliquées au système •est nulle, pour tous les déplacements possibles attribués aux divers points qui le composent, le système, supposé primitivement en repos, ne sortira point de cet état de repos : car, si l’on me déplace qu’un seul de ces points matériels, ce qui revient à supposer que les déplacements de tous les autres sont nuis, on en conclura que la somme des travaux virtuels des forces appliquées à ce point est égale à zéro, quel que soit d’ailleurs le déplacement qu’on lui attribue, c’est-à-dire que ce point, considéré seul, est en équilibre; le même raisonnement, appliqué successivement aux divers points du système, montrera que tous ces points sont en équilibre, chacun séparément; et, par conséquent, le système tout entier est en équilibre. Ainsi, l’on -peut dire que, pour qu’un système matériel quelconque soit en . équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui agissent sur ces divers points soit nulle, quels que soient les déplacements infiniment petits et indépendants les uns des autres, que l’on imagine être pris en même temps par ces différents points. C’est en cela que consiste le théorème du travail virtuel pour un système matériel quelconque.

11 est à peine nécessaire d’ajouter que le théorème du travail wirtuel s’applique, non-seulement à la totalité d’un système

matériel en équilibre, mais aussi à une portion quelconque de ce système, considérée à part. Les actions que les divers points matériels de cette portion du système éprouvent, de la part de tous les autres points du système matériel, jouent alors le rôle de forces extérieures; tandis qu’elles rentrent dans la catégorie des forces intérieures, quand on considère le système tout entier.

§ 185. Parmi tous les déplacements virtuels, en nombre infini, que nous pouvons attribuer simultanément aux divers points d’un système matériel, choisissons en particulier des déplacements tels que les distances mutuelles de tous les points du système restent les mêmes; c’est-à-dire, concevons que nous déplacions le système matériel tout d’une pièce, comme si c’était un solide invariable. L’équation fournie par le théorème du travail virtuel, pour un pareil déplacement de l’ensemble des points matériels du système, ne contiendra aucun terme dépendant des forces intérieures : les forces extérieures y entreront seules. En effet, les forces intérieures d’un système matériel sont deux à deux égales et directement opposées; d’ailleurs, dans le déplacement particulier que nous considérons, la distance de deux quelconques des points matériels du système ne change pas : il s’ensuit que les travaux virtuels des forces intérieures sont deux à deux égaux et de signes contraires (§ 175), et que, par conséquent, ces travaux disparaissent tous de l’équation fournie par le théorème du travail virtuel.

Si nous rapportons les divers points du système matériel à trois axes coordonnés rectangulaires, nous pourrons attribuer en particulier à ce système un mouvement d’ensemble qui soit, ou bien un mouvement de translation parallèle à l’un des trois axes, ou bien un mouvement de rotation autour de l’uu des trois axes. En appliquant le théorème du travail virtuel > pour chacun de ces six mouvements, on trouvera évidemment des équations identiques aux équations (a) du §177; puisque ces équations (a) ont été obtenues en donnant au solide invariable dont on s’occupait précisément les six mouvements virtuels qui viennent d’être indiqués. Ainsi les forces exté~

ricures, appliquées à un système matériel quelconque en équilibre, satisfont nécessairement aux six équations qui exprimeraient l’équilibre de ce système, s’il devenait un solide invariable sans changer de forme. Nous avions déjà été conduits à cette conséquence par d’autres considérations (§ 183).

Il résulte de ce qui a été dit, à l’occasion de l’équilibre d’un solide invariable (§ 178), qu’un mouvement virtuel d’ensemble du système matériel, qui serait différent de chacun des six mouvements particuliers dont on vient de parler, ne conduirait à aucune relation nouvelle entre les forces extérieures : l’équation que l’on obtiendrait en appliquant le théorème du travail virtuel à ce mouvement d’ensemble, quel qu’il soit, ne serait qu’une conséquence des six équations auxquelles on arrive en considérant successivement trois translations parallèles aux axes, et trois rotations autour de ces axes.

Les six équations auxquelles les forces extérieures doivent satisfaire dans tous les cas, et qui suffiraient pour exprimer l’équilibre du système, s’il était rendu invariable de forme, ne suffisent évidemment pas pour exprimer cet équilibre, lorsque les divers points matériels qui composent le système sont libres de se rapprocher ou de s’éloigner les uns des autres, comme nous le supposons ici. On ne peut exprimer complètement l’équilibre du système qu’en joignant à ces six équations, toujours nécessaires, d’autres équations que l’on obtiendra en attribuant aux divers points du système des déplacements tels qu’ils ne restent pas aux mêmes distances les uns des autres, équations qui renfermeront généralement les forces intérieures en même temps que les forces extérieures.

• § 180. Théorème du travail virtuel, pour un ejstëme matériel dans lequel on Imagine des liaisons. — 11 est souvent utile de simplifier les conditions dans lesquelles se trouve un système matériel dont on veut étudier l’équilibre, en imaginant des liaisons établies dans diverses parties de ce système. On entend par liaisons des conditions que le système doit nécessairement remplir, et que nous supposerons rentrer dans les Irois suivantes, savoir :

1® Que certains points du système restent à des distances ' invariables les uns des autres;

2® Que certains points soient obligés de rester sur des courbes fixes, ou sur des surfaces fixes, sans éprouver de frottement de la part de ces courbes ou de ces surfaces, conformément à ce que nous avons dit précédemment pour un simple point matériel (|§ 126 et 134);

3® Enfin, que certaines parties du système, considérées comme des solides invariables, soient assujetties à rester en contact les unes avec les autres, sans qu’il se développe de frottement entre leurs surfaces.

On peut concevoir que ces liaisons, que l’on imagine dans un système matériel, soient remplacées par des forces capables d’obliger le système à satisfaire aux mêmes conditions. Dans le cas où deux points doivent rester à une môme distance l’un de l’autre, des forces égales et contraires développées^ entre ces deux points, et d’une intensité convenable, pourront maintenir cette invariabilité de distance. Dans le cas où' un point est obligé de rester sur une courbe, ou sur une surface fixe, sans frottement, une force égale à la réaction normale de la courbe ou de la surface sur le point, peut produire le même effet. Dans le cas où deux parties du système, considérées comme deux solides invariables, sont assujetties à rester en contact, sans qu’il y ait de frottement entre leurs surfaces, on peut regarder ce résultat comme produit par deux forces égales et contraires, agissant sur les deux solides, aux points par lesquels ils se touchent, et suivant la normale commune à leurs surfaces ; ces deux forces doivent agir comme des forces attractives entre les points auxquels elles sont appliquées, ou bien comme des forces répulsives, suivant que les deux solides tendent à s’écarter l’un de l’autre, ou, au [contraire, à pénétrer l’un dans l’autre.

En substituant aux liaisons les forces qui peuvent en tenir lieu, on fait rentrer le système matériel dans le cas général pourlequel le théorème du travail virtuel a été établi précédemment (§ 184). Pour que ce système soit en équilibre, il faut et ib

suffît que la somme des travaux virtuels de toutes les forces, compris celles qui remplacent les liaisons, soit égale à zéro, quels que soient les déplacements virtuels qu’on attribue aux différents points matériels dont il est formé. Mais si, parmi tous les déplacements infiniment petits qu’on peut attribuer à ces divers points matériels, on choisit spécialement ceux qui sont compatibles avec les liaisons^ on verra que les forces qui tiennent lieu des liaisons disparaîtront d’elles-mêmes dans les équations fournies par le théorème du travail virtuel. En effet, si l’on considère en premier lieu les deux forces capables de maintenir l’invariabilité de distance de deux points du système, la somme des travaux de ces deux forces est nulle pour tout déplacement virtuel en vertu duquel la distance des deux points ne change pas (§ 175). Si l’on considère en second lieu la force capable d’empêcher un point de sortir d’une courbe fixe ou d’une surface fixe, le travail de cette force correspondant à un déplacement virtuel du point dirigé suivant la courbe fixe ou sur la surface fixe est égal à zéro, puisque ce déplacement virtuel est perpendiculaire à la direction de la force. Enfin, si l’on considère les deux forces capables de maintenir les surfaces S, S', fig. 92, de deux solides invariables en contact l’une avec l’autre, la somme des travaux de ces deux forces est nulle pour tout mouvement virtuel du système en vertu duquel ces deux surfaces ne cessent pas de se toucher; car les positions Aj, A'j, où les points des deux surfaces qui coïncidaient primitivement en A, viennent se placer par suite de ce mouvement virtuel, sont toutes deux situées sur le plan tangent commun à ces surfaces après leur déplacement, plan tangent qui ne fait qu’un angle infiniment petit avec le plan tangent commun en A; les déplacements AA,, AA', des points d’application des deux forces, que nous supposons appliquées aux deux solides pour les maintenir en contact l’un avec l’autre, ont donc une même projection sur la direction commune NN' de ces forces, puisque NN' est la normale commune aux deux

Fitr. 92.

surfaces en A ; et par conséquent la somme des travaux virtuels • de ces deux forces égales et contraires est nulle pour un pareil > mouvement virtuel. On peut dire d’après cela que, si l’on met de > côté toutes les forces capables de remplacer les liaisons, pour , ne s’occuper que des autres forces directement appliquées aux diverses parties du système matériel, et si l’on suppose que le i système soit en équilibre, la somme des travaux virtuels de ces dernières forces est nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons.

Nous allons voir que, réciproquement, si la somme des travaux virtuels des forces F, F', F",..-, directement appliquées au système matériel, est égale à zéro, pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons, ce système est en équilibre. En effet, s’il n’y avait pas équilibre, le système matériel dont il s’agit se mettrait en mouvement sous l’action des. forces F, F', F",...., et son mouvement s’effectuerait conformément aux liaisons auxquelles il est assujetti; on pourrait évidemment s’opposer à ce mouvement en appliquant à chacun des points matériels du système une force convenable dirigée en sens contraire de la direction suivant laquelle ce point matériel tendrait à se déplacer; dès lors le système matériel serait en équilibre sous l’action des forces Q, Q', Q",...., que l’on devrait

ainsi appliquera ses divers points, et des forces F, F', F" ,

<}ue l’on avait déjà. D’après ce qui vient d’étre établi, il n’y a qu’un instant, la somme des travaux de cet ensemble de forces Q, Q', Q',-..-, F, F', F",...., devrait être nulle, pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, et en particulier pour le déplacement infiniment petit que le système aurait pris tout d’abord sous l’action des forces F, F', F",.... seules, si l’on n’avait pas appliqué les forces Q, Q', Q",.... pour s’y opposer. Mais, par hypothèse, la somme des travaux virtuels des forces F, F', F",.... est nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons, et par conséquent pour le mouvement particulier dont il s’agit : donc, la somme des travaux virtuels des forces Q, Q', Q",.*** devrait aussi être nulle pour ce mouvement particulier, ce qui est impossible, puisque, dans ce mouvement, le

point d’application de chacune de ces forces Q se déplace précisément en sens contraire du sens dans lequel la force agit; ce qui fait que les travaux virtuels des forces Q, Q' Q",.... sont tous négatifs.

Il résulte de ce qui vient d’être dit que, pour qu’un système matériel, dans lequel oq imagine des liaisons, soit en équilibre sous l’action de diverses forces, F, F', F",.*--> directement appliquées à ses différents points, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de ces forces soit nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons.

§ 187. Un solide invariable est un cas particulier d’un système matériel dans lequel existent des liaisons, puisqu’un pareil solide n’est autre chose qu’un système matériel dont les divers points sont supposés à des distances invariablês les uns des autres. D’après cela, donner au solide un mouvement virtuel compatible avec les liaisons qu’on imagine à son intérieur, c’est le déplacer tout d’une pièce, sans qu’il éprouve aucun changement de forme dans ses diverses parties. Il résulte de là que, pour qu’un solide invariable soit en équilibre sous l’action de diverses forces, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de ces forces soit nulle pour tout mouvement infiniment petit attribué au solide, la forme du solide restant d’ailleurs toujours la même, malgré le changement de position qu’on lui fait subir. Nous retrouvons ainsi le théorème du travail virtuel, dans le cas d’un solide invariable, tel que nous l’avons établi précédemment (§ i 70) par des considérations directes. 11 est important de remarquer cependant que, pour arriver à l’établir ainsi directement, nous avons dû admettre tout d’abord (§ 1 53) que deux forces égales et contraires appliquées à deux points diffé^ rents d’un solide invariable, et suivant la droite qui les joint, se font mutuellement équilibre ; tandis que nous venons en dernier lieu de démontrer ce même théorème du travail virtuel, sans rien admettre de plus que les principes énoncés dans le chapitre premier du livre II, et les conséquences que nous en avons déduites par une suite de raisonnements rigoureux. Cette proposi,tion que nous avons admise relativement à deux forces égales

et directement opposées, appliquées à deux points différents d’un solide invariable, et qu’on peut regarder comme évidente par ellemême, se trouverait donc justifiée par ce qui précède, si l’on voyait quelque difficulté à la considérer comme évidente.

En appliquant le théorème du travail virtuel, dans le cas d’un solide invariable soumis à l’action de diverses forces, nous avons trouvé les six équations (o) du § 177, équations qui sont nécessaires et suffisantes pour exprimer l’équilibre du solide sous l’action de ces forces. Le solide dont il s’agit n’était assujetti à aucune autre condition que l’invariabilité des distances mutuelles des divers points matériels qui le composent; sauf cette invariabilité, il était entièrement libre de céder à l’action des forces. Nous pouvons maintenant aller plus loin, en nous appuyant sur le théorème du travail virtuel que nous venons

d’établir pour un système matériel contenant des liaisons. Nous pouvons trouver les équations d’équilibre d’un solide invariable qui n’est pas complètement libre de céder aux actions des forces qui lui sont appliquées.

Considérons en premier lieu un solide invariable qui ne peut que tourner autour d’un point fixe : si nous prenons ce point pour origine des coordonnées, et que nous donnions au solide successivement trois rotations infiniment petites autour de chacun des trois axes, le théorème du travail nous fournira les trois équations

x(Zj/ — Yz) = 0, x(Xz — Zæ) = 0, i(Yæ — Xf/) = 0.

Un mouvement infiniment petit quelconque du solide, compatible avec la liaison à laquelle il est assujetti, ne peut être qu’une rotation autour d’un axe passant p.ir le point fixe; ce mouvement peut donc toujours se décomposer en trois rotations autour des axes coordonnés, et par suite l’équation fournie par le théorème du travail virtuel pour ce mouvement quelconque sera une conséquence des trois équations précédentes : il résulte de là • que ces trois équations sont suffisantes pour exprimer l’équilibre du solide. On peut comprendre ces équations d’équilibre dans un seul énoncé, en disant que, pour qu’un solide invariable qui ne

ÉQUILIBRE D’üN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 315-

peut que tourner autour d’un point fixe soit en équilibre sous Faction de diverses forces, il faut et il suffit que la somme des moments de ces forces par rapport à une droite quelconque menée par le point fixe soit égale à zéro.

Dans le cas où un solide invariable ne peut que tourner autour d’un axe fixe, il est aisé de voir qu’une seule équation exprimera l’équilibre de ce solide sous l’action des forces qui lui sont appliquées : pour que le solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des moments des forces par rapport à l’axe fixe soit nulle.

Enfin, dans le cas où un solide invariable ne peut se mouvoir que parallèlement à un plan fixe, on trouve les équations nécessaires et suffisantes pour que ce solide soit en équilibre, en exprimant que la somme des travaux virtuels des forces qui lui sont appliquées est nulle pour trois déplacements différents, savoir : pour deux translations suivant deux axes rectangulaires tracés dans le plan fixe, et pour une rotation autour d’un axe mené perpendiculairement à ce plan par le point de rencontre des deux premiers. Ces équations d’équilibre sont les mêmes que celles que l’on trouverait si l’on projetait toutes les forces sur le plan fixe, et qu’on exprimât ensuite que le solide est en équilibre sous l’action de ces forces projetées (§ 179).

§ 188. Équilibre relatif d’un système matériel. -

Ce que nous avons dit pour l’équilibre relatif d’un point matériel (§ 140) peut s’étendre immédiatement à l’équilibre relatif d’un système quelconque de points matériels; cet équilibre se ramène à un équilibre absolu par l’adjonction des forces apparentes correspondant aux divers points du système, aux forces qui sont réellement appliquées à ces différents points. En prenant l’ensemble de ces forces apparentes et réelles, et leur appliquant le théorème du travail virtuel, on trouvera dans tous les cas les équations auxquelles elles doivent satisfaire pour que le système soit en équilibre relatif, c’est-à-dire pour’ qu’il ne sorte pas de l’état de repos relatif dans lequel on le suppose primitivement placé.

Les corps qui nous paraissent en équilibre autour de nous

sont seulement en équilibre relatif, puisque la terre n’est pas immobile. Nous pouvons traiter cet équilibre relatif comme s’il était absolu, en considérant, pour chaque molécule, nonseulement les forces qui lui sont réellement appliquées, mais encore la force d’inertie correspondant au mouvement réel de cette molécule supposée en repos par rapport à la terre. Mais si, parmi les forces qui agissent réellement sur les molécules, nous prenons spécialement les attractions qu’elles éprouvent de la part de la masse entière de la terre, ainsi que de la part du soleil et de la lune, et si nous composons la force d’inertie dont nous venons de parler avec ces attractions, nous aurons une résultante qui sera précisément ce que nous nommons le poids de cette molécule (§ liO), et la direction de cette force résultante sera la verticale correspondant au point où la molécule est située. Nous voyons par là que l’on peut assimiler l’état de repos des corps sur la terre à un équilibre absolu, en regardant le poids de chaque molécule comme si c’était une force qui lui fût réellement appliquée suivant la verticale, et exprimant que ce poids, joint aux forces réelles autres que les attractions dont il vient d’être question, forme un système de forces qui satisfait aux équations d’équilibre fournies par le théorème du travail virtuel.

Pour trouver la grandeur de ce poids de chaque molécule d’un corps, et par suite le poids total du corps considéré comme un solide invariable, nous n’avons pas besoin d’ailleurs de nous préoccuper de la définition que nous en avons donnée, et de chercher à elfectuer la composition des attractions que la molécule éprouve de la part de la terre, du soleil et de la lune, avec la force d’inertie correspondant à son mouvement d’entrainement : l’expérience nous fournit directement la grandeur du poids d’un corps, et de même elle nous fait connaître la verticale, qui est la direction suivant laquelle ce poids doit être regardé comme exerçant son action.

D’après les explications que nous avons données précédemment (§ 149), le poids d’un corps change périodiquement de grandeur aux diverses heures d’une même journée, et de même

la verticale correspondant à un point quelconque change j>ériodiquement de direction. 11 s’ensuit que l’état d’équilibre des corps sur la terre doit changer continuellement, par suite de ces circonstances. Mais ces changements sont tellement faibles qu’il n’est généralement pas possible d’en apercevoir les effets, et qu’il n’y a lieu de s’en préoccuper que dans des cas extrêmement restreints: nous regarderons donc habituellement les poids des molécules des corps situés sur la terre comme des forces constantes en grandeur et en direction.

§ 180. Équilibre des systèmes pe.sants dans les-

cfiicis eiListent des liaisons. — Considérons un système matériel assujetti à certaines liaisons, telles que celles que nous avons définies précédemment (§ 18G), et supposons que ses diverses molécules ne sont d’ailleurs soumises qu’à l’action de la pesanteur. Pour qu’un pareil système soit en équilibre, il faut et il suffit que, pour tout mouvement virtuel compatible avec les liaisons, le centre de gravité du système reste dans le plan horizontal dans lequel il se trouvait d’abord. En effet, la condition d’équilibre, telle que la fournit le théorème du travail virtuel, c’est que la somme des travaux virtuels des poids des diverses molécules du système soit nulle, pour tout déplacement compatible avec les liaisons (§ 186); mais nous avons vu (§173) que cette somme de travaux a toujours pour valeur le travail d’une force égale au poids total du système appliquée à son centre de gravtié : donc on exprimera l’équilibre du système en disant que ce dernier travail est nul pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, c’est-à-dire que, de quelque manière qu’on effectue ce déplacement, le centre de gravité du système ne sort pas du plan horizontal dans lequel il était primitivement situé.

Supposons, par exemple, que le lieu géométrique de toutes les positions que peut prendre le centre de gravité d’un système pesant, lorsqu’on donne à ce système tous les mouvenients compatibles avec les liaisons auxquelles il est assujetti, soit une ligne courbe ou bien une surface : le système sera en équilibre toutes les fois que son centre de gravité se trouvera

.au point le plus élevé ou au point le plus bas de la courbe ou Àe la surface, et, en général, toutes les fois qu’il sera en un point tel que la tangente à la courbe, ou le plan tangent à la surface en ce point aura une direction horizontale. S’il arrivait que le centre de gravité d’un système pesant restât constamment dans un même plan horizontal, de quelque manière qu’on changeât les positions de ces diverses parties, en ayant égard aux liaisons, on devrait en conclure nécessairement que le système est en équilibre dans toutes ces positions : on dit alors que l’équilibre est indiiférent. C’est ce qui aura lieu en particulier, si le centre de gravité du système reste toujours au même point de l’espace, de quelque manière que l’on déplace les .diverses parties de ce système.

§ 190. On trouve une application de ce qui précède dans la construction des ponts-levis à flèche. Le tablier AB du pont, fig, 93, est mobile autour d’un axe horizontal A; deux chaînes B, G partent des deux côtés du tablier, et vont s’attacher aux extrémités de deux flèches C, D formant un cadre mobile autour d’un axe horizontal E; un contre-poids Q, supporté par les deux flèches, sert à équilibrer le poids du tablier. On prend Ja distance EC égale à AB, et on donne aux deux chaînes B, G une

Fif. 93.

longueur égale à AE ; de sorte que la figure ABCE est un parallélogramme dans toutes les positions que l’on peut donner au système, en faisant tourner les flèches autour de l’axe E, et le tablier autour de l’axe A, sans que les chaînes B, C cessent d’être

tendues; il en résulte que, dans un pareil mouvement, l’angle ■dont le tablier tourne autour de l’axe A est toujours égal à l’angle dont les flèches tournent en même temps autour de l’axe E. Pour trouver Je centre de gravité du système tout entier, formé du tablier, des chaînes, des flèches et du contre-poids, nous pouvons concevoir que chaque chaîne soit remplacée par deux masses égales chacune à la moitié de sa masse et placée à ses deux extrémités; soient G et G' les centres de gravité du tablier d’une part, et des flèches avec le contre-poids Q d’une autre part, en y comprenant de part et d’autre les masses qui tiennent lieu des moitiés des chaînes; soient, en outre, P et P' les poids de ces deux parties du système : le point d’application de la résultante des forces parallèles et de même sens P, P', appliquées aux points G, G', sera le centre de gravité du système tout entier. On détermine le contre-poids Q, et sa position sur la charpente formée par les flèches, de manière à satisfaire à deux conditions, savoir : 1“ que la ligne EG' soit parallèle à AG', pour une position particulière du système ; 2° que l’on ait la proportion