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ÉQUILIBRE DES SOLIDES NATtRELS.

il dépend donc uniquement du coefficient de frottement et par conséquent de la nature des surfaces des deux solides, dans le Toisinage du point A : on lui donne le nom d'angle de frottement. Ainsi, l’action totale AF que le solide S' exerce sur le solide S fait nécessairement avec la normale AB un angle plus petit que l’angle de frottement. Imaginons que la ligne AD tourne autour de la normale AB, et qu’elle décrive ainsi un cône de révolution ayant celte normale pour axe : nous pourrons énoncer autrement la condition qui vient d’étre indiquée, et dire que l’action AF du solide S' sur le solide S, au point A, est nécessairement dirigée à l’intérieur de ce cône, dont l’angle au sommet dépend, comme nous venons de le voir, uniquement de la nature des surfaces des deux solides. L’action totale que le solide S exerce sur le solide S' étant égale et contraire à celle qu’il en éprouve, on peut dire également que cette action de S sur S' doit être dirigée à l’intérieur d’un cône égal au précédent, ayant son sommet en A et son axe dirigé suivant AB'. Les deux cônes dont il vient d’être question sont évidemment les deux nappes d’une même surface conique ayant la normale commune BAB' pour axe, le point A pour sommet, et l’angle de frottement a pour angle des génératrices avec l’axe.

Lorsque deux solides se touchent par plus d’un point, on peut répéter pour chaque point de contact ce que nous venons de dire dans le cas où il n’y en avait qu’un seul ; les actions égales et contraires que les deux solides exercent l’un sur l’autre, eu chacun de leurs points de contact, sont nécessairement dirigéesà l’intérieur des deux nappes opposées d’une surface conique ayant pour axe la normale commune en ce point de contact, pour sommet ce point même, et pour angle des génératrices avec l’axe l’angle de frottement correspondant.

L’angle de la surface conique, à l’intérieur de laquelle les^ actions mutuelles de deux solides en un de leurs points de contact doivent nécessairement être dirigées, a une valeur plus ou moins petite suivant que le coefficient de frottement correspondant aux deux surfaces qui se touchent en ce point est lui-même plus ou moins petit. Si l’on supposait que te coefficient de frottement fut

:J5G LIVUE III. — DYNAMIQI:K. DEUXIÈME PARTIE.

Jiul, la surAice conique se réduirait à son axe, cl, par conséquent, Jes actions mutuelles des deux solides ne pourraient avoir qu’une seule direction, celle de la normale commune à leurs surfaces jnenée par le point de contact. C’est dans ce cas idéal que nous nous sommes placés, lorsque nous avons considéré l’équilibre ^l’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur Jine surface fixe (§§ 1:20 et 134).

^ 20 i. É<|uilll»re de dcn.'K solides <fui »e touchent. — Si

^leux solides S, S' en équilibre se touchent par un seul point, i! doit y avoir équilibre entre toutes les forces qui agissent sur •cdiacun d’eux, c’est-à-dire entre les forces qui lui sont directement appliquées ét l’action qu’il éprouve de la part de l’autre -solide, au point où ils se touchent. Il suit de là que, si l’on con- .sidére chacun des deux solides comme étant invariable de forme, •et si l’on compose entre elles les forces qui lui sont directement appliquées, en laissant de côté l’action qu’il éprouve de la part de l’autre solide, on devra nécessairement trouver pour ces force une résultante unique égale et directement opposée à cette action D’après cela il est aisé de voir que, pour que les deux solides S, S' -soient en équilibre, il faut.: que toutes les forces directement

appliquées à l’un quelconque de ces deux solides aient une résultante dirigée vers le point par lequel ils se touchent; 2” que la résultante des forces directement appliquées, au solide S soit égale et contraire à la résultante des forces directement appliquées au .solide S'; 3" que ces deux résultantes soient dirigées à l’intérieur „ des deux nappes de la surface conique ayant pour sommet le point de contact des deux solides, pour axe la normale commune en ce point, et pour angle des génératrices avec l’axe l’angle de frottement correspondant à la nature des surfaces qui se touchent; 4® enfin que ces deux résullantes'agissentdans des sens tels qu’elles •tendent à appuyer les deux solides l’un contre l’autre, et non à les séparer l’un de l’autre.

Lorsque deux solides en équilibre se louchent par plusieurs points, les forces directement appliquées à l’un d’eux S sont anisés en équilibre par les actions qu’il éprouve de la part de l’autre solide S' aux divers points par lesquels ils se touchent;

ÉQUILIBRE DES SOLIDES NATURELS. :i5T

et comme ces aclions de S' sur S n’ont pas nécessairement une résultante unique, il s’ensuit que, pour l’équilibre, il n’est pas nécessaire non plus que les forces directement appliquées, au solide S aient une résultante unique. Tout ce que nous pouvons dire ici d’une manière générale, c’est que les force.s directement appliquées au solide S, et les aclions que ce solide S e.verce sur le solide S', constituent deux systèmes de^ forces équivalents (§ 180), puisque l’un et l’autre de ces deux, systèmes de forces est mis en équilibre par l’ensemble des actions de S' sur S.

§ 205. Considérons en particulier deux solides S, S', qui setouchent par plusieurs points A, B,

C, D,... f}(j. io;j,

tous situés dans un même plan B. Supposons que les parties matérielles du solide S qui se trouvent sur les perpendiculaires au plan P nicnées par les points de contact A, B,. C,... et dans le voisinage de ces points, soient toutes placée.»^ d’un même côté du plan P; et que par conséquent les partie.smatérrclles du solide S' situées sur les mêmes perpendiculaireset dans le voisinage des mêmes points A, B, G,... soient toutes placées de l’autre côté de ce plan. Supposons en outre que le.=forces directement appliquées au solide S aient une résultante unique R, ce qui entraîne nécessairement comme conséquence que les forces directement appliquées au solide S' aient aussi une résultante unique U' égale et contraire à la précédente.

La résultante R des forces directement appliquées au solide S est équivalente au système des actions que ce solide S, exerce sur le solide S', aux divers points de contact A, B, C,..., ainsi que nous venons de le voir il n’y a qu’un instant; celte forc(? R est donc aussi la résultante des actions de S sur S', et son mo-

l-ig. 103.

ment par rapport à une droite quelconque tracée dans le plan P est égal à la somme des moments de ces actions de S sur S' par rapport à la même droite (§ 180).

Cela posé, construisons un polygone convexe ABDFH ayant pour sommets des points pris parmi les points de contact A, B, C, D,... des deux solides, et contenant à son intérieur ou sur ses côtés tous ceux de ces points de contact qui ne sont pas à ses sommets. D’après ce que nous admettons, les diverses actions de S sur S' tendent toutes à repousser les points A, B, C,... du solide S' d’un même coté du plan P, et par suite la résultante R de ces actions doit aussi tendre cà repousser le solide S' de ce même côté du plan P; les moments de ces actions de S sur S', par rapport au côté AB du polygone que nous venons de former, sont donc tous de même signe, et le moment de la force R par rapport à ce côté a par conséquent le même signe que chacun d’eux : donc la direction de la force R doit percer le plan P en un point situe, par rapport à la ligne AB, du même côté que les points de contact C, D, E,... qui ne sont pas sur cette ligne. Ce que nous venons de dire pour le côté AB du polygone convexe ABDFH, nous pouvons le répéter pour chacun de ses autres côtés ; nous en conclurons nécessairement que la direction de la force R doit percer le plan P à l’intérieur de ce polygone convexe, auquel on donne le nom de polygone (Tappui des deux solides. Il faut en outre, bien entendu, que la force R tende à appuyer le solide S sur le solide S', et non à l’écarter de ce dernier solide. ^

Si, outre les hypothèses précédentes, nous admettons encore que le coefficient de frottement soit le même pour les divers points de contact A, B, C, D,... des deux solides S, S', chacune <les actions de S sur S' ne pourra pas faire avec la perpendiculaire au plan P un angle plus grand que l’angle de frottement commun aux divers points de contact; d’ailleurs, on peut évidemment trouver la grandeur et la direction de la force R en transportant les actions de S sur S' parallèlement à elles-mêmes au point où cette force R perce le plan P, et les composant ensuite à l’aide du polygone des forces : il est aisé d’en conclure