ÉQUILIBRE BES SOLIDES NATURELS

<juc la force R elle-meme ne peut pas faire avec la perpendiculaire au plan P un angle plus grand que l’angle de frottement dont il vient d’ètre question.

Nous n’avons particularisé en aucune manière le nombre des points de contact A, B, C, D..., que nous avons supposés tous situés dans un même plan, et, par conséquent, tout ce que nous venons de dire est applicable a,u cas où les deux solides :S, S' se toucheraient dans toute l’étendue d’une face plane.

§ 200. Équilibre d* un solide pesant posé sur un plan.

— Un corps solide, soumis à la seule action de la pesanteur, et posé sur un plan, c’est-à-dire sur une face plane d’un autre corps, rentre évidemment dans le cas que nous venons d’étudier d’une manière générale 205). Les actions de la pesanteur sur les diverses parties du corps ont une résultante égale à son poids, agissant suivant la verticale menée par son centre de gravité, et de haut en bas. Pour que le corps soit en équilibre, il faut :

1° que la verticale menée par son centre de gravité perce le plan sur lequel il repose à l’intérieur du polygone d’appui, tel que nous l’avons détini ; 2*^ que l’angle compris entre la verticale et la perpendiculaire au’ plan, ou, ce qui est la même chose, l’angle que le plan hiit avec l’horizon, soit inférieur à l’angle de frottement correspondant à la nature des surfaces qui sont en contact.

Dans le cas particulier où le corps que l’on considère est posé sur un jilan horizontal, la seconde côndition est toujours satisfaite; on n’a donc qu’à se préoccuper de la première condition, pour savoir si le corps est ou n’est pas en équilibre dans une position donnée.

Cherchons à nous rendre compte de la grandeur des pressions qu’un corps pesant, posé sur un plan horizontal, exerce en ses divers points d’appui; et considérons pour cela les divers cas qui peuvent se présenter, eu égard au nombre des points d’appui. Si le corps ne s’appuie que par un seul point, il ne peut être en équilibre qu’autant que son centre de gravité est situé sur la verticale menée par ce point d’appui, et la • pression qu’il exerce en ce point est évidemment égale à son

poids. Si le corps s’appuie par deux points A, B, fig, 104, la verticale menée par son centre de gravité doit percer le plan, .sur lequel il repose, en un point G situé sur la droite qui passe

A [■ par les deux points A, B, et entre

Fig. io«i. ces deux points ; il suffit de décom-

poser le poids P du corps, appliqué suivant cette verticale, en deux composantes parallèles agissant sur les points A et B, pour avoir les pressions exercées par le corps en ces deux

. , , . . PxCB , . . ^

points : on trouve ainsi — ^ — pour la pression au point A,

et

PxAC

AB

pour la pression au point B. Si le corps s’appuie par

trois points A, B, C, non situés en ligne droite, fig. 105, la ver-

A ^3 ticale menée par son centre de gravité

/ doit percer le plan en un point D situé \ JJ ^ à l’intérieur du triangle ABC; les pre.s-

\ sions qu’il exerce sur le plan, aux points

\ / A, B, C, seront trois forces parallèles

. ayant pour résultante une force verticale égale à son poids P et appliquée au point D ; le moment de cette résultante P par rapport au plan vertical mené par BC sera égal au moment de la composante appliquée en A par rapport au même plan vertical (§ 158), et, par suite, cette composante et la résultante seront entre elles dans le rapport inverse des distances de leurs points d’application A et D au côté BC, c’est-à-dire, dans le rapport inverse des surfaces des triangles BAC, BDG : donc les pressions exercées par le corps en chacun de ses trois points d’appui A, B, C, auront respectivement pour va- , PxBDC PxADC PxADB

^Airc“>

Si le nombre des points d’appui du corps avec le plan est supérieur à trois, il n’est plus possible de déterminer les pressions qu’il exerce en chacun de ses points d’appui, par la seule connaissance de la position que la verticale menée par son centre de gravité occupe par rapport à ces points ; on peut en effet trou-

■ ÉQUILIKRE DES SOLIDES NATURELS. ;mi

ver une infinité de système de forces parallèles et de môme sens appliquées à ces points d’appui, qui aient pour résultante le poids P du corps appliqué à son centre de gravité : on peut prendre arbitrairement les valeurs de ces pressions à l’exception de trois d’entres elles, sans toutefois dépasser certaines limites pour ces valeurs, et on en conclut facilement les grandeurs des trois pressions restantes, de manière que la résultante de toutes ces pressions soit égale au poids du corps et soit dirigée suivant la verticale du centre de gravité. La môme difficulté se présente également lorsque le corps s’appuie par trois points situés sur une même ligne droite; la détermination des pressions exercées par le corps en chacun de ces trois points d’appui ne peut pas s’effectuer par la seule connaissance du point où la verticale menée par le centre de gravité du corps rencontre la droite menée par ces trois points d’appui. Les pressions que le corps exerce sur le plan, aux divers points par lesquels il le touche, ne sont cependant pas indéterminées; mais on ne peut les trouver qu’autant que l’uii connaît la nature du corps pesant que l’on considère, que l’on sait quelle est la rigidité ou la flexibilité plus ou moins grande qu’il présente dans ses diverses parties, et que l’on sait également comment se comporte le corps à face plane et horizontale sur lequel il s’appuie sous l’action des pressions que ce second corps éprouve de la part du premier. La question que nous allons traiter dans le. paragraphe suivant montrera comment cette connaissance de la nature des deux corps permet d’effectuer la détermination des pressions aux différents points par lesquels ils se touchent.

§ 207. Considérons un solide S, fig. lOfi, reposant sur un plan horizontal par une face plane rectangulaire AB, qui est représentée en vraie grandeur en aba'b'. . Supposons que la surface latérale du solide, dans le voisinage de la face d’appui AB, soit formée de plans perpendiculaires à celte face menés par ses quatre côtés ; et que le centre de gravité G du solide se trouve dans le plan vertical qui passe par les milieux n des côtés aa'f bb' de la face d’appui. Supposons en outre que la surface plane sur laquelle le corps S repose présente une grande

;J62 LIVRE III. — dynamique. DEUXIÈME PARTIE.

rigidité, et reste plane malgré la légère dépression que le poids du corps lui fait subir ; que le solide S soit partout également compressible sous Faction des forces qui peuvent lui être appliquées, du moins dans la partie qui avoisine sa face d’appui AB ; enfin que, en raison de cette égale compressibilité, les molécules qui étaient primitivement dans un plan CD parallèle à la face AB et trèsvoisin de celte face, avant que le solide fut soumis aux pressions qu’il éprouve de bas en haut sur cette face d’appui, se trouvent encore dans un même plan G'D', après la déformation que ces pressions lui ont fait subir. Prenons en particulier dans le solide un prisme vertical IIL, à base infiniment petite <» s’étendant entre les plans AB, CD, avant que le solide ait été déformé dans le voisinage de sa face d’appui; ce prisme s’est raccourci, par suite des pressions qu’il éprouve à ses deux extrémités, et sa longueur, qui était primitivement HL, s’est réduite à 111/ : LL' est donc la quantité dont sa longueur a diminué, et par conséquent on aura pour la pression p que la base inférieure w de ce prisme éprouve de la part du plan d’appui (§ 19G) :