AX2 + BY2 + CZ
c’est-à-dire que, pour ce système particulier d’axes coordonnés, 4es quantités que nous avons désignées par les lettres D, E, F «ont nulles. La valeur de imr^ relative à l’axe OA devient dans <;e cas
imr- = \ cos- a -f B cos^ 6 + G cos^ 7 ;
et les moments d’inertie que représentent les lettres A, B, C, prennent le nom de moments dHner lie pr incipaux du solide relatifs .au point 0.
On voit que les .axes principaux que nous venons de définir sont caractérisés par les trois relations
imyz 0, ^mxz — 0. ^mxtj = 0,
'<}ui ont lieu lorsqu’on prend ces trois axes pour axes coordonnés. Si l’on considère seulement deux de ces trois relations, les deux dernières par exemple, elles expriment que l’équation de l’ellipsoïde ne contient pas la variable X au premier degré; il s’ensuit évidemment que ces deux relations prises ensemble constituent les conditions nécessaires et suffisantes pour que l’axe des assoit un axe principal du solide relatif au point 0.
A chaque point de l’espace correspond un ellipsoïde tel que celui que nous venons de trouver, et qui donne la loi des moments d’inertie du solide considéré par rapport aux divers axes menés par ce point. Celui de ces ellipsoïdes qui correspond au eentre de gravité du solide est spécialement désigné sous le nonn d'ellipsoïde central.
II peut arriver que l’ellipsoïde correspondant à un point soit de révolution; alors les moments d’inertie relatifs à toutes les droites menées par son centre, perpendiculairement à son axe de révolution, sont ég.aux entre eux : toutes ces droites sont des axes principaux du solide. Si l’ellipsoïde devient une sphère, une droite quelconque menée par le point auquel il se rapporte est un axe principal du solide.
Un axe principal relatif au centre de gravité du solide jouit
lie la propriété d’être en même temps axe principal du solide pour un quelconque de ses points. En effet, si l’on rapporte le solide à trois axes coordonnés rectangulaires menés par son centre de gravité, en prenant la droite dont il s’agit pour axe des x, on aura
xtw.i’f/ = 0 xiwa w = Ü,
puisque cette droite est par hypothèse un axe principal du solide par rapport à son centre de gravité. Concevons maintenant que l’on transporte les axes des y et des z, parallèlement à euxmêmes, en un point situé sur l’axe des x à une distance a de l’origine ; on passera des coordonnées relatives aux axes primitifs à celles qui se rapportent aux nouveaux axes, en changeant simplement x eu a -|- x'. Les deux relations précédentes deviendront donc
et il est aisé de voir qu’elles se réduisent à
= ü, limxz = 0,
car, par une propriété connue du centre de gravité, on a
z.mfi = (», :imz = 0.
On voit donc que l’axe des x est un axe principal du solide, par rapport à la nouvelle origine des coordonnées, quelle que soit la distance a de cette nouvelle origine à l’ancienne : c’est ce que nous nous proposions de démontrer. On peut reconnaître facilement d’ailleurs, par des considérations analogues aux précédentes, qu’il n’y a que les axes principaux relatifs au centre de gravité du solide qui jouissent de la propriété dont il s’agit : une droite ne peut être un axe principal du solide relativement à deux de ces points, qu’autant qu’elle passe par le centre de gravité du solide.
Nous avons eu à considérer précédemment le moment d’inertie d’une surface plane, par rapport à une droite tracée dans son plan (§ 197). Ce moment d’inertie rentre évidemment
ilans ceux que nous venons d’étudier ici et il est aisé de voir comment on peut lui appliquer les divers théorèmes que nous avons établis relativement aux moments d’inertie des solides.
§ 241 . mouvement d'un solide Invariable entièrement libre. — Pour trouver les équations différentielles du mouvement d’un solide invariable entièrement libre, nous pouvons nous servir du théorè^.'^'Üe d’Alembert (§ 221). Nous savons par ce théorème que les équations dont il s’agit s’obtiendront en exprimant que les forces appliquées au solide, jointes aux forces d’inertie de ses différents points, satisfont aux six équations (a) du § 177. Le solide étant rapporté à trois axes coordonnés rectangulaires fixes, désignons par X, Y, Z les composantes, suivant les axes, d’une quelconque des forces qui lui sont appliquées. D’un autre côté, les composantes de la force d’inertie d’un point de masse m dont les coordonnées sont .r, ?/, ont évidemment pour valeurs
En exprimant que toutes ces forces réelles et d’inertie satisfont aux équations (a) du § 177, on trouve facilement les équations suivantes :
Telles sont les écpiations différentielles du moiiveinent d’un
solide invariable entièrement libre. Les signes 2 des premiers membres indiquent des sommes s’étendant à tous les points matériels dont le solide est formé; quant à ceux des seconds membres, ils indiquent des sommes qui s’étendent à toutes les forces appliquées au solide.
Nous pouvons tirer immédiatement de ces équations une conséquence importante. Nous avons vu qu’un système de forces appliquées à un solide invariable en équilibre peut être remplacé par un autre système de forces, sans que l’équilibre soit troublé, pourvu que ce second système satisfasse aux six conditions établies dans le S 180 : dans ce cas, les deux sy stèmes de forces sont dits équivalents l’un à l’autre. Si l’on considère la forme des équations différentielles que nous venons de trouver, ainsi que celles des conditions d’équivalence dont il vient d’être question, on en conclura que le système des forces appliquées à un solide invariable en mouvement peut être remplacé par tout autre système de forces qui lui soit équivalent, sans que le mouvement du solide soit changé. Deux systèmes de forces, (jui peuvent être remplacés l’un par l’autre pour agir sur un solide en repos, peuvent donc aussi se remplacer mutuellement pour agir sur un solide en mouvement.
§ 24:2. Les six équations différentielles que nous venons d’obtenir suffisent bien pour déterminer complètement le mouvement du solide; mais elles ne sont pas sous une forme commode pour effectuer cette délermiiialion : elles renferment comme inconnues les coordonnées x, y, j, de tous les points du solide, coordonnées qui sont généralement en très-grand nombre. Pour pouvoir se servir de ces équations, il faudrait leur adjoindre celles qui expriment que les distances mutelles des différents points du solide sont constantes et connues; à l’aide de ces dernières équations, les coordonnées des divers points s’exprimeraient en fonction de six d’entre elles, qui seraient alors les inconnues dont les six équations différentielles du mouvemeni devraient fournir les valeurs. Mais il est plus simple d’opérer autrement, pour ramener les équations différentielles à ne contenir que six inconnues.
•iii ^ LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
Nous savons, par le premier théorème général (§ 222), que le centre de gravité du solide se meut comme si toute la masse du solide y était concentrée, et que toutes les forces appliquées au solide y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes; en écrivant les équations différentielles du mouvement du centre de gravité, ainsi transformé en un point matériel, nous aurons «léjà trois équations contenant trois inconnues qui seront les coordonnées de ce centre de gravité. Il nous restera à déterminer le mouvement du solide autour de son centre de gravité, au moyen de trois autres équations différentielles ne contenant également que trois inconnues.
Pour trouver ces trois autres équations, nous considérerons le mouvement du solide autour de son centre de gravité, penilant un élément de temps dl; nous supposerons que ce mou vement soit rapporté à des axes coordonnés de direction constante menés par le cenlre de gravité, tellement choisis qu’ils coïncident avec les axes principaux du solide relatifs à ce point (§ 240) au commencement du temps dl; et nous appliquerons le troisième théorème général (§ 220) à ce mouvement infiniment petit du solide, en prenant les moments des quantités de mouvement et des impulsions par rapport à chacun des trois axes coordonnés. Le mouvement dont il s’agit est nécessairement une rotation autour d’un axe instantané passant par le centre de gravité (§ 27). Cette rotation peut être remplacée par trois rotations simultanées autour des trois axes coordonnés (§§ 55 et 45). Désignons par w la vitesse angulaire dans la rotation du solide autour de son axe instantané, et par p, ç, r les vitesses angulaires dans les rotations composantes autour des axes coordonnés, OX, OY, OZ. Lorsque le solide tourne de l’angle pdt autour de l’axe OX, les coordonnées x, y, z d’un (pielconque de ses points s’accroissent respectivement de
0, —pzdt, + pydty
ainsi qu’il est facile de le reconnaître; lorsqu’il tourne de qdt autour de OY, ces coordonnées s’accroissent de
-f fjzdt, 0, — (ixdt
MOUVEMENT Da'N SOUDE INVARIABLE.
iia
et lorsqu’il tourne de rdt autour de OZ, elles s’accroissent de
— njdt, + rxdt, O :
donc, lorsque le solide tourne de l’angle udt autour de son axe instantané, les mêmes coordonnées s’accroissent de
{qz — ry)dtj {rx — pz)dt, {py — qx)dt.
Il s’ensuit que les composantes de la vitesse du point dont il s’agit, suivant des parallèles aux axes coordonnés, ont pour valeurs
dx du dz
Or la somme des moments des quantités de mouvement des divers points du solide par rapport à l’axe OX est exprimée (§ 177) par
dz ^ d(j\
si l’on remplace dans cette expression et ^ par leurs valeurs, elle devient
p^7)i(y~ -|- 2:-) — qlmxy —
. quantité qui se réduit à \p, si l’on suppose que les axes OX, OY, ÜZ coïncident avec les axes principaux du solide ; et si l’on désigne comme précédemment par A, B, C, les moments d’inertie du solide par rapport à ces axes. On trouverait de même que les sommes des moments des quantités de mouvement du solide par rapport aux axes OY, OZ, ont pour valeurs B7, Cr.
Ainsi au commencement du temps dt pour lequel nous voulons appliquer le troisième théorème général, les sommes des moments des quantités de mouvement des divers points du solide, par rapport aux axes coordonnés OX, OY, OZ, qui coïncident à cet instant avec les axes principaux, sont respectivement égales à
\p, Br/, Cr.
tu LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
Cherchons ce que deviennent ces sommes de moments, par rapport aux mêmes axes coordonnés, à la fin du temps âl. A. ce second instant, p, 7, r s’étant accrus des quantités dp, dq, dr pendant le temps dt, les sommes de moments dont il s’ai^it auraient pour valeurs
A(p +dp), B(7 -h dq), C(r dr),
si les moments étaient encore pris par rapport aux axes principaux du solide; mais il n’en est pas ainsi, parce que les axes principaux qui coïncidaient avec les axes coordonnés au commencement du temps dt, s’en sont écartés pendant cet élément de temps en vertu de la rotation Mdt du solide autour de son axe instantané, ou, ce qui est la même chose, en vertu de ses trois rotations simultanées pdt, qdt, rdt autour des trois axes coordonnés. Pour arriver aux résultats que nous cherchons, considérons l’axe du moment résultant des quantités de mouvement des divers points du solide par rapport à ^on centre de gravité (5; ICI). D’après ce que nous venons de dire, les projections de cet axe, considéré à la fin du temps dt, sur les positions qu’occupent les axes principaux du solide à cet instant, ont pour valeurs
.\(/) + dp), D(7 -f- dq), C(r -|- dr) ;
pour avoir la projection du même axe sur l’axe coordonné 0.\, il faudra projeter chacune des trois projections précédentes sur OX, et faire la somme des trois résultats ainsi obtenus. Or, par suite des rotations pdi, qdt, rdt, autour des trois axes OX, OY, OZ, les axes principaux du solide se sont écartés infiniment peu de ces axes coordonnés OX, OY, OZ; et les angles que ces troi.< axes principaux font avec OX, après ces rotations, ont évidemment pour valeurs :
ml ^
si l’on multiplie les quantités A(p -f- dp), B(ry -|- dq), C(r -f- dr) par les cosinus de ces trois angles, et que l’on ajoute les trois produits, en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur au premier, on trouve :
A(p + dp) + (C — U)qrdt :
celte expression, qui représente la projection île Taxe du moment résultant des quantités de mouvement sur OX, à la fin du temps dty est donc la valeur de la somme des moments des ffiiantités de mouvement des divers points du solide par rapport à OX, au même instant.
Si, de cette somme de moments correspondant à la lin du temps dtj nous retranchons la valeur Xp de la somme analogue correspondant au commencement du temps d/, nous trouverons
Xdp -h (C — \i)qrdt,
qui représentera raccroissement de la somme des moments des quantités de mouvement du solide par riipport à OX, pendant le temps dt. D’après le troisième théorème général, cet accroissement doit être égal à la somme des moments des impulsions élémentaires des forces appliquées au solide pendant ce temps dt, par rapport au même axe OX. Désignons par L, M, N les sommes des moments des forces dont il s’agit, par rapport aux trois axes coordonnés OX, OY, OZ. Il est clair que la somme des moments des impulsions élémentaires de ces forces pendant le temps dty par rapport à l’axe OX, aura pour valeur Ld/, donc, d’après le troisième théorème général, on aura
Xdp + (C — \])(jrdt = Ldt.
Des considérations analogues aux précédentes, dans lesquelles l’axe OX serait remplacé par les axes OY, OZ, conduiraient de même aux deux autres relations :
IWi/ + (A — C)rpdl = Md/,
Cjdr -|- (H — \)pq dt = Xd/.
Oes trois équations font connaître les variations dp, di/, dr qu’éprouvent les vitesses angulaires p, (/, r du solide dans ses rotations autour des trois axes principaux relatifs à son centre de gravité, pendant le temps intiniment petit dt qui s’écoule à partir de l’instant où ces axes principaux coïncident avec les axes de direction constante OX, OY, OZ; mais, comme on
lie. UVHK ]V. — DYNAMIQUE. TROISIEME PARTIE.
pourrait les établir de même pour chacun des éléments de temps dt qui se succèdent, en employant à chaque fois comme auxiliaires des axes coordonnés de direction constante, qui coïncident avec les axes principaux du solide au commencement de cet élément de temps, il s’ensuit qu’on peut les regarder comme vraies pour tous les éléments dont se composent un temps fini quelcon- (jue. En divisant tous les termes par rf/, on peut mettre ces trois équations sous la forme suivante.
A = (H — C) qr 4- h, ^
(C ~ A) rp + .M, I (A — r>)j>7 4- N. i
Ce sont les trois autres équations différentielles du mouvement du solide que nous nous proposons de trouver. Mais ces équations, qui ne sont que du premier ordre, ont besoin d’être conplétées de la manière suivante.
Les axes coordonnés que nous avons considérés précédemment, pour établir les équations (a), n’étaieiit ({ue des axes auxiliaires dont nous n’avons plus à nous préoccuper, dès le moment que nous sommes arrivés à ces équations où il ne reste absolument rien qui dépende des axes coordonnés dont il s’agit. Concevons maintenant que le mouvement du soleil autour de son centre de gravité soit rapporté pendant un temps quelconque à un système d’axes coordonnés rectangulaires de directions constantes ayant ce point pour origine. Appelons OX, OA’, OZ ces trois axes, et désignons en même temps par OX,, OA’,, OZ, les trois axes principaux du solide relatifs à son centre de gravité. Ces derniers axes accompagnent le solide dans son mouvement, et il suffit de connaître leur déplacement progressif par rapport aux axes OX, OY, OZ, pour que le déplacement du solide luimcme par rapport à ces derniers axes soit connu. Le plan X,OA\ coupe le plan XOA* suivant une droite que nous appellerons OA. Soient v l’angle que cette droite OA fait avec OX, l’angle que cette même droite OA fait avec OX,, et 0 l’angle que le plan
MOlJVEMKM I)’1:N SOLIDE I M V A 15 J A i’.L E . U7
X,OY, fait avec le plan XOY. Si Ton parvient à délerniiner les valeurs des angles », S, H en fonction du temps, la position du sysU’^me d’axes OX,, OY,, OZi, et par suite celle du solide luiinème, par rapport aux axes OX, OY, OZ, sera connue à chaque instant. Pendant le temps dt^ le solide tourne de l’angle autour de son axe instantané de rotation, et cette rotation intinirncnt petite peut être regardée comme la résultante des trois rotations pdt qdt rdt autour des trois axes OXj, OY,, OZ,. En même temps les angles -p, 0 s’accroissent de leurs dilférentielles dy, dpy dOj qui peuvent être regardées comme trois rotations infiniment petites autour des axes OZ, OZ,, OA : d», d}, dO sont donc trois autres composantes de la même rotation résultante oidl relatives à ces derniers axes. Si nous représentons chacune des rotations infiniment petites dont il s’agit ici, par une droite, comme au § 55, nous pouvons dire que la rotation pdt autour de OX, est la projection orthogonale de la rotation résultante r,4t sur OX,; pdt est donc aussi égal à la somme des projections orthogonales des trois composantes dp, dO sur ce même axe OXj. Si nous écrivons cette égalité, et aussi les deux égalités analogues pour les rotations qdt y rdt y relatives aux axes O Y,, OZ,, puis que nous divisions tous les termes de ces trois égalités par dt nous trouverons.
, do .... d'Ÿy \
fosv^ + smOsiii'l ^ \
• . do d(ç> f
— smv^ + siiiOcosi-^» i
//» , dp '
f AC Ô — L J L.
dt-dt '
Les deux systèmes (a) et (b), formés chacun de trois équations dinérentielles du premier ordre, équivalent ensemble à un système de trois équations différentielles du second ordre. L’intégration de ces systèmes d’équations différentielles fera connaître complètement le mouvement du solide autour de son centre de gravité ; car on en déduira les valeurs de », -p et 0 en fonction du temps, ce qui suffit, ainsi que nous l’avons dit, pour que la position du solide à un instant quelconque, relativement aux
ii8 LIVRK IV. — DYNAMIQUE. TROl SIEME PARTIE.
iixes (le directions constantes menés par ce point, soit entièrement connue.
§ Le cas le plus simple qui se présente, dans l’étude du mouvement d’un solide invariable libre, c’est celui où le solide n’est soumis à l’action d’aucune force, et ne se déplace qu’en vertu du mouvement qu’on lui a imprimé tout d’abord. Nous allons voir que, dans ce cas, on peut se faire une idée très-nette des diverses circonstances que présente le mouvement du solide.
Nous savons d’abord (§ 2:23) que le centre de gravité du solide se meut uniformément et en ligne droite, ou bien qu’il reste immobile. Il ne nous reste donc qu’à voir comment le solide se meut autour de son centre de gravité. Pour y parvenir, nous pourrions nous servir des équations différentielles (a) et (b) qui viennent d’èlrc établies (§ 242); mais il sera plus simple d’opérer autrement, en n’employant que des considérations géométriques.
Observons d’abord que le théorème des aires est applicable à ce mouvement du solide autour de son centre de gravité (§§ 234 et 228), puisqu’il n’y a pas de forces extérieures : si l’on considère les aires décriles par les rayons vecteurs menés du centre de gravité aux divers points du solide, dans leur mouvement par rapport à des axes de directions constantes passant par ce point, le plan du maximum des aires doit conserver constamment la même direction, et la somme des aires projetées sur ce plan doit avoir constamment la même valeur. Voyons donc comment on peut trouver le plan du maximum des aires, dont il s’agit, à chaque instant.
Ce plan du maximum des aires n’est autre chose que le plan -du moment résultant des quantités de mouvement des différents points du solide par rapport à son centre de gravité (§ 228). Or nous avons vu (§ 242) que les projections de l’axe de ce moment résultant, sur les axes principaux du solide relatifs à son centre <le gravité, ont pour valeurs
-V, \](j, Cf,
A, R, C, P, 7, r ayant les^ mêmes significations que précédem-
MOLVEMENT D’UN SOLIDE INYAIUABLE.
ment. On en conclut tout de suite que, si l'on prend ces axes principaux pour axes coordonnés, le plan du maximum des aires fait avec les trois plans, coordonnés des angles dont les cosinus sont
Ap
Cr
L’ellipsoïde central (§ 240), rapporté aux mêmes axes, a pour équation
ID/2 + Cr.2 = 1.
Considérons le point de cet ellipsoïde qui est situé sur l’axe instantané de rotation du solide, et désignons par. x', y', ses coordonnées et par l la longueur du rayon qui le joint au centre de l’ellipsoïde; on aura évidemment
I (ù l b) I tù
f.i étant la vitesse angulaire dont p, </, r sont les trois composantes. Le plan langent à l’ellipsoïde aux points î/, a pour équation
Axæ' + liyy' -f = 1 .
La proportionnalité des coordonnées x\ y', z' aux quantités q, r, montre que le plan du maximum des aires est parallèle à ce plan langent. Or, on sait que, dans l’ellipsoïde, le plan diamétral conjugué d’un diamètre quelconque est parallèle au plan tangent mené à l’extrémité de ce diamètre : donc on peut dire que, dans la rotation du solide autour d’un axe instantané quelconque passant par son centre de gravité, le plan du maximum des aires relatif à ce point n’est autre chose que le plan diamétral de l’ellipsoïde central qui est conjugué du diamètre dirigé suivant l’axe instantané de rotation.
Ainsi, dans le mouvement que nous étudions, le solide doit tourner, à un instant quelconque, autour du diamètre de son ellipsoïde central qui est conjugué du plan du maximum des aires considéré comme plan diamétral de cet ellipsoïde. Si cet
axe de rotation n’est pas un des axes de l’ellipsoïde, son plan diamétral, entraîné par le mouvement du solide, change de direction dans l’espace ; donc le plan du maximum des aires, qui doit conserver toujours la même direction, cesse de coïncider avec ce plan diamétral, et par conséquent aussi l’axe de rotation se déplace à l’intérieur du solide.
Le théorème des forces vives, appliqué au mouvement qui nous occupe, montre que la force vive du solide conserve constamment la même valeur, puisqu’il n’est soumis à l’action d’aucune force. Or la vitesse d’un point situé à la distance R de l’axe instantané de rotation est égal à o>R; la force vive de ce point est donc égale à mw^R^, en désignant sa masse par w, et par conséquent la force vive du solide tout entier a pour valeur
Mais si l’on se reporte à la définition de l’ellipsoïde central (§ 2i0), on verra que le moment d’inertie :smR- qui entre dans
cette expression est égal à -, en sorte que la force vive du solide peut se mettre sous la forme
eu-
Le théorème des forces vives montre donc que -r-est constant;
ou, en d’autres termes, à mesure que l’axe de rotation du solide se déplace à son intérieur, sa vitesse angulaire varie proportionnellement à la longueur l de la portion de cet axe qui est comprise entre le centre de gravité et la surface de l’ellipsoïde central.
Revenons maintenant au théorème des aires. D’après ce théorème, le moment résultant des quantités de mouvement du solide par rapport à son centre de gravité est constant. Or, ce moment résultant a pour valeur
puisque Ap, B//, Cr sont les projections de .son axe sur les axes coordonnés ; et si l’on y remplace p, q, r par les quantités équivalentes
♦'></' (ùz'
il prend la forme simple
en désignant par S la distance du centre de gravité du solide au plan tangent de l’ellipsoïde central mené par les points x', y\
Celte quantité ^ devant conserver constamment la même valeur Aï
hi
et y étant d’ailleurs constant, comme nous venons de le voir, il
s’ensuit que â est constant.
D’après ce qui précède, si l’on considère le plan tangent à l’ellipsoïde central au point où il est percé par l’axe instantané de rotation du solide, ce plan tangent doit conserver une position invariable par rapport aux axes de direction constatite menés par le centre de gravité ; puisque, d’une part, il reste toujours parallèle à lui-même, et que, d’une autre part, il est toujours à la même distance du centre de gravité. Le solide se meut donc de telle manière, que son ellipsoïde central touche constamment ce plan, déterminé une fois pour toutes comme nous venons de le dire; et comme son axe de rotation passe à chaque instant par le point de contact de l’ellipsoïde et du plan, il s’ensuit que cet ellipsoïde* rou/e sur le plan dont il s’agit. De plus, la vitesse angulaire avec laquelle s’effectue ce roulement varie d’un instant à- un autre, de manière à rester proportionnelle à la longueur du rayon de l’ellipsoïde qui passe par son point de contact avec le plan. Cette image remarquable du mouvement d’un .solide invariable autour de son centre de gravité, dans le cas où le solide n’est soumis à aucune force, est due à Doinsot.
Il est aisé de voir que, dans le cas particulier où le solide, à
un in.slant quelconque, tournerait autour d’un des axes principaux relatifs à son centre de gravité, il devrait continuer indéfiniment à tourner autour du même axe; c’est ce qui fait qu’on donne souvent aux axes principaux le nom d’flo:es permanents de rotation. Lorsque le solide tourne ainsi autour d’un de ses axes principaux, sa vitesse angulaire reste constante.
La connaissance que nous venons d’acquérir des circonstances que présente le mouvement d’un solide invariable abandonné à lui-même sans qu’aucune force le sollicite, vient compléter la notion que nous avions tout d’abord relativement à l’inertie de la matière. Nous avons admis en principe (§ 83) qu’un point matériel qui n’est soumis à aucune force se meut uniformément et en ligne droite; nous savons maintenant comment les choses se passent, lorsqu’au lieu d’un point matériel on considère un solide invariable qui se trouve dans le même cas, c’est-à-dire qui n’est soumis à l’action d’aucune force : son centre de gravité se meut uniformément et en ligne droite, et en même temps le solide tourne autour de son centre de gravité, conformément aux lois simples qui viennent d’être indiquées d’après Poinsot. •
§ 244. Supposons qu’un solide invariable soit soumis aux actions de diverses forces, et que ces forces aient une résultante passant constamment par son centre de gravité ; le mouvement du solide dans l’espace se déterminera encore très-facilemenl. D’abord nous savons que le centre de gravité du solide se meut comme si toute la masse du solide y était concentrée et que les forces qui agissent sur le solide y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes (§ 222) ; en sorte que le mouvement du centre de gravité se détermine comme celui d’un simple point matériel. Ensuite nous observerons que, la résultante des forces appliquées au solide passant constamment par son centre de gravité, le mouvement du solide par rapport à des axes de direction constante menés par ce point s’effectuera absolument de la même manière que si le solide n’étail soumis à l’action d’aucune force ; les théorèmes des aires et des forces vives, que nous pourrons appliquer dans ce cas, comme nous l’avons fait
MOUVEMENT D’UN SOLIDE INVARIABLE. -tT>3
dans le paragraphe précédent, nous conduiront à des résultats qui seront identiquement les mômes : le solide se meut donc de telle manière que son ellipsoïde central roule sur un plan lié invariablement aux axes de direction constante menés par son centre de gravité, et la vitesse angulaire dans ce roulement est à chaque instant proportionnelle à la longueur du diamètre de l’ellipsoïde central autour duquel s’effectue la rotation instantanée du solide.
Nous pouvons donner comme exemple le mouvement d’un corps solide soumis à la seule action de la pesanteur, et lancé tout d’abord d’une manière quelconque au-dessus de la surface (le la terre, en supposant toutefois que ce corps puisse être assimilé à un solide invariable. Son centre de gravité se mouvra suivant une parabole (§ 14:2), et en même temps il tournera autour de ce point conformément à ce qui vient d’étre dit. S’il s’agit d’un boulet sphérique homogène, pour lequel l’ellipsoïde central se réduit évidemment à une sphère, on voit que l’axe de rotation du boulet autour de son centre de gravilé restera toujours parallèle à une môme direction, et que la vitesse avec laquelle il tournera autour de cet axe ne variera pas. S’il s’agit d’une tige rigide que l’on puisse assimiler à une ligne droite pe santé, cette tige tournera autour de son centre de gravité, en restant dans un plan de direction constante mené par ce point.
5^ 415. Supposons qu’un solide invariable complètement libre soit en repos, et qu’on vienne lui appliquer une perciissiou ; nous allons nous proposer de déterminer le mouvement qui en résultera pour le solide. Nous entendons par percussion, un choc brusque, tel qu’un coup de marteau. Ce choc s’effectue dans un intervalle de temps extrêmement court; mais la force qui agit sur le corps pendant ce temps est habituellement trèsgrande, de sorte que, malgré le peu de dun*e de son action, elle détermine un mouvement (jiii peut être très-rapide. Quelle que soit la vitesse que prenne un point (juelconque du solide à la suite de la percussion, le déplacement que ce point a déjà éprouvé, à l’instant où la percussion cesse, est toujours trèspetit; on voit en effet que, lors même que le point dont il s’agit
aurait, pendant toute la durée b de la percussion la vitesse qu’il possède à la fin, son déplacement total pendant ce temps b n’en serait pas moins très-petit, puisque ce déplacement serait égal au produit de la vitesse du point par 9, et que b est toujours extrêmeiVient petit : il en est encore ainsi, à plus forte raison, dans la réalité, où le point n’acquiert que progressivement la vitesse dont il est animé à la fin de la percussion. Nous pourrons donc supposer, sans commettre d’erreur appréciable, que le solide conserve la même position dans l’espace pendant toute la durée de la percussion; en faisant cette hypothèse, nous serons d’autant plus près de la réalité que la durée b de la percussion sera plus courte, et nous serions exactement dans le vrai, si la percussion était instantanée. Nous admettrons en outre que la force P, qui agit sur le solide en vertu de la percussion, conser\e constamment la même direction pendant tout le temps 0.
Cela posé, il va nous être facile de déterminer le mouvement que prend le solide sous l’action de la force P. D’abord, si nous appliquons au mouvement de son centre de gravité le théorème des quantités de mouvement et des impulsions projetées sur un axe, nous aurons évidemment
en désignant par v la vitesse du centre de gravité, et par M la masse totale du solide. Pour trouver le mouvement que prend le solide par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, appliquons le troisième théorème général à ce mouvement relatif (^§ 220 et 234) : nous reconnaîtrons sans peine que le plan du maximum des aires par rapport au centre de gravité dont il s’agit, et à la fin du temps 0, est précisément le plan qui passe par ce centre de gravité et par la direction de la force P. En effet, si nous considérons un axe quelconque mené dans ce dernier plan et par le centre de gravité du solide, la somme des moments des impulsions élémentaires de la force P par rapport à cet axe, pendant tout le temps
ô, sera nulle; raceroissement de la somme des moments des quantités de mouvement des divers points du solide par rapport à cet axe doit donc aussi être nul ; et comme cette somme des moments des quantités de mouvement est nulle au commencement du temps 6, il s’ensuit qu’elle est également nulle à la fin : donc, le plan du maximum des airs du solide relatif à son centre de gravité, et à la fin du temps 6, passe par l’axe dont il s’agit (§ 228), c’est-à-dire que ce plan passe par le centre de gravité du solide et par la direction de la percussion.
Si l’on se reporte maintenant à ce qui a été démontré précédemment (§ 243), on verra que, à l’instant où la percussion cesse, le solide doit tourner autour du diamètre de son ellipsoïde central qui est conjugué du plan diamétral mené par la direction de la force P. Quant à la vitesse angulaire w avec laquelle s’effectue cette rotation, on l’obtiendra en exprimant que le moment
ro
de l’impulsion totale / P(//, par rapport au centre de gravité
du solide, est égal à — ,
l et 5 ayant la même signification que
précédemment; ou bien encore, ce qui revient au même, en exprimant que le moment de cette impulsion toUile, par rappori à l’axe de rotation, est égal à la somme des moments des quantités de mouvement des divers points du solide par rapport au même axe, somme qui a 'pour valeur w2:mr% imr- étant le moment d’inertie du solide par rapport à cet axe.
Si le solide, après avoir été soumis à la percussion dont il s’agit, est ensuite abandonné à lui-même, sans qu’aucune force lui soit appliquée, il se meut conformément à ce qui a été dit dans le § 243; et les circonstances initiales de ce mouvement sont précisément celles que nous venons .de déterminer comme résultant immédiatement de la percussion.
Dans le cas où l’on appliquerait à un solide invariable en repos deux percussions égales, agissant- suivant des directions parallèles, et en sens contraire l’une de l’autre, il est aisé de voir quel mouvement ce couple de percussions lui communiquerait. D’une part, il est clair que le centre de gravité du so-
■lide resterait immobile, puisque les forces appliquées au solide, étant transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point, s’y détruiraient constamment. D’une autre part, le couple de percussions pouvant être transporté parallèlement à lui-même, sans que son effet soit changé (§§ 4 il et 181), si on le transporte ainsi' de manière que Tune des deux percussions agisse sur le centre de gravité même, l’autre percussion produira seule le mouvement du solide autour de ce point; donc le plan du maximum des aires, par rapport au centre de gravité, dans le mouvement que le couple de percussion communique au solide, ost parallèle au plan de ce couple. On voit donc que, par suite de l’aclion du couple de percussions, le solide commence à tourner autour du diamètre de son ellipsoïde central qui est conjugué du plan diamétral parallèle au plan du couple. Cet axe, autour •duquel le solide commence à tourner, n’est perpendiculaire au plan du couple de percussions, qu’autant que ce plan du couple est parallèle à l’un des plans principaux de l’ellipsoïde central du solide.
,§ i240. iVIouvenicnt d'un solide Invariable assujetti A tourner autour d'un point five* — Lorsqu’un Solide invariable est assujetti à tourner autour d'un point fixe, on j)eul trouver les équations différentielles de son mouvement rapporté à trois axes menés par ce point, en prenant la somme des. inomenls des forces qui agissent sur lui, et des forces d’inertie de ses différents points, par rapport à chacun de ces trois axes, et exprimant que chacune des trois sommes ainsi obtenues est nulle (§ 2:21). Mais on peut aussi établir ces équations différentielles, en raisonnant, pour le mouvement absolu dont il s’agit, comme nous avons raisonné précédemment (§ 2 12) pour le mouvement d’un solide libre autour de son centre de gravité. Si l’on reprend tout ce qui a été dit à cette occasion, on verra que les équations différentielles (a) et (b), auxquelles nous sommes parvenus, conviennent également, sans aucune modification, pour iléterminer le mouvement d’un solide invariable assujetti à tourner autour d’un point fixe. Seulement les moments d’inertie A, 13, G, les vitesses angulaires composantes 7, r, et les som-
mes de moments L, M, N, au lieu de se rapporter aux axes principaux du solide correspondant à son centre de gravité, se rapportent à ses axes principaux correspondant au point fixe autour duquel s’effectue le mouvement.
Si l’on suppose que le solide ne soit soumis à l’action d’aucune . force, et qu’il ne se déplace qu’en vertu du mouvement qu’on lui a imprimé tout d’abord, il est aisé de voir qu’on pourra encore lui appliquer tout ce qui a été dit (§ 243) relativement au mouvement d’un solide libre autour de son centre de gravité, dans le cas où aucune force n’agit sur ce solide. Ainsi l’on peut dire que, si l’on considère l’ellipsoïde qui fait connaître la loi des moments d’inertie du solide par rapport aux diverses droites menées par le point fixe, cet ellipsoïde, entraîné par le solide dans son mouvement autour de ce point, ne fait que rouler sur un plan fixe, et cela avec une vitesse angulaire qui varie pro- . portionnellemcnt à la longueur du rayon de l’ellipsoïde passant par son point de contact avec ce plan fixe.
Enfin on verra encore facilement que, si un solide, assujetti à tourner autour d’un point fixe et primitivement en repos, vient à être soumis à une percussion, il commencera à tourner autour d’une droite qui, dans l’ellipsoïde dont il vient d’être question, sera le diamètre conjugué du plan diamétral passant par la direction de la percussion. La vitesse &>, dont il sera animé dans
cette rotation, s’obtiendra de même en égalant ~ au moment de
lo
l’impulsion totale due à la percussion par rapport au point fixe, l et S ayant la signification qui a déjà été indiquée; ou bien encore en égalant au moment de cette impulsion totale
par rapport à l’axe de rotation, itnr- étant le moment d’inertie du solide par rapport à cet axe.
§ 247. iHoavement d’un solide invariable assujetti A
tourner autour d'un axe fixe. — Lorsqu’un solide invariable ne peut que tourner autour d’un axe fixe, une seule équation différentielle suffit pour déterminer son mouvement. Cette équation peut s’obtenir, à l’aide du théorème de d’Alembert (§ 221), en exprimant que la somme des moments des forces réelles et des
forces d’inertie par rapport à l’axe fixe est égale à zéro. Concevons que la force d’inertie de chaque point soit décomposée en deux forces, dirigées, l’une suivant la tangente au cercle que le point décrit, et l’autre suivant le prolongement du rayon de ce cercle (§ 138); le moment de cette force d’inertie par rapport à l’axe sera égal au moment de sa composante tangenticlle par rapport au meme axe, puisque le moment de sa composante centrifuge par rapport à cet axe est nul. Ce moment de la force d’iner-
tie aura donc pour expression mr
db)
r, en désignant par m la
masse du point considéré, par r sa distance à l’axe, et par w la vitesse angulaire du solide. 11 s’ensuit que la somme des moments des forces d’inertie des divers points du solide par rapport à l’axe a pour valeur
dbi
lit
y.mr
D’après cela, si l’on représente par P la projection d’une quelconque des forces appliquées au solide sur un plan perpendiculaire à l’axe fixe, et par p la plus courte distance de la direction de cette force et de l’axe, et si l’on regarde comme positifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le solide dans le sens de la vitesse angulaire supposée positive, on aura
' dt
pour la somme des moments des forces réelles et des forces d’inertie par rapport à l’axe fixe. En l’égalant à zéro, on en tire
^ iVp dt ~
qui est l’équation différentielle du mouvement de rotation du solide autour de l’axe. L’intégration de cette équation différentielle fera connaître w en fonction de t; et si l’on observe que, 0 étant l’angle dont le solide a tourné à partir de sa position initiale, on a
de
Ci> rz: — 7
dt
on voit qu’une nouvelle intégration fournira la valeur de cet angle 0 en fonction de /. Les constantes introduites par ces deux intégrations se détermineront d’après les valeurs de w et de 0 • correspondant à / = 0.
Si l’on compare l’équation différentielle qui vient d’étre établie avec celle qui détermine le mouvement rectiligne d’un point matériel sous l’action d’une force donnée (§ 105), on voit que ces équations ont des formes analogues. On en conclut tout de suite que le moment d’inertie imr- du solide par rapport à l’axe fixe joue, dans le mouvement de rotation du solide autour de cet axe, le meme rôle que la masse d’un point matériel dans le mouvement rectiligne de ce point : toutes choses égales d’ailleurs, Yaccéléraiion angulaire — est d’autant plus petite que le moment d’inertie imr- est plus grand.
§ 218. Lorsque les forces appliquées au solide sont telles que la somme de leurs moments par rapport à l’îixe fixe est nulle, m est constant, et le mouvement de rotation du solide est uniforme. C’est ce qui a lieu en particulier lorsque le solide n’est soumis à l’action d’aucune force.
Considérons spécialement ce cas particulier d’un solide qui tourne autour d’un axe en vertu d’une vitesse initiale, sans qu’aucune force lui soit appliquée, et cherchons à nous rendre compte des pressions que l’axe doit avoir à supporter de la part du solide. Si nous imaginons un système d’axes coordonnés liés invariablement au solide, et entraîné par lui dans sa rotation autour de l’axe fixe, nous pouvons regarder le solide comme étant en équilibre par rapport à ces axes coordonnés mobiles; les pressions qu’il exerce sur l’axe fixe peuvent donc être considérées comme dues aux forces, tant apparentes que réelles
188), qui sont appliquées à ses différents points, dans cet équilibre relatif. Mais nous admettons qu’il n’y a pas de forces réelles; et d’un autre côté, le mouvement de rotation du solide étant uniforme, la force d’inertie de chacun de ces points se ré- , duit à la force centrifuge : ce sont donc les forces centrifuges des
iOO LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
(lifférenls points du solide qui déterminent seules les pressions (juc le solide exerce sur Taxe. Nous allons voir comment ces forces centrifuges peuvent se composer entre elles, de manière à simplifier la recherche des pressions dont il s’agit, dans chaque cas particulier.
La force centrifuge d’un point de masse w, situé à une distance r de l’axe de rotation, a pour expression
lUbi-y;
on peut la supposer appliquée au point où sa direction rencontre l’axe fixe. Si les axes coordonnés, que nous imaginons liés au solide, sont choisis de manière que l’axe des x coïncide avec l’axe fixe, et si .r, y, .r désignent les coordonnées du point que nous considérons, il est aisé de voir que la force centrifuge de ce point, après avoir été transportée sur l’axe des x comme nous venons de le dire, peut s’y décomposer en deux forces dirigées parallèlement aux axes des y et des j, et ayant respectivement pour valeurs
iHbi-y, moih.
Cela posé, concevons que nous considérions tous les points matériels qui font partie d’une tranche du solide comprise entre deux plans perpendiculaires à l’axe des x et distants l’un de l’autre d’une quantité infiniment petite. Si nous remplaçons la force centrifuge de chacun de ces points par deux forces parallèles aux axes des y et des appliquées au point de la tranche (jui est sur l’axe des ,r, nous aurons en ce dernier point une série de forces parallèles à l’axe des y qui pourront être remplacées par une force unique, égale à leur somme inu.rijj et aussi une autre série de forces parallèles à l’axe des z qui pourront être remplacées par une force unique égale à inui-z : la résultante des deux forces ainsi obtenues sera la résultante des forces centrifuges de tous les points qui composent la tranche considérée. Mais si M est la masse de cette tranche, et siy,, j,, •
sont les distances de son centre de gravité aux plans des ,rz et des ocy, on a
puisque w est le même pour tous les points de la tranche; d’ailleurs Mw-jj, peuvent être regardés comme des compo-
santes de la force centrifuge d’un point matériel de masse M qui serait placé au centre de gravité de la tranche : donc on peut dire que les forces centrifuges des différents points de la tranche infiniment mince dont il s’agit, se composent en une seule force, qui est précisément la force centrifuge unique qui se développerait, si toute la masse de la tranche était concentrée en son centre de gravité.
Si toutes les tranches infiniment minces, dans lesquelles le solide tout entier peut être divisé par des plans perpendiculaires .à l’axe fixe, ont leurs centres de gravité situés sur une droite parallèle à cet axe, les forces centrifuges résultantes qui correspondent à ces diverses tranches, conformément à ce qui précède, sont toutes parallèles entre elles; d’ailleurs elles sont proportionnelles aux masses de ces tranches, et sont appliquées à leurs centres de gravité : donc elles ont une résultante qui est égale à leur somme, et qui est appliquée au centre de gravité du solide tout entier. Ainsi, dans ce cas, toutes les forces centrifuges correspondant aux différents points du solide ont pour résultante unique la force centrifuge qui se développerait si la masse totale du solide était concentrée en son centre de gravité.
Lorsque les centres de gravité des diverses tranches infiniment minces, dans lesquelles le solide peut être décomposé par des plans perpendiculaires à l’axe fixe, ne sont pas tous situés sur une droite parallèle à cet axe, il n’arrive plus en général que les forces centrifuges des différents points du solide aient une résultante unique. Si nous reprenons la force centrifuge de chaque point en particulier, et que nous la remplacions par deux forces dirigées parallèlement aux axes des
y et des .:r, et appliquées en un point de Taxe des x, l’ensemble de toutes les forces analogues nous donnera un système de
i62 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
forces parallèles à Taxe des y dirigées dans le plan des xy^ et un autre système de forces parallèles à l’axe des dirigées dans le plan des xz. Chacun de ces deux systèmes de forces donnera lieu, soit à une résultante unique, soit à un couple résultant; la connaissance de la résultante ou du couple résultant correspondant à chacun des plans des xy et des xZy pourra dès lors servir à la détermination des pressions exercées par le solide sur son axe.
Supposons que l’on veuille trouver les conditions qui doivent être remplies pour que l’axe n’ait à supporter aucune pression ; les composantes des forces centrifuges qui sont dirigées dans le plan de xy devront se faire équilibre mutuellement, et il devra en être de même des composantes dirigées dans le plan des xz. Il faudra donc d’abord que la somme des composantes parallèles à l’axe des y soit nulle, ce qui fournit la condition
my = 0,
et que la somme des moments de ces forces par rapport à l’origine des coordonnées soit nulle, ce qui fournit la condition
- :Lmxy = 0 ;
et ensuite qu’il en soit de même pour les composantes parallèles à l’axe des ce qui donne lieu aux deux autres conditions analogues :
imz = 0, xj/w- = 0.
Ces quatre conditions expriment : 1® que le centre de gravité du solide doit être situé sur l’axe fixe; 2“ que cet axe doit être un des axes principaux du solide correspondant à son centre de gravité.
Tout ce que nous venons de dire, sur la composition des forces centrifuges .des divers points d’un solide qui tourne uniformément autour d’un axe fixe, peut évidemment s’appliquer à la composition des forces centrifuges de ces points, dans le cas où le mouvement de rotation du solide est varié, puisque l’expression de ces forces est la même dans les deux cas. Seulement,
RÎ3
dans le cas général, les forces centrifuges ne doivent plus être considérées seules, pour arriver à la détermination des pressions du solidç sur l’axe : on doit tenir compte, en même temps, des forces réelles qui agissent sur le solide, et des forces d’inerlie tangenlielles de ces différents points.
§ !2i9. Pendule composé. — Un solide pesant, assujetti à tourner autour d’un axe horizontal qui ne passe pas par son centre de gravité, prend sous la seule action de la pesanteur une position d’équilibre dans laquelle son centre de gravité se trouve dans le plan vertical mené par l’axe. Si on le dérange de cette position d’équilibre, et qu’ensuite on l’abandonne à lui-même, il tend à y revenir en effectuant une série d’oscillations. Un solide pesant qui se trouve dans ces conditions, constitue ce qu’on nomme un pendule composé. Par opposition, on désigne sous le nom de pendule simple le pendule dont nous avons déjà étudié le mouvement (§ 13:2), et qui s’est formé d’un seul point matériel pesant attaché à l’une des extrémités d’un fil inextensible et sans masse dont l’autre extrémité est fixe. Nous allons voir comment on peut trouver les diverses circonstances du mouvement du pendule composé.
Désignons par M la masse totale du solide, par a la distance de son centre de gravité à l’axe fixe, par k son rayon de giration (§ 238) par rapport à une parallèle à cet axe mené par son centre de gravité, par 6 l’angle que le plan mené par le centre de gravité et l’axe fixe fait avec le plan vertical dans une position quelconque du pendule, et par &> la vitesse angulaire dont le pendule est animé dans cette position. Le moment d’inertie du solide, par rapport à l’axe fixe, a pour valeur (230)
la somme des moments des poids^ des différents points matériels de ce solide, par rapport à l’axe fixe, dans la position quelconque que l’on considère, est d’ailleurs égale au moment du poids total du solide appliqué à son centre de gravité, et a par conséquent pour valeur
M^a sin 0 :
•4f)l LIVRE iV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
donc l’équation différentielle du mouvement de rotation de ce solide Rulour de l’axe fixe est
(loi ga sin ®
Le pendule simple n’est qu’un cas particulier du pendule composé; cette équation différentielle pourra donc s’appliquer au mouvement d’un pendule simple de longueur /, et pour cela il suffira d’y supposer que k est nul et d’y rempler a par l : ainsi l’équation différentielle du mouvement de ce pendule sim- . pie est
' (h-i g sin 0
Ces deux équations, dont l’une se rapporte au mouvement du pendule composé, et l’autre au mouvement du pendule simple, deviennent identiques si l’on suppose
donc, si la longueur l du pendule simple satisfait à cette condition, les mouvements des deux pendules s’effectueront exactement de la même manière, pourvu toutefois que les circonstances initiales du mouvement soient les mêmes de part et d’autre. Ainsi les lois du mouvement du pendule composé sont les mêmes que celles que nous avons trouvées (§ 132) dans le cas du pendule simple.
Le pendule simple, dont les oscillations s’effectuent de la même manière que celles d’un pendule composé, est dit équivalent à ce dernier pendule.
Si l’on mène une droite parallèle à l’axe 'de suspension du
pendule composé, à une distance de cet axe égale à rt -|- -rj- et
dans le plan qui passe par cet axe et par le centre de gravité du pendule, tous les points du solide qui se trouvent sur cette droite se meuvent absolument de la même manière que si chacun
d’eux était isolé et qu’il fût lié directement à l’axe de suspension par un fil inextensible et sans masse dirigé suivant la perpendiculaire qui mesure sa distance à l’axe : celle droite se nomme Vaxe d’oscillütion du pendule, et l’on donne le nom de œnfvft (Voscillalion au point où elle perce le plan perpendiculaire à l’axe de suspension mené par le centre de gravité du solide, il est aisé de voir que les axes de suspension et d’oscillation sont réciproques l’un de l’autre ; c’est-à-dire que, si l’on prend l’axe d’oscillation pour en faire un axe de suspension du solide, l’ax»^ de suspension primitif deviendra l’axe d’oscillation : en elfet, la distance a! du centre de gravité du solide à son nouvel axe de
suspension étant égale la distance nouvel
axe de suspension à l’axe d’oscillation correspondant sera égale k-
à — a, ce qui démontre la proposition énoncée.
Si l’on cherche, parmi tous les axes de suspension d’un solide pesant, qui sont parallèles à une meme droite menée par son centre de gravité, quels sont ceux pour lesquels la durée des
petites oscillations du pendule formé par ce solide a une même
valeur, on trouve évidemment que ces axes sont les génératrices de deux surfaces cylindriques de révolution ayant la droite donnée pour axe commun de figure, et que les rayons r/, a’ de ces deux surfaces cylindriques satisfont à la condition
(ta = h'-y
k étant le rayon de giration du solide par rapport à la droite dont il s’agit; pour toutes les génératrices de ces deux surfaces, prises comme axes de suspension, la durée des petites o.scillations du pendule sera égale à celle des petites oscillations d’un
pendule simple ayant pour longueur a . Parmi tous les axes
de suspension parallèles à la droite donnée, ceux qui fourniront la plus courte durée pour les petites oscillations du pendule, seront les génératrices d’un cylindre de révolution autour de
■celte droite avant k pour rayon : car, pour que l’expression
•a H , dans laquelle a est variable, devienne un minimum, il
liiut que l’on ail a = k.
§ 250. Centre de pereussion. — Lorsqu’un solidc, assujetti à tourner autour d’un axe fixe et d’abord en repos, vient à ■<Hre soumis à une percussion brusque dont la direction ne rencontre pas l’axe fixe, il se met immédiatement en mouvement. La vitesse angulaire dont il est animé, à l’instant où la percussion cesse, se détermine facilement par ce qui précède : car -on a
da> Vp
(It ~
I' étant la projection de la force de percussion à un instant quelconque sur un plan perpendiculaire à l’axe, et p la distance de 3a direction de cette force à l’axe, distance que nous regarderons comme constante pendant toute la durée 0 de la percussion ; et si l’on multiplie par dl, pour intégrer ensuite entre les Limites 0 et 0 de la variable L on trouve pour la vitesse angulaire w du solide à la fin de la percussion
Lette équation aurait pu d’ailleurs être obtenue immédiatement, en appliquant le troisième théorème général (§ 220) au mouvement dont il s’agit, et prenant les moments des quantités de mouvement et des impulsions par rapport à l’axe fixe; il est aisé de voir en effet que ce théorème peut être appliqué sans qu’on tienne compte des réactions de l’axe fixe sur le solide
230), puisque les moments de ces réactions par rapport à l’axe sont nuis.
Pendant que le solide est soumis à la percussion qui le met ^insi brusquement en mouvement, l’axe supporte habituellement des pressions considérables. On peut se demander de <|uclle manière la percussion doit être appliquée au solide, pour.
<|ue ces pressions sur l’axe soient nulles. Pour cela, il faut évidemment que l’axe autour duquel le solide commencerait à tourner, s’il était entièrement libre et qu’il fût soumis à la même percussion, soit précisément l’axe autour duquel nous le supposons assujetti à tourner. S’il en est ainsi, la fixité de l’axe ne gêne en aucune manière le mouvement que la percussion tend à faire prendre au solide, et par conséquent le solide ne doit exercer aucune pression sur cet axe ; tandis que si l’axe fixe n’est pas celui autour duquel la percussion ferait tourner le solide, dans le cas où il serait entièrement libre, l’existence de cet axe fixe oblige le solide à prendre un mouvement différent de celui qu’il prendrait sans cela, et il en résulte nécessairement une réaction du solide sur l’axe qui le gêne dans son mouvement.
Si le solide était libre, la percussion qui lui est appliquée déterminerait à la fois un mouvement de son centre de gravité, et un mouvement de rotation du solide autour d’une droite passant par ce point (§ 245). Pour que ces deux mouvements se composent •en une seule rotation autour de l’axe AP, fig, 115, il faut que l’axe de la rotation composante soit une parallèle A'B' à l’axe AB, menée par le centre de gravité G; il faut de plus que la direction du mouvement du centre de gravité, c’est-à-dire la direction dé la percussion, soit perpendiculaire au plan ABA'B' (§ 53). Mais pour que la rotation du solide s’eiïectiie d’abord autour de l’axe A'B', il faut que le plan mené par la direction de la percussion et par le point G soit le •plan diamétral de l’ellipsoïde central qui est conjugué du diamètre dirigé suivant la droite A'B'; donc ce plan diamétral conjugué du diamètre A'B' doit être perpendiculaire au plan ABA'B', et en outre le point G où la direction de la percussion rencontre le plan ABA'B' doit être sur la ligne d’intersection •du plan ABA'B' avec le plan diamétral dont il s’agit. Enfin la vi- <tesse V du centre de gravité doit être égale à la vitesse angulaire
m UVUE IV. — DYNAMIQUE. TRO^SIÈME PARTIE.
oi autour de l’axe A'fl' multipliée par la distance a du centre de gravité G à l’axe AB 53). Or, ii résulte] de ce qui a été dit dans le § 245, que l’on a
en désignant par M la masse du solide tout entier, par k 1er rayon de giration de ce solide par rapport à la droite A'IV, et par Z la distance du point G à celte droite : il s’ensuit qu’on doit avoir
c’est-à-dire que la distance CO du point G à l’axe AB doit être égale à la longueur du pendule simple équivalent au pendule composé que formerait le solide en oscillant autour de l’a.xe AB supposé horizontal.
Ainsi, en résumant, pour que l’axe fixe AB n’éprouve pas de pression pendant que la percussion est appliquée au solide, il faut 1® que le plan diamétral de l’ellipsoïde central du solide, qui est conjugué du diamètre parallèle à AB, soit perpendiculaire au plan mené par AB et par le centre de gravité G; 2“ que la direction de la percussion soit perpendiculaire à ce plan mené par le point G et la ligne AB ; 3® enfin que le point où celte direction perce le plan GAB soit à la rencontre du plan diamétral, dont il vient d’être question, avec l’axe d’oscillation correspondant à la ligne AB considérée comme axe de suspension (§ 249).
La première de ces conditions, à laquelle le solide doit satisfaire, est nécessaire et suffisante pour qu’il soit possible de trouver une direction suivant laqüelle on puisse appliquer une percussion au solide, sans que l’axe AB éprouve des pressions pendant la durée de celte percussion. Lorsque celte première condition est remplie, le point G déterminé par la troisième condition se nomme le centre de percussion.
Si l’on supposait que le point O, pied de la perpendiculaire
MOUVEMENT D*UN SOLIDE INVAUIABLE. i6',)
abaissée du point C sur Taxe AB, fut seul fixe dans le solide, la percussion devrait encore faire tourner ce solide autour de l’axe AB : donc AB doit être un des axes principaux du solide, relativement au point 0 (§ ^4G). Si à cette condition on en ajoute deux autres, savoir 1" que la percussion doit être dirigée perpendiculairement au plan GAB; 2" que la distance CO doit être égale à la longueur du pendule simple équivalent au pendule composé 4jue formerait le solide en oscillant autour de l’axe AB supposé horizontal, on aura un système de trois conditions équivalent à celui auquel on était d’abord parvenu. On sait d’ailleurs qu’une <lroite AB, qui ne passe pas par le centre de gravité G du solide, ne peut être un axe principal de ce solide que pour un seul de ses points.
Si le solide est symétrique par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe fixe AB, son ellipsoïde central est également symé- U'ique par rapport à ce plan ; alors la condition nécessaire et suffisante pour qu’on puisse appliquer une percussion au solide sans qu’il en résulte de pression sur l’axe, se trouve remplie, et la percussion doit être dirigée dans le plan de sy- X mélrie.
