T4 "TT + “H

dt dt dt dt

dx du

Mais les quantités æ^y ?/,, ^ ’ variant pas quand on-

passe d’un point à un autre du système matériel, peuvent êtriî mises en dehors du signes; d’ailleurs, d’après les propriétés du centre de gravité qui reste constamment à l’origine des axes des- Ç,v7, ç, on a (§ 1G4)

et par suite

iim = 0,

Il s’ensuit que, si l’on désigne par M la masse totale du système matériel, l’expression précédente se réduit à

On voit par là que la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à un axe fixe quelconque (qu’on peut toujours prendre pour axe des j), sc compose de deux parties, dont l’une est ce que deviendrait cette somme si toute la masse du svstème était concentrée en son 'centre de gravité, et l’autre est une somme de moments analogue, prise dans le mouvement relatif du système rapporté à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, et par rapport à un axe parallèle à l’axe fixe passant par ce point.

En adoptant les mêmes notations, on aura, pour représenter la force vive du système matériel, l’expression

En vertu des relations écrites précédemment entre les coordonnées X, ?/, Z d’un point quelconque rapportées aux axes fixes, les coordonnées ç, >7, ç du même point rapportées aux axes mobiles, et les coordonnées x,, Zi du centre de gravité, on pourra mettre cette expression de la force vive du système sous la forme

Mais si l’on

fait sortir les quantités

dr, dy^ dz^

W'ifr^ dt

du signe i:,

et si l’on tient compte de ce (|ue l’on a

Z,28 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE, celte valeur de la force vive du système se réduira à

Ou peut donc dire que la force vive du système, dans son mouvement absolu, peut se décomposer en deux parties, dont l’une est la force vive dont le système serait animé si toute sa masse était concentrée en son centre de gravité, et l’autre est la force vive qu’il possède dans son mouvement par rapport aux axes de directions constantes menés par ce point.

^ '230. /%pplications des théorèmes {^éoéranx aux cas des systèmes matériels dans lesquels on lma|;lne. des liaisons.

— Ce n’est pas seulement dans les questions d’équilibre qu’il est utile souvent de suppo.ser que le système matériel dont on s’occupe est assujetti à certaines liaisons (§ 180); il est aussi très-commode, dans un grand nombre de cas, d’avoir recours à la considération des liaisons, pour simplifier l’étude du mouvement d’un système matériel. Nous allons voir comment les quatre théorèmes généraux relatifs au mouvement d’un système matériel quelconque peuvent s’appliquer à un système dans lequel on imagine’ de pareilles liaisons. Nous supposerons toujours que ces liaisons sont toutes comprises dans les trois espèces distinctes que nous avons définies précédemment (§ 180).

Si l’on remplace les liaisons par des forces capables d’en tenir lieu, ainsi que nous l’avons déjà expliqué lorsque nous nous occupions de l’équilibre des systèmes matériels, il est clair que le système dont on s’occupe rentre dans le cas général que nous avons considéré jusqu’à présent; et que, par conséquent, les théorèmes généraux peuvent lui être appliqués sans difficulté. Reste à voir quel est le rôle que jouent alors les forces qu’on a substituées aux liaisons, et qui ne sont pas connues à priori.

Dans les trois premiers théorèmes généraux, les forces intérieures du système disparaissent d’elles-mêmes, ainsi que nous l’avons observé lorsque nous avons établi ces théorèmes; il s’ensuit que toutes les forces de liaisons qui sont des forces intérieures disparaissent également dans ces trois théorèmes, en

sorte que l’on peut en faire abstraction sans qu’il en résulte aucune erreur. Ainsi, toutes les fois qu’on suppose que certains points du système matériel sont assujettis à rester à des distances invariables les uns des autres, ou bien que certaines parties du système, considérées comme des solides invariables, sont assujetties à rester en contact les unes avec les autres, sans frottement, on peut appliquer les trois premiers théorèmes généraux sans se préoccuper en aucune manière des forces capables de tenir lieu de ces liaisons. Mais il n’en serait plus de même si l’on supposait que certains points du système sont obligés de rester sur des courbes fixes ou sur des surfaces fixes : les forces qui peuvent remplacer les courbes fixes ou les surfaces fixes dont il s’agit, sont des forces extérieures pour le système matériel dont on s’occupe, et elles doivent être prises en considération, tout aussi bien que les autres forces extérieures, dans l’application des trois premiers théorèmes généraux à ce système matériel.

Quant à l’application du théorème général des forces vives à un système matériel dans lequel on imagine des liaisons, elle peut se faire dans tous les cas sans qu’oii tienne compte des forces capables de remplacer les liaisons. En effet, le mouvement dont le système est animé, pendant un élément de temps quelconque, est nécessairement compatible avec les liaisons auxquelles il est assujetti ; les travaux développés par les forces des liaisons pendant cet élément de temps disparaissent donc d’euxmêmes dans la somme des travaux élémentaires de toutes les forces qui agissent sur le système (§ 186); et par conséquent le théorème des forces vives peut être appliqué comme si ces forces de liaisons n’existaient pas.

On peut imaginer des liaisons dans un système matériel dont on étudie le mouvement relatif, tout aussi bien que dans un système dont on étudie le mouvement absolu ; et tout ce qui vient d’être dit, pour l’application des quatre théorèmes généraux au mouvement absolu d’un système à liaisons, est vrai pour le mouvement relatif d’un pareil système. 11 est bon d’observer cependant que, si l’on suppose que certains points du système sont

i3() LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

assujettis à rester sur des courbes ou sur des surfaces, sans frottement, on ne peut appliquer le théorème général des forces vives au mouvement du système par rapport à des axes mobiles, en ne tenant pas compte des forces capables de remplacer ces liaisons, qu’autant que les courbes ou surfaces dont il s’agit sont fixes par rapport aux axes moliiles, c’est-à-dire qu’elles se meuvent avec ces axes sans changer de position par rapport à eux ; si l’on regardait certains points du système comme assujettis à rester sur des courbes ou sur des surfaces fixes d’une manière absolue dans l’espace, on devrait tenir compte du travail des forces capables de remplacer ces courbes et ces surfaces, dans l’équation des forces vives appliquées au mouvement du système par rapport à des axes mobiles.

§ 237. Pour donner un exemple de l’application des considérations qui précèdent, nous allons chercher, à l’aide du théorème général des forces vives, à nous rendre compte de la stabilité de l’équilibre d’un système pesant à liaisons. Nous avons vu (§ i89) qu’un système de ce genre est en équilibre, lorsque son centre de gravité ne sort pas du plan horizontal qui le contenait tout d’abord, quel que soit le déplacement infiniment petit et compatible avec les liaisons, que l’on attribue au système. x\dmettons maintenant que l’on donne au système un déplacement lini, mais très-petit et toujours compatible avec les liaisons, et que, quel que soit ce déplacement fini, le centre de gravité du système s’élève toujours au-dessus de sa position d’équilibre; le théorème général des forces vives va nous montrer que, dans ce cas, l’équilibre du système est stable. Nous allons voir en effet, à l’aide de ce théorème, que, si l’on dérange très-peu le système de sa position d’équilibre, et qu’on l’abandonne ensuite à lui-même, l’action de la pesanteur tendra toujours à l’y ramener.

Pour établir cette proposition, nous remarquerons d’abord que le système matériel dont il s’agit ne peut pas rester immobile dans la nouvelle position qu’on lui a donnée, pourvu toutefois que le déplacement attribué à ce système soit suffisamment petit. €ar le centre de gravité du système, qui s’est élevé par hypo-

thèse dans ce déplacement fini, continuerait encore à s’élever infiniment peu si l’on donnait au système un nouveau déplacement infiniment petit dans le même sens que le précédent; et, par conséquent, on voit que la condition d’équilibre n’est plus remplie pour la position qu’occupe le système après qu’il a subi le déplacement fini dont il est question. Le système matériel, ne pouvant pas être en équilibre dans la nouvelle position qu’on lui a donnée, se mettra nécessairement en mouvement sous l’action <le la pesanteur, et par conséquent acquerra une certaine force vive. Or sa force vive ne peut s’accroître qu’autant que la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées est positive (§ 230) ; •<run autre côté, les forces capables de remplacer les liaisons ne fournissent aucun terme dans cette somme de travaux (§ 236) : il en résulte que, dans le mouvement que prend le système matériel abandonné à lui-même après avoir été dérangé très^peu de sa position d’équilibre, le travail dû à la pesanteur doit être positif. Mais nous savons que ce travail est le même que si la masse entière du système était concentrée en son centre de gravité ; donc, dans le mouvement dont il s’agit, ce centre de gravité ne peut que desceiulre, c’est-à dire qu’il se rapproche né- <îessairemcnt de la position qu’il occupait lorsque le système était en équilibre.

Un raisonnement analogue ferait voir qu’au contraire, dans le -cas où le centre de gravité du système pourrait s’abaisser par suite d’un déplacement fini, mais très-petit, attribué au système, l’équilibre serait instable; c’est-à-dire que le système, abandonné à lui-même après avoir subi un pareil déplacement, non-seulement ne reviendrait pas vers la position d’équilibre qu’il avait d’abord, mais encore continuerait à s’en éloi-

ClIAPITUE II

§ 238. Théorie des moments dTnertie. — Si Toit multiplie la masse m d’un quelconque des points matériels qui composent un solide invariable par le carré de la distance r de ce point à une droite quelconque D, et qu’on ajoute tous les produits ainsi obtenus pour les divers points du solide, on trouve une somme smr® qui joue un rôle très-important dans le mouvement d’un pareil solide, ainsi que nous le verrons bientôt. On donne à cette quantité le nom de moment d'inertie du solide par ^ rapport à la droite D.

Le moment dinertie smr* d’un solide par rapport à une droite D étant calculé, supposons que l’on détermine une ligne k par la condition que l’on ait

y.mr^- =

M étant la masse du solide tout entier : cette ligne k est ce qu’on nomme le rayon de giration du solide par rapport à la droite D. Il est aisé de voir que ce n’est autre chose que le rayon d’une surface cylindrique de révolution, qui aurait la droite D pour axe, et sur laquelle on pourrait répartir la masse tout entière du solide sans que son moment d’inertie par rapport à cette droite D changeât de valeur.

Pour calculer la valeur du moment d’inertie d’un solide invariable par rapport à une droite donnée, concevons* que nous

rapportions le solide à trois axes coordonnés rectangulaires, dont l’un, l’axe des x, coïncide avec la droite dont il s’agit; et <}ue nous le décomposions en éléments rectangulaires, comme nous l’avons déjà fait pour la recherche du centre de gravité (§ 104). Si nous désignons par p la masse spécifique du solide au point dont les coordonnées sont x, y, z, nous aurons c dx dy dz pour la masse d’un élément situé en ce point; d’un autre -côté, le carré de la distance de ce point à l’axe des x est égal à y/- + ; de sorte que le moment d’inertie du solide par rapport

À cet axe a pour valeur

j'.fj* P + 32) dxdydz,

Vintégrale triple s’étendant à tous les éléments dont le solide se compose. On pourra souvent simplifier la détermination de cette intégrale, en remarquant qu’elle est la somme des deux suivantes :

/// 9V~dxdydZy \ J J ^z^dxdydz.

La masse totale du solide a de même pour valeur

J f f ^dxdyxz;

on en conclut que le rayon de giration k sera donné par la formule

^ .(•// (if + z^)<l,rd,jdz ff J fdxdydz

On peut observer que, si le solide est homogène, 0 est une constante qu’on peut supprimer comme facteur commun aux deux termes de la valeur de k- ; ce qui montre que, dans ce cas, le rayon de giration ne dépend que de la forme qu’affecte le solide, et est entièrement indépendant de sa densité.

Voici quelques résultats auxquels on parvient facilement, en suivant la marche qui vient d’être indiquée. Ils se rapportent exclusivement à des solides homogènes.

l® Cylindre droit à base circulaire. — Le" rayon de giration k d’un cylindre droit à hase circulaire de rayon R par

434 LIVRK l\. — DYNAMIQUE. TROISIEME PARTIE.

rapport à Taxe de figure de ce cylindre, est donné par la formule

Couche cylindrique de rét:olulion. — Pour une couche cylindrique de révolution dont les rayons intérieur et extérieur sont U et K', on a, pour déterminer le rayon de giration relatif à Taxe de figure,

Si l’on nomme 11, le rayon moyen de cette couche, et e son épaisseur, on peut remplacer la formule qui précède par celle-ci :

3“ Sphère. — Le rayon de giration d’une sphère de rayon II, par rapport à un de ses diamètres, est fourni par la relation

Parallèlipipède rectangle. — Dans le cas d’un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes sont a, h, r, si l’ôn détermine le rayon de giration par rapport à une parallèle aux arêtes a menée par le centre du solide, on trouve

Après avoir défini le moment d’inertie d’un solide par rapport

à une droite, ainsi que le rayon de giration qui en dépend, et avoir indiqué la marche à suivre pour en déterminer les valeurs, nous allons nous occuper de comparer entre eux les moments d’inertie d’un même solide par rapport aux diverses droites qu’on peut imaginer dans l’espace.

deux droites parallèles AD, A'B',

Kijr. II.").

§ 230. Prenons d’abord

fig. 113, dont l’une A'B' passe par le centre de gravité G du solide. Soit M un point quelconque du solide, situé à des distances MN = r, et MP = r' de ces deux droites. Si nous désignons par a la distance NP des deux droites, et par z la distance PQ du point P au pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur* PN, nous aurons

r- = (t~ + r - — i-dz.

Multiplions tous les termes par la masse m du point M, et ajoutons ensuite membre à membre toutes les équations de mêm& forme relatives aux différents points matériels dont le solide est composé : nous trouverons ainsi

Mais a est une constante qui peut être mise en dehors du signe 1 ; d’ailleurs z étant évidemment la distance du point M à un plan mené par A'B' perpendiculairement au plan ABA'B', on a

imz = (I,

puisque le centre de gravité G est situé dans le plan dont il s’agit (§ 103) : donc, si J’on désigne par M la masse totale m du. solide, la relation précédente se réduit à

= Ma- -f

Ainsi le moment d’inertie du solide, par rapport à la droite AB,, est égal au moment d’inertie du même solide par rapport à uneparallèle à AB menée par son centre de gravité, augmenté du produit de la masse du solide par le carré de la distance de^ son centre de gravité à la droite AB. On voit ])ar là que la connaissance du moment d’inertie du solide, par rapport à une droite menée par son centre de gravité, suffit pour qu’on puisse en déduire numédialement le moment d’inertie de cesolide par rapport à une droite quelconque parallèle à la première.

§ 240. Comparons maintenant les moments d’inertie du solide^ par rapport aux diverses droites qui passent par un même point

O de l’espace. Nous ferons passer par ce point O, ^g. 41-i,

trois axes rectangulaires OX, OY, OZ. Soit OA la droite par rapport à laquelle nous allons prendre le moment d’inertie du solide; désignons par a, 6, 7 les angles que cette droite fait avec les axes OX, XY, OZ.

Pour un point quelconque M dont les coordonnées sont .r, y, Z, et dont la projection sur la droite OA est en P, on a .MP=^ = OM^ — OP-

= X- + y- -f ^2 — (q. cos a -I- y cos 6 + ^ cos 7)2

Æ‘^(l — C0s2 a) -}- y-{'i — COs2 6) 4- c2(j :cos‘2-)f) ^

— 2xy cos a cos 6 — ^2xz cos a cos *y — ^yz cos 6 cos 7 j

Si l’on observe qu’on a

C0s2 a + COS2 6 -T cos- 7=1,

on verra que les trois quantités

I — cos2 a, J — cos- ê, 1 — cos- 7,

peuvent être remplacées respectivement par

cos- C 4- COs2 7, COs2 a 4- COs2 C0s2 a + C0s2 o.

Kn faisant cette substitution, et groupaiit ensuite les termes convenablement, on trouve

i + -■) <'0^2 S + {x^ 4-y2) cos2 -y ) ^

I — 2ys cos ê cos 7 — ^æz cos x cos 7 — 2xy cos x cos 6 j

Multiplions tous les termes de cette équation par la masse m du point M, puis ajoutons membre à membre toutes les équations analogues relatives aux différents point matériels du solide ; nous aurons ainsi la valeur du moment d’inertie 'Lmr~ du solide par rapport à. la droite 0.\, valeur qui peut s’écrire de cette manière :

-tmr «BT^

• MOUVEMENT I)’UN SOLIDE INVARIABLE. ' i.17

A cos- 7. -{- II cos- 6 + C cos- |

— 41 1 cos C cos *;• — 4K cos a cos y — 4F cos y. cos C | ’

en posant

Of 4- z^) = A, im (j-^ z'^) = U, im (.r^’ + y^) = C, •

:îmyz = Ü, imæz — F, iima/y = K.

Il est aisé de reconnaître que les lettres A, B, G désignent respectivement les moments d’inertie du solide par rapport aux axes OX, OY, OZ. Pour voir comment varie le moment d’inertie üwr* relatif à la droite OA, lorsque cette droite prend successivement diverses positions autour du point 0, portons sur sa direction, et à partir du point 0, une longueur OB égale à

— ■ ; nous allons chercher le lieu géométrique du point B

ainsi obtenu. Si nous désignons par X, Y, Z les coordonnées de ce point B, nous aurons

cos a = X cos € = Y < 7 = Z

En substituant ces valeurs de cos a, cos cos 7 dans l’expression du moment d’inertie, et supprimant imv- qui est facteur commun, il vient :

1 = AX^ + lîY^ -f- — 4DYZ — 4P:XZ — ‘2FXY.

C’est l’équation de la surface qui renferme tous les points tels que B. Cette surface est du second ordre, et a le point 0 pour centre : d’ailleurs, le moment d’inertie smr* ne pouvant être nul pour aucune droite menée par le point 0, le rayon vecteur OB ne peut pas devenir infini : donc c’est un ellipsoïde. Ce résultat très-simple nous donne une image nette des rapports de grandeur qui existent entre les moments d’inertie du solide relatifs aux diverses droites menées par un même point de l’espace.

Les axes de l’ellipsoïde auquel nous venons de parvenir* sont ce qu’on nomme les a.ves principaux d»i solide relativement au point 0. Si on les prend pour axes coordonnés, l’équation de l’ellipsoïde se simplifie et se réduit à